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        無(wú)錯(cuò)區(qū)分兩個(gè)任意分布的未知緯線態(tài)

        2021-05-31 03:50:26呂彥霖祝鳳榮
        關(guān)鍵詞:緯線量子態(tài)區(qū)分

        呂彥霖, 祝鳳榮

        (西南交通大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 成都 611756)

        1 引 言

        量子通信和量子計(jì)算中的許多應(yīng)用都需要用到量子態(tài)分辨,例如:量子秘密共享[1]、量子密鑰分發(fā)[2]、量子安全直接通信[3]、量子隱形傳態(tài)[4-6]等. 量子態(tài)分辨問(wèn)題是指許多量子態(tài)構(gòu)成了一個(gè)集合,從這個(gè)集合中取出一個(gè)量子態(tài),如何確定取出的這個(gè)量子態(tài)是集合中的哪個(gè)態(tài). 這不是一個(gè)容易解決的問(wèn)題,因?yàn)槿我庖粋€(gè)未知量子態(tài)不可能被精確復(fù)制(雖然無(wú)法精確復(fù)制,但是人們可以實(shí)現(xiàn)非精確的量子克隆). 當(dāng)集合中的量子態(tài)互相不正交時(shí),我們無(wú)法百分百確定取出的這個(gè)態(tài)是集合中的哪個(gè)態(tài). 在量子態(tài)分辨問(wèn)題中,人們常用的方案主要有兩種,分別是最小容錯(cuò)區(qū)分(測(cè)量結(jié)果可能會(huì)出錯(cuò),但是需確保出錯(cuò)概率取到最低)和最優(yōu)無(wú)錯(cuò)區(qū)分(測(cè)量結(jié)果不會(huì)出錯(cuò),但可能會(huì)出現(xiàn)測(cè)量結(jié)果不能確定待確定態(tài)是哪個(gè)態(tài)的結(jié)果,并且需確保出現(xiàn)這種結(jié)果的概率取到最低).

        為了對(duì)兩個(gè)未知態(tài)進(jìn)行無(wú)錯(cuò)分辨,2005年Bergou和Hillery[7]設(shè)計(jì)了一種可編程的量子分辨器. 該設(shè)備可以在不知道這兩個(gè)態(tài)信息的條件下,分辨出數(shù)據(jù)寄存器中的待確定態(tài).這樣的可編程設(shè)備由兩個(gè)程序寄存器A、C和一個(gè)數(shù)據(jù)寄存器B構(gòu)成,假設(shè)程序寄存器A和C中分別儲(chǔ)存著量子比特態(tài)|ψ1>和|ψ2>,數(shù)據(jù)寄存器B中儲(chǔ)存著待確定態(tài)|ψ?>(|ψ?>是|ψ1>和|ψ2>中的一個(gè),先驗(yàn)概率分別為η1和η2,且η1+η2=1), 則可編程量子分辨器的主要作用是分辨下面兩個(gè)總輸入態(tài):

        |Ψ1>=|ψ1>A|ψ1>B|ψ2>C

        |Ψ2>=|ψ1>A|ψ2>B|ψ2>C

        (1)

        這個(gè)分辨器能夠以某種成功概率告訴我們待確定態(tài)|ψ?>與|ψ1>和|ψ2>中的哪一個(gè)相同,所以對(duì)兩個(gè)未知態(tài)的最優(yōu)無(wú)錯(cuò)區(qū)分問(wèn)題其實(shí)就是針對(duì)這兩個(gè)態(tài)尋找最優(yōu)的無(wú)歧分辨器. 可編程的量子分辨器就是一個(gè)可編程的量子測(cè)量器,在數(shù)學(xué)上有一個(gè)全局廣義測(cè)量與其對(duì)應(yīng),因此我們可以通過(guò)一組廣義測(cè)量算符來(lái)表示它.量子態(tài)分辨問(wèn)題其實(shí)就是針對(duì)不同類(lèi)型的態(tài)尋找最優(yōu)的測(cè)量算符, 并且計(jì)算出與其對(duì)應(yīng)的最大成功概率.

        上面介紹的這個(gè)分辨器中的輸入態(tài)|ψ1>和|ψ2>都是量子比特態(tài),也就是二維單拷貝的. 在這個(gè)分辨器提出之后,人們又對(duì)其進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)和進(jìn)一步的推廣,將輸入態(tài)|ψ1>和|ψ2>推廣到了都是高維單拷貝的情況[8]和高維任意多拷貝的情況[9-10]. 此外,人們還研究了如何無(wú)錯(cuò)區(qū)分N個(gè)未知純量子比特態(tài)的問(wèn)題[11]、有關(guān)無(wú)錯(cuò)區(qū)分三個(gè)線性無(wú)關(guān)對(duì)稱(chēng)態(tài)的問(wèn)題[12].

