張 博 丁 虎 陳立群

?(長安大學(xué)理學(xué)院,西安 710064)

?(上海大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院,上海 200444)

??(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳)理學(xué)院力學(xué)系,廣東深圳 518055)

引言

旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)是航空發(fā)動機、重型燃氣輪機等國家核心裝備制造業(yè)的關(guān)鍵熱端部件.惡劣的服役條件往往會導(dǎo)致葉片發(fā)生大幅非線性振動,出現(xiàn)多種共振形式,加速損耗了葉片乃至整機的疲勞壽命.亟需精準把握旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)的運動規(guī)律并發(fā)展高效穩(wěn)定的振動控制方法,避免葉片因大幅振動而造成過早損毀.

首先,需要針對典型的旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu)建立精確的動力學(xué)模型,準確預(yù)測這類結(jié)構(gòu)的運動規(guī)律.大多數(shù)研究[1-7]通常將葉片抽象為中軸線為直線的梁、板或殼,建立線性或非線性動力學(xué)方程描述旋轉(zhuǎn)葉片的運動規(guī)律,研究其動力學(xué)特性以及非線性動力學(xué)行為.然而葉片服役時所處的熱梯度環(huán)境,導(dǎo)致這類結(jié)構(gòu)預(yù)變形是不可避免的.20 世紀90 年代初,日本學(xué)者Takabatake[8]報道了恒載(dead load) 引起的預(yù)變形對結(jié)構(gòu)的動力學(xué)行為存在顯著影響.為了建立更為精確的動力學(xué)模型,Zhang 和Li[9]考慮了溫度梯度引起的預(yù)變形,從而將旋轉(zhuǎn)葉片考慮為一個非對稱振動系統(tǒng),建立了考慮預(yù)變形的旋轉(zhuǎn)葉片非線性動力學(xué)方程.在此模型基礎(chǔ)上,文獻[10-14] 研究了預(yù)變形旋轉(zhuǎn)葉片2:1 內(nèi)共振、3:1 內(nèi)共振、參數(shù)共振、諧波共振等多種不同形式共振可能性以及所蘊含的豐富動力學(xué)現(xiàn)象.

其次,針對旋轉(zhuǎn)葉片結(jié)構(gòu),發(fā)展相應(yīng)的被動或主動振動控制方法對于減輕葉片重量,提升葉片性能,延長葉片壽命具有重要意義.被動控制具有成本低,易于維護等優(yōu)點[15-16].但通常存在工作頻帶窄,不便調(diào)節(jié),產(chǎn)生較大的附加質(zhì)量等缺陷[17].因此,很多學(xué)者開始將目光轉(zhuǎn)向探索主動控制方法.在主動控制中,時滯效應(yīng)對受控系統(tǒng)穩(wěn)定性影響是一個重要問題.由于信號采集測量、傳輸延遲、信號濾波、數(shù)據(jù)運算以及作動器響應(yīng)等過程,時滯效應(yīng)很難避免.王在華和胡海巖[18-19]針對不同的簡化動力學(xué)模型,研究了比例微分(proportional derivative,PD) 控制中時滯量對控制系統(tǒng)穩(wěn)定的復(fù)雜影響.早期學(xué)者們[20]大多采用壓電陶瓷材料作為主動控制裝置的主要材料.但壓電陶瓷材料的柔韌性差強度低等缺點限制了其在工程中的廣泛應(yīng)用.壓電纖維復(fù)合材料由交叉指形電極、環(huán)氧樹脂、壓電陶瓷纖維三部分組成,顯著提升了傳感和驅(qū)動性能,且能更好地適用于曲面結(jié)構(gòu).近年來,基于MFC 設(shè)計的主動控制設(shè)備越來越多,學(xué)者們廣泛將其應(yīng)用到梁[21]、平板[22]、復(fù)合材料板[23]等典型結(jié)構(gòu)的振動抑制中.最近,孫杰等[24]采用MFC 驅(qū)動器實現(xiàn)了含間隙鉸接航天器姿態(tài)運動與結(jié)構(gòu)振動的協(xié)調(diào)控制.2013 年,NASA 格倫研究中心通過實驗驗證和多物理場有限元仿真證明了壓電片可顯著降低葉片振動[25].文獻[26-28]在Yao 模型上引入非線性飽和控制器,正位置反饋控制器等,實現(xiàn)了對空心壓縮機葉片的振動控制.唐冶等[29]采用壓電材料對脈動旋轉(zhuǎn)懸臂梁進行主動振動控制,得到了壓電旋轉(zhuǎn)懸臂梁在諧波共振時的穩(wěn)定性邊界.

