王 超 徐 斌,2) 段尊義 榮見華

?(西北工業(yè)大學(xué)力學(xué)與土木建筑學(xué)院,西安 710072)

?(長(zhǎng)沙理工大學(xué)汽車與機(jī)械工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410114)

引言

拓?fù)鋬?yōu)化是一種重要的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法,已得到學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注[1-2].多年來,大量研究致力于如何利用拓?fù)鋬?yōu)化改進(jìn)設(shè)計(jì)性能[3-5].隨著該方法的進(jìn)一步推廣應(yīng)用,優(yōu)化設(shè)計(jì)的可制造性問題逐漸引起人們的重視[6-7].然而,現(xiàn)有研究關(guān)于性能和可制造性的考慮通常是分開處理的,常側(cè)重于某一方面指標(biāo).因此,將這兩個(gè)重要而又不可或缺的設(shè)計(jì)目標(biāo)結(jié)合起來進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),將是一項(xiàng)極具實(shí)際應(yīng)用價(jià)值且富有挑戰(zhàn)性的工作.

早期基于拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計(jì)性能研究主要集中在剛度問題上,但在實(shí)際工程應(yīng)用中,多數(shù)設(shè)計(jì)還應(yīng)考慮強(qiáng)度要求[8-10].因?yàn)榫植扛邞?yīng)力集中易導(dǎo)致構(gòu)件疲勞損傷和斷裂破壞,將嚴(yán)重影響結(jié)構(gòu)的安全使用和耐久性.在這種情況下,考慮應(yīng)力相關(guān)的拓?fù)鋬?yōu)化將發(fā)揮重要作用[11-12].此外,研究還表明[13-14]強(qiáng)度最大化設(shè)計(jì)并不一定等同于剛度最大化設(shè)計(jì),這就意味著在剛度最大化準(zhǔn)則下獲得的優(yōu)化設(shè)計(jì)將不一定適用于強(qiáng)度導(dǎo)向下的工程問題.因此,面向強(qiáng)度需求,研究基于應(yīng)力的拓?fù)鋬?yōu)化問題既符合工程需要也極具研究意義[15-17].

自Duysinx 等[18]提出連續(xù)體結(jié)構(gòu)應(yīng)力拓?fù)鋬?yōu)化研究以來,應(yīng)力相關(guān)的拓?fù)鋬?yōu)化問題受到了越來越多的關(guān)注.然而,考慮應(yīng)力相關(guān)的拓?fù)鋬?yōu)化問題有其自身難點(diǎn),常面臨應(yīng)力奇異性、局部性、非線性及度量準(zhǔn)確性等問題[19-20].為此,不少學(xué)者提出了不同的解決方法.目前常用的處理方法包括松弛方法[21]、基于P 范數(shù)或K-S 函數(shù)的凝聚技術(shù)[8,14]、分區(qū)度量[20]、以及凝聚近似誤差修正策略[22]等.此外,隋允康等[23]提出的將局部應(yīng)力約束向整體應(yīng)變能約束轉(zhuǎn)化的方法也可有效解決應(yīng)力局部性問題.盡管上述方法能有效處理常規(guī)的拓?fù)鋬?yōu)化問題,但尚未涉及復(fù)雜的可制造性拓?fù)鋬?yōu)化問題.

事實(shí)上,拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)常面臨可制造性問題[24].在傳統(tǒng)制造技術(shù)條件下,優(yōu)化產(chǎn)生的復(fù)雜構(gòu)型將給產(chǎn)品制備帶來巨大挑戰(zhàn).這在一定程度上限制了拓?fù)鋬?yōu)化的推廣應(yīng)用,不利于高性能產(chǎn)品的研發(fā).作為一種先進(jìn)的制造技術(shù),增材制造能夠?qū)崿F(xiàn)高度復(fù)雜結(jié)構(gòu)的有效制備[25].將增材制造與拓?fù)鋬?yōu)化有機(jī)結(jié)合,能夠大幅提高創(chuàng)新產(chǎn)品的研制能力,現(xiàn)已成為重要研究方向[6-7,25].然而,增材制造并非“自由”制造,有其獨(dú)特的制造約束.要求結(jié)構(gòu)不含封閉孔洞的連通性約束便是其中最重要的制造約束之一[26-27].如果結(jié)構(gòu)含有封閉孔洞,制造后殘留在孔洞內(nèi)的未熔融粉末或支撐結(jié)構(gòu)將難以去除.顯然,面向增材制造,考慮可制造連通性的拓?fù)鋬?yōu)化問題將具有重要工程應(yīng)用價(jià)值[27-29].