        本文要區(qū)分的兩個(gè)態(tài)是緯線態(tài),它是一種特殊類(lèi)型的量子比特態(tài),它不像一般量子比特態(tài)那樣分布在整個(gè)態(tài)空間,而是被限制在了布洛赫球體的某一緯度線上. 它可以表示為

        (2)

        其中,θ是取值范圍[0,π]中的一個(gè)常數(shù),φ是取值范圍[0,2π)中的未知數(shù). 它在這個(gè)范圍內(nèi)任意一點(diǎn)出現(xiàn)的概率服從任意的概率密度函數(shù)σ(φ),所以我們要區(qū)分的兩個(gè)未知緯線態(tài)是:

        (3)

        其中,φ1和φ2是取值范圍[0,2π)中的未知數(shù),它們服從相同的任意概率密度函數(shù)σ(φ).

        2 測(cè)量算符與成功概率的推導(dǎo)

        我們實(shí)際要無(wú)錯(cuò)區(qū)分的兩個(gè)總輸入態(tài)為:

        |Ψ1>=|ψ1>A|ψ1>B|ψ2>C

        |Ψ2>=|ψ1>A|ψ2>B|ψ2>C

        (4)

        這里的|Ψ1>和|Ψ2>都是8維空間中的態(tài),解決這個(gè)問(wèn)題所用到的廣義測(cè)量(POVM)應(yīng)當(dāng)也是在8維空間中進(jìn)行的. 為了便于在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)這個(gè)廣義測(cè)量,我們可以利用Neumark定理和可編程量子態(tài)分辨器的光學(xué)實(shí)現(xiàn)方法[13],在一個(gè)更大的希爾伯特空間上作正交測(cè)量. 首先,我們介紹一個(gè)擴(kuò)大的希爾伯特空間,這個(gè)空間是10維的,設(shè):

        |000>→|e1>,|010>→|e2>,|001>→|e3>,

        |100>→|e4>,|101>→|e6>,|110>→|e7>,

        |011>→|e8>,|111>→|e10>

        (5)

        (6)

        (7)

        其中,

        (8)

        圖1 區(qū)分和的分辨器的光學(xué)實(shí)現(xiàn)

        (9)

        其中U4(ω)表示為(其推導(dǎo)見(jiàn)第三部分):

        (10)

        通過(guò)U10(ω),我們可以得到|Ψi>的輸出表示:

        (11)

        (12)

        由此,我們可以在輸出端定義測(cè)量算符:

        (13)

        (14)

        令cos2ω=x,則x的取值范圍為[0,1],此時(shí)P(ω)可以表示為

        (15)

        (16)

        (17)

        通過(guò)U10(ω)我們可以在輸入端表示出式(13)定義的測(cè)量算符

        (18)

        (19)

        經(jīng)過(guò)計(jì)算可知:

        (20)

        則式(17)表示的成功概率對(duì)應(yīng)的測(cè)量算符在|ijk>(i,j,k=0,1)張成的8維子空間中可以表示為:

        (21)

        文獻(xiàn)[14]中討論的問(wèn)題是如何最優(yōu)無(wú)錯(cuò)區(qū)分兩個(gè)均勻分布的未知緯線態(tài),得到的最優(yōu)測(cè)量算符為

        (22)

        這與本文得到的測(cè)量算符一致.

        3 U4(ω)的推導(dǎo)

        (23)

        圖2 區(qū)分和的分辨器的光學(xué)實(shí)現(xiàn)Fig.2 Optical realization of the discriminator between

        圖3 U2的光學(xué)實(shí)現(xiàn)Fig.3 Optical realization of U2

        (24)

        在干涉儀中,分束儀起的作用可以通過(guò)一個(gè)二維實(shí)變換來(lái)表示:

        (25)

        下面我們來(lái)求U4的具體表示.

        (26)

        (27)

        則,式(26)可以表示為:

        (28)

        (29)

        (30)

        4 結(jié) 論

        我們研究了針對(duì)兩個(gè)任意分布的未知緯線態(tài)的可編程無(wú)錯(cuò)分辨器,得到了測(cè)量算符的具體表達(dá)式和對(duì)應(yīng)的成功概率,這對(duì)于構(gòu)造可編程分辨器來(lái)說(shuō)具有重要參考意義. 本文得到的測(cè)量算符可以無(wú)錯(cuò)區(qū)分兩個(gè)任意分布的未知緯線態(tài),但是不能確定是否是最優(yōu)的. 文獻(xiàn)[14]中嚴(yán)格推導(dǎo)了當(dāng)σ(φ)取均勻分布對(duì)應(yīng)的1/2π時(shí)的最優(yōu)測(cè)量算符的表達(dá)式,這個(gè)表達(dá)式與本文得到的測(cè)量算符相同,這說(shuō)明,本文得到的測(cè)量算符對(duì)于無(wú)錯(cuò)區(qū)分兩個(gè)均勻分布的未知緯線態(tài)來(lái)說(shuō)是最優(yōu)的.

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