倪成才 方昆升 唐小焱

（1. 北華大學(xué)林學(xué)院，吉林 吉林 132013；2. 廣州天權(quán)信息科技有限公司，廣東 廣州 510635；3. 貴州財經(jīng)大學(xué)大數(shù)據(jù)應(yīng)用與經(jīng)濟學(xué)院，貴州 貴陽 550005）

林分的優(yōu)勢木平均樹高(簡稱優(yōu)勢樹高)主要受立地質(zhì)量和林分年齡的影響[1]。為了對比不同年齡林分的立地質(zhì)量，需要將林分的優(yōu)勢樹高轉(zhuǎn)換為一個特定林齡時的樹高，以消除林分林齡對優(yōu)勢樹高的影響效應(yīng)，此特定林齡稱為指數(shù)年齡，指數(shù)年齡時的優(yōu)勢樹高稱為立地指數(shù)，是林業(yè)上在衡量立地質(zhì)量的重要量化指標(biāo)[2]。

在林學(xué)上，將現(xiàn)時林分優(yōu)勢樹高轉(zhuǎn)化為立地指數(shù)的模型稱為立地指數(shù)模型[3]。目前，廣泛應(yīng)用的立地指數(shù)模型為Clutter 和Bailey 于1974 年提出的差分模型[4]，以及Cieszewski 和Bailey 于2000 年提出的廣義差分模型[5]。差分型立地指數(shù)模型假設(shè)在理論生長模型中，例如理查德方程，僅有一個隨林分(立地質(zhì)量)變化而變化的可變參數(shù)，如果指定漸近線參數(shù)(asymptote)為可變參數(shù)，則可以導(dǎo)出單型模型；而指定漸近線以外的參數(shù)為可變參數(shù)時，則可導(dǎo)出多型模型[3]。

差分型立地指數(shù)模型根據(jù)一個林分在現(xiàn)時t1時的優(yōu)勢樹高h1來估計在指數(shù)年齡t2時的樹高h2，模型給出的h2估計值和實測值間必然存在差異，其受多個隨機因素的影響，包括t2和t1間的距離、模型參數(shù)的估計誤差、以及與h1和h2分別相關(guān)聯(lián)的隨機誤差項等[1-3]。本文以實測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，對估計誤差的行為模式進行經(jīng)驗性分析。

1 材料與方法

1.1 立地指數(shù)模型

本文考慮的理論生長方程包括豪斯費爾德（Hossfeld）、考爾夫（Korf）、理查德（Richards）[2]、威布爾（Weibull）、單分子（Mitscherlich）以及邏輯斯蒂（Logistic）模型[3]，均為三參數(shù)的生長方程。由于單分子和邏輯斯蒂模型擬合殘差均方明顯高于其它生長方程，因而在后續(xù)分析不予考慮，僅以表1 中4 個模型為基礎(chǔ)模型，并推導(dǎo)出了8 個差分型生長模型，單型和多型模型各有4 個，均同時列于表1。

1.2 數(shù)據(jù)

數(shù)據(jù)來源于110 個黑云杉Picea mariana 樣地優(yōu)勢木的樹干解析。樣地布設(shè)于加拿大哥倫比亞省的黑云杉天然林，面積為0.04 hm2，20 m×20 m。每個樣地選取了胸徑最大的3 株優(yōu)勢木，每株優(yōu)勢木未經(jīng)歷過任何影響樹高生長的損傷、疾病或受壓等過程。每株優(yōu)勢木在0.3、0.8 和1.3 m 處，以及胸高以上每隔1 m 處截斷，查取年輪數(shù)，并縱切獲取樹高數(shù)據(jù)。

表1 理論生長模型及導(dǎo)出的差分立地指數(shù)模型Table 1 Theoretical growth functions and derived ADA site index models

1.3 估計誤差的分析方法

所用數(shù)據(jù)為樹干解析逐年的年齡和樹高。對于模型擬合來說數(shù)據(jù)過多，也與現(xiàn)實中重復(fù)觀測的優(yōu)勢樹高的數(shù)據(jù)不同，因而通過SAS 的IML 過程，以樣地測量時林齡為起點，從樹高生長序列中每隔10 年提取一組樹高—年齡的數(shù)據(jù)，共計5次，以模仿實際應(yīng)用中的重復(fù)觀測數(shù)據(jù)。

表1 中的8 個立地指數(shù)模型用SAS9.2 的nlin過程擬合，采用了分類變量回歸法擬合模型，其技術(shù)細節(jié)可參考Cieszewski 等[6]。在完成模型擬合后，需要分析每一個模型的立地指數(shù)估計誤差的行為模式和變化規(guī)律。假設(shè)有n 個樣地的數(shù)據(jù)，給定第i 個樣地在年齡t1時的優(yōu)勢樹高為hi,1，估計在指數(shù)年齡t2時的樹高 h?i,2(立地指數(shù))，所有樣地的估計誤差均方(MSE)可定義為

由于差分模型通過一個年齡時(t1)樹高(h1)估計另一個年齡時(t2)的樹高(h2)，因而又常稱之為投影模型。立地指數(shù)常用于作為林分特征預(yù)估方程的預(yù)測變量，例如蓄積和胸斷面積等。式(9)中MSE 可用于近似地代表從(t1, h1)投影到(t2, h2)的估計誤差的方差，便于評估立地指數(shù)估計誤差對其它林分特征的預(yù)測誤差的影響效應(yīng)(誤差分量)。通過不同的t1和t2取值組合，可以分析在不同投影長度t1和t2間的距離和投影方向時不同模型的估計誤差的變化規(guī)律。投影方向指t1和t2間對比關(guān)系，例如t1≤t2時，由于投影方向與時間軸一致，因而可稱之為正向投影，否則為反向投影。