研究人員已提出一些有效方法.Liu 等[27]利用熱傳導(dǎo)原理提出了虛擬溫度法,在結(jié)構(gòu)孔洞區(qū)引入虛擬熱源,而在固體區(qū)填充隔熱材料,然后通過限制結(jié)構(gòu)上的最高溫度來抑制封閉孔洞.數(shù)學(xué)上,該方法可描述為服從泊松方程的標(biāo)量場(chǎng)約束[29].Zhou 等[28]則提出一種邊界約束方法,利用孔洞作為基本設(shè)計(jì)元素,通過將與所有孔洞中心相關(guān)的設(shè)計(jì)變量限定在設(shè)計(jì)域之外來確保結(jié)構(gòu)連通性.Xiong 等[30]提出了一種基于BESO 的結(jié)構(gòu)連通性控制方法,通過有選擇地生成將孔洞與結(jié)構(gòu)邊界連接起來的通道來消除封閉孔洞.在水平集框架下,Xia 等[31]將孔洞抑制轉(zhuǎn)換為對(duì)設(shè)計(jì)速度矢量的約束;Wang 等[32]則提出一種基于水平集函數(shù)梯度的約束來描述孔洞抑制條件.然而,這些研究只考慮了傳統(tǒng)剛度問題,缺乏對(duì)應(yīng)力問題的必要關(guān)注.

綜上所述,在拓?fù)鋬?yōu)化領(lǐng)域,應(yīng)力問題和連通性問題分別已得到了有效處理.然而,鮮有研究同時(shí)考慮這兩個(gè)重要的設(shè)計(jì)要求.一方面,如前所述,這兩個(gè)問題均有其特殊困難.另一方面,兩種要求的結(jié)合涉及相互影響,將加劇優(yōu)化設(shè)計(jì)的復(fù)雜性.一般而言,對(duì)于相對(duì)復(fù)雜的優(yōu)化問題,設(shè)計(jì)在優(yōu)化過程中往往會(huì)出現(xiàn)不可預(yù)測(cè)的數(shù)值響應(yīng),這將給優(yōu)化求解帶來各種挑戰(zhàn).盡管研究人員業(yè)已提出有效的方法來克服應(yīng)力或連通性拓?fù)鋬?yōu)化中的諸多困難,但到目前為止,現(xiàn)有應(yīng)力優(yōu)化技術(shù)與可制造性連通性方法之間的兼容性尚未得到必要驗(yàn)證.因此,同時(shí)考慮應(yīng)力和連通性問題,發(fā)展面向增材制造的高強(qiáng)度結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法,不僅具有實(shí)際工程應(yīng)用價(jià)值還具有重要的科學(xué)研究意義.

基于上述原因,本文將研究協(xié)同考慮應(yīng)力和可制造連通性的拓?fù)鋬?yōu)化問題.建立以結(jié)構(gòu)全局最大應(yīng)力最小化為目標(biāo),以材料體積和結(jié)構(gòu)連通性為約束的拓?fù)鋬?yōu)化模型.通過合理引入不同優(yōu)化技術(shù)來構(gòu)建有效的優(yōu)化求解策略,以克服優(yōu)化過程中的不同數(shù)值困難.最后基于典型數(shù)值算例,探討文中模型及方法的可行性及其數(shù)值特點(diǎn),以期為高性能可制造性結(jié)構(gòu)的研發(fā)提供有益參考.

