蒙懿 徐慶娟

摘要：股票價格預(yù)測一直受到人們的廣泛關(guān)注。本文基于長短期記憶網(wǎng)絡(luò)（LSTM）和馬爾科夫鏈（馬氏鏈）構(gòu)建了一個新的股價預(yù)測模型。以2019年1月2日到2020年10月30日大灣區(qū)指數(shù)成分股華僑城A（000069）的日收盤價為實證分析對象，先利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測，然后運用馬氏鏈模型對其殘差進(jìn)行校正。經(jīng)測試發(fā)現(xiàn)，LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-馬氏鏈模型預(yù)測比單一的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)更接近實際。最后，對股價的漲跌趨勢及運動周期進(jìn)行了長期預(yù)測。

關(guān)鍵詞：股價預(yù)測 LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò) 馬爾科夫鏈

一、引言

全球政治局勢、國家宏觀調(diào)控、金融政策、新冠疫情等多種因素均可導(dǎo)致金融市場的波動，進(jìn)而對股票市場產(chǎn)生重大影響。因此，如何科學(xué)、合理地預(yù)測股票價格漲跌趨勢已受到人們的廣泛關(guān)注，其研究成果也日益豐富。

近年來，彭燕等[1]利用長短期記憶網(wǎng)絡(luò)（LSTM）內(nèi)部的選擇記憶性，對股票價格走勢進(jìn)行預(yù)測建模與分析，實現(xiàn)短期的股票預(yù)測，給投資者提供一定的參考。馮宇旭、李裕梅[2]通過LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對滬深300指數(shù)進(jìn)行預(yù)測分析，并與SVR和Adaboost模型預(yù)測結(jié)果進(jìn)行對比，得出LSTM預(yù)測結(jié)果的均方根誤差（RMSE）更低。

受眾多隨機因素影響，股票價格起伏不定，對其短期、符合內(nèi)在機理、精準(zhǔn)地預(yù)測并不容易。從長遠(yuǎn)來看，股價的波動性似乎又呈現(xiàn)出股價具有某種趨勢。國內(nèi)外不少學(xué)者運用馬爾科夫鏈相關(guān)理論對股票價格及其走勢進(jìn)行預(yù)測。例如，王強[3]用馬爾可夫鏈預(yù)測方法分析桂林旅游（SZ000978）價格的波動情況;孟銀鳳、李榮華等人[4]利用馬氏鏈對申華控股（600653）價格的變動情況分析;王新武[5]運用馬氏鏈相關(guān)理論對中國石油股價進(jìn)行預(yù)測。以上運用馬氏鏈相關(guān)理論建立股價走勢預(yù)測模型，給投資者提供了一定的理論參考。

考慮到LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和馬氏鏈模型在股價預(yù)測中的優(yōu)勢，本文將以華僑城A（000069）等股票收盤價為實證分析對象，利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)良性能對其進(jìn)行預(yù)測，再運用馬爾科夫鏈模型對其殘差進(jìn)行校正，并對收盤價序列進(jìn)行長期漲跌趨勢和運動周期預(yù)測，計算結(jié)果與實際進(jìn)行對比分析，以期給廣大投資者提供一定的理論參考。

二、LSTM的結(jié)構(gòu)及原理

LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，在時間遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（RNN）的基礎(chǔ)上增加了“門控”結(jié)構(gòu)，可以一定程度上解決RNN處理時間序列問題時出現(xiàn)的梯度消失或爆炸的問題，適合于預(yù)測時間序列中間隔和延遲相對較長的重要事件[6]。

LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是由記憶單元和門控單元所組成的，主要通過三個門即輸入門（）、遺忘門（）和輸出門（）來實現(xiàn)信息的保護(hù)和控制。該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)t時刻的工作原理見圖1所示，表示時刻隱藏狀態(tài)，對應(yīng)t時刻的輸入，雙曲正切函數(shù)，為整個細(xì)胞單元狀態(tài)，，，分別對應(yīng)遺忘門、輸入門、輸出門。LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部機制可通過下列公式表示：

其中σ為激活函數(shù)，若結(jié)果為1，則完全保留上一層的信息;若結(jié)果為0，則完全舍棄該信息。，，，分別對應(yīng)Forget gate、Input gate、cell、Output gate的權(quán)值項;，，，分別對應(yīng)Forget gate、Input gate、cell、Output gate的偏置項;為更新時刻的細(xì)胞狀態(tài)。

