（鄭州鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣工程學(xué)院，河南 鄭州 454000）

近年來，模型預(yù)測控制在電力電子與電力傳動領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注[1-2]，應(yīng)用場景包括電機驅(qū)動[3]、逆變器[4]、電力電子變壓器[5]和矩陣變換器[6]等。通常，根據(jù)產(chǎn)生控制功率開關(guān)的脈沖控制信號的不同，模型預(yù)測控制技術(shù)可分為兩類，一類利用預(yù)測算法產(chǎn)生連續(xù)輸出作為調(diào)制參考，進而基于脈寬調(diào)制（pulse width modulation，PWM）模塊生成固定開關(guān)頻率的脈沖控制信號[7]，而另一類模型預(yù)測控制直接剔除PWM模塊，使用有限的開關(guān)狀態(tài)進行成本函數(shù)評估，選擇最優(yōu)開關(guān)狀態(tài)進行輸出即可，故也稱為有限集模型預(yù)測控制（finite control set model predictive control，F(xiàn)CSMPC）[8]。

FCSMPC的優(yōu)點主要體現(xiàn)在具有快速的動態(tài)響應(yīng)、實現(xiàn)簡單以及可直接處理非線性和多目標約束等[9]。但直接使用系統(tǒng)模型來選擇最優(yōu)控制輸出會存在建模誤差或參數(shù)變化使控制性能發(fā)生變化的缺點。因此，誤差分析仍是FCSMPC研究中的一個重點問題[10]。此外，由于FCSMPC的非線性特性，使得線性系統(tǒng)中相關(guān)參數(shù)擾動的評估分析方法不再適用。有文獻通過研究FCSMPC在不確定情景下的行為，從而基于經(jīng)驗評估了模型參數(shù)不匹配對控制性能的影響，這些研究涉及的應(yīng)用對象包括整流器[11]、三相電壓源型逆變器[12]和電機驅(qū)動變頻器[13]等。文獻[14]對電感參數(shù)變化進行了定性分析，并推演出指南以指導(dǎo)減少電感參數(shù)不匹配對控制性能影響。而對于負載電阻參數(shù)的不確定性，通常將其對FCSMPC運行的影響進行忽略[14-15]。文獻[16]則是關(guān)注了負載參數(shù)不匹配下對FCSMPC控制性能的影響，并設(shè)計了改進方案，但其運算量大、對系統(tǒng)處理器要求較高。上述這些研究主要還是集中在定性分析層面，沒有深入探究參數(shù)擾動對FCSMPC運行的影響。此外，研究手段也是主要依靠經(jīng)驗來對參數(shù)擾動的影響進行評估。本文通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)，得到模型參數(shù)擾動對FCSMPC控制性能影響的解析表達式，進而可實現(xiàn)模型參數(shù)擾動對FCSMPC控制性能影響的定量評估。其中研究對象為三相逆變器的模型預(yù)測電流控制器。最后，基于實驗驗證了研究結(jié)果。

1 逆變器系統(tǒng)模型和FCSMPC方案

下面引出逆變器數(shù)學(xué)模型及對應(yīng)的FCSMPC。同時，為了對比，也對傳統(tǒng)基于空間矢量調(diào)制和PI控制器的線性電流控制方案進行了回顧。

1.1 逆變器數(shù)學(xué)模型

圖1為三相逆變器的電路模型。

圖1 三相逆變器的電路模型Fig.1 Circuit model of three-phase inverter

由圖1可得三相逆變器的動態(tài)模型表述為

式中：v為逆變器輸出電壓矢量；va，vb，vc分別為逆變器三相輸出電壓；i為逆變器輸出電流矢量；ia，ib，ic分別為逆變器三相輸出電流；L0，R0分別為電感和電阻；v0為電壓源矢量。

三相兩電平逆變器具有6個非零電壓矢量和2個零電壓矢量。此外，式（1）可擴展至具有任意電平數(shù)和不同相數(shù)的逆變器，僅對應(yīng)逆變器拓撲而改變輸出電壓矢量即可。另一方面，式（1）中的數(shù)學(xué)模型即可表示逆變器帶交流電機負載或逆變器并網(wǎng)，前者電感和電阻元件即代表定子或轉(zhuǎn)子等效電感和電阻參數(shù)，電壓源矢量對應(yīng)于電機反電動勢；而后者電感和電阻元件對應(yīng)為濾波器和線路阻抗建模，電壓源矢量則代表電網(wǎng)電壓。設(shè)采樣周期為Ts，使用前向歐拉方法進行離散化，可得到離散模型如下：

