王少峰, 王東旭
(重慶大學物理學院, 重慶 401331)
呼吸子是一種空間局域和時間周期性的非線性振動模式. 由于兩個正反拓撲孤子之間存在相互吸引作用,所以在適當?shù)臈l件下,正反拓撲孤子會像兩個耦合粒子一樣呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期性振動模式,這種模式類似于呼吸振動,被稱為呼吸子. 根據(jù)解析理論和模擬分子動力學研究,很多類型的非線性系統(tǒng)中存在呼吸子. 關(guān)于呼吸子的第一個報告可以追溯到1969年[1],這是首個關(guān)于呼吸子的定性研究. Kosevich和Kovalev在1974年報告了類似的結(jié)果[2]. 1988年,Sievers和Takeno在Fermi Pasta Ulam(FPU)鏈中獲得了局域激發(fā)[3-5]. 同時,Campbell和Peyrard在各種晶格模型中觀察到離散呼吸子(并為其創(chuàng)造了這個術(shù)語)的激發(fā)[6]. 隨后,一大批研究小組開始對局域激發(fā)呼吸子進行嚴謹細致的數(shù)學研究[7-10],特別是基于一維、二維晶體的呼吸子研究更為廣泛[11-17]. 重要的結(jié)果之一是在Sine-Gorden方程中找到了呼吸子解析解[18-19]. 但是,到現(xiàn)在為止,著名的非線性模型Peierls方程中的呼吸子研究還未見報道. Peierls方程中的拓撲孤子被稱為位錯,由于兩個正反位錯之間存在相互吸引作用,所以正反位錯也應該可以呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期性局域振動模式. 本文首先將經(jīng)典Peierls方程推廣為含時動力學方程,然后參考Sine-Gorden方程中的呼吸子解析解給出了Peierls方程的呼吸子近似解,最后用數(shù)值方法驗證這個近似解確實是呼吸子解,并且對其行為進行了簡單討論.
經(jīng)典的Peierls方程是準連續(xù)的靜態(tài)平衡方程,存在解析位錯解[20]. 由于實際晶體是離散的,位錯的完整行為和性質(zhì)與晶體的離散性密切相關(guān),所以下面建立全離散的Peierls動力學方程. 基于靜態(tài)全離散Peierls方程[21-23],推廣的含時動力學Peierls方程的形式為,
(1)
這里u是相對位移,m是引入的有效質(zhì)量(不是原子質(zhì)量),f是廣義層錯能的負梯度,
(2)
其中γ表示廣義層錯能,μ是切變模量,σ是滑移面原胞的面積,b是位錯的Burgers矢量,無量綱參數(shù)Δ是對材料廣義層錯能的修正參數(shù).
為了以一種與模型無關(guān)的方式確定離散核Ω的具體形式,我們需要討論離散核Ω在k-空間的譜行為.
(3)
(4)
(5)
(6)
用這種方式展開的傅里葉級數(shù)能夠迅速收斂. 保留傅里葉級數(shù)的帶頭項,方程(5)和(6)式簡化為:
(7)
(8)
這樣有,
(9)
利用這些結(jié)果,方程(1)中的第二項可以具體寫成,
(10)
其中ρ(l)=u(l+1)-u(l)是位錯密度. 現(xiàn)在含時動力學Peierls方程的具體形式為,
(11)
在連續(xù)近似下(λ→0)和經(jīng)典Peierls方程比較可知[20]:
(12)
含時動力學Peierls方程(11)是關(guān)于原子相對位移變量u的非線性方程,十分復雜,目前沒有解析求解方法. 在連續(xù)近似下,這個方程有著名的Peierls精確位錯解:
(13)
其中,x=lλ是空間位置坐標. 這個解與Sine-Gorden方程的Kink解十分類似. 由于兩個正反位錯之間存在類似于Kink的相互吸引作用,所以一個自然的推論是:正反位錯也能夠像Kink對那樣呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期性振動模式,形成呼吸子. 不過Kink的相互吸引作用是指數(shù)衰減的短程作用,而位錯之間的相互作用是冪律衰減的長程作用,根據(jù)相互作用特征的考慮,我們提出下面含時動力學Peierls方程(11)的呼吸子近似解,
(14)
其中,A和α是兩個待定的參數(shù),ω是振動頻率,x0表示呼吸子的中心位置. 這里,初始時刻t=0選取為一對正反位錯疊加形成的局域單峰波包,并且每個位置的原子相對位移速度為零,
(15)
為了驗證表達式(14)是呼吸子近似解,我們用數(shù)值方法求解了含時動力學Peierls方程(11). 由于呼吸子是高度局域化振動模,只有呼吸子中心附近的原子參與振動,所以我們可以只考慮長度遠大于呼吸子特征長度的有限鏈. 在具體計算中,我們選取包含201個原子的有限鏈進行數(shù)值求解.
