潘斌杰，朱劍鋒,2，徐日慶

(1.寧波大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院，浙江 寧波 315211;2.浙江科技學(xué)院 土木與建筑工程學(xué)院，浙江 杭州 310023;3.浙江大學(xué) 濱海和城市巖土工程研究中心，浙江 杭州310058;4.浙江加州國際納米技術(shù)研究院 臺州分院，浙江 臺州 318000)

近年來，軟土固化技術(shù)在東南沿?；A(chǔ)設(shè)施建設(shè)中得到了廣泛應(yīng)用.作為影響固化效果的關(guān)鍵因素，固化劑最優(yōu)配比的研制引起了學(xué)者們的廣泛關(guān)注.郭印等[1]和楊愛武等[2]以固化土的無側(cè)限抗壓強度(qu)為指標(biāo)，通過正交試驗分別確定了XGL2005型和CJDS07型復(fù)合固化劑的各組分之間的最優(yōu)配比.庹秋水等[3]正交設(shè)計各種不同固化劑添加方案，結(jié)合直剪試驗研究淤泥固化劑最優(yōu)配比.然而，正交試驗法無法建立復(fù)合固化劑各組分和固化土強度之間的函數(shù)關(guān)系，難以準(zhǔn)確獲得各添加劑的最優(yōu)配比.于是，暢帥等[4]、李雪剛等[5]、朱劍鋒等[6]通過開展旋轉(zhuǎn)中心試驗，構(gòu)造固化土qu的響應(yīng)面函數(shù)(RS)，通過對RS求極值來確定軟土復(fù)合固化劑最優(yōu)配比，從而提出基于響應(yīng)面法(response surface method，RSM)的軟土復(fù)合固化劑配比優(yōu)化方法.RSM雖然精度高，但是需要開展大量旋轉(zhuǎn)中心試驗來確定自變量的系數(shù).當(dāng)配比因子增加時，試驗成本將呈幾何式地增長，且響應(yīng)面預(yù)測誤差顯著增加[7].

支持向量機(support vector machine，SVM)[8]因其在處理小樣本、非線性、局部極小值等方面的獨特優(yōu)勢，以其替代響應(yīng)面法構(gòu)造軟土復(fù)合固化劑各組分與固化土強度之間的映射關(guān)系，將會顯著降低試驗成本.目前SVM已在邊坡工程[9]、復(fù)合地基[10]等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，并取得良好的預(yù)測效果.然而，SVM模型僅提供了固化劑各摻量與固化土強度之間精確的映射關(guān)系，而無法給出明確的關(guān)系表達式，因此，需要結(jié)合智能優(yōu)化算法來確定軟土復(fù)合固化劑的最優(yōu)配比.

目前，在土木工程中得到的應(yīng)用智能優(yōu)化算法主要有遺傳算法[11]、禁忌-遺傳算法[12]、粒子群算法[7]等.其中，作為一種模擬生物活動性、全局性優(yōu)化算法——粒子群算法(particle swarm optimization,PSO)，以其良好的魯棒性、進化性及隨機性在巖土工程中得到了廣泛應(yīng)用.YI P.等[7]建立了邊坡可靠性分析累積PSO-Kriging模型.王峰等[13]利用改進的PSO，反演分析了某拱壩高溫季節(jié)熱學(xué)參數(shù).

為此，將SVM和PSO進行有機耦合，根據(jù)試驗結(jié)果建立軟土復(fù)合固化劑各組分與固化土qu之間的映射關(guān)系，建立基于SVM的固化土qu的預(yù)測模型；然后，以固化土的最大無側(cè)限抗壓強度(qumax)為目標(biāo)函數(shù)值，采用PSO算法搜索軟土復(fù)合固化劑的最優(yōu)配比，提出軟土復(fù)合固化劑最優(yōu)配比的PSO-SVM耦合算法，最后結(jié)合試驗結(jié)果對該算法的可行性進行驗證.

1 PSO-SVM優(yōu)化算法

1.1 基于SVM的固化土qu預(yù)測模型

基于統(tǒng)計學(xué)習(xí)理論的SVM是根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小原理演繹建立，結(jié)合有限的樣本信息，在模型復(fù)雜性和學(xué)習(xí)能力之間尋求最佳折中，以期獲得最好的泛化能力[8].如圖1所示，基于SVM固化土配方的qu預(yù)測模型建立是以非線性回歸預(yù)測原理為基礎(chǔ)，以影響qu的固化劑各成分摻入比為輸入變量，以某一齡期下對應(yīng)的qu為輸出變量，利用SVM的核函數(shù)尋求變量間最佳映射關(guān)系的過程.