三、馬爾科夫鏈模型

馬爾科夫鏈?zhǔn)且环N常見的統(tǒng)計隨機過程方法，概念直觀且易于實現(xiàn)。在隨機時間序列研究中有著重要的價值，在醫(yī)療、科技、金融等領(lǐng)域具有重要應(yīng)用。馬氏鏈模型主要有以下特性[7][8]：

第一，（無后效性）即t時刻的狀態(tài)只依賴t-1時刻的狀態(tài)，與t-1之前的狀態(tài)無關(guān)。

第二，馬爾科夫鏈有離散型和連續(xù)型，一般地轉(zhuǎn)移概率不僅與狀態(tài)有關(guān)，還與轉(zhuǎn)移時間有關(guān)，如果轉(zhuǎn)移概率不依賴轉(zhuǎn)移時間的話，則表示馬爾科夫鏈具有平穩(wěn)轉(zhuǎn)移概率。

第三，對齊次馬爾科夫鏈而言，n步轉(zhuǎn)移概率矩陣就是一步轉(zhuǎn)移概率矩陣的n次方，通過C-K方程很容易得到。

四、基于LSTM-馬氏鏈的股價預(yù)測校正模型

考慮到LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擁有選擇記憶性的優(yōu)點，現(xiàn)階段金融市場中個別股票價格無后效性，基本符合馬爾科夫鏈的特性，因此本文嘗試基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和馬氏鏈構(gòu)建股價預(yù)測校正模型，具體步驟如下：

步驟1 利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對股票價格進(jìn)行預(yù)測。

步驟1.1 利用標(biāo)準(zhǔn)化方法對原數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化，消除量綱影響。將股票價格數(shù)據(jù)收縮到區(qū)間，使得訓(xùn)練模型的loss下降更快，可以利用下面的最大-最小標(biāo)準(zhǔn)化公式進(jìn)行歸一：

（7）

其中，代表第i天的收盤價，，分別代表該收盤價序列的最大值與最小值。

步驟1.2 采用時間滑動窗口，將股票價格歸一化后的數(shù)據(jù)劃分為訓(xùn)練集和測試集。將前一天的股票收盤價序列作為輸入樣本，當(dāng)天的收盤價序列作為輸出樣本，基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對股票價格進(jìn)行訓(xùn)練，通過反歸一化可得預(yù)測價格序列。與真實價格序列的殘差記為。

步驟2 檢驗LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的殘差序列是否具有馬爾可夫性。

步驟2.1 根據(jù)區(qū)間范圍及其序列特征將其隨機劃分為s個小區(qū)間：[，），[，），…，[，）;

步驟2.2 令=[，），（k=1，2，3，…，s），將視為以，（k=1，2，3，，s）為狀態(tài)空間的隨機時間序列;

步驟2.3 構(gòu)建統(tǒng)計量，檢驗是否具有馬爾科夫性，具體如下：

若表示，，…，從狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的頻數(shù)，則頻數(shù)矩陣可記為：

（8）

令

（9）

可得到一步轉(zhuǎn)移概率矩陣P=，則當(dāng)較大時，統(tǒng)計量

（10）

服從自由度為的卡方分布。

選定置信水平α，若>，則在該置信水平下，不能拒絕具有馬爾科夫性的零假設(shè)，即具有馬爾科夫性;否則拒絕具有馬爾科夫性的零假設(shè)，即不具有馬爾可夫性。

步驟3 若具有馬爾科夫性，則利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對測試集進(jìn)行預(yù)測，得到K個預(yù)測值。結(jié)合訓(xùn)練集的預(yù)測，可得預(yù)測價格序列，（K=1，2，3，）。根據(jù)馬氏性及C-K方程[8][9]，以訓(xùn)練集最后一個交易日殘差作為馬氏鏈的初始狀態(tài)，得到的狀態(tài)概率分布：

，（s=1，2，3，4，5，6;K=1，2，3，…）（11）

均值：

，（K=1，2，3，…）（12）

該均值序列（K=1，2，3，…）是對該測試集校正后的股票價格序列。若不具有馬爾科夫性，則說明該股票價格不適合利用馬氏鏈模型校正。

步驟4 利用步驟2.3中得到的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，可預(yù)測該股票價格穩(wěn)態(tài)概率下漲跌趨勢和運動周期。

五、實證分析

（一）數(shù)據(jù)來源

本文以2019年1月2日到2020年10月30日，大灣區(qū)指數(shù)成分股華僑城A（000069）的每日收盤價數(shù)據(jù)（除節(jié)假日外）為實證分析對象，共計443個，其數(shù)據(jù)來源于銳思金融數(shù)據(jù)庫。該收盤價時序圖如下：