1.2 FCSMPC算法

FCSMPC算法執(zhí)行時，在每個采樣周期將計算選擇要應(yīng)用于逆變器的最優(yōu)開關(guān)狀態(tài)組合進行輸出。這是通過系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型來預(yù)測和比較每個有效控制動作的行為來實現(xiàn)的，這些動作即是逆變器的輸出電壓矢量狀態(tài)。預(yù)測通常可在一個或多個采樣周期范圍內(nèi)進行，當(dāng)選擇兩步長預(yù)測時，意味著在第（k+2）個采樣時刻進行評估預(yù)測，這樣做的優(yōu)點在于可以補償預(yù)測控制器中數(shù)字化實現(xiàn)所帶來的不可避免的計算延遲。完成預(yù)測后，根據(jù)所需的控制目標和約束設(shè)計定義成本函數(shù)并應(yīng)用于該組預(yù)測，并評估各個控制動作，以選擇最優(yōu)電壓矢量輸出。本文使用的成本函數(shù)旨在實現(xiàn)負載電流參考值跟蹤，如下式所示：

通過對式（2）迭代即可得到：

1.3 線性電流控制方案

為了評估建模中參數(shù)擾動對FCSMPC控制性能的影響，將FCSMPC方案與基于空間矢量調(diào)制和PI控制器的線性電流控制方案進行比較。線性電流控制器在同步旋轉(zhuǎn)d-q坐標系中實現(xiàn)，可實現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)誤差，同時可通過設(shè)置前饋項剔除由電感引起的交叉耦合效應(yīng)。

在s域中PI控制器的傳遞函數(shù)如下：

式中：C（s）為PI控制器的傳遞函數(shù)；Kp，Ki分別為比例和積分系數(shù)。

對PI參數(shù)的設(shè)定問題，文獻[17]依據(jù)系統(tǒng)動態(tài)和延遲所帶來的約束下盡可能地擴展閉環(huán)系統(tǒng)帶寬的原則進行參數(shù)選擇，稱為幅值最優(yōu)參數(shù)整定流程。采用此流程整定參數(shù)的線性電流控制方案可與FCSMPC方案進行合理對比，因為FCSMPC具有較為快速的動態(tài)響應(yīng)。為了整定線性電流控制器參數(shù)，考慮標稱負載參數(shù)R0和L0所對應(yīng)的動態(tài)特性后設(shè)置積分系數(shù)Ki=L0/R0，此時控制器的零點將抵消來自模型中的主極點。進一步設(shè)置比例系數(shù)Kp=L0/（2T0），T0為調(diào)制和控制算法數(shù)字實現(xiàn)引入的等效延遲，該延遲可近似為T0=1.5TSVM，TSVM為空間矢量調(diào)制算法中的采樣周期。

如上所述，線性電流控制方案的設(shè)計過程也是取決于模型參數(shù)。因此，參數(shù)不確定性的存在也將影響線性控制器的性能。就穩(wěn)態(tài)性能而言，線性電流控制中的積分項將考慮到負載參數(shù)的變化，從而獲得零穩(wěn)態(tài)誤差，但負載參數(shù)與其標稱值不同時，控制器設(shè)計的零極點對消不再成立，這將引起閉環(huán)響應(yīng)中更高階動態(tài)的出現(xiàn)，從而惡化動態(tài)響應(yīng)。

2 模型參數(shù)擾動對FCSMPC的影響分析

在下述分析中，為了使表達式更為簡單和緊湊，只分析一步預(yù)測的情形，但分析結(jié)果可擴展到具有兩步預(yù)測的情況。

定義預(yù)測誤差如下：

式中：Δ為預(yù)測誤差，代表了無參數(shù)擾動模型預(yù)測的電流值與含參數(shù)擾動的模型預(yù)測的電流值之間的差值。

將式（2）和式（6）代入到式（7）中可得：

圖2 負載參數(shù)擾動時的預(yù)測誤差變化曲線Fig.2 Prediction error curves with load parameters disturbance

圖3 矢量相角變化時的預(yù)測誤差變化曲線Fig.3 Prediction error curves with vector phase angle changed

3 實驗驗證

為了驗證上述模型參數(shù)擾動對FCSMPC算法的影響分析，搭建了如圖4所示的實驗平臺，開展了相關(guān)實驗以說明負載電阻和電感參數(shù)擾動對FCSMPC控制性能的影響。實驗采用了FCSMPC控制方案與線性電流控制方案對比的方式進行。圖4中主要的實驗裝置包括一臺型號為丹佛斯VLT5008的電壓源型三相逆變器、三相阻感負載、dSPACE1103實時仿真系統(tǒng)和上位機。其中FCSMPC算法和線性控制算法均基于dSPACE1103實時控制器實現(xiàn)。線性電流控制器中空間矢量調(diào)制模塊的采樣周期TSVM=250 μs，故FCSMPC控制器中的采樣周期設(shè)置為Ts=50 μs，這使得在標稱負載參數(shù)條件下獲得的平均開關(guān)頻率與線性電流控制器相當(dāng)。實驗系統(tǒng)其他主要參數(shù)為：直流側(cè)電壓Vdc=100 V，直流鏈路電容Cdc=2 400 μF，逆變器額定輸出電流inorm=5.5 A，額定頻率fnorm=50 Hz，標稱負載電阻R0=10 Ω，標稱負載電感L0=10 mH，負載反電動勢幅值VEM=2 V，負載反電動勢頻率fEM=50 Hz，采樣周期Ts=50 μs。

