王兆勝，鄭云飛

(陸軍炮兵防空兵學(xué)院南京校區(qū) 火力系， 南京 211132)

子母彈從火炮發(fā)射后，在時(shí)間引信的作用下，射彈中的拋撒機(jī)構(gòu)在某一預(yù)定位置將子彈全部從母彈體內(nèi)拋出，拋出后的各枚子彈沿拋撒角繼續(xù)飛行到地面，在地面形成一個(gè)近似為橢圓或橢圓環(huán)的散布范圍。對(duì)裝甲等硬目標(biāo)射擊時(shí)，子母彈只有子彈直接命中目標(biāo)才有可能毀傷目標(biāo)。命中條件下毀傷概率計(jì)算的理論基礎(chǔ)為科爾莫戈羅夫定理[1]，在計(jì)算毀傷概率時(shí)，根據(jù)有無(wú)毀傷累積，命中毀傷律包括指數(shù)毀傷律、零一毀傷律和階梯毀傷律[1-4]。指數(shù)毀傷律不考慮目標(biāo)的毀傷累積，零一毀傷律和階梯毀傷律都考慮了毀傷的累積。由于子母彈射擊誤差為“三組誤差型”， 命中目標(biāo)的子彈可以是同一母彈中的子彈，也可以是不同母彈中的子彈，不同母彈的子彈對(duì)目標(biāo)命中概率不同，因此除了無(wú)毀傷累積的指數(shù)毀傷律外，“三組誤差型”下直接給出零一毀傷律和階梯毀傷律下子母彈射擊效率計(jì)算表達(dá)式并用數(shù)值積分法計(jì)算子母彈的毀傷概率是很困難的。文獻(xiàn)[9，13]基于仿真模型研究了子母彈子彈命中目標(biāo)的概率與子彈的分布。文獻(xiàn)[10-14]在計(jì)算子母彈對(duì)目標(biāo)的毀傷概率時(shí)，采用指數(shù)毀傷律，不考慮毀傷累積，避免了不同火炮發(fā)射條件下對(duì)目標(biāo)不同命中彈數(shù)概率的計(jì)算問(wèn)題。文獻(xiàn)[15-16]在分析目標(biāo)損傷和毀傷效果時(shí)則回避了毀傷律的問(wèn)題。仿真法計(jì)算不同毀傷律下子母彈的毀傷概率可以避開(kāi)了復(fù)雜的毀傷概率計(jì)算表達(dá)式的推導(dǎo)，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，且編程簡(jiǎn)單，下面分析子母彈射擊時(shí)對(duì)目標(biāo)毀傷的仿真計(jì)算。

1 子母彈射擊誤差的模擬

1.1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生

對(duì)于地面火炮來(lái)說(shuō)，射擊諸元誤差包括距離諸元誤差和方向諸元誤差，同時(shí)射彈的散布誤差也包括距離散布誤差和方向散布誤差。為產(chǎn)生服從二維正態(tài)分布，并在距離上和方向上相互獨(dú)立的諸元誤差和散布誤差抽樣，需有相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)，常用的產(chǎn)生相互獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)如下[5]。

設(shè)r1，r2為獨(dú)立的[0，1]上均勻分布的隨機(jī)變量，構(gòu)造X1、X2為：

(1)

則X1、X2是2個(gè)獨(dú)立的服從N(0，1)分布隨機(jī)變量。

(2)

是2個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)。

產(chǎn)生2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)數(shù)的方法步驟如下：

步驟1 產(chǎn)生均勻分布隨機(jī)數(shù)x1，x2；

步驟3 若r>1，轉(zhuǎn)向步驟1；

1.2 諸元誤差抽樣

各發(fā)子母彈的子彈散布中心的平均位置對(duì)瞄準(zhǔn)點(diǎn)的偏差稱為子母彈的諸元誤差，設(shè)諸元誤差的距離中間誤差為Emd，方向中間誤差為Emf，仿真計(jì)算時(shí)子母彈諸元誤差(xmc，zmc)抽樣方法為：

(3)

式(3)中，(ηx1，ηz1)是一組相互獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。

1.3 母彈散布誤差抽樣

每發(fā)彈的子彈散布中心對(duì)各發(fā)子母彈的子彈散布中心平均位置偏差為母彈的散布誤差。設(shè)子彈中心散布誤差的誤差距離中心誤差為Bmd，方向中間誤差為Bmf，則一發(fā)彈母彈散布誤差抽樣(xmb，zmb)方法為：

(4)

