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        含隨機(jī)噪聲地震數(shù)據(jù)重建的稀疏反演模型與算法

        2021-05-28 02:46:02朱躍飛曹靜杰
        關(guān)鍵詞:方法

        朱躍飛,曹靜杰

        1.河北省戰(zhàn)略性關(guān)鍵礦產(chǎn)資源重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,河北 石家莊 050031;2.河北地質(zhì)大學(xué) 地球科學(xué)學(xué)院,河北 石家莊 050031

        0 引言

        地震勘探的野外數(shù)據(jù)采集經(jīng)常會由于成本、地表環(huán)境、壞道等因素造成一些地震道數(shù)據(jù)的缺失,為了避免缺失的地震道對后續(xù)數(shù)據(jù)處理的影響,需要對缺失的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行重建。地震數(shù)據(jù)重建能夠由不滿足采樣定理的數(shù)據(jù)重建出規(guī)則且滿足采樣定理的數(shù)據(jù),避免成本昂貴的重新野外采集,消除不完整數(shù)據(jù)對疊前時間偏移[1],三維表面多次波消除[2]和時移地震[3]的影響。地震數(shù)據(jù)重建方法有很多種,主要分為基于信號處理的方法[4-8],基于波動方程的方法[9-11]和矩陣或張量完備的方法[12-14],最近基于機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的方法正在興起[15-16]?;谛盘柼幚淼姆椒ň哂杏?jì)算效率高、數(shù)值效果穩(wěn)定和抗噪性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn),是目前學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的主流研究方向,該類方法又可以分為基于預(yù)測誤差濾波的方法[4]和基于稀疏變換的方法[5-8]?;诰仃嚭蛷埩客陚涞姆椒ㄊ亲罱鼛啄晷屡d的研究方向,數(shù)值效果同樣可靠。在地震數(shù)據(jù)采集過程中,由于環(huán)境噪聲、儀器設(shè)備等原因,采集到的地震數(shù)據(jù)經(jīng)常含有各種噪聲,因此含噪聲地震數(shù)據(jù)的重建是地震數(shù)據(jù)重建問題中的一個新的研究分支。該方法避免了含噪聲數(shù)據(jù)的先去噪后重建,或者先重建后去噪,將重建和去噪合二為一減少了工作量并且和先重建后去噪具有相當(dāng)?shù)男Ч鸞17],最近對含噪聲數(shù)據(jù)重建的研究逐漸增多。Hennenfent和Herrmann(2006)提出了基于一種非規(guī)則采樣Curvelet變換[18]和迭代閾值法的地震數(shù)據(jù)重建和去噪;Oropeza和Sacchi(2011)基于矩陣完備理論提出了一種同時重建和去噪的加權(quán)重插入方法來消除隨機(jī)噪聲[12],Gao等人(2013)基于傅里葉變換提出一種加權(quán)凸集投影方法來同時重建和去噪[19],然而上述兩種算法都沒有給出求解的數(shù)學(xué)模型。曹靜杰和王本鋒(2015)證明了加權(quán)凸集投影法是求解無約束反演模型的算法,其權(quán)重因子能夠放大閾值從而實(shí)現(xiàn)去噪[17]。凸集投影法是地震數(shù)據(jù)重建中使用較多的方法,具有很好的數(shù)值效果和計(jì)算速度,但是Abma和Kabir(2006)的文章以Fourier變換為稀疏變換[20],只是給出了算法的迭代過程,學(xué)者們對其求解的數(shù)學(xué)模型仍然模糊不清。

