郭文瀚 羅智堅(jiān) 束成鋼

(1上海包玉剛實(shí)驗(yàn)學(xué)校上海201620)

(2上海市星系與宇宙學(xué)半解析研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室上海200234)

(3上海師范大學(xué)數(shù)理學(xué)院上海200234)

1 引言

隨著觀測(cè)資料的不斷擴(kuò)大,現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法在天文研究中扮演了越來越重要的角色,如兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)、最近鄰分析、滲流、功率譜分析、BA(Binning Analysis)和KS(Kolmogorov-Smirnov)檢驗(yàn)、團(tuán)分析和多重性函數(shù)等[1–11].其中,兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)和滲流的應(yīng)用較廣泛[1–2,12–13].兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)是研究星團(tuán)中恒星空間分布情況的一種重要方法,它可以描述星團(tuán)內(nèi)恒星的空間分布與均勻隨機(jī)分布之間的差別,對(duì)團(tuán)星的成團(tuán)性做出判定.滲流則主要用于探測(cè)樣本中鏈狀和網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的分布,對(duì)于樣本的成團(tuán)性并不敏感.本文的主要目的是探討M67疏散星團(tuán)中恒星的空間分布情況和成員星的成團(tuán)性,故采用兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)來進(jìn)行統(tǒng)計(jì)研究.

與球狀星團(tuán)相比,疏散星團(tuán)是一種中心聚度相對(duì)較低的恒星集團(tuán),由數(shù)十顆至數(shù)千顆恒星組成,外形較不規(guī)則;部分老年疏散星團(tuán)呈近球形,中心聚度相對(duì)較好.一般來說,疏散星團(tuán)的成員星有共同的起源,他們有相似的年齡和化學(xué)組成,由于疏散星團(tuán)距離較近,許多基本天體物理參量的測(cè)量更為準(zhǔn)確,它們的年齡、距離、金屬豐度、自行等相對(duì)來說也更方便測(cè)定,有助于人們對(duì)恒星和銀河系的結(jié)構(gòu)及演化進(jìn)行深入了解.疏散星團(tuán)中成員星的確定方法已經(jīng)相當(dāng)成熟[14],許多疏散星團(tuán)中也有足夠數(shù)量的成員星,這為成員星的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)分析打下了良好的基礎(chǔ).本文將從最新公布的WEBDA(the Web version of Base Donn′ees Amas)數(shù)據(jù)庫(kù)中收集疏散星團(tuán)M67的觀測(cè)資料進(jìn)行兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)分析,討論其恒星的空間分布和動(dòng)力學(xué)演化情況.

2 樣本

WEBDA疏散星團(tuán)表[15]是研究疏散星團(tuán)十分重要的資料,由奧地利維也納大學(xué)天文研究所編制而成,其中包括了許多疏散星團(tuán)的測(cè)光和測(cè)譜數(shù)據(jù).M67(NGC2682,α2000=8h51m18s,δ2000=11°48′.0)是其中被研究得最多的老年疏散星團(tuán)之一,位于巨蟹座,年齡約為3.2×109–5×109yr[16],距離地球約800–900 pc[17],與銀盤面的傾角約為15°[15].M67的成員星較為豐富(～1000顆[18]),距離也近,因而被廣泛用于開展疏散星團(tuán)結(jié)構(gòu)與演化的研究.