由圖2可知，華僑城A收盤價漲跌趨勢之間具有一定的間隔或延遲，波動較大，但在一定程度上也具有周期性。因此，可考慮先用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對其收盤價進(jìn)行預(yù)測，再用馬氏鏈模型進(jìn)行校正。

（二）LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測

本文模型利用Python3.6編程實現(xiàn)，通過調(diào)用庫中的Sequential模型構(gòu)建單層LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。通過前一天數(shù)據(jù)信息預(yù)測第二天的收盤價，選取了華僑城A股票收盤價序列前65%（287個樣本）作為訓(xùn)練集，后35%（156個樣本）作為測試集，其輸出樣本個數(shù)分別為286個和155個。通過微調(diào)參數(shù)，可使模型訓(xùn)練達(dá)到最優(yōu)，從而提高模型的預(yù)測效果。

為了驗證模型的有效性，選取可解釋方差、擬合優(yōu)度（R2）及平均相對誤差作為評價指標(biāo)。通過訓(xùn)練好的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，對收盤價訓(xùn)練集、測試集進(jìn)行預(yù)測，得到華僑城A股票校正前預(yù)測結(jié)果，如圖3所示。從圖3（a）容易發(fā)現(xiàn)，華僑城A股票訓(xùn)練集的預(yù)測值和真實值能較好地吻合，其誤差整體都在0上下波動，前期和后期偶爾少許波動，說明預(yù)測值隨時間t以真實值為“軸線”上下波動，為后期建立馬爾科夫鏈模型提供了可行性基礎(chǔ)。由圖3（b）可知，通過微調(diào)參數(shù)后的華僑城A股票測試集預(yù)測效果較好。

從表1可知，通過參數(shù)微調(diào)可得到95.34%左右的可解釋方差值，擬合優(yōu)度達(dá)到95.3%，平均相對誤差較小，約1.6%，這進(jìn)一步說明利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)初步預(yù)測華僑城A股票的收盤價是有效的。

（三）基于馬氏鏈模型的進(jìn)一步校正

利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測華僑城A股票收盤價的訓(xùn)練集，可得N個預(yù)測值。通過步驟1.2可得殘差的區(qū)間為。通過圖3（a）易知，其殘差值均圍繞0上下波動，偏離超過10以上的比較少。根據(jù)區(qū)間范圍及其序列特征將其隨機劃分為6個區(qū)間（，，），即=[-29，-10），=[-10，-5），=[-5，0），=[0，5），=[5，10），=[10，17]。此時，是一個以，（k=1，2，3，，6）為狀態(tài)空間的隨機時間序列。

根據(jù)步驟2.3檢驗是否具有馬爾科夫性。具體地，利用式（8）可得一步轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣：

。

利用公式（9）求得一步轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

及為：

=[0.119298 0.273684 0.164912 0.157894? 0.154385 0.129824]。

最后，利用公式（10）計算統(tǒng)計量201.74。取置信度α=0.01，查閱相關(guān)文獻(xiàn)得到=44.31<201.74，故符合馬氏鏈，其狀態(tài)空間為I={1，2，3，4，5，6}。

下面，將基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對測試集進(jìn)行預(yù)測，由步驟3可得預(yù)測值，（K=1，2，3，）。根據(jù)馬氏性及C-K方程[8][9]，以訓(xùn)練集最后一個交易日誤差作為馬氏鏈的初始狀態(tài)，其狀態(tài)為。記初始狀態(tài)，則的狀態(tài)概率分布和均值方程見步驟3。

當(dāng)K=1時，股票華僑城A的實際收盤價=268.562，由LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測得到的收盤價。由式（12）對該預(yù)測值進(jìn)行校正，計算得到。校正前的相對誤差為1.575%，經(jīng)過馬氏鏈校正后的相對誤差為1.286%，顯然，校正后比校正前的相對誤差降低了0.29%。同理，對以后的預(yù)測值進(jìn)行校正，可得華僑城A股票收盤價的預(yù)測值，與真實值的比較見圖4。由圖4可知，基于馬氏鏈校正后的預(yù)測值與實際值比較吻合，這也說明基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——馬氏鏈模型對華僑城A收盤價進(jìn)行預(yù)測是有效的。