將t=0時呼吸子近似解(15)作為含時動力學Peierls方程的初始條件輸入,我們發(fā)現(xiàn)對于參數(shù)A和α的一定范圍,動力學Peierls方程的時間演化行為的確是期望的呼吸子振動模式. 作為一個例子,取方程中的參數(shù)K=μ,取近似解中的參數(shù)A=5,α=1/(1.1*ζp)2,x0=100(呼吸子位于中心),然后通過數(shù)值方法求解方程考察模式的演化. 圖1是一個周期T內(nèi)的模式振動圖. 圖中初始正反位錯疊加形成的局域單峰波包(a)經(jīng)過四分之一周期后單峰消失了,所有原子回歸到平衡位置(b),但是這時的原子具有速度,也就是說勢能轉(zhuǎn)換為動能. 再經(jīng)過四分之一周期后動能又轉(zhuǎn)換為勢能,原子位型呈現(xiàn)反相位的局域單峰波包(c). 后半個周期的行為是模式振動的回復過程. 我們看到呼吸子近似解展示了周期振動的特征,是一個空間局域化的振動模.
圖1 呼吸子近似解在一個周期內(nèi)隨時間演化過程Fig.1 Evolution of the approximated breather solution in a period
圖2給出了呼吸子中心原子位移隨時間的變化. 從圖2可以看出,原子的位移隨時間的變化呈現(xiàn)出令人滿意的周期性,并且原子的振幅基本保持恒定. 上述結(jié)果表明,我們得到了具有穩(wěn)定振動周期的空間局域模,方程(14)是一個較為理想的呼吸子近似解.
為了驗證呼吸子近似解的穩(wěn)定性,圖3給出了t=50T,t=100T,t=200T,t=500T,t=1 000T呼吸子的模式結(jié)構(gòu). 可以看出,這些模式結(jié)構(gòu)幾乎完全一樣. 考慮到數(shù)值計算帶來的誤差以及表達式(14)的近似性,可以認為含時動力學Peierls方程呼吸子是穩(wěn)定的.
圖3 原子位型的對比圖Fig.3 Comparison of atom configuration
圖4 參數(shù)K的影響
圖5顯示了周期T與K的關(guān)系,隨著K增加,周期T明顯下降,這意味著Peierls方程中的呼吸子振動頻率變高. 圖中實線是K與周期T關(guān)系的線性擬合,K與周期T的變化呈現(xiàn)近似的線性關(guān)系:T=3.1617-1.094K.
圖5 周期T與參數(shù)K的關(guān)系
本文將經(jīng)典Peierls方程推廣為含時的動力學方程. 在此基礎(chǔ)上,利用數(shù)值方法研究了動力學方程的呼吸子解. 我們給出了呼吸子解的近似表達式,并且通過數(shù)值計算驗證了呼吸子解的準確性,考察了呼吸子解的空間模式和振動周期. 對于小振動,線性化下的含時動力學Peierls方程有聲波解. 容易證明這種聲波具有最小截止頻率. 也就是說動力學Peierls方程的聲波是高頻波. 和Sine-Gorden方程中的呼吸子一樣,Peierls方程的呼吸子的振動頻率總是小于聲波頻率,是低頻振動模. 鑒于呼吸子的低頻特征,呼吸子的激發(fā)可能是材料低頻內(nèi)耗的主要根源. 關(guān)于這個問題的詳細分析,我們將另文討論.