式(4)中，(ηx2，ηz2)是一組相互獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)。

1.4 子彈落點(diǎn)的抽樣

理論與實(shí)驗(yàn)表明子母彈子彈的地面散布范圍為橢圓或橢圓環(huán)[6-9]，對(duì)于炮射子母彈來(lái)說(shuō)，一發(fā)彈所攜的子彈數(shù)較多，且每枚子彈的質(zhì)量較小，因此可將其看成在橢圓內(nèi)或橢圓環(huán)內(nèi)均勻分布[9-12]。

設(shè)子彈地面分布橢圓的長(zhǎng)短半軸分別為Ra、Rb，則在該橢圓內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)可用如下方法產(chǎn)生：[6-8]

(5)

如果子彈是在橢圓環(huán)內(nèi)均勻分布，設(shè)橢圓外環(huán)的長(zhǎng)短半軸分別為RA、RB，橢圓內(nèi)環(huán)的長(zhǎng)短半軸分別為Ra、Rb，且RA/RB=Ra/Rb，則在該橢圓內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)可用如下方法產(chǎn)生[7-8]：

(6)

式中，r1、r2為在(0，1)內(nèi)相互獨(dú)立的均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

2 對(duì)目標(biāo)的命中與毀傷仿真

子母彈對(duì)裝甲類目標(biāo)射擊時(shí)，只有子彈直接命中目標(biāo)才能毀傷目標(biāo)，根據(jù)不同目標(biāo)的性質(zhì)和易損性，往往采用不同的毀傷律計(jì)算目標(biāo)的毀傷概率，下面分析子彈對(duì)目標(biāo)命中事件的仿真及毀傷事件的仿真。

2.1 命中事件的仿真

以目標(biāo)中心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，x軸指向射擊方向，z軸與x軸垂直向右。目標(biāo)中心位于坐標(biāo)原點(diǎn)，并假定目標(biāo)是邊長(zhǎng)為2lx×2lz的目標(biāo)，由于坐標(biāo)系的原點(diǎn)為目標(biāo)中心，根據(jù)諸元誤差抽樣(xmc，zmc)、母彈散布誤差抽樣(xmb，zmb)及子彈散布落點(diǎn)抽樣(xe，ze)，一枚子彈的落點(diǎn)坐標(biāo)(xi，zi)為：

(7)

當(dāng)|xi|≤lx，|zi|≤lz，表示該枚子彈命中目標(biāo)。

2.2 不同毀傷律下的毀傷事件仿真

命中條件下目標(biāo)毀傷概率取決于命中毀傷律，根據(jù)目標(biāo)的性質(zhì)和易損性，命中彈數(shù)毀傷律有指數(shù)毀傷律、零一毀傷律和階梯毀傷律等3種。設(shè)k為命中彈數(shù)，3種毀傷律的形式如下：

1) 指數(shù)毀傷律。

(8)

式(8)中，ω為毀傷目標(biāo)所需的平均彈數(shù)。

2) 零一毀傷律。

(9)

式(9)中，ω為給定的正整數(shù)。

3) 階梯毀傷律。

(10)

式(10)中，ω為給定的正整數(shù)。

在毀傷律G(k)已確定的情況下，依據(jù)毀傷律可求出每枚命中子彈的毀傷概率，再根據(jù)命中子彈對(duì)目標(biāo)的毀傷概率就可以對(duì)該命中子彈是否毀傷目標(biāo)直接進(jìn)行仿真。

設(shè)pk為第k枚(k=1，2，…)命中子彈的對(duì)目標(biāo)的毀傷概率，命中毀傷律為G(k)，則有：

(11)

將不同命中毀傷律代入式(11)，就可求出不同毀傷律下每枚命中子彈對(duì)目標(biāo)的毀傷概率。

對(duì)于指數(shù)毀傷律，將式(8)代入式(11)，得到指數(shù)毀傷律下各枚命中子彈對(duì)目標(biāo)的毀傷概率為：

p1=p2=…=pk=…=1/ω

(12)

即指數(shù)毀傷律下每一枚命中子彈對(duì)目標(biāo)的毀傷概率皆為1/ω。仿真試驗(yàn)時(shí)，對(duì)于任一枚命中子彈，產(chǎn)生一個(gè)在(0，1)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)ξ1，看ξ1是否小于1/ω，若ξ1<1/ω時(shí)，認(rèn)為目標(biāo)被毀傷，否則就是沒(méi)有被毀傷，此時(shí)需繼續(xù)對(duì)第2枚命中子彈毀傷目標(biāo)的事件進(jìn)行仿真，以此類推。

對(duì)于零一毀傷律，將式(9)代入式(11)，得到零一毀傷律各枚命中子彈對(duì)目標(biāo)的毀傷概率為：

(13)