1 連通性約束下應(yīng)力最小化拓?fù)鋬?yōu)化模型

1.1 優(yōu)化模型

針對(duì)協(xié)同考慮結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和可制造連通性的拓?fù)鋬?yōu)化問題,基于經(jīng)典密度法[33],建立以結(jié)構(gòu)全局最大應(yīng)力強(qiáng)度準(zhǔn)則為目標(biāo),以材料用量和結(jié)構(gòu)連通性為約束的拓?fù)鋬?yōu)化模型,其數(shù)學(xué)列式如下

1.2 連通性約束模型

為有效實(shí)現(xiàn)拓?fù)鋬?yōu)化中抑制封閉孔洞的單連通性約束,采用Liu 等[27]提出的基于泊松方程的標(biāo)量場(chǎng)約束方法[29].為便于該方法的描述,不失一般性,這里采用了靜電場(chǎng)物理模型[35]進(jìn)行表征.

在靜電場(chǎng)模型中,假定孔洞單元材料為具有強(qiáng)介電性能的帶靜電載體,實(shí)體單元材料為介電性能較差的不帶電絕緣介質(zhì),相應(yīng)材料模型如下

其中,ε 和ρ 分別表示材料介電常數(shù)(F/m)和電荷密度(C/m3);ε?和ρ?為實(shí)常數(shù);μ 為一個(gè)較小的正數(shù)(避免矩陣奇異),與靜電模型的勢(shì)強(qiáng)度表征有關(guān).此外,該模型中需假定用戶指定的域邊界接地(即約束邊界),以作為零電勢(shì)參考基準(zhǔn).

當(dāng)結(jié)構(gòu)含有封閉孔洞時(shí),根據(jù)經(jīng)典電磁學(xué)原理可知,帶電體(封閉孔洞) 將在其周圍介質(zhì)中激發(fā)出強(qiáng)靜電場(chǎng)(可由靜電標(biāo)量勢(shì)? 表征).一旦帶電體接地(封閉孔洞與約束邊界連通),電場(chǎng)強(qiáng)度將大幅衰減.于是,可通過分析結(jié)構(gòu)靜電場(chǎng)的最大勢(shì)強(qiáng)度?max來評(píng)估其連通性.相應(yīng)地,拓?fù)鋬?yōu)化中抑制封閉孔洞的單連通性約束可等效為對(duì)結(jié)構(gòu)最大勢(shì)強(qiáng)度的約束,即靜電勢(shì)約束?EPC.

其中,η·?0為評(píng)估結(jié)構(gòu)是否含封閉孔洞的約束閾值;?0為基準(zhǔn)閾值,可基于初始化約束模型(僅由孔洞單元構(gòu)成)求解獲得[29];η>0 為約束閾值修正因子,需針對(duì)不同問題進(jìn)行調(diào)整,以控制約束效果[35].控制?的二階微分方程為經(jīng)典泊松方程[36]

其中,?為微分符號(hào).靜電問題的邊界條件如下

其中,ΓD和ΓN分別為狄利克雷邊界(即連通性約束邊界) 和諾伊曼邊界,n為邊界外法向單位向量.需要注意的是,基于上述方法獲得的優(yōu)化結(jié)果對(duì)約束邊界條件的選擇有依賴性,不同約束邊界條件對(duì)應(yīng)不同約束問題,可產(chǎn)生不同優(yōu)化結(jié)果[35].基于式(2)和式(5)可將原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為靜電場(chǎng)約束問題(式(3))求解分析.

靜電場(chǎng)與原方法中的溫度場(chǎng)[27]在數(shù)學(xué)上一致,均為服從泊松方程的標(biāo)量場(chǎng).這里采用靜電場(chǎng)模型主要有兩方面考慮.一方面,靜電原理也能較好表征封閉空洞,而不同的物理場(chǎng)具有不同物理規(guī)律,可以啟發(fā)讀者進(jìn)一步發(fā)展泊松方法.另一方面,靜電理論有助于解析泊松方法中關(guān)鍵的約束關(guān)系和邊界依賴性,有益于該方法的理解應(yīng)用[35].