圖1 基于SVM的固化土配方與強度關(guān)系模型示意圖

利用固化土強度試驗數(shù)據(jù)回歸出φ(x)函數(shù)，SVM采用以下函數(shù)進行擬合：

qu(x)=w′φ(x)+b，

(1)

式中：x是固化劑配方的配比；qu(x)為回歸函數(shù)返回的預(yù)測值，這里指固化土強度預(yù)測值；φ(x)為非線性映射函數(shù)，這里指固化劑各成分摻入比與無側(cè)限抗壓強度間的映射關(guān)系；w′為賦值權(quán)重；b為偏差.定義線型不敏感損失函數(shù)[8]為

L(qu(x),y,ε)=

(2)

式中：y為對應(yīng)的真實值，即固化土強度實測值；ε為固化土強度回歸函數(shù)的誤差精度.

若y與qu(x)之間的誤差絕對值小于等于ε，則表示損失為0.為求得式(1)中的w′、b，同時考慮到允許固化土強度預(yù)測中的擬合誤差存在的情況，采用最小泛函數(shù)對其進行分析.將式(2)引入松弛變量ξi和ξi*，即變成數(shù)學(xué)規(guī)劃尋優(yōu)問題，式(2)可改寫為

(3)

s.t.yi-w′φ(x)-b≤ε+ξi,-yi+w′φ(x)+

b≤ε+ξi*,ξi,ξi*≥0,i=1,2,…,Nt,

式中：C為懲罰因子，表示固化土強度回歸函數(shù)復(fù)雜性與平均損失的權(quán)重系數(shù)；ε越小，表示回歸函數(shù)的誤差越小，本研究取ε=10-4；Nt為試樣個數(shù)，個;yi為第i個樣本的真實值,kPa;通過Largrange函數(shù)將式(3)轉(zhuǎn)換為對偶問題，即

(4)

式中：k是對偶問題i的另一個形式，k=1,2,…,Nt;K(xi，xk)=φ(xi)φ(xk)為核函數(shù).鑒于影響固化土的qu因素眾多(摻入比、齡期、養(yǎng)護條件等)，且它們之間關(guān)系通常呈非線性變化規(guī)律[4-6]，因此采用工程中常用的非線性核函數(shù)——RBF核函數(shù)[8]來反映這一特性.即

K(x,x′)=exp(-γ‖x-x′‖2)，

(5)

其中γ為RBF核函數(shù)的方差.由于RBF核函數(shù)參數(shù)γ和懲罰因子C的不同組合決定固化土qu預(yù)測模型的優(yōu)劣，本研究利用網(wǎng)格搜索法和交叉驗證方法[14]尋找最佳參數(shù)懲罰因子C和核函數(shù)的方差γ.

假設(shè)式(4)的最優(yōu)解為α=[α1,α2,…,αNt]，α*=[α1*,α2*,…,αNt*]，則有：

(6)

(7)

固化土強度測試樣本回歸函數(shù)qu(x)可表示為

(8)

模型訓(xùn)練完成后，便可以建立某一個齡期下軟土復(fù)合固化劑各成分摻入比與qu之間的映射關(guān)系，從而實現(xiàn)任意摻入比下固化土qu的仿真預(yù)測.現(xiàn)引入相關(guān)系數(shù)R2和均方誤差σ2作為性能的評價，相關(guān)公式為

(9)

式中：qui為第i個樣本的預(yù)測值,kPa.

1.2 粒子群算法基本原理

(10)

式中：xjmax和xjmin分別為粒子中第j個變量的最大值和最小值，即軟土復(fù)合固化劑配方中第j成分的摻入比取值的上、下限；r為[0,1]的隨機數(shù).后續(xù)每次迭代過程中粒子更新滿足下式[15]：

(11)

慣性權(quán)重可采用線性遞減[15]方式計算：

(12)

1.3 基于PSO-SVM的固化劑最優(yōu)配比確定

圖2為軟土復(fù)合固化劑最優(yōu)配比PSO-SVM算法流程圖.圖2中，首先根據(jù)某一齡期下固化土的qu試驗結(jié)果構(gòu)建基于SVM的固化土qu預(yù)測模型，以此模型評價PSO算法中每一個粒子(復(fù)合固化劑配比)對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值(qu)；然后通過PSO算法進行軟土復(fù)合固化劑成分配比的優(yōu)化；最后輸出最優(yōu)配比，從而實現(xiàn)軟土復(fù)合固化劑配比的PSO-SVM優(yōu)化算法.