仿真試驗(yàn)時(shí)，對(duì)于第k枚命中子彈，當(dāng)k<ω時(shí)，目標(biāo)沒(méi)有被毀傷；當(dāng)k=ω枚命中子彈出現(xiàn)時(shí)，目標(biāo)被毀傷。

對(duì)于階梯毀傷律，將式(10)代入式(11)，得到階梯毀傷律的各枚命中子彈對(duì)目標(biāo)的毀傷概率為：

pi=1/(ω-k+1)(k=1，2，3，…，ω)

(14)

仿真試驗(yàn)時(shí)，首先對(duì)第1枚命中子彈毀傷目標(biāo)的事件進(jìn)行仿真，由于第1枚命中子彈對(duì)目標(biāo)的毀傷概率為p1=1/ω，對(duì)第1枚命中子彈，產(chǎn)生一個(gè)在(0，1)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)ξ3，看ξ3是否小于1/ω，若ξ3<1/ω，認(rèn)為目標(biāo)被毀傷，否則就是沒(méi)有被毀傷。當(dāng)?shù)?枚命中子彈沒(méi)有毀傷目標(biāo)，則繼續(xù)對(duì)第2枚命中子彈毀傷目標(biāo)的事件進(jìn)行仿真，考慮到第2枚命中子彈對(duì)目標(biāo)的毀傷概率為p2=1/(ω-1)，當(dāng)?shù)?枚命中子彈出現(xiàn)時(shí)，繼續(xù)產(chǎn)生一個(gè)在(0，1)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)數(shù)ξ3，看ξ3是否小于1/(ω-1)，若ξ3<1/(ω-1)，認(rèn)為目標(biāo)被毀傷，否則就是沒(méi)有被毀傷。以此類推，當(dāng)?shù)讦孛蹲訌椕凶訌棾霈F(xiàn)時(shí)，目標(biāo)一定被毀傷。

3 統(tǒng)計(jì)計(jì)算與置信區(qū)間

一次試驗(yàn)是否毀傷目標(biāo)用隨機(jī)變量Ri來(lái)表示。

(15)

當(dāng)計(jì)算M發(fā)子母彈對(duì)目標(biāo)毀傷概率時(shí)，一次試驗(yàn)對(duì)諸元誤差進(jìn)行一次抽樣，對(duì)母彈散布誤差進(jìn)行M次抽樣，當(dāng)一發(fā)母彈攜s枚子彈時(shí)，在對(duì)每發(fā)母彈進(jìn)行一次散布誤差抽樣的條件下，依次對(duì)母彈的每一枚子彈進(jìn)行散布誤差抽樣，當(dāng)試驗(yàn)出現(xiàn)子彈命中目標(biāo)的情況，根據(jù)毀傷律求得的每枚命中子彈對(duì)目標(biāo)的毀傷概率仿真目標(biāo)毀傷事件，當(dāng)子彈毀傷目標(biāo)時(shí)Ri=1，此時(shí)一次仿真試驗(yàn)就可結(jié)束，否則仿真試驗(yàn)繼續(xù)進(jìn)行，直至M發(fā)母彈的所有子彈毀傷目標(biāo)情況都判別完畢。當(dāng)所有子彈都沒(méi)有毀傷目標(biāo)時(shí)，此次試驗(yàn)Ri=0。

重復(fù)進(jìn)行N次試驗(yàn)，根據(jù)大數(shù)定律，當(dāng)N充分大時(shí)，均值為：

(16)

作為子母彈對(duì)目標(biāo)毀傷概率數(shù)學(xué)期望的近似值。

由于每一次試驗(yàn)的所得的結(jié)果要么為0，要么為1，仿真計(jì)算所得的毀傷概率數(shù)學(xué)期望置信區(qū)間采用如下方法[5-6]：

(17)

當(dāng)求置信水平為0.99的置信區(qū)間時(shí)，α=0.01，α/2=0.005，zα/2=2.578。

當(dāng)求置信水平為0.95的置信區(qū)間時(shí)，α=0.05，α/2=0.025，zα/2=1.96。

4 算例

4.1 算例1

設(shè)Ed=60 m，Ef=50 m，Bd=20 m，Bf=15 m，子彈散布為橢圓內(nèi)均勻散布，散布橢圓的縱向半軸a=50 m，橫向半軸b=60 m，目標(biāo)尺寸為lx=3 m(目標(biāo)縱深之半)，lz=3 m(目標(biāo)正面之半)，發(fā)射的子母彈數(shù)為M=80發(fā)，進(jìn)行N=10 000次的仿真試驗(yàn)，不同毀傷律下的毀傷概率計(jì)算結(jié)果如表1所示。其中毀傷概率欄的斜杠前面的數(shù)據(jù)為毀傷概率，斜杠后面的數(shù)據(jù)為仿真計(jì)算用時(shí)(s)。作為對(duì)比，表2是基于科爾莫戈羅夫定理的仿真計(jì)算結(jié)果，仿真試驗(yàn)次數(shù)仍為N=10 000次。