在拓?fù)鋬?yōu)化模型中,可采用如下材料插值模型有效表征式(2)所示材料介電屬性

2 優(yōu)化求解策略

由于問題(1) 為相對(duì)復(fù)雜的多物理場(chǎng)多約束優(yōu)化問題,為實(shí)現(xiàn)高效穩(wěn)健求解,需合理引入不同優(yōu)化技術(shù)來克服相應(yīng)數(shù)值困難.

2.1 設(shè)計(jì)變量過濾和投影

為避免拓?fù)鋬?yōu)化中的數(shù)值不穩(wěn)定性問題[37],并獲取清晰的0-1 設(shè)計(jì),采取線性密度過濾[38-39]和非線性閾值投影[40]相結(jié)合的技術(shù)方案.對(duì)單元密度變量xi進(jìn)行線性密度過濾可得過濾后的變量

式中,NEi表示單元中心落在以單元i為中心的半徑為rmin的圓形區(qū)域內(nèi)的單元集;加權(quán)因子ωik=max(0,rmin??(i,k)),?(i,k)表示單元i和k中心之間的歐式距離.再對(duì)過濾后的變量進(jìn)行非線性閾值投影可得投影后的物理密度

式中,β >0 為控制投影函數(shù)非線性的投影參數(shù);x0∈[0,1]為調(diào)節(jié)投影函數(shù)拐點(diǎn)的投影閾值,本文取常用值x0=0.5.為提高應(yīng)力評(píng)估準(zhǔn)確性以及優(yōu)化迭代穩(wěn)定性,參考文獻(xiàn)[19,41],這里采用連續(xù)化策略定義β 值:在前10 步迭代中取β=1,此后每步迭代加1 直至β=10.由于物理密度定義了單元屬性,在后續(xù)研究中將使用物理密度進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析.值得注意的是,過濾和投影會(huì)影響連通性約束,考慮這種影響對(duì)基于泊松方法的連通性約束的有效實(shí)現(xiàn)具有重要意義,感興趣的讀者可以參閱文獻(xiàn)[35].

2.2 應(yīng)力評(píng)估方案

由于最大值函數(shù)不可微,不失一般性,本文采用P-norm 全局應(yīng)力評(píng)估策略來近似結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力

式中,ps為應(yīng)力凝聚參數(shù),其取值對(duì)凝聚函數(shù)的近似質(zhì)量和光滑度有較大影響.理論上,當(dāng)ps→∞時(shí),近似誤差將減小,但較大ps取值將加劇凝聚函數(shù)的非線性,引發(fā)迭代振蕩及收斂困難問題,不利于優(yōu)化問題的高效穩(wěn)健求解.一般需要在足夠光滑度和精確近似之間進(jìn)行權(quán)衡,以確定較合理的ps取值.單元von Mises 應(yīng)力則為

式中,σi為單元中心處的應(yīng)力向量.為有效處理應(yīng)力奇異性問題,這里采用文獻(xiàn)[20]的方法,對(duì)應(yīng)力施加不同于剛度的冪指數(shù)懲罰

式中,q為應(yīng)力懲罰因子,這里取常用值q=0.5;D0為實(shí)體材料彈性矩陣,Bi為單元i中心處的應(yīng)變位移矩陣.平面應(yīng)力狀態(tài)下,常數(shù)矩陣V為