圖2 軟土復(fù)合固化劑最優(yōu)配比PSO-SVM算法流程

2 模型驗證

基于SVM的固化土qu預(yù)測模型是PSO-SVM優(yōu)化算法的基礎(chǔ)，其準(zhǔn)確性直接關(guān)系到PSO中各粒子的適應(yīng)度的評價精度，因此選取文獻[6]的16組硫氧鎂復(fù)合水泥固化劑(TZ18)的各成分(即水玻璃、熟料和硅灰)配比及相應(yīng)的qu(7 d) 作為樣本來構(gòu)建SVM模型，以剩余4組試驗結(jié)果作為目標(biāo)驗證集，分別采用SVM模型和響應(yīng)面法[6]對其進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果如圖3所示.通過網(wǎng)格搜索法和交叉驗證法[14]獲得參數(shù)C=1.148 7和γ=0.5.由圖3可知，驗證集中SVM模型的預(yù)測結(jié)果與文獻[6]RSM預(yù)測結(jié)果均和實測值比較接近.本研究中預(yù)測結(jié)果相關(guān)系數(shù)R2=0.992，高于文獻[6]的R2=0.852，而本研究模型均方誤差σ2為0.939%，小于文獻[6]的均方誤差2.213%.因此，SVM模型預(yù)測精度優(yōu)于RSM模型.

圖3 固化土的qu (7 d)預(yù)測值與實測值對比

表1 PSO模型參數(shù)

表2 TZ18固化劑最優(yōu)配比及PSO-SVM預(yù)測結(jié)果

由表2可知，PSO-SVM算法預(yù)測的TZ18復(fù)合固化劑的最優(yōu)配比為w(水玻璃)=5.85%，w(熟料)=5.51%，w(硅灰)=6.45%，相應(yīng)固化土的qu(7 d) 為1 090.55 kPa.為了預(yù)測有效性，根據(jù)該配比開展了TZ18固化土的7 d無側(cè)限抗壓強度試驗.圖4為試驗中應(yīng)力-應(yīng)變(σ-ε1)曲線.取試樣1和2測得qu的平均值作為本配方下試驗的實測值(固化7 d的qu=1 156.06 kPa).通過計算，本研究中相對誤差(相對誤差=(qu實測值-qu預(yù)測值)/qu實測值×100%)為5.66%.而文獻[6]RSM預(yù)測的相應(yīng)固化土的qu(7 d)為1 042.45 kPa，本研究中依據(jù)RSM預(yù)測配方所做試樣的qu(7 d) 實測值為949.04 kPa，二者相對誤差為9.84%.因此，PSO-SVM算法高于文獻[6]的預(yù)測精度.

圖4 TZ18固化劑最優(yōu)配比預(yù)測值下σ-ε1曲線

為進一步驗證PSO-SVM模型普適性，選取文獻[4]的20組水泥復(fù)合固化劑(生石膏+生石灰+碳酸鈉)的最優(yōu)配比為目標(biāo)值，分別采用PSO-SVM耦合算法和響應(yīng)面法進行預(yù)測，并與試驗結(jié)果進行對比.SVM模型參數(shù)C和γ經(jīng)網(wǎng)格搜索和交叉驗證均為1.515 7，參數(shù)ε=10-4.表3為軟土復(fù)合固化劑最優(yōu)配比及模型預(yù)測結(jié)果，其中軟土復(fù)合固化劑最優(yōu)配比指的是生石膏、生石灰和碳酸鈉的質(zhì)量分?jǐn)?shù)比值的最佳值.

表3 軟土復(fù)合固化劑最優(yōu)配比及預(yù)測模型結(jié)果

軟土復(fù)合固化劑最優(yōu)配比優(yōu)化范圍見表1中的算例2.由表3可知，PSO-SVM算法預(yù)測的文獻[4]軟土復(fù)合固化劑最優(yōu)配比為w(生石膏)=4.58%，w(生石灰)=4.10%，w(碳酸鈉)=1.09%，相應(yīng)的qu(7 d)為628.06 kPa.

圖5為最優(yōu)配比預(yù)測值下的軟土復(fù)合固化劑

qu(7 d)試驗σ-ε1曲線.由圖5可知，該配比下固化土qu(7 d)實測值為634.15 kPa(取試樣3和4，測得qu的峰值平均值)，預(yù)測值和實測值間相對誤差僅為0.96%.文獻[4]RSM預(yù)測的最優(yōu)配比為w(生石膏)=4.80%，w(生石灰)=3.56%，w(碳酸鈉)=1.33%，相應(yīng)的qu(7 d)為634.05 kPa，而文獻[4]中RSM抗壓強度實測值為623.00 kPa，二者相對誤差為1.77%.可見，PSO-SVM算法在最優(yōu)配比和預(yù)測精度方面均優(yōu)于文獻[4]的RSM.