表1 橢圓內(nèi)均勻散布的仿真計(jì)算結(jié)果

表2 基于科爾莫戈羅夫定理的橢圓內(nèi)均勻散布仿真計(jì)算結(jié)果(算例1)

從表1和表2所列的數(shù)據(jù)看，當(dāng)ω=1時(shí)，3種毀傷律下的計(jì)算結(jié)果相同，而當(dāng)ω為大于1的整數(shù)時(shí)，階梯毀傷律下毀傷概率最高，指數(shù)毀傷律下毀傷概率次之，零一毀傷律下毀傷概率最低。從仿真計(jì)算時(shí)間上看，前者仿真計(jì)算時(shí)間為43～67.8 s，后者仿真計(jì)算時(shí)間為73.4 s。前者計(jì)算效率高于后者。

4.2 算例2

設(shè)Ed=60 m，Ef=50 m，Bd=20 m，Bf=15 m，一發(fā)子母彈的子彈散布為2個(gè)橢圓環(huán)內(nèi)的均勻散布。外環(huán)橢圓參數(shù)為：外側(cè)橢圓縱向半軸a1_1=50m，橫向半軸b1_1=60 m，內(nèi)側(cè)橢圓縱向半軸a1_2=0.95×50=47.5，橫向半軸b1_1=0.95×60=57 m。

內(nèi)環(huán)橢圓參數(shù)為：外側(cè)橢圓縱向半軸a2_1=40 m，橫向半軸b2_1=50 m，內(nèi)側(cè)橢圓縱向半軸a2_2=0.95×40=38 m，橫向半軸b2_1=0.95×50=47.5 m。

設(shè)目標(biāo)尺寸為lx=3 m(目標(biāo)縱深之半)，lz=3 m(目標(biāo)正面之半)，發(fā)射的子母彈數(shù)為M=80發(fā)。采用N=10 000次的仿真試驗(yàn)，不同毀傷律下的毀傷概率仿真計(jì)算結(jié)果如表3所示。作為對(duì)比，表4是基于科爾莫戈羅夫定理的仿真計(jì)算結(jié)果，仿真試驗(yàn)次數(shù)仍為N=10 000次。

表3 子彈橢圓環(huán)內(nèi)均勻散布的仿真計(jì)算結(jié)果

表4 基于科爾莫戈羅夫定理的橢圓環(huán)內(nèi)均勻散布仿真計(jì)算結(jié)果(算例2)

從表3和表4所列的數(shù)據(jù)看，對(duì)于橢圓環(huán)內(nèi)均勻分布的情況，當(dāng)ω=1時(shí)，3種毀傷律下的計(jì)算結(jié)果相同，而當(dāng)ω為大于1的整數(shù)時(shí)，階梯毀傷律下毀傷概率最高，指數(shù)毀傷律下毀傷概率次之，零一毀傷律下毀傷概率最低。從仿真計(jì)算時(shí)間上看，前者仿真計(jì)算時(shí)間為54～90 s，后者仿真計(jì)算時(shí)間為96 s。前者計(jì)算效率高于后者。

5 結(jié)論

1) 從算例1和算例2的仿真計(jì)算結(jié)果看，當(dāng)ω=1時(shí)，3種毀傷律下的計(jì)算結(jié)果相同。當(dāng)ω為大于1的整數(shù)時(shí)，階梯毀傷律下毀傷概率最高，指數(shù)毀傷律下毀傷概率次之，零一毀傷律下毀傷概率最低。

2) 對(duì)每一枚命中子彈是否毀傷目標(biāo)進(jìn)行仿真，當(dāng)目標(biāo)被毀傷則一次試驗(yàn)可馬上結(jié)束，較基于科爾莫戈羅夫定理計(jì)算毀傷概率仿真計(jì)算用時(shí)明顯縮短，仿真計(jì)算效率更高。

3) 用仿真法計(jì)算子母彈的毀傷概率將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，且編程簡(jiǎn)單精度較高。

4) 本文方法的命中子彈毀傷仿真模型可推廣應(yīng)用到對(duì)集群目標(biāo)毀傷概率計(jì)算。