2 結(jié)果與分析

2.1 模型擬合結(jié)果

利用SAS 9.2 的nlin 過程擬合了表1 中8 個差分指數(shù)模型，各模型的參數(shù)估計值和擬合殘差均方列于表2。由于各模型均有3 個參數(shù)，因而可以用擬合殘差均方對比擬合效果。一般而言，源于同一理論方程的多型模型優(yōu)于單型模型。模型(2)的擬合殘差均方值最小，為0.353 0 m2，但與其它多型模型相比，優(yōu)勢并不明顯。

表2 選用的立地指數(shù)模型的參數(shù)估計值Table 2 Parameter estimates for selected site index models

由于誤差均方(MSE)與預(yù)測誤差的方差密切相關(guān)，可用于評估立地指數(shù)對其它林分特征預(yù)估準(zhǔn)確性的影響效應(yīng)，因而如下的分析將以誤差均方(MSE)為主，以平均相對誤差(MRE)為輔。

2.2 估計誤差的經(jīng)驗性分析

不同投影方向和投影距離時，代表性的MSE行為模式示意于圖1 和2。圖1 和圖2 分別給出了當(dāng)t1=100 和60 時隨t2值變化的誤差均方(MSE)的變化模式。當(dāng)t2=t1時MSE 值為0，所有的差分指數(shù)模型包括廣義差分模型，均有這一性質(zhì)，例如表1 的8 個模型均如此。

圖1 估計誤差均方隨指數(shù)年齡t2 的變化趨勢(t1=100)Fig. 1 The trends of mean squared estimate error with t2 at t1=100

圖2 估計誤差均方隨指數(shù)年齡t2 的變化趨勢(t1=60)Fig. 2 The trends of mean squared estimate error with t2 at t1=60

估計誤差均方(MSE)一般隨投影距離增加而增加。當(dāng)t2＞t1時(正向投影)，一般表現(xiàn)為隨投影距離的增加而單調(diào)增加；但當(dāng)t2＜t1時(反向投影)，MSE 首先隨投影距離而增加，達到一個峰值后再逐漸下降，如圖1 所示。

在投影距離一定時，反向投影(t2＜t1時)的MSE 往往明顯低于正向投影(t2＞t1時)。假設(shè)林分現(xiàn)時年齡t1=60，如果投影距離為20 年，圖2顯示反向投影的MSE 約為0.35 m2，但正向投影的MSE 則約為0.90 m2。一般而言，反向投影的MSE 值一般均在可接受的范圍之內(nèi)。從圖2 可見，從t1=60 投影到t2=140 時，立地指數(shù)的估計誤差均方最高可達10 m2。

在投影距離和方向均相同時，多型模型的MSE 往往顯著地少于單型模型。在圖2 中共計有8 個立地指數(shù)模型的估計誤差MSE 曲線，單型和多型各有4 個。在80 到140 年的范圍內(nèi)，多型和單型MSE 變化曲線自然地匯聚而成2 個截然不同的曲線族。單型曲線的MSE 相互重疊，位于圖2上方，相互間幾乎無法分辨，表現(xiàn)出了高度一致的行為模式；而多型曲線則位于下方，表現(xiàn)出一致的、與單形曲線完全不同的MSE 變化規(guī)律，且MSE 值系統(tǒng)地顯著少于單型曲線，例如當(dāng)t2=140時，多型模型的MSE 約為6 m2，而單型模型的MSE 卻高達10 m2，參考圖2。

平均相對誤差(MRE)行為模式的代表性結(jié)果示于圖3 和4。MRE 同MSE 相比，行為模式基本一致，MRE 同樣表現(xiàn)出了隨投影距離延長而增加的趨勢，而且單型曲線也內(nèi)部趨勢一致，與多型曲線截然不同，MRE 往往明顯高于多型曲線。MRE 和MSE 相比，也有幾點不同。第一點，在反向投影(t2＜t1)時，MRE 表現(xiàn)出一定程度的單調(diào)性，隨著投影距離的延長MRE 單調(diào)增加，并不存在一個類似于MSE 的峰值。第二點，正向投影的MRE 隨投影距離增加速度低于反向投影，這一點也與MSE 不同。

圖3 平均相對誤差隨指數(shù)年齡t2 的變化趨勢(t1 =100)Fig. 3 The trends of mean relative error with t2 at t1 =100

圖4 平均相對誤差隨指數(shù)年齡t2 的變化趨勢(t1=60)Fig. 4 The trends of mean relative error with t2 at t1=60

3 結(jié)論與討論

從以上分析可見，在估計立地指數(shù)時應(yīng)盡量地避免長距離投影(預(yù)測)，以減少估計誤差，因而需要確定合理的指數(shù)年齡(t2)以降低投影距離。關(guān)于指數(shù)年齡的討論可參考陳永富[7]的報道。從控制MRE 角度看，一方面要通過合理的指數(shù)年齡降低投影距離，另一方面則需要盡可能地減少反向投影。但從MSE 角度看，特別是當(dāng)立地指數(shù)將作為其它林分特征(例如蓄積)的預(yù)測變量時，則在確定指數(shù)年齡時應(yīng)盡量減少正向投影，因為較大MSE 可能極大地降低目標(biāo)林分特征的預(yù)測準(zhǔn)確性。無論MRE 或MSE，均要求應(yīng)根據(jù)總體的林齡結(jié)構(gòu)，以及各林齡的面積比例系數(shù)等因素來確定指數(shù)年齡，而不可以隨意指定。這一結(jié)論與差分模型的指數(shù)年齡無關(guān)性(base-invariance)并不矛盾，因為這一屬性僅為差分模型的期望方程的一個性質(zhì)。