圖5 軟土固化劑最優(yōu)配比預(yù)測值下的σ-ε1曲線

3 討 論

在粒子群算法中Nmax和Np對搜索效率影響顯著.現(xiàn)分別以文獻[6]TZ18固化土和文獻[4]復(fù)合固化土的試驗數(shù)據(jù)為研究對象，采用PSO-SVM算法，搜索不同Nmax和Np時文獻[6]TZ18復(fù)合固化劑(其他參數(shù)見表1中算例1)和文獻[4]軟土復(fù)合固化劑(其他參數(shù)見表1中算例2)的最優(yōu)配比及相應(yīng)的qu與所需時間t(算法運算的電腦系統(tǒng)配置為Inter(R) Pentium(R) CPU G630@2.70 GHz、4.00 G內(nèi)存).圖6和7分別為不同最大迭代次數(shù)(Nmax)下預(yù)測2種固化劑的最優(yōu)配比、無側(cè)限抗壓強度(qu)及耗時(t)曲線.

圖6 不同Nmax下預(yù)測TZ18固化劑最優(yōu)配比、qu及t

由圖6可知：隨著Nmax的增加，耗時也逐漸遞增；雖然在Nmax=40 次時，固化土的qu(7 d)已經(jīng)達到最優(yōu)強度，但是TZ18復(fù)合固化劑各成分的配比還沒有穩(wěn)定；在Nmax=50 次時，搜索獲得了TZ18復(fù)合固化劑的最優(yōu)配比和最優(yōu)強度保持穩(wěn)定，此時耗時約35.71 s.圖7同樣表明：雖然在Nmax=40 次時，固化土的qu(7 d)已經(jīng)達到最優(yōu)強度，但是各成分的配比尚未穩(wěn)定；在Nmax=60 次時，搜索獲得最優(yōu)配比和最優(yōu)強度保持穩(wěn)定，此時耗時約41.07 s.因此，復(fù)合固化劑最優(yōu)配比的確定是一個多峰極值問題.采用PSO-SVM算法搜索復(fù)合固化劑的最優(yōu)配比可以避免陷入局部最優(yōu)解.當(dāng)Nmax繼續(xù)增加時，雖然能獲得最優(yōu)解，但是計算成本(耗時)過大.綜上可知，Nmax≥60 次時，PSO-SVM搜索的最優(yōu)配比基本收斂，而且運算時間在45 s以內(nèi).因此，建議采用PSO-SVM算法搜索固化劑最優(yōu)配比時，取Nmax≥60 次.

圖7 不同Nmax下預(yù)測軟土固化劑最優(yōu)配比、qu及t

圖8和9分別為不同粒子數(shù)(Np)下預(yù)測2種固化劑的最優(yōu)配比、無側(cè)限抗壓強度(qu)及耗時(t)曲線.

圖8 不同Np下預(yù)測TZ18固化劑最優(yōu)配比、qu及t

由圖8可知，與Nmax規(guī)律類似，計算成本(耗時)隨著粒子數(shù)(Np)的增加而增大.在粒子群規(guī)模較小(Np=20 個)時，采用PSO-SVM算法搜索獲得的最優(yōu)配比容易陷入局部最優(yōu)，盡管預(yù)測的固化土qu(7 d)已接近最優(yōu)，但各成分的配比尚未穩(wěn)定.只有在Np≥40 個時，才獲得最優(yōu)配比和最優(yōu)強度基本穩(wěn)定，耗時約30.80 s.圖9表明，當(dāng)Np≥10 個時，預(yù)測的固化土qu(7 d)和各成分配比已基本穩(wěn)定，耗時約16.28 s.綜上可知，在采用PSO-SVM算法搜索軟土復(fù)合固化劑最優(yōu)配比時，建議Np≥40 個.

圖9 不同Np下預(yù)測軟土固化劑最優(yōu)配比、qu及t

4 結(jié) 論

1) 根據(jù)固化土無側(cè)限抗壓強度(qu)試驗結(jié)果，構(gòu)建了基于SVM的固化土qu預(yù)測模型，算例分析表明SVM模型的預(yù)測精度優(yōu)于RSM模型.

2) 以某一齡期下固化土無側(cè)限抗壓強度最大值(qumax)為目標(biāo)函數(shù)，采用SVM模型預(yù)測復(fù)合固化劑任意配比下的qu，利用PSO算法搜索復(fù)合固化劑的最優(yōu)配比，提出了軟土復(fù)合固化劑最優(yōu)配比的PSO-SVM算法.通過預(yù)測和試驗結(jié)果對比分析可知，該算法獲得的最優(yōu)配比的預(yù)測精度高于RSM法.

3) 軟土復(fù)合固化劑最優(yōu)配比的確定是一個多峰極值問題.PSO-SVM算法參數(shù)Nmax和Np對搜索效率和預(yù)測結(jié)果影響顯著，為避免陷入局部最優(yōu)解，采用PSO-SVM搜索軟土復(fù)合固化劑最優(yōu)配比時，取Nmax≥60 次，Np≥40 個.