圖4 實驗裝置構(gòu)成Fig.4 Composition of experimental devices

3.1 負載參數(shù)擾動下的穩(wěn)態(tài)性能分析

首先，基于實驗平臺進行了穩(wěn)態(tài)實驗，F(xiàn)CSMPC控制器中的電感參數(shù)設(shè)置為L0=10 mH，而實際負載電感分別設(shè)置為5 mH，10 mH和15 mH。實驗中設(shè)置不同的電流參考值，并同時進行了線性電流控制器的測試。圖5為負載電感參數(shù)誤差下的實驗結(jié)果匯總。

圖5 負載電感參數(shù)誤差下的實驗結(jié)果匯總Fig.5 Summary of experimental results under load inductance parameter error

由圖5可知，線性電流控制器能夠在所有測試條件下實現(xiàn)零穩(wěn)態(tài)誤差，這是因為其設(shè)置了積分項。另一方面，F(xiàn)CSMPC控制器在|i*|低于0.2（標幺值）時具有更大的穩(wěn)態(tài)誤差，即使實際負載電感參數(shù)與模型參數(shù)保持一致，這是因為FC-SMPC控制器中僅僅將電流跟蹤作為控制目標導(dǎo)致的。此外，負載電感參數(shù)誤差對預(yù)測控制器的穩(wěn)態(tài)誤差有一定的影響，并在實際電感值低于模型中電感值的情況下趨于嚴重。

與負載電感擾動類似，將FCSMPC控制器中的電阻參數(shù)設(shè)置為R0=10 Ω，而實際負載電阻分別設(shè)置為5 Ω，10 Ω和20 Ω進行了第二組測試，實驗結(jié)果如圖6所示。圖6實驗結(jié)果顯示，與負載電感參數(shù)擾動的情況不同，當(dāng)R/R0=2且參考電流增大時，線性電流控制器出現(xiàn)飽和導(dǎo)致了較大的穩(wěn)態(tài)誤差，但對應(yīng)FCSMPC在此種情況下具有更小的穩(wěn)態(tài)誤差，因為其受線性調(diào)制范圍限制。同時類似于電感參數(shù)擾動，F(xiàn)CSMPC的穩(wěn)態(tài)誤差也受電阻參數(shù)擾動的影響，并在參考電流較小的情況下更為嚴重。

圖6 負載電阻參數(shù)誤差下的實驗結(jié)果匯總Fig.6 Summary of experimental results under load resistance parameter error

進一步設(shè)置兩組負載參數(shù)擾動，即L/L0=1.5和R/R0=2，以及L/L0=0.5和R/R0=0.5，進行輸出電流總諧波含量iTHD的對比分析，結(jié)果如圖7所示。

圖7 負載參數(shù)擾動下的電流諧波分析Fig.7 Current harmonic analysis under load parameters disturbance

圖7中，負載參數(shù)擾動對FCSMPC控制器和線性電流控制器的穩(wěn)態(tài)諧波控制性能均有負面影響，因為負載電阻和電感參數(shù)決定了負載電流的動態(tài)特性，從而影響了與諧波含量密切相關(guān)的紋波特性。圖7a為L/L0=1和R/R0=1時，即參數(shù)準確的情況下逆變器輸出電流參考值不同時的iTHD，圖7b為L/L0=1.5和R/R0=2時，即建模參數(shù)偏小的情況下的iTHD分布，對比兩者可看出，實際負載參數(shù)大于模型參數(shù)時，輸出電流THD是減小的。圖7c為L/L0=0.5和R/R0=0.5時，即建模參數(shù)偏小的情況下的iTHD分布，對比圖7b可看出，兩種控制器的輸出電流THD都將顯著增大。