為進(jìn)一步驗證該校正模型的有效性，對億緯鋰能（300014）、華高科技（000636）、金地集團(tuán) （600383）、塔牌集團(tuán)（002233）、保利地產(chǎn)（600048）5只股票收盤價也利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——馬氏鏈模型（校正后）進(jìn)行預(yù)測校正，并與單一的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型（校正前）預(yù)測進(jìn)行比較，結(jié)果見表1。對比表1中的結(jié)果可知，單一的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測擬合度都超過90%，多數(shù)超過95%，擬合效果較好。LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——馬氏鏈模型校正后的結(jié)果，其可解釋方差變化不大、擬合優(yōu)度有所提高，平均相對誤差明顯降低。當(dāng)然，結(jié)果也發(fā)現(xiàn)，該模型對這6只股票的短期預(yù)測較好，因為當(dāng)，也就是經(jīng)過13天之后，n步轉(zhuǎn)移概率矩陣慢慢趨向平穩(wěn)，導(dǎo)致后期對LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測模型的校正有限。但總體來說，經(jīng)過馬氏鏈校正后的預(yù)測值與真實值更加接近，因此，LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——馬氏鏈模型預(yù)測性能更優(yōu)越。

（四）基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)-馬氏鏈模型的長期預(yù)測

1.穩(wěn)態(tài)概率下的漲跌趨勢。首先，對華僑城A股票的收盤價進(jìn)行長期漲跌勢預(yù)測，并與實際情況對比分析。若一步轉(zhuǎn)移概率矩陣不可約（即當(dāng)N很大時容易滿足），則由文獻(xiàn)[3][4]可知，存在平穩(wěn)分布使得，且。解齊次線性方程，將I-P進(jìn)行初等變換，可得該方程組的解：=（0.1285，0.2719，0.1452，0.1542，0.1641，0.1361），即為平穩(wěn)分布。因此，穩(wěn)態(tài)概率下該股票收盤價下跌的概率為=0.5456，上漲的概率為=0.4544。由圖3（b）可知，從長期來看，該支股票下跌的概率大于上漲的概率，預(yù)測結(jié)果與之是一致的。

2.股價的周期預(yù)測。其次，基于馬氏鏈模型對華僑城A股票的收盤價進(jìn)行周期預(yù)測。記為收盤價從狀態(tài)i開始經(jīng)過時間單位n之后首次進(jìn)入狀態(tài)j的概率，即。令為狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的平均時間，，（）滿足方程組[4]。

（13）

解方程組（13）可得，即狀態(tài)1到狀態(tài)6的平均時間（由跌到漲的平均時間）;以及，即狀態(tài)6到狀態(tài)1的平均時間（由漲到跌的平均時間）。方程組（13）也可表示為：

解得=8.8326，同理可解得=8.3081，=7.7843，=7.3472。

從上述結(jié)果可知，華僑城A股票的收盤價在2020年3月11日到2020年10月30日這156個交易日期間，由狀態(tài)1到狀態(tài)6平均需要9個交易日，由狀態(tài)6到狀態(tài)1平均需要9個交易日，即大跌到大漲要9個交易日，大漲到大跌也要9個交易日。，說明該股票收盤價完成一個短線運行周期平均需要18個交易日。=7.7843，=7.3472狀態(tài)1回到狀態(tài)1，狀態(tài)6回到狀態(tài)6均需要8個交易日，說明該股票收盤價短期波動較大。類似地，對其它5支股票收盤價進(jìn)行漲跌趨勢和周期預(yù)測，結(jié)果發(fā)現(xiàn)與實際情況基本一致。

六、結(jié)束語

本文基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和馬氏鏈理論提出一種新的股票價格預(yù)測模型，并以大灣區(qū)指數(shù)成分股華僑城A股票日收盤價為研究對象進(jìn)行實證分析。基于華僑城A股票2019年1月2日到2020年3月10日的日收盤價數(shù)據(jù)，利用LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測（訓(xùn)練），結(jié)果發(fā)現(xiàn)預(yù)測結(jié)果與真實值比較吻合。利用馬氏鏈理論檢驗，發(fā)現(xiàn)該殘差具有馬爾科夫性。選取華僑城A股票2020年3月11日到2020年10月30日的日收盤價數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測（測試），基于LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——馬氏鏈模型進(jìn)行預(yù)測校正，結(jié)果發(fā)現(xiàn)LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)——馬氏鏈模型比單一的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測效果好，前者平均相對誤差1.56%比后者的1.62%更低。 此外，本文對億緯鋰能 （300014）、華高科技（000636 ）、金地集團(tuán) （600383）、塔牌集團(tuán) （002233）、保利地產(chǎn)（600048）5只股票收盤價進(jìn)行了預(yù)測，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其平均相對誤差都低于2.9%，均比單一的LSTM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測的平均相對誤差低，這也進(jìn)一步驗證了本文預(yù)測模型的有效性。

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基金項目：南寧師范大學(xué)博士科研啟動項目（20180406001）。

作者單位：南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，徐慶娟為通訊作者