        文章首先闡述了基于稀疏變換和矩陣完備理論的地震數(shù)據(jù)重建的模型和算法,總結(jié)了一些可以作為稀疏約束的正則算子;然后給出了凸集投影法的推導(dǎo)過程,證明了其是求解等式約束模型的算法,該方法只對不含噪聲數(shù)據(jù)的重建有效。對于反問題來說反演模型的建立是最重要的,當(dāng)模型選擇正確后正則參數(shù)是否合適決定了反演的數(shù)值效果。在這兩者的基礎(chǔ)上選擇合適的解法才能提高反演的精度和效果。正則參數(shù)的選擇決定基于稀疏反演的含噪聲數(shù)據(jù)的重建問題的成敗,目前關(guān)于含噪聲數(shù)據(jù)重建的文章對正則參數(shù)的選擇幾乎沒有討論,因此文章列出幾種正則參數(shù)的選擇準(zhǔn)則和方法。在數(shù)值模擬部分用一種簡單的閾值算法來求解反演模型,二維模擬數(shù)據(jù)、二維真實(shí)數(shù)據(jù)和三維真實(shí)數(shù)據(jù)的數(shù)值試驗(yàn)證明了只有選擇合適的正則參數(shù)含隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)的重建才能達(dá)到好的效果。

        1 地震數(shù)據(jù)重建模型與解法

        地震數(shù)據(jù)采集過程可以表示為如下的線性過程:

        Φd+n=dobs

        (1)

        其中Φ是采樣矩陣,d是未知的完整波場數(shù)據(jù),n是可加噪聲,假設(shè)n為隨機(jī)白噪聲,dobs為采樣的不完整數(shù)據(jù)。如果完整的波場數(shù)據(jù)d在某個變換域是稀疏或者可壓縮的,即x=Ψd是稀疏或者可壓縮的,則公式(1)可以表示為:

        ΦΨ*x+n=dobs

        (2)

        其中Ψ*為Ψ的共軛轉(zhuǎn)置(一般選擇Ψ是正交變換或者緊框架)。由于采樣數(shù)據(jù)的不完整性,公式(2)是欠定方程組,存在無窮多解?;趚的稀疏性假設(shè),公式(2)的稀疏解可以通過解如下的優(yōu)化問題找到:

        (3)

        其中σ是噪聲的能量,0表示非零元素的個數(shù)。0不是連續(xù)可微的,因此問題(3)不存在多項(xiàng)式解法,常用1范數(shù)代替0范數(shù)作為目標(biāo)函數(shù),建立如下的基追蹤問題[21]:

        (4)

        當(dāng)x求出后,則可以由Ψ*x求出d。

        基于矩陣完備理論的重建方法是另一種常見的重建方法,該方法需要假設(shè)同相軸是線性的,假設(shè)完整的地震數(shù)據(jù)可以重排為一個低秩矩陣,根據(jù)重排矩陣的低秩性約束來建立矩陣優(yōu)化模型。地震數(shù)據(jù)可以重排為塊Toeplitz或塊Hankel矩陣[11],除此之外還有一些其他的重排方式[21-22]。假設(shè)完整的地震數(shù)據(jù)d重排為Md,采樣矩陣Φ重排為MΦ,噪聲n重排為Mn,采樣數(shù)據(jù)dobs重排為Mdobs,公式(1)可以變?yōu)椋?/p>

        MΦ·Md+Mn=Mdobs

        (5)

        根據(jù)矩陣的低秩約束,可以建立如下的矩陣優(yōu)化問題:

        minΛ(Md)0s.t.MΦ·Md-MdobsF≤ρ

        (6)

        其中Λ(Md)0表示Md的奇異值的個數(shù),Λ(Md)為由Md的奇異值組成的向量,該矩陣優(yōu)化問題同樣不存在多項(xiàng)式解法,一般采用矩陣Md的核范數(shù)來代替Λ(Md)0,建立如下模型:

        minMd*s.t.MΦ·Md-MdobsF≤ρ

        (7)

        其中Md*=Λ(Md)1表示Md的核范數(shù),·F表示矩陣的F范數(shù)。

        當(dāng)?shù)卣饠?shù)據(jù)噪聲很弱時,可以假設(shè)σ≈0,則問題(4)變?yōu)椋?/p>

        minx1s.t.ΦΨ*x=dobs

        (8)

        如果以時間-空間域的變量為未知數(shù),公式(8)又可以表示成:

        minΨd1s.t.Φd=dobs

        (9)

        同理當(dāng)ρ≈0時,問題(7)可以退化為:

        minMd*s.t.MΦ·Md=Mdobs

        (10)

