李遠(yuǎn)飛, 肖勝中, 曾 鵬

（1. 廣州華商學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 廣州 511300; 2. 廣東農(nóng)工商職業(yè)技術(shù)學(xué)院, 廣州 510507）

0 引 言

原始方程是研究氣候和天氣預(yù)報(bào)的經(jīng)典模型, 它描述了靜水壓假設(shè)下的大氣運(yùn)動(dòng)[1-4]. 根據(jù)經(jīng)典的大氣動(dòng)力學(xué)理論, 對(duì)于干絕熱運(yùn)動(dòng), 一個(gè)完整的方程組由運(yùn)動(dòng)矢量方程、狀態(tài)方程、連續(xù)方程和熱力學(xué)第一定律組成. 由于這個(gè)方程過于復(fù)雜, 人們開始利用各種手段對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化. 據(jù)我們所知, 對(duì)它們的數(shù)學(xué)研究是由Lions等人發(fā)起的. 文獻(xiàn)[5]通過引入黏性等一些技術(shù)處理, 重新建立了干大氣原始方程模型. 文獻(xiàn)[6-7]建立了海洋原始方程組, 文獻(xiàn)[8]引入了耦合大氣-海洋模型的一些數(shù)學(xué)理論. 近幾十年來這一領(lǐng)域的研究發(fā)展迅速, 文獻(xiàn)[9]陳述了大氣、海洋動(dòng)力學(xué)中一些非線性偏微分方程在最近幾十年的發(fā)展演變. 2015年, Zelati等[10]考慮到由于空氣飽和以及凝結(jié)而引起的重要相變現(xiàn)象, 對(duì)經(jīng)典大氣原始方程組進(jìn)行了修正. 利用微分不等式和變分不等式, 給出了這個(gè)問題在 ? ×(0,∞) 上的新數(shù)學(xué)公式

再記

其中a,b是大于零的常數(shù). 此外, 方程組(1)—(6)還具有下列初始條件:

其中v0(x,y,p),T0(x,y,p),q0(x,y,p) 是非負(fù)的連續(xù)函數(shù)并滿足兼容性條件.

人們?cè)诶么髿狻⒑Ｑ笤挤匠探M進(jìn)行數(shù)值天氣預(yù)報(bào)時(shí), 首先關(guān)心的是這些方程組在數(shù)學(xué)上是否具有內(nèi)在的邏輯統(tǒng)一性, 即適定性. 利用微分不等式技術(shù), Zelati等證明了問題(1)—(10)擬強(qiáng)解和強(qiáng)解的整體存在性及唯一性[10]. 利用精細(xì)的能量估計(jì), Guo等人得到了干大氣原始方程組光滑解的整體存在性[11]以及濕大氣原始方程組的整體適定性問題[12]. 更多關(guān)于原始方程組適定性的結(jié)果, 可參見文獻(xiàn)[13-19].

與上述文獻(xiàn)不同, 本文研究原始方程組自身的穩(wěn)定性. 因?yàn)榻?shù)學(xué)模型以及在模型簡(jiǎn)化的過程中不可避免地會(huì)出現(xiàn)一些微小的誤差, 這些誤差不會(huì)隨著測(cè)量技術(shù)的進(jìn)步而消失, 所以我們就需要知道這些誤差會(huì)不會(huì)引起方程組解的巨大變化, 這種研究稱為穩(wěn)定性研究. 最近對(duì)原始方程組的穩(wěn)定性研究已經(jīng)開始受到關(guān)注, 文獻(xiàn)[20]考慮了柱形區(qū)域上帶振蕩隨機(jī)力的大尺度海洋3維原始方程組的連續(xù)依賴性, 證明了解對(duì)黏性系數(shù)的連續(xù)依賴性. 文獻(xiàn)[21]利用方程微分不等式技巧和能量估計(jì)的方法,證明了大尺度海洋、大氣動(dòng)力學(xué)3維黏性原始方程的解連續(xù)依賴于邊界參數(shù). 本文將繼續(xù)此領(lǐng)域的研究, 但是問題(1)—(10)中的模型假設(shè)空氣中存在飽和蒸汽, 這種模型要比文獻(xiàn)[20-21]中的模型更加復(fù)雜. 我們利用已知數(shù)據(jù)項(xiàng)來推導(dǎo)解的先驗(yàn)界, 通過解的先驗(yàn)估計(jì)和能量估計(jì)來證明方程對(duì)邊界參數(shù)的連續(xù)依賴性.

1 方程的轉(zhuǎn)化

下面, 我們給出本文常用的兩個(gè)引理.

引理 1[22]若ω(p)∈C1(0,h),h＞0 , 且ω(h)=ω(0)=0 , 則

2 先驗(yàn)界

基于分部積分以及式(13), 上述等式很容易得到證明. 而對(duì)式(29)的最后一項(xiàng), 利用分部積分、H?lder不等式和算術(shù)幾何平均不等式, 可得

所以式(29)可以寫為

在方程(16)的兩邊乘以θ, 并在 ? ×(0,t) 上積分, 再利用H?lder不等式, 可得

其中我們用到了

應(yīng)用H?lder不等式和Young不等式, 可得

再由Gronwall不等式, 可得

應(yīng)用H?lder不等式、引理2和引理3, 可得

由引理2 (δ=1 )并利用引理3和式(38), 可得

證畢.

3 對(duì)邊界參數(shù)的連續(xù)依賴性

本章來證明本文的主要定理, 這個(gè)過程可分如下幾步進(jìn)行.

第一步: 記

把式(40)—式(42)代入式(39), 可得

利用方程(22), 可得

利用散度定理、引理1、引理4和引理5, 可得

再由引理3, 可得

于是式(44)可寫為

4 結(jié) 論

本文使用能量估計(jì)的方法, 得到了原始方程組對(duì)黏性系數(shù)的連續(xù)依賴性. 本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)就是用一個(gè)新的視角去研究原始方程組以及如何推導(dǎo)解的先驗(yàn)界, 這類研究目前還比較少. 接下來, 還可以繼續(xù)研究濕大氣原始方程組的收斂性, 即當(dāng)方程組的系數(shù)趨近于零時(shí)所產(chǎn)生的影響. 據(jù)我們所知,目前這類研究在文獻(xiàn)中尚未出現(xiàn), 而且這類研究還可以向帶隨機(jī)力的原始方程組、海洋原始方程組、大氣原始方程組以及耦合了海洋和大氣的原始方程組甚至干大氣原始方程組展開, 這將是我們下一步研究的主要方向.