雖然基于壓電復(fù)合材料的振動控制取得一些進展,但針對旋轉(zhuǎn)葉片的主動振動控制方面,目前相關(guān)研究還比較少[30-31].本文采用MFC 作為傳感器和作動器,與旋轉(zhuǎn)葉片組成具有一定時滯效應(yīng)的閉環(huán)控制系統(tǒng).并在葉片發(fā)生2:1 內(nèi)共振條件下,探究控制器各主要參數(shù)對葉片振動控制效率及穩(wěn)定性的影響規(guī)律.

1 模型描述和控制系統(tǒng)運動方程

本文研究的基于MFC 的旋轉(zhuǎn)葉片振動控制系統(tǒng)如圖1 所示.在葉背和葉盆兩側(cè)對稱地布置MFC傳感器和MFC 作動器.控制器工作時,MFC 傳感器測量葉片弦向(chordwise)位移信號并傳輸給計算機,經(jīng)過分析運算后得到控制信號,并將控制力信號輸出給MFC 作動器,通過作動器的響應(yīng)實現(xiàn)對旋轉(zhuǎn)葉片的振動控制.

圖1 包含MFC 傳感器和作動器的旋轉(zhuǎn)葉片振動控制示意圖Fig.1 Schematic diagram of rotating blade controller system with MFC sensors and MFC actuators

文獻[9-10]使用Lagrange 原理結(jié)合假模態(tài)設(shè)法,再通過模態(tài)變換,得到了線性部分解耦的熱梯度環(huán)境下旋轉(zhuǎn)預(yù)扭葉片的動力學(xué)方程.本文在上述方程的基礎(chǔ)上引入具有時滯效應(yīng)的PD 反饋控制.另外,根據(jù)文獻[10,14]立方非線性對葉片2:1 內(nèi)共振影響十分微弱,因此本文忽略立方非線性項,最終得到受控葉片系統(tǒng)在模態(tài)空間下的運動微分方程為

其中q1,q2分別為弦向和翼向模態(tài)坐標,cd為無量綱阻尼系數(shù).ω1,ω2為葉片前兩階無量綱固有頻率,葉片轉(zhuǎn)速通過離心效應(yīng),顯著影響葉片的低階固有頻率,在一定的轉(zhuǎn)速條件下,ω1與ω2之間會出現(xiàn)可公度關(guān)系,使得系統(tǒng)存在內(nèi)共振的可能性[13].f1,f2為模態(tài)空間下的激振力,與簡諧變化的燃氣壓力的幅值成正比例關(guān)系.η11,η12,η13,η21,η22,η23為系統(tǒng)平方非線性項系數(shù),是由于考慮了葉片在服役環(huán)境下的預(yù)變形效應(yīng)而產(chǎn)生的,平方非線性項系數(shù)的大小與預(yù)變形程度成正比關(guān)系.以上參數(shù)的具體定義可參考文獻[14].u(t)為PD 控制器輸出的控制力,這里為了簡化分析,假設(shè)控制力僅是葉片弦向位移信號和速度信號的線性反饋,且僅作用在弦向位移上,通過系統(tǒng)內(nèi)共振引入的前兩階模態(tài)間的能量交換機制,實現(xiàn)對整個預(yù)扭葉片的振動控制.u(t)具體表達為

其中,kp為位移反饋增益,kd為速度反饋增益,τ 為信號采集、傳輸、運算、響應(yīng)等環(huán)節(jié)產(chǎn)生的時間延遲,通常是一個小量.理論上講,位移通道和速度通道反饋時滯均可以是任意值[32-33],這里為了簡便,僅考慮最簡單的一種情形,即認為位移時滯與速度時滯相等.

2 基于多尺度法的攝動分析

對控制方程進行重刻度,并引入兩個時間尺度

其中?1=σ1T1?2β1+β2,?2=σ2T1?β1.為了研究該受控系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng),令受控系統(tǒng)演化方程(14)～(17)等號左側(cè)為0.系統(tǒng)的穩(wěn)定性可由李雅普諾夫運動穩(wěn)定性理論確定.本文采用數(shù)值延拓與分岔分析工具包Matcont,對受控系統(tǒng)的動力學(xué)行為進行研究.

