程麒豫，張 希，高一釗，郭邦軍

(上海交通大學機械與動力工程學院，上海 200240)

鋰離子電池電化學狀態(tài)量的精確估算，對電動汽車的電池管理系統(tǒng)(BMS)十分重要。基于對與電池老化相關的負極表面Li+濃度等電化學狀態(tài)的精確估算，可確定電池最優(yōu)的充電電流，縮短充電時間，并延長電池壽命[1]。復雜的非線性偏微分方程組，使電化學模型無法在實時工況下得到應用，因此，需要簡化處理電化學模型，以提高計算效率。D.D.Domenico等[2]提出的平均模型，將平均固相Li+濃度和電流密度相結合，引入擴展卡爾曼濾波(EKF)算法估算電池的荷電狀態(tài)(SOC)。在SOC初始誤差為10%、采用恒流充放電的工況下，SOC能夠快速地收斂，且誤差控制在1%以內；S.J.Moura等[3]提出考慮電解質的動力學(SPMe)模型，引入龍貝格觀測器，估算SOC及正、負極固相表面Li+濃度。在美國城市道路循環(huán)(UDDS)工況下，正、負極固相表面Li+濃度均方根誤差分別為0.3%、0.6%，電壓誤差為6.7 mV。

如何精確地估計電池中更多的電化學狀態(tài)量，仍是亟待解決的難題。本文作者通過拉普拉斯變換、帕德近似等數(shù)學方法，對單粒子電化學模型進行降階，以滿足實時計算的需求。基于該降階電化學模型，在各狀態(tài)量平衡點處進行泰勒展開，引入EKF算法構建觀測器，觀測電池內不可測量的重要電化學狀態(tài)量，為電化學模型在實車中的應用提供參考。

1 模型搭建

1.1 單粒子模型

鋰離子電池的微觀結構由3部分組成：負極、隔膜和正極。在單粒子模型中，每個電極僅由單粒子組成，考慮徑向r方向上Li+濃度的變化；電解質僅考慮水平x方向Li+濃度的變化。該模型可用以下5個相互耦合的偏微分方程式表示[4]。

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

輸出電壓U可由式(6)計算得到。

U=φs(x=L)-φe(x=0)-RfI

(6)

式(6)中：Rf為電池內阻；I為電流；x表示極板水平方向坐標，x=0為負極集流體，x=L為正極集流體；L為電池總極片長度。

1.2 降階模型

以電流作為系統(tǒng)的輸入。結合給定的初始與邊界條件，將式(1)-(5)進行拉普拉斯變換，再利用帕德近似，獲取相對于輸入電流的固相及液相Li+濃度多項式傳遞函數(shù)[5]。固相Li+濃度，僅取負極表面Li+濃度csen作為狀態(tài)量，以提高系統(tǒng)的可觀性；液相Li+濃度，分別取邊界x=0和L處作為狀態(tài)量，即ce0和ceL，構建狀態(tài)空間方程。

(7)

(8)

(9)

式(7)-(9)為拉普拉斯變換后復數(shù)s域上的解，其中：Acell為極板面積；Rsn為負極固相粒子半徑；asn為負極比表面積；Ln為負極電極長度；Lp為正極電極長度；εen為負極液相體積分數(shù)；εep為正極液相體積分數(shù)；M1、M2、M3、M4、M5、M6和M7均可由極片長度、極片面積、傳遞系數(shù)和法拉第常數(shù)表示，詳見文獻[6]。

將式(7)-(9)進行離散化處理后進行矩陣組裝，涵蓋輸出電壓的降階離散電化學模型表達式為：

x(k+1)=Gx(k)+HI(k)

(10)

(11)

U(k)=g[x(k),y(k)]

(12)

式(10)-(12)中：cs，initial和ce，initial分別為固相、液相初始Li+濃度；G、H、C和D矩陣均為離散化處理后的系統(tǒng)矩陣；x為狀態(tài)量，對應csen、ce0和ceL；y為推導輸出電壓U產生的中間輸出量，無實際物理含義；g(x，y)為y到U的非線性映射；k表示第k時刻；離散步長取值為1 s。

2 卡爾曼濾波算法估計

2.1 可觀性分析

傳感器只能監(jiān)測電池電流和電壓，其余狀態(tài)量需要通過觀測器來估算?；谔岢龅慕惦A電化學模型，引入卡爾曼濾波算法對電池內部狀態(tài)量進行估算。首先需要對模型進行可觀性分析。由文獻[7]中對于非線性系統(tǒng)可觀性的分析可知，當且僅當系統(tǒng)可觀性矩陣O的秩在局部范圍內等于系統(tǒng)階數(shù)n時，非線性系統(tǒng)在局部范圍內可觀。此外，可用Q來描述系統(tǒng)可觀性的強弱。