        或者

        minF(d)*s.t.Φd=dobs

        (11)

        其中F(d)=Md表示對數(shù)據(jù)d重新排成Md的過程。

        當(dāng)?shù)卣饠?shù)據(jù)中的噪聲不可忽略時,σ>0或者ρ>0,此時直接解問題(4)和問題(7)相對困難,一般求解它們的無約束形式:

        (12)

        (13)

        其中λ為正則參數(shù),用來平衡數(shù)據(jù)擬合誤差和解的稀疏性(或者低秩性)。反演理論表明對于每個σ和ρ,存在唯一的λ使得約束優(yōu)化問題(4),(7)和無約束優(yōu)化問題(12),(13)存在相同的解[28-23]。對于含噪聲數(shù)據(jù)重建,一般求解的是(12),(13)或者它們的變形:

        (14)

        (15)

        除了上述的1范數(shù)作為稀疏約束,還可以采用Cauchy函數(shù),Huber函數(shù)[24],1范數(shù)的光滑近似函數(shù)[25],p-范數(shù)(0

        凸集投影法是一種重要的重建算法,該算法計(jì)算效率高,數(shù)值效果穩(wěn)定,是工業(yè)界常用的方法。該方法的每次迭代由兩部分組成,第一步是當(dāng)前迭代解在變換域的閾值運(yùn)算,第二步通過往凸集上的投影升級迭代解。Abma和Kabir(2006)將該方法引入地震數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域時只給出了求解過程[20],并沒有給出求解的數(shù)學(xué)模型。對于重建問題來說該方法求解的是問題(9),即凸集投影法解的是等式約束問題。

        (16)

        (17)

        令步長α等于μ,則:

        (18)

        (19)

        dk+1=dobs+(I-Φ)Ψ*Tμ(Ψdk)

        (20)

        根據(jù)上面關(guān)于凸集投影法的推導(dǎo)可知軟閾值運(yùn)算是專門針對1范數(shù)正則化產(chǎn)生的,變換域的閾值運(yùn)算可以看作變換域的去噪,閾值類算法實(shí)現(xiàn)含噪聲數(shù)據(jù)重建的關(guān)鍵是選擇合適的閾值,閾值和上述的正則參數(shù)是等價的,該參數(shù)和噪聲的能量有關(guān),當(dāng)噪聲能量較大時,選擇較大的閾值,當(dāng)噪聲能量較小時選擇較小的閾值。

        經(jīng)典的迭代軟閾值法是解問題(12)的方法[27],SPGL1方法通過解問題(4)來實(shí)現(xiàn)稀疏解的求取[23],這兩種方法都適合含隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)的重建。曹靜杰和王本鋒(2015)證明了加權(quán)凸集投影法是解無約束優(yōu)化問題(14)的方法[17],根據(jù)加權(quán)凸集投影法的推導(dǎo)過程可知,Oropeza和Sacchi(2011)中加權(quán)重插入算法是解矩陣優(yōu)化問題(15)的算法[12]。該算法通過對重排矩陣Md的奇異值不斷的作閾值運(yùn)算來重建低秩矩陣,秩的作用如同變換域的系數(shù)個數(shù),該方法同樣要確定最小特征值的大小和權(quán)重,而權(quán)重可以放大最小特征值,因此該方法和加權(quán)凸集投影法的思想是一致的。Wang等(2011),Cao和Wang(2014)提出用信賴域算法解以1范數(shù)為信賴域的模型[28-29],同樣能夠?qū)崿F(xiàn)稀疏解的求取,證明了在合適的模型下,信賴域方法同樣可以作為稀疏解法。除此之外還有很多解上述模型的算法,請參考Cao等[25]。