由于投影效應(yīng)的影響,星團(tuán)觀測(cè)的天區(qū)通常混有不同程度的場(chǎng)星污染.如何準(zhǔn)確判定星團(tuán)的成員星是所有星團(tuán)研究工作的基礎(chǔ).通常人們利用觀測(cè)天區(qū)中恒星的運(yùn)動(dòng)學(xué)資料(自行和視向速度)來去除場(chǎng)星的污染,從而相對(duì)準(zhǔn)確地判定星團(tuán)的成員.Sanders[19]根據(jù)恒星較高精度的自行速度資料,利用最大似然法最早完成了對(duì)M67所在天區(qū)B波段星等亮于17等的1866顆恒星的成員判定,并通過分析恒星的相對(duì)自行分布得出了1571顆成員星的成員概率,被收錄到了WEBDA星團(tuán)表中.此后,Girard等[20]、Zhao等[14]和趙君亮等[21–22]在Sanders[19]方法的基礎(chǔ)上對(duì)成員星判定方法作了一定的改進(jìn),并對(duì)M67星團(tuán)成員星重新進(jìn)行了判斷.但Girard等人只對(duì)M67天區(qū)中較亮的663顆恒星的成員概率進(jìn)行了判別[20],而Zhao等[14]和趙君亮等[21–22]也只對(duì)M67區(qū)域內(nèi)1067顆恒星進(jìn)行了判別[14,21–22],數(shù)量較Sanders[19]少,且成員星的判定結(jié)果與Sanders[19]基本一致.近年來,隨著Gaia巡天數(shù)據(jù)的陸續(xù)釋放,基于Gaia空間高分辨率數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的疏散星團(tuán)成員星判定工作也取得了很大進(jìn)展,如基于DR1和DR2數(shù)據(jù)的Cantat-Gaudin等[23–24]的工作及文獻(xiàn)[25–26]等.但對(duì)于視差及自行測(cè)量,由于觀測(cè)的歷元差相對(duì)較短,Gaia僅對(duì)G波段星等亮于15等的亮端恒星具有高精度的觀測(cè).此外,利用Gaia數(shù)據(jù)對(duì)疏散星團(tuán)成員星的判定大多是基于機(jī)器學(xué)習(xí)的聚類算法,如UPMASK(Unsupervised Photometric Membership Assignment in Stellar Clusters)[26]和RF(Random Forest)[24]等方法,與經(jīng)典的、相對(duì)成熟可靠的Sanders方法具有較大不同.因此,本文采用WEBDA M67星表中Sanders[19]給出的1571顆恒星的成員概率,選取成員概率大于0.6的恒星作為M67的成員星進(jìn)行研究,總共有451顆.這451顆恒星的成員概率之和為409,因而統(tǒng)計(jì)上可能混入團(tuán)星的場(chǎng)星數(shù)為42顆,約占團(tuán)星總數(shù)的9%.

3 兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)的定義

如Schneider[27]和Mo等[28]所指出的,兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)是用來描述天體分布狀況的一個(gè)重要方法.空間兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)P的定義為:在距離為r的兩個(gè)體積元δV1和δV2中,同時(shí)發(fā)現(xiàn)兩個(gè)天體的概率:

一般來說,兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)有兩種,一種為角相關(guān)形式,描述天體在天球上投影的分布,稱為角兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù);另一種表征天體在空間中的分布,稱為空間兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù).本文所討論的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)指的是角兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù),其計(jì)算公式為[1]:

其中,DD(θ)為樣本中恒星間角距離在θ→θ+δθ的數(shù)目,RR(θ)為在同一區(qū)域內(nèi)均勻隨機(jī)分布的樣本中,數(shù)據(jù)點(diǎn)間角距離在θ→θ+δθ的數(shù)目,〈RR(θ)〉表示對(duì)多次隨機(jī)取樣進(jìn)行平均(本文隨機(jī)取樣1000次).我們用Shimazaki和Shinomoto[29]的方法計(jì)算了最佳的Bin-size取值,并根據(jù)兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)的邊緣效應(yīng)[30–31],對(duì)δθ作了對(duì)數(shù)修正.根據(jù)計(jì)算出的ξ(θ),可以得出樣本中天體分布相對(duì)于均勻隨機(jī)分布的偏離程度與偏離狀態(tài).若ξ(θ)>0,樣本為正相關(guān),出現(xiàn)成團(tuán)現(xiàn)象;反之,若ξ(θ)<0,樣本呈負(fù)相關(guān),出現(xiàn)空洞現(xiàn)象[27];ξ(θ)=0表示樣本為均勻隨機(jī)分布.對(duì)于ξ(θ)估計(jì),我們可以很好地采用泊松誤差[28]

來估計(jì)兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)ξ(θ)的誤差.在本文中,兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)的角相關(guān)形式中所有的角度單位取′.

4 自相關(guān)分析

自相關(guān)分析用于檢驗(yàn)一個(gè)樣本是否在空間上成團(tuán).通常,樣本的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)可以表示為θ的函數(shù),并滿足冪律分布[1]:

其中,A為相關(guān)強(qiáng)度,θ0為相關(guān)尺度,α為相關(guān)指數(shù),A、θ0和α可以通過對(duì)上式取對(duì)數(shù)后進(jìn)行線性回歸擬合得到.