2.3 連通性約束方案

基于最大值函數(shù),表征結(jié)構(gòu)連通性的靜電勢(shì)約束可表示為

式中,φj為節(jié)點(diǎn)勢(shì);ND為設(shè)計(jì)域節(jié)點(diǎn)總數(shù).為使約束函數(shù)可微,同樣可采用P-norm 函數(shù)來近似全局勢(shì)約束.需要指出的是,靜電約束中的勢(shì)量級(jí)一般較大,以提高結(jié)構(gòu)連通性的可識(shí)別性.而較大凝聚項(xiàng)易導(dǎo)致凝聚函數(shù)值失準(zhǔn)及計(jì)算溢出問題.因此,有必要對(duì)凝聚函數(shù)正則化,得到改進(jìn)的約束表達(dá)

式中,pc為勢(shì)凝聚參數(shù).如前所述,較大的凝聚參數(shù)值不利于高效穩(wěn)健的優(yōu)化求解,而適中取值將不可避免的引入近似誤差.不同于前述目標(biāo)函數(shù)中的最大近似目標(biāo)值的趨勢(shì)控制,約束函數(shù)中的P-norm 函數(shù)需要有效控制最大近似目標(biāo)值,而近似誤差的存在將極大影響該控制效果.此外,這里的勢(shì)約束效果對(duì)約束閾值有較強(qiáng)依賴性[35],較大的近似誤差也不利于設(shè)計(jì)連通性的有效控制.為此,引入基于穩(wěn)定控制的近似誤差修正技術(shù)[22]

3 靈敏度分析

為高效求解上述多約束優(yōu)化問題,采用相適宜的移動(dòng)漸近線算法[42].下面將利用鏈?zhǔn)椒▌t和伴隨法,推導(dǎo)算法所需的目標(biāo)和約束函數(shù)的一階靈敏度信息.基于鏈?zhǔn)椒▌t,任意函數(shù)g關(guān)于設(shè)計(jì)變量xi的敏度為

下面將推導(dǎo)目標(biāo)和約束函數(shù)關(guān)于物理密度的敏度,其中,體積約束的敏度可直接求導(dǎo),故而省略.

3.1 目標(biāo)函數(shù)靈敏度

目標(biāo)函數(shù)式(10)關(guān)于單元物理密度的敏度可通過鏈?zhǔn)椒▌t計(jì)算

式中,δei為克羅內(nèi)克函數(shù);矩陣Li從全局位移矢量中聚集單元i的節(jié)點(diǎn)位移矢量.假定載荷與設(shè)計(jì)無關(guān),將平衡方程KU=F對(duì)物理密度求導(dǎo)得到

式中,伴隨向量λs為下列伴隨方程的解

3.2 連通性約束靈敏度

4 數(shù)值算例和討論

本節(jié)通過經(jīng)典數(shù)值算例來驗(yàn)證所提方法.不失一般性,僅考慮平面應(yīng)力問題,優(yōu)化參數(shù)均無量綱化.除特別聲明外,彈性模量E0=1,泊松比v=0.3,體積分?jǐn)?shù)f=0.4;為避免零密度導(dǎo)致的數(shù)值困難,取設(shè)計(jì)變量下限為0.001;所有域邊界均設(shè)置為連通性約束邊界.為提高收斂效率,算法中的默認(rèn)移動(dòng)限設(shè)為0.1.當(dāng)連續(xù)迭代之間設(shè)計(jì)變量的最大變化小于0.01或迭代循環(huán)的最大次數(shù)達(dá)到200 時(shí),優(yōu)化迭代停止.設(shè)計(jì)拓?fù)浜蛻?yīng)力分布分別以灰度圖(白色為空相,黑色為固相)和彩色圖(藍(lán)色為低應(yīng)力,紅色為高應(yīng)力)表示.

4.1 算例1

考慮經(jīng)典L 型梁優(yōu)化問題[11,16],設(shè)計(jì)條件如圖1(a) 所示.結(jié)構(gòu)頂部固支,右端中點(diǎn)受集中載荷作用.為避免應(yīng)力集中,載荷均勻分布到中點(diǎn)附近的5 個(gè)節(jié)點(diǎn)上.采用6400 個(gè)四節(jié)點(diǎn)雙線性正方形有限元單元離散設(shè)計(jì)域.過濾半徑rmin=4,連通性約束閾值η=1.00.