        對于無噪聲地震數(shù)據(jù)重建,同樣可以解上面的無約束優(yōu)化形式,其中的正則參數(shù)只要取非常小的正數(shù),因此對于不含噪聲數(shù)據(jù)的重建,正則參數(shù)的選取不存在問題。但是當(dāng)噪聲能量不可忽略時,正則參數(shù)的作用舉足輕重,目前的含噪聲地震重建的文章和算法大都沒有詳細(xì)討論如何確定合適的正則參數(shù)。論文對正則參數(shù)的選擇準(zhǔn)則進(jìn)行梳理,列出幾種正則參數(shù)的選擇方法。λ是σ的隱函數(shù),即兩者不存在顯示關(guān)系。這兩種參數(shù)都可以看作是正則參數(shù),在反演理論中,存在兩種策略來估計(jì)正則參數(shù):先驗(yàn)的策略和后驗(yàn)的策略[30]。先驗(yàn)策略指的是在計(jì)算之前確定正則參數(shù),但是先驗(yàn)策略只有理論分析意義,實(shí)用性不大。后驗(yàn)策略指的是在求解過程中估計(jì)正則參數(shù),該類方法的實(shí)用性較強(qiáng),比如Morozov偏差原則,廣義偏差原則,交叉檢驗(yàn)原則,L曲線等方法[30],前三種方法都需要知道噪聲的能量。即使正則參數(shù)λ給定,在求解時也往往采用同倫法求解,其思路是求解λ逐漸下降的一系列無約束模型直到給定的λ,用上一個模型的解作為下一個模型的初始解,這樣可以防止得到局部最優(yōu)解。

        2 數(shù)值模擬

        下面給出算法1求解1范數(shù)正則化的模型(14)來證明當(dāng)反演模型給定時,正則參數(shù)正確與否決定含噪聲數(shù)據(jù)的重建和去噪的效果。

        算法1:

        第一步:輸入采樣數(shù)據(jù)dobs,采樣矩陣Φ,稀疏變換Ψ,最大迭代次數(shù)N,噪聲能量的估計(jì)ε,最小閾值τmin,令k=0。

        第三步:通過軟閾值運(yùn)算求出變換域的系數(shù)αk+1=Tτk(ΨT(dk+rk)),返回時間-空間域的解dk+1=Ψαk+1。

        第五步:輸出最終結(jié)果df=dN。

        將Morozov偏差原則和迭代次數(shù)結(jié)合起來作為停機(jī)準(zhǔn)則。算法1的閾值下降方式采用指數(shù)下降[19],τ的下降對應(yīng)于正則參數(shù)λ的下降。

        圖1 (a)不含噪聲模擬數(shù)據(jù);(b)不含噪聲模擬數(shù)據(jù)的F-K譜Fig.1 (a)Noise-free synthetic data;(b)F-K spectrum of Fig.1a

        圖2 (a)含隨機(jī)噪聲的數(shù)據(jù),信噪比為6.3963 dB;(b)含隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)的頻譜Fig.2 (a)Noisy synthetic data with SNR=6.3963 dB;(b)F-K spectrum of Fig.2a

        圖3 (a)隨機(jī)采樣的含噪聲數(shù)據(jù),信噪比2.6498 dB;(b)隨機(jī)采樣的含噪聲數(shù)據(jù)的F-K譜Fig.3 (a)Randomly sampled noisy data with SNR=2.6498 dB; (b)F-K spectrum of of Fig.3a

        圖4 (a)閾值為0.2時的重建結(jié)果,信噪比13.7644 dB;(b)圖4a的F-K譜Fig.4 (a)Interpolated result with the least threshold value 0.2,SNR=13.7644 dB;(b)F-K spectrum of Fig.4a

        圖5 (a)閾值為0.01的重建結(jié)果,信噪比7.1445 dB;(b)圖5a的F-K譜.Fig.5 (a)Interpolated result with the least threshold value 0.01,SNR=7.1445 dB;(b)F-K spectrum of Fig.5a

        圖6 (a)圖5(a)與原始數(shù)據(jù)的誤差;(b)圖6(a)的F-K譜.Fig.6 (a)Difference between Fig.5a and the original noiseless data;(b)F-K spectrum of Fig.6a