表1和圖1(a)是M67中451顆成員星的兩點(diǎn)自相關(guān)函數(shù)的計(jì)算結(jié)果.由于星團(tuán)核區(qū)動(dòng)力學(xué)演化以及兩個(gè)恒星間距離不能太近因素的影響,在θ很小時(shí)(～3′)兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)會(huì)產(chǎn)生偏離.本文仍然將最小θ值的數(shù)據(jù)點(diǎn)顯示在圖上,以“×”表示,但在進(jìn)行線性回歸擬合時(shí)將該數(shù)據(jù)點(diǎn)舍去.擬合時(shí)所用數(shù)據(jù)點(diǎn)用“°”表示,我們已根據(jù)誤差考慮了每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的權(quán)重(下同),擬合結(jié)果用虛線表示.

表1 M67樣本成員星、場(chǎng)星的自相關(guān)分析Table 1 Self-correlation analysis of M67 member stars and field stars

圖中可以看出,M67的自相關(guān)性非常好,相關(guān)強(qiáng)度為23.13±3.60(′)α,相關(guān)尺度為(24.30±6.71)′,置信水平大于99%.圖1(b)是M67天區(qū)內(nèi),除去451顆成員概率大于0.6的成員星后的1118顆場(chǎng)星的兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù).從圖中可以看出,場(chǎng)星的自相關(guān)性非常低,相關(guān)強(qiáng)度為0.56±0.17(′)α,相關(guān)尺度為(0.28±0.10)′.對(duì)于均勻分布的場(chǎng)星,ξ(θ)理論上應(yīng)該在0附近振蕩,本文中ξ(θ)不為0的原因主要由銀河系自身其他結(jié)構(gòu)特征引起,場(chǎng)星自身成團(tuán)信號(hào)較團(tuán)星低一個(gè)量級(jí)以上,故本文的自相關(guān)分析是可信的.

圖1 (a)M67全部成員星的自相關(guān)分析擬合;(b)場(chǎng)星的自相關(guān)分析擬合.Fig.1(a)Self-correlation analysis and fitting of M67 member stars;(b)Self-correlation analysis and fitting of field stars.

在星團(tuán)形成和動(dòng)力學(xué)演化過程中,團(tuán)星間的動(dòng)能均分會(huì)導(dǎo)致成員星之間出現(xiàn)能量(動(dòng)能)交換.小質(zhì)量成員星的運(yùn)動(dòng)速度將逐漸增大,大質(zhì)量成員星的運(yùn)動(dòng)速度則逐漸減小.經(jīng)過充分的動(dòng)力學(xué)演化,在達(dá)到維里平衡后,星團(tuán)將表現(xiàn)出空間質(zhì)量分層效應(yīng)和速度質(zhì)量分層效應(yīng)[32].McNamara和Sekiguchi[33]對(duì)疏散星團(tuán)的空間質(zhì)量分層有過詳細(xì)的介紹.疏散星團(tuán)的空間質(zhì)量分層意味著不同質(zhì)量區(qū)間的成員星會(huì)出現(xiàn)不同的徑向分布密度輪廓,大質(zhì)量成員星相對(duì)于小質(zhì)量成員星有更大的中心聚度.

為了研究M67的質(zhì)量分層效應(yīng),我們利用BATC(Beijing-Arizona-Taipei-Connecticut)大視場(chǎng)多色巡天3890?A波段的測(cè)光數(shù)據(jù)[34],將M67的團(tuán)星分為了3個(gè)不同光度范圍的子樣本,并分別計(jì)算了每個(gè)子樣本的自相關(guān)函數(shù).其中,子樣本A有131顆恒星,星等范圍mA≤13.3;子樣本B有156顆恒星,星等范圍mB∈(13.3,14.3],子樣本C有107顆恒星,星等范圍mC∈(14.3,15.3].表2和圖2是各個(gè)子樣本的自相關(guān)情況.