為便于比較,首先給出傳統(tǒng)體積約束下的剛度最大化設(shè)計(jì)(圖1(b)和圖1(c)),以及考慮連通性約束的剛度最大化設(shè)計(jì)(圖1(d) 和圖1(e)).從圖1(b) 和圖1(c) 可以看出,傳統(tǒng)剛度設(shè)計(jì)含有一些明顯的封閉孔洞構(gòu)造(x–y平面內(nèi)),不利于具有連通性要求的增材制造.此外,設(shè)計(jì)拐角處存在局部高應(yīng)力集中,易使結(jié)構(gòu)發(fā)生斷裂破壞,給結(jié)構(gòu)安全帶來較大隱患.

圖1 L 型梁?jiǎn)栴}(a)及其剛度設(shè)計(jì)(b)(c)和連通性剛度設(shè)計(jì)(d)(e)Fig.1 L-shape beam problem(a),the stiffness design(b)(c)and the connectivity stiffness design(d)(e)

從圖1(d) 和圖1(e) 可以看出,引入連通性約束能夠有效抑制優(yōu)化設(shè)計(jì)中的封閉孔洞,但所得設(shè)計(jì)出現(xiàn)了嚴(yán)重惡化的局部高應(yīng)力集中,其最大應(yīng)力是傳統(tǒng)剛度設(shè)計(jì)的1.87 倍.這表明可制造連通性優(yōu)化設(shè)計(jì)中十分有必要考慮應(yīng)力問題.此外,上述連通性設(shè)計(jì)的剛度比單純的剛度設(shè)計(jì)要弱,這是連通性設(shè)計(jì)所付出的必要代價(jià)[35].

圖2 展示了基于本文方法獲得的不同應(yīng)力凝聚參數(shù)下的應(yīng)力最小化連通性設(shè)計(jì).可以看出,所得設(shè)計(jì)均滿足連通性要求.這些設(shè)計(jì)拓?fù)錁?gòu)型相似,但拐角處結(jié)構(gòu)形狀存在明顯差異.當(dāng)凝聚參數(shù)較小時(shí)(如ps=4),所得設(shè)計(jì)與連通性剛度設(shè)計(jì)(圖1(d)和圖1(e)) 相似.隨著凝聚參數(shù)增大,拓?fù)湫螤畎l(fā)生顯著變化,拐角構(gòu)造逐漸變圓,應(yīng)力集中效應(yīng)得到有效緩解,其代價(jià)是犧牲設(shè)計(jì)剛度.當(dāng)ps=8 和10 時(shí),所得設(shè)計(jì)幾乎接近于滿應(yīng)力設(shè)計(jì),但ps=8 時(shí)的綜合性能(結(jié)構(gòu)剛度和強(qiáng)度) 較優(yōu).顯然,利用本文方法能夠獲取應(yīng)力集中有效緩解的連通性設(shè)計(jì),且所得設(shè)計(jì)不同于傳統(tǒng)的剛度最大化連通性設(shè)計(jì).此外,上述結(jié)果還表明所得設(shè)計(jì)的性能與凝聚參數(shù)取值有關(guān),參數(shù)值并非越大越好,合理取值才能有助于獲取綜合性能較優(yōu)的設(shè)計(jì).

圖2 不同應(yīng)力凝聚參數(shù)下應(yīng)力最小化連通性設(shè)計(jì)Fig.2 Stress minimization connectivity designs for different stress aggregation parameters

圖3 給出了圖2 中性能最優(yōu)設(shè)計(jì)ps=8 的目標(biāo)和約束函數(shù)的迭代歷史.可以看出,本文方法優(yōu)化迭代歷程穩(wěn)健,最終設(shè)計(jì)能較好滿足各約束條件.