        圖7(a)是一個時間采樣點(diǎn)為276,含有232道的二維地震剖面,時間采樣率為4毫秒,道間距為25米,該數(shù)據(jù)含有一定程度的噪聲,圖7(b)是該數(shù)據(jù)的F-K譜;圖8(a)為圖7(a)隨機(jī)采樣50%道的結(jié)果,圖8(b)為其F-K譜;圖9(a)為閾值法的結(jié)果,由圖9(a)可以看出不僅實(shí)現(xiàn)了重建而且提高了信噪比。圖9(b)為其F-K譜。最小閾值為0.04,該閾值經(jīng)過測試得到,采用60步迭代。圖10(a)為原始數(shù)據(jù)與重建結(jié)果之差,幾乎不存在有效信號,圖10(b)為圖10(a)的頻譜。

        圖7 (a)含噪聲二維剖面;(b)圖7(a)的F-K譜Fig.7 (a)Noisy 2D field data;(b)F-K spectrum of Fig.7a

        圖8 (a)隨機(jī)采樣50%地震道的二維剖面;(b)圖8(a)的F-K譜Fig.8 (a)Randomly sampled data with 50% traces missing;(b)F-K spectrum of Fig.8a

        圖9 (a)迭代閾值法的重建結(jié)果;(b)圖9(a)的F-K譜.Fig.9 (a) Interpolated result with the thresholding method;(b)F-K spectrum of Fig.9a

        圖10 (a)重建結(jié)果與原始數(shù)據(jù)的誤差;(b)圖10(a)的F-K譜Fig.10 (a) Difference between the interpolated data and the original data;(b)F-K spectrum of Fig.10a

        下面通過一個三維數(shù)據(jù)試驗(yàn)來進(jìn)一步驗(yàn)證文章的結(jié)論。雖然對于三維數(shù)據(jù)也可以用二維變換對時間或頻率切片執(zhí)行,但是這樣做沒有利用數(shù)據(jù)在三維空間的連續(xù)性,因此論文采用三維變換為稀疏變換[32]。圖11(a)為含噪聲的三維數(shù)據(jù),大小為,時間采樣率為4毫秒,道間距為12.5米。圖11(b)為圖11(a)的采樣,隨機(jī)的采樣50%道,圖12(a)為基于本文的重建方法的結(jié)果,閾值經(jīng)過了精心選擇,該方法不僅重建了地震道,而且消除了隨機(jī)噪聲,提高了信噪比,圖12(b)為原始數(shù)據(jù)和重建結(jié)果的誤差,幾乎不存在有效信號。

        圖11 (a)含噪聲的三維數(shù)據(jù)體;(b)隨機(jī)采樣50%的結(jié)果Fig.11 (a)Noise contained 3D data;(b)50% randomly sampled result of Fig.11a

        圖12 (a)迭代閾值法重建的結(jié)果;(b)重建結(jié)果與圖11(a)的誤差Fig.12 (a)Interpolation result with the thresholding method;(b)the difference between Fig.12a and Fig.11b

        3 結(jié)論與討論

        文章對基于稀疏變換和矩陣完備理論的地震數(shù)據(jù)重建問題的數(shù)學(xué)模型和算法進(jìn)行了歸納總結(jié),給出了凸集投影算法的一種推導(dǎo)過程,證明凸集投影法是求解等式約束反演模型的方法,闡明了其不適合含噪聲數(shù)據(jù)重建的原因。正則參數(shù)的選擇是基于稀疏反演的含噪聲數(shù)據(jù)重建的關(guān)鍵,文章介紹了幾種正則參數(shù)的選擇方法和原則,闡明了只有正則參數(shù)合適算法才能得到合適的解。最后用迭代閾值法求解含噪聲數(shù)據(jù)重建試驗(yàn)證明正則參數(shù)選擇的重要性。

        對于反演問題,正則算子和正則參數(shù)是決定反演成敗的關(guān)鍵,更多的研究應(yīng)該集中于這兩方面。目前正則參數(shù)一般由經(jīng)驗(yàn)和嘗試所得,這會耗費(fèi)一定的時間,研究含噪聲數(shù)據(jù)重建的自適應(yīng)方法,在沒有過多人為干預(yù)的情況下實(shí)現(xiàn)含噪聲數(shù)據(jù)的重建和去噪具有重要意義。

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