表2 M67中不同光度子樣本的自相關(guān)分析Table 2 Self-correlation analysis of M67 member stars based on magnitude

從表2和圖2(a)–(c)可以看出,M67不同光度范圍的3個(gè)子樣本均具有強(qiáng)自相關(guān)性,兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)都能用冪律形式較好地?cái)M合.其中,子樣本A的自相關(guān)性最強(qiáng),相關(guān)強(qiáng)度大于20(′)α,子樣本B和C的相關(guān)強(qiáng)度值則相對(duì)較小,均小于10(′)α.從表2和圖2中還可以看出,隨著光度的減小,從子樣本A到子樣本C,兩點(diǎn)自相關(guān)函數(shù)的相關(guān)強(qiáng)度和相關(guān)指數(shù)亦逐漸減小,說明M67的亮星與暗星具有明顯的分維,成員星呈現(xiàn)出明顯的空間質(zhì)量分層效應(yīng),亮星較暗星具有更強(qiáng)的中心聚度.

圖2 M67不同光度子樣本的自相關(guān)分析擬合.(a)子樣本A;(b)子樣本B;(c)子樣本C.Fig.2 Self-correlation analysis and fitting of M67 member stars based on magnitude.(a)subsample A;(b)subsample B;(c)subsample C.

團(tuán)星的空間質(zhì)量分層現(xiàn)象是星團(tuán)經(jīng)歷長(zhǎng)時(shí)間動(dòng)力學(xué)演化的結(jié)果.Bica和Bonatto[35]定義了一個(gè)演化參數(shù):

來衡量星團(tuán)的動(dòng)力學(xué)演化程度,其中,tc為星團(tuán)的年齡,tr為星團(tuán)的弛豫時(shí)標(biāo),即星團(tuán)達(dá)到維里平衡所需要的時(shí)間.τ值越大,星團(tuán)的動(dòng)力學(xué)演化越充分.根據(jù)Chandrasekhar[36]對(duì)弛豫時(shí)標(biāo)計(jì)算的公式:

其中,N為星團(tuán)中恒星的個(gè)數(shù),ˉm為團(tuán)星的平均恒星質(zhì)量與太陽質(zhì)量的比值,為星團(tuán)的半光度半徑,單位為秒差距[37],我們可以算出,M67的弛豫時(shí)標(biāo)約為3×107yr[38].由于M67的年齡約為4×109yr,故演化參數(shù)τ?1.這表明M67已經(jīng)經(jīng)歷了長(zhǎng)期的動(dòng)力學(xué)演化,出現(xiàn)空間質(zhì)量分層現(xiàn)象是合理的.

5 交叉相關(guān)分析

兩點(diǎn)交叉相關(guān)函數(shù)常用于分析幾組樣本相互之間的關(guān)系.通過交叉相關(guān)分析能更深入地了解樣本的空間成團(tuán)性.一般地,兩點(diǎn)交叉相關(guān)函數(shù)可通過下式計(jì)算:

其中,DD12(θ)是任意兩組樣本中,恒星間角距離為θ→θ+δθ的點(diǎn)對(duì)數(shù)目.

與兩點(diǎn)自相關(guān)函數(shù)類似,兩點(diǎn)交叉相關(guān)函數(shù)ξN12(θ)一般也滿足冪律分布[1]:

式中,A、θ0和α3個(gè)參數(shù)也可以通過對(duì)上式取對(duì)數(shù)后進(jìn)行線性回歸擬合得到.

M67中3個(gè)子樣本A、B和C之間的兩點(diǎn)交叉相關(guān)分析的計(jì)算和擬合結(jié)果見表3和圖3.圖3(a)、(b)和(c)中的虛線分別代表對(duì)子樣本A–B、A–C和B–C的交叉相關(guān)分析的冪律擬合.

表3 M67各個(gè)子樣本的兩點(diǎn)交叉相關(guān)分析Table 3 Cross-correlation analysis of M67 member stars based on magnitude

圖3 M67成員星子樣本的交叉相關(guān)分析擬合.(a)子樣本A–B;(b)子樣本A–C;(c)子樣本B–C.Fig.3 Cross-correlation analysis and fitting of M67 member stars.(a)subsample A–B;(b)subsample A–C;(c)subsample B–C.