3 受控系統(tǒng)響應(yīng)演化規(guī)律

本文動力學(xué)方程采用文獻[9-10]中的參數(shù):σ1=0,σ2=1.5,cd=0.1,ε=0.01,ω1=4.487 3,η11=?9.227 0×102,η12=4.093 0×103,η13=?3.983 5×102,η21=1.934 8×103,η22=?7.532 2×102,η23=3.725 9×103,f1=2.553 0×10?3,f2=7.803 1×10?3.由演化方程(14)～(17) 分析旋轉(zhuǎn)葉片發(fā)生2:1 內(nèi)共振附近時,受控旋轉(zhuǎn)預(yù)變形葉片的穩(wěn)態(tài)動力學(xué)響應(yīng).

如圖2 所示,當(dāng)無控制(kd=0)時,系統(tǒng)頻響曲線呈現(xiàn)典型的雙跳躍現(xiàn)象[9],在兩側(cè)跳躍附近分別存在一個極限點(用圓圈和字母LP 表示),兩個極限點之間的分支是不穩(wěn)定的,在完全外共振(σ2=0)附近系統(tǒng)存在一個Hopf 分岔(用星號和字母H 表示).后面為了整潔,略去表示分岔點類型的字母,僅用點型來區(qū)分.系統(tǒng)引入速度增益后,跳躍現(xiàn)象被抑制,Hopf 分岔消失,響應(yīng)峰值明顯降低,頻響曲線變得更加平坦.從受控系統(tǒng)動力學(xué)方程(1)和(3)來看,若忽略時滯效應(yīng),速度增益的作用類似于給系統(tǒng)引入新的阻尼.

圖2 不同速度增益kd 下受控系統(tǒng)頻響曲線(kp=0)Fig.2 Frequency response curves of controlled system for different velocity gain kd (kp=0)

圖2 不同速度增益kd 下受控系統(tǒng)頻響曲線(kp=0)(續(xù))Fig.2 Frequency response curves of controlled system for different velocity gain kd (kp=0)(continued)

如圖3 所示,隨著位移增益增大,頻響曲線呈現(xiàn)硬化現(xiàn)象,1 階響應(yīng)增大,2 階響應(yīng)減小,即系統(tǒng)前兩階模態(tài)響應(yīng)耦合降低,響應(yīng)峰值向高頻方向移動.由此說明位移增益必須恰當(dāng)選取,否則會引起系統(tǒng)新的共振.實際上,從受控系統(tǒng)動力學(xué)方程看,若忽略時滯效應(yīng),位移增益的作用類似于給系統(tǒng)引入新的剛度,系統(tǒng)原有的2:1 內(nèi)共振條件被打破.

圖3 不同位移增益kp 下受控系統(tǒng)頻響曲線(kd=0)Fig.3 Frequency response curves of controlled system for different displacement gain kp (kd=0)

由圖4 可見,速度增益跨越0 附近,存在一個Hopf 分岔,負的kd使得系統(tǒng)喪失穩(wěn)定性.小延遲下的速度增益對系統(tǒng)響應(yīng)抑制效果更為明顯.由圖5 所示,當(dāng)位移增益kp變化中,存在一個范圍使得系統(tǒng)響應(yīng)存在多值現(xiàn)象,兩個極限點之間的分支系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是不穩(wěn)定的.且不穩(wěn)定區(qū)域?qū)粫r滯效應(yīng)放大.系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨位移增益的演變對時滯效應(yīng)十分敏感,對于較大時滯,系統(tǒng)有可能會出現(xiàn)Hopf 分岔,失去穩(wěn)定性.如果不恰當(dāng)選取位移增益,會使得系統(tǒng)響應(yīng)迅速增長,喪失控制效果.

圖4 不同時滯量下受控系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨速度增益(kd)的演變情況(kp=0)Fig.4 Variation of the controlled system steady response with velocity gain kd for different time delay(kp=0)

圖5 不同時滯量下受控系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨位移增益(kp)的演變情況(kd=0)Fig.5 Variation of the controlled system steady response with displacement gain kp for different time delay(kd=0)

4 時滯量對控制器穩(wěn)定性的影響

圖6 繪制了不同時滯量下,受控系統(tǒng)在增益平面(kp,kd)內(nèi)穩(wěn)定區(qū)域.顯然時滯越大穩(wěn)態(tài)區(qū)域越小.穩(wěn)定性區(qū)域和非穩(wěn)定區(qū)域的分界線大致呈現(xiàn)一條直線,該直線的斜率隨時滯量增大而增大.kp在8 ～12附近,非穩(wěn)定區(qū)域出現(xiàn)一塊戟形隆起.這一隆起和系統(tǒng)隨kp演變過程中的多值現(xiàn)象相關(guān).這一隆起隨時滯增大而向上移動且面積縮小.