圖3 設(shè)計(jì)ps=8 的優(yōu)化迭代歷史Fig.3 Iteration histories of the design of ps=8

為研究體積分?jǐn)?shù)對(duì)應(yīng)力最小化連通性設(shè)計(jì)的影響,現(xiàn)考慮體積分?jǐn)?shù)為0.3 和0.5 的優(yōu)化問題,優(yōu)化結(jié)果如圖4 所示.為公平比較,其余優(yōu)化參數(shù)與圖2 中ps=8 的設(shè)計(jì)保持一致.與前述體積分?jǐn)?shù)0.4 的設(shè)計(jì)相比,設(shè)計(jì)的剛度和強(qiáng)度在體積分?jǐn)?shù)較小時(shí)均顯著降低,反之,則明顯提高.可見,增加材料用量能夠有助于提高所研究設(shè)計(jì)的強(qiáng)度和剛度性能.

圖4 不同體積分?jǐn)?shù)下的應(yīng)力最小化連通性設(shè)計(jì)Fig.4 Stress minimization connectivity designs for different volume fractions

為考察連通性約束邊界條件對(duì)應(yīng)力最小化連通性設(shè)計(jì)的影響,考慮如圖5(a)～圖5(c) 和圖5(d)～圖5(f)所示兩種條件下的優(yōu)化問題.為便于比較,其余優(yōu)化參數(shù)與圖2 中ps=8 的設(shè)計(jì)保持一致.對(duì)比圖2 和圖5 的設(shè)計(jì)不難發(fā)現(xiàn),不同連通性約束邊界條件可產(chǎn)生具有不同拓?fù)錁?gòu)型且性能各異的設(shè)計(jì).該現(xiàn)象遵循了泊松方法的約束邊界依賴性規(guī)律.特別地,圖5(a)～圖5(c) 設(shè)計(jì)的綜合性能不僅比圖2 中ps=8 的設(shè)計(jì)要好(結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度均分別提高了11.61%和24.21%),而且比圖1(d)和圖1(e)中的連通性剛度設(shè)計(jì)也要強(qiáng)(結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度均分別提高了48.17%和5.25%).顯然,連通性約束邊界條件對(duì)所研究設(shè)計(jì)的拓?fù)錁?gòu)型及性能均有較大影響.然而,由于邊界條件的變化將產(chǎn)生新的優(yōu)化約束問題,這使得自動(dòng)尋找最優(yōu)約束邊界條件仍舊是未來極具挑戰(zhàn)性的工作[35].

圖5 不同連通性約束邊界條件下的應(yīng)力最小化連通性設(shè)計(jì),綠色粗線表示約束邊界Fig.5 Stress minimization connectivity designs for different connectivity constraint boundary(highlighted by green thick lines)conditions

4.2 算例2

考慮典型T 型梁優(yōu)化問題[16,22],設(shè)計(jì)條件如圖6(a)所示,結(jié)構(gòu)左右兩側(cè)固支,頂部中點(diǎn)受集中載荷作用.為避免應(yīng)力集中,載荷均勻分配到中點(diǎn)附近5 個(gè)節(jié)點(diǎn)上.設(shè)計(jì)域離散為8800 個(gè)四節(jié)點(diǎn)雙線性正方形有限元單元.過濾半徑rmin=3,連通性約束閾值取η=2.01.

圖6(b)～圖6(e)分別展示了有/無連通性約束的剛度最大化設(shè)計(jì).可以看出,由于封閉孔洞和局部高應(yīng)力集中問題的存在,這些設(shè)計(jì)在可制造性和/或結(jié)構(gòu)強(qiáng)度方面存在明顯局限性.