由表3和圖3可知,M67中各個(gè)子樣本之間存在明顯的交叉相關(guān)性,說明M67中不同光度的成員星即使有不同的自相關(guān)強(qiáng)度和指數(shù),但他們沒有表現(xiàn)出絕對(duì)的空間質(zhì)量分層,不同光度的成員星之間相互交織、相互滲透.同時(shí),從表3和圖3還可以看出,各個(gè)樣本之間的兩點(diǎn)交叉相關(guān)函數(shù)存在一定的差異.子樣本A與子樣本B之間的交叉相關(guān)強(qiáng)度和相關(guān)指數(shù)最大,分別為19.88±2.28(′)α和0.98±0.05,而較暗的子樣本B和C之間的交叉相關(guān)強(qiáng)度和相關(guān)指數(shù)相對(duì)最弱,分別為6.92±1.26(′)α和0.71±0.08,說明隨著星等的變小,M67子樣本間的交叉相關(guān)強(qiáng)度逐漸減弱,相關(guān)指數(shù)也逐漸變小,這從另一角度說明了亮星相對(duì)于暗星具有更強(qiáng)的成團(tuán)性,M67中存在空間質(zhì)量分層現(xiàn)象.

6 總結(jié)與討論

本文利用WEBDA數(shù)據(jù)庫(kù)中歸檔的老年疏散星團(tuán)M67的觀測(cè)資料,對(duì)M67成員星進(jìn)行了兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)分析,討論了團(tuán)星的空間分布情況.在研究中,對(duì)M67的成員星判定采用了Sanders[19]的研究結(jié)果,并取用了成員概率p≥0.6作為團(tuán)星的選擇標(biāo)準(zhǔn).同時(shí),本文還利用Burstein等人給出的BATC大視場(chǎng)多色巡天3890?A波段的測(cè)光數(shù)據(jù)[34],將M67的團(tuán)星分成了3個(gè)不同星等(質(zhì)量)范圍的子樣本,并對(duì)各個(gè)子樣本自相關(guān)函數(shù)的差異和子樣本間的交叉相關(guān)性進(jìn)行了分析,探討了M67團(tuán)星的空間質(zhì)量分層效應(yīng)與動(dòng)力學(xué)演化規(guī)律.

我們的研究結(jié)果表明,M67全體成員星的兩點(diǎn)自相關(guān)函數(shù)能很好地用冪律形式來描述,其成員星的空間分布具有強(qiáng)成團(tuán)性和自相似性.此外,按光度區(qū)間劃分的3個(gè)子樣本的兩點(diǎn)自相關(guān)函數(shù)也能很好地用冪律形式來描述,但不同光度子樣本的兩點(diǎn)自相關(guān)函數(shù)之間存在明顯的差異,亮星子樣本比暗星子樣本有更強(qiáng)的自相關(guān)強(qiáng)度和更大的自相關(guān)指數(shù).這說明M67中大質(zhì)量的成員星(亮星)具有更強(qiáng)的成團(tuán)性及中心聚度,該星團(tuán)在空間分布上已經(jīng)出現(xiàn)了明顯的質(zhì)量分層現(xiàn)象.通過計(jì)算M67的弛豫時(shí)標(biāo)并和年齡進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn),M67的演化參數(shù)[35]τ?1,表明在其演化過程中已經(jīng)經(jīng)歷了充分的動(dòng)力學(xué)演化,M67在兩點(diǎn)相關(guān)函數(shù)統(tǒng)計(jì)分析上表現(xiàn)的空間質(zhì)量分層現(xiàn)象從物理上來說是合理的.

本文進(jìn)一步的研究還表明,M67中不同光度范圍的子樣本間的兩點(diǎn)交叉相關(guān)函數(shù)也可以很好地用冪律形式來描述,表明不同光度區(qū)間的恒星之間沒有表現(xiàn)出絕對(duì)的空間質(zhì)量分層,亮星和暗星相互交織、相互滲透.此外,各子樣本之間不僅存在明顯的交叉相關(guān)性,且隨著光度的減弱,交叉相關(guān)強(qiáng)度及相關(guān)指數(shù)也逐漸減弱,再次從另一方面證實(shí)了空間質(zhì)量分層效應(yīng)的存在.