圖6 不同時滯量下受控系統(tǒng)增益穩(wěn)定性區(qū)域Fig.6 Stability regions of the controlled system for different time delay

在圖6(b)穩(wěn)定性區(qū)域和非穩(wěn)定區(qū)域的分界線上找一點kp=32,kd=1.5,細致討論.圖7 給出了受控前后,系統(tǒng)力響應(yīng)曲線.控制前系統(tǒng)力響應(yīng)曲線存在兩個極限點,有明顯的滯后現(xiàn)象.加入反饋控制后,系統(tǒng)的滯后現(xiàn)象被顯著抑制,僅在較大的時滯下出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象.下面以時滯為變量,以零時滯為起點,對系統(tǒng)平衡點做延拓分析,如圖8 所示.時滯較小時受控系統(tǒng)具有穩(wěn)定的平衡點,滯效應(yīng)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)大小影響很微弱.在τ=0.05 附近出現(xiàn)Hopf 分岔,表明系統(tǒng)穩(wěn)定平衡點失穩(wěn)而產(chǎn)生極限環(huán),出現(xiàn)新的周期運動.深入研究將發(fā)現(xiàn),Hopf 分岔后,受控系統(tǒng)會緩慢進入新的周期運動,在新的周期運動下系統(tǒng)振動幅值遠遠大于分岔前.因此本文將Hopf 分岔時的時滯量,稱為臨界時滯.由圖8 可見,不同外調(diào)諧參數(shù)σ2下,臨界時滯大致相同.

圖7 控制前(kp=0,kd=0)與控制后(kp=32,kd=1.5)系統(tǒng)的力響應(yīng)曲線(σ2=4.5)Fig.7 Force response curves of the system before(kp=0,kd=0)and after(kp=32,kd=1.5)control(σ2=4.5)

為了驗證多尺度分析的正確性,對原系統(tǒng)(1)和(2)受控前后進行Runge-Kutta 數(shù)值積分,其中控制力項(3) 采用差分法處理.由圖9(a)～圖9(c) 可見,不同時滯量下,受控系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后響應(yīng)幅值幾乎不變,印證了圖8 得到的結(jié)論.此外,時滯越小,系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)所用的時間越短,符合物理預(yù)期.當(dāng)時滯接近或大于臨界時滯(0.05)時,系統(tǒng)將緩慢進入新的周期運動,為了能清晰展示新的周期運動,在圖9(f)中將τ=0.051 條件下的時間積分長度延長20 倍,發(fā)現(xiàn)此時受控系統(tǒng)十分緩慢的進入新的周期運動,且振動幅值放大了近三個數(shù)量級,受控前的系統(tǒng)響應(yīng)歷程被完全被淹沒,控制器失去控制效果,與前文采用多尺度法計算得到的圖6、圖8 展示的結(jié)果吻合.

圖8 受控系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨時滯量的演變情況(kp=32,kd=1.5)Fig.8 Variation of the controlled system steady response with time delay(kp=32,kd=1.5)

圖9 不同時滯量下原受控系統(tǒng)響應(yīng)的時間歷程(kp=32,kd=1.5)Fig.9 Time history of the controlled system for different time delay(kp=32,kd=1.5)

5 結(jié)論

本文針對基于壓電復(fù)合材料的預(yù)變形旋轉(zhuǎn)葉片閉環(huán)控制系統(tǒng),采用多尺度法得到了系統(tǒng)發(fā)生2:1 內(nèi)共振條件下受控系統(tǒng)的演化方程,采用延拓法得到了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨速度增益、位移增益等系統(tǒng)參數(shù)的演化規(guī)律,揭示了時滯量對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響.通過分析得到如下結(jié)論:

(1)速度增益的作用類似于阻尼,具有抑制跳躍,降低響應(yīng)峰值的作用.

(2)頻響曲線隨位移增益向高頻方向移動,不恰當(dāng)選取位移增益會給控制系統(tǒng)引入新的共振,位移增益存在一個范圍使得系統(tǒng)響應(yīng)出現(xiàn)多值現(xiàn)象.

(3)增益平面內(nèi)穩(wěn)定性區(qū)域和非穩(wěn)定區(qū)域的分界線大致呈現(xiàn)一條直線,非穩(wěn)定區(qū)域出現(xiàn)一塊跟多值現(xiàn)象相關(guān)的隆起.

(4)時滯量對系統(tǒng)穩(wěn)定性影響顯著,超過臨界時滯時,系統(tǒng)將緩慢進入一個大振幅的周期運動,從而喪失控制效果.

(5)通過數(shù)值仿真驗證了解析解的正確性.