圖6 T 型梁?jiǎn)栴}(a)及其剛度設(shè)計(jì)(b)(c)和連通性剛度設(shè)計(jì)(d)(e)Fig.6 T-shape beam problem(a),the stiffness design(b)(c)and the connectivity stiffness design(d)(e)

圖7 給出了不同應(yīng)力凝聚參數(shù)下的應(yīng)力最小化連通性設(shè)計(jì).類似于L 型梁設(shè)計(jì)情況,所得設(shè)計(jì)均能滿足連通性約束要求,但設(shè)計(jì)綜合性能隨凝聚參數(shù)取值不同而有明顯差異.應(yīng)力凝聚參數(shù)較小時(shí),設(shè)計(jì)結(jié)果趨近于傳統(tǒng)剛度設(shè)計(jì),結(jié)構(gòu)剛度最優(yōu)但強(qiáng)度最弱;隨著應(yīng)力凝聚參數(shù)增大,應(yīng)力集中現(xiàn)象將得到有效緩解,但結(jié)構(gòu)剛度也會(huì)削弱.給出的設(shè)計(jì)中ps=4的綜合性能相對(duì)較優(yōu),當(dāng)應(yīng)力凝聚參數(shù)值進(jìn)一步增大時(shí),設(shè)計(jì)剛度和強(qiáng)度同步開始惡化.上述研究再次論證了本文方法的有效性,同時(shí)也揭示了所得設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)力凝聚參數(shù)的依賴性.數(shù)值經(jīng)驗(yàn)表明,對(duì)于本文所研究問題,應(yīng)力凝聚參數(shù)取值為4 ～8 時(shí)一般可獲得較理想的優(yōu)化效果.

圖8 顯示了不同連通性約束邊界條件下的應(yīng)力最小化連通性設(shè)計(jì).為公平比較,其余優(yōu)化參數(shù)與圖7 中ps=6 的設(shè)計(jì)保持一致.可以看到,圖8(a)～圖8(c) 的設(shè)計(jì)與圖7 中ps=6 的設(shè)計(jì)相似,但結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度均有所提升(分別為6.91%和10.86%),而圖8(d)～圖8(f)設(shè)計(jì)的拓?fù)錁?gòu)型則明顯不同,性能也有很大差異.連通性約束邊界條件對(duì)所研究設(shè)計(jì)的重要影響再次得到論證.需要指出的是,數(shù)值試驗(yàn)還表明,連通性約束邊界條件的變化并不能改變所得設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)力凝聚參數(shù)的依賴.

圖7 不同應(yīng)力凝聚參數(shù)下應(yīng)力最小化連通性設(shè)計(jì)Fig.7 Stress minimization connectivity designs for different stress aggregation parameters

圖8 不同連通性約束邊界條件下的應(yīng)力最小化連通性設(shè)計(jì)Fig.8 Stress minimization connectivity designs for different connectivity constraint boundary conditions

5 結(jié)論

兼顧性能和可制造性的拓?fù)鋬?yōu)化具有重要工程意義和研究?jī)r(jià)值.本文面向增材制造,提出了協(xié)同考慮結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和可制造連通性的拓?fù)鋬?yōu)化方法.構(gòu)建了體積和連通性標(biāo)量場(chǎng)約束下的應(yīng)力最小化拓?fù)鋬?yōu)化模型,開發(fā)了有效的優(yōu)化求解策略,并詳細(xì)推導(dǎo)了相關(guān)靈敏度列式.典型數(shù)值算例結(jié)果表明,傳統(tǒng)的剛度最大化連通性設(shè)計(jì)不一定能避免局部高應(yīng)力集中.基于文中模型和方法所獲得的應(yīng)力最小化連通性設(shè)計(jì)在確?？芍圃爝B通性的同時(shí),能夠有效減輕上述應(yīng)力集中效應(yīng),且優(yōu)化迭代歷程穩(wěn)健.優(yōu)化結(jié)果還表明,所得設(shè)計(jì)與體積分?jǐn)?shù)、連通性約束邊界條件和應(yīng)力凝聚參數(shù)有關(guān),其合理配置是獲取高性能設(shè)計(jì)的關(guān)鍵.本文研究論證了可制造連通性拓?fù)鋬?yōu)化中考慮應(yīng)力問題的必要性和可行性,可為高性能可制造性工程結(jié)構(gòu)的研發(fā)提供有益參考.