3.2 負載參數(shù)擾動下的動態(tài)性能分析

圖8、圖9分別為FCSMPC控制器和傳統(tǒng)線性電流控制器在不同負載電感參數(shù)擾動下的a相參考電流ia階躍動態(tài)響應(yīng)結(jié)果。由于實際電感參數(shù)對電流濾波特性有很大影響，故圖8c和圖9c中的電流紋波較大，同時FCSMPC控制器更為明顯。如前述分析，當(dāng)建模電感參數(shù)大于實際負載電感時，F(xiàn)CSMPC的預(yù)測誤差將受到更大影響，圖8c中的實驗結(jié)果也證實了這一論述。盡管隨著負載電感參數(shù)的擾動，F(xiàn)CSMPC出現(xiàn)了明顯的電流紋波，但FCSMPC的動態(tài)響應(yīng)基本不受影響。但根據(jù)圖9所示的實驗結(jié)果顯示負載電感參數(shù)的擾動對線性電流控制器的動態(tài)響應(yīng)造成了不利影響，這是因為線性電流控制器的控制參數(shù)是基于負載參數(shù)整定的。綜上，圖8、圖9實驗波形表明，F(xiàn)CSMPC控制器和傳統(tǒng)線性電流控制器相比，在涉及負載電感參數(shù)較大擾動，即L/L0=0.5時，F(xiàn)CSMPC出現(xiàn)了明顯的電流紋波，即諧波增多、穩(wěn)態(tài)性能欠佳，其原因是實際電感值低于模型中電感值的情況下，F(xiàn)CSMPC控制器每個步長的預(yù)測誤差偏大，從而在成本函數(shù)計算時，有一定的概率沒有得到最優(yōu)的電壓矢量進行輸出，從而造成了諧波性能下降。但是FCSMPC控制器的動態(tài)性能并沒有受到影響，反之傳統(tǒng)線性電流控制器在涉及負載電感參數(shù)較大擾動時，電流紋波較小，即諧波增加不明顯，但是動態(tài)性能受到影響。

圖8 負載電感參數(shù)擾動下的動態(tài)響應(yīng)（FCSMPC控制器）Fig.8 Dynamic response under disturbance of load inductance parameters（FCSMPC controller）

圖9 負載電感參數(shù)擾動下的動態(tài)響應(yīng)（線性電流控制器）Fig.9 Dynamic response under disturbance of load inductance parameters（linear current controller）

圖10、圖11分別為FCSMPC控制器和傳統(tǒng)線性電流控制器在不同負載電阻參數(shù)擾動下的a相參考電流階躍動態(tài)響應(yīng)結(jié)果。

圖10 負載電阻參數(shù)擾動下的動態(tài)響應(yīng)（FCSMPC控制器）Fig.10 Dynamic response under disturbance of load resistance parameters（FCSMPC controller）

圖11 負載電阻參數(shù)擾動下的動態(tài)響應(yīng)（線性電流控制器）Fig.11 Dynamic response under disturbance of load resistance parameters（linear current controller）

對比圖10、圖11可以看出，在不同負載電阻參數(shù)擾動下，包括參數(shù)匹配的情況下，F(xiàn)CSMPC的動態(tài)響應(yīng)是明顯快于線性電流控制器的。同時，如圖11c所示，當(dāng)負載電阻參數(shù)只有其標稱值的50%時，線性電流控制器的動態(tài)響應(yīng)呈現(xiàn)出更高的超調(diào)和振蕩。綜上，圖10、圖11實驗波形表明，F(xiàn)CSMPC控制器和傳統(tǒng)線性電流控制器相比，在涉及負載電阻參數(shù)較大擾動時，兩者的穩(wěn)態(tài)性能沒有受到太大影響，但是傳統(tǒng)線性電流控制器出現(xiàn)了較大的超調(diào)和振蕩，故動態(tài)性能明顯不如FCSMPC控制器。

4 結(jié)論

本文研究了模型參數(shù)擾動對FCSMPC控制策略的影響，研究基于三相二電平逆變器的電流預(yù)測控制開展，現(xiàn)總結(jié)主要結(jié)論如下：

1）理論推導(dǎo)表明，F(xiàn)CSMPC的預(yù)測誤差不僅取決于模型中各個負載參數(shù)的不確定性，還取決于逆變器當(dāng)前步長的負載電流值和輸出電壓值，尤其是當(dāng)2個矢量方向完全相反時，預(yù)測誤差達到最大。

2）通過與線性電流控制器的對比動靜態(tài)實驗結(jié)果表明，在負載電阻參數(shù)擾動下，F(xiàn)CSMPC的穩(wěn)態(tài)誤差將增加，而負載電感參數(shù)的變化導(dǎo)致較大的電流紋波，尤其在預(yù)測模型高估實際電感值時趨于嚴重。但當(dāng)負載參數(shù)不匹配的情況下，F(xiàn)CSMPC的動態(tài)階躍響應(yīng)比線性電流控制器的魯棒性更好。

考慮到模型中電感值與實際電感值不匹配導(dǎo)致FCSMPC控制器預(yù)測誤差偏大，進而使得穩(wěn)態(tài)性能下降的問題，進一步的研究方向為：在FCSMPC控制器每次迭代中計算預(yù)測誤差，優(yōu)化電壓矢量輸出，從而改善和加強控制器的魯棒性。