(13)

式(13)中：σmin為系統(tǒng)矩陣的最小奇異值；σmax為系統(tǒng)矩陣的最大奇異值。

可觀性強的系統(tǒng)，Q接近于1；而可觀性差的系統(tǒng)，Q接近于0。以最大電流為1C倍率的UDDS工況(見圖1)為例分析，本文作者提出的降階電化學模型可觀性程度數(shù)量級為10-8，可觀性程度較低，需要適當選取EKF的參數(shù)，以便系統(tǒng)快速收斂。

圖1 降階電化學模型在UDDS工況下的可觀性程度

2.2 狀態(tài)觀測器設計

非線性系統(tǒng)的擴展卡爾曼觀測器，解決了在非線性系統(tǒng)中的應用問題[8]。將EKF算法應用于所搭建的降階電化學模型，狀態(tài)預測度量更新方程、輸出預測方程、狀態(tài)預測時間更新方程和卡爾曼增益方程依次為：

(14)

(15)

(16)

(17)

3 仿真與驗證

3.1 仿真與實驗條件

實驗電池為MH1 18650型鋰離子電池(南京產)，額定容量為3.2 Ah，正極活性物質為三元材料LiNi0.8Mn0.1Co0.1O2，負極活性物質為石墨。實驗過程中，對電池進行最大電流的UDDS工況驗證，電流見圖2。

圖2 實驗電池UDDS工況下的電流曲線

單粒子模型采用COMSOL Multiphysics軟件進行仿真驗證；基于降階電化學模型的EKF算法用Matlab/Simulink與可編程充放電機進行驗證。為了驗證該算法的收斂性，實驗時，任意給定帶有誤差的狀態(tài)量初始值。給定初始csen=48 677 mol/m3，ce0=ceL=15 000 mol/m3。傳感器噪聲和過程噪聲協(xié)方差為0.2，先驗誤差協(xié)方差為107。

3.2 結果分析

負極固相表面Li+濃度csen、液相邊界處Li+濃度ceL與電池老化密切相關；此外，電池當前SOC和電壓對電池的使用性能有很大影響。實驗主要分析csen、ceL、SOC和電壓的估算結果。csen和ceL無法通過實驗設備測量得到，取簡化前單粒子模型的仿真結果作為真值；電壓與SOC能夠通過實驗設備獲得，真值由實驗值給定。

基于降階電化學模型，EKF算法對于實驗電池在圖2工況下的負極固相表面Li+濃度的估算結果見圖3。

圖3 實驗電池負極固相表面Li+濃度

從圖3可知，csen的初始誤差(E)為19.8%，11 s后估算結果可收斂至真值附近，估算誤差降低至5%以內，64 s后估算誤差即可收斂至1%以下。

實驗電池在圖2工況下的液相邊界(x=L)處的Li+濃度估算結果見圖4。

圖4 實驗電池液相邊界(x=L)處的Li+濃度

從圖4可知，ceL的初始誤差(E)為5.8%，8 s后估算結果可收斂至真值附近，估算誤差降低至1%以下。

實驗電池在圖2工況下的SOC估算結果見圖5。

圖5 實驗電池的SOC估計結果

從圖5可知，SOC的初始誤差(E)為23.9%，14 s后估算結果可收斂至真值附近，估算誤差降低至5%以內，88 s后估算誤差即可收斂至1%以下。

實驗電池在圖2工況下的輸出電壓估算結果見圖6。

圖6 實驗電池輸出電壓

從圖6可知，電池輸出電壓的初始誤差(E)為19.6%，10 s后估算結果可收斂至真值附近，估算誤差降低至5%以內，33 s后估算誤差即可收斂至1%以下，但電壓波動較大，存在峰值。由此可知，收斂后電壓的估算誤差控制在約2%。

4 結論

實驗結果表明，本文作者提出的基于降階電化學模型EKF算法，對負極固相表面Li+濃度、液相邊界處Li+濃度、SOC和輸出電壓具有很好的跟蹤特性，可實現(xiàn)精確估算，有望應用于實車BMS當中。

在鋰離子電池單粒子模型的基礎上，構建基于拉普拉斯變換、帕德近似及離散化處理的降階電化學模型，并基于該模型，引入EKF算法，提高電池內部電化學狀態(tài)的估算精度。實驗結果表明，引入EKF算法后的電池狀態(tài)量估算即使在存在初始誤差的情況下，也能快速收斂，且收斂后的誤差，負極固相表面Li+濃度、液相邊界(x=L處)Li+濃度和SOC均保持在1%以下，輸出電壓誤差控制在約2%。