王中雙,師永珍,尹久政

(齊齊哈爾大學 機電工程學院,黑龍江 齊齊哈爾 161006)

0 引 言

隨著現代機械裝備性能的不斷提高,系統(tǒng)不再局限于單一的機械能域,往往由多能域(例如機、電)子系統(tǒng)所構成。以分析力學及彈性力學為基礎的各類動力學分析方法(例如牛頓-歐拉動力學方法、拉格朗日方法)及軟件[1,2]僅適用于機械能域的系統(tǒng),對于多能域系統(tǒng)的一體化計算機建模、動力學仿真及分析存在很大的局限性。

為解決上述問題,鍵合圖方法[3]提供了頗具特色的有效途徑,在實際工程中得到了廣泛的應用[4-6]。文獻[7]基于系統(tǒng)鍵合圖的場和結型結構,較詳細地闡述了用于計算機自動建立系統(tǒng)狀態(tài)方程的矩陣法,該方法對于相當一部分機電系統(tǒng)是非常有效的。但在建立多體系統(tǒng)鍵合圖模型時,每個鍵對應一個勢變量和一個流變量,表達形式比較繁雜,實際應用非常不便。另外,多體系統(tǒng)鍵合圖模型存在微分因果關系,也給實現計算機自動建模帶來了非常大的代數困難。為此,文獻[8]進一步擴展了鍵合圖的概念,提出了向量鍵合圖法。向量鍵合圖的每個鍵對應一個勢向量和一個流向量,表達方式簡明,包含信息更大。文獻[9,10]分別應用向量鍵合圖法實現了電機驅動的平面開鏈機械臂系統(tǒng)、計及運動副間隙的平面四連桿機構的動力學分析,但由于其向量鍵合圖存在微分因果關系,建立系統(tǒng)動力學方程的方式還都局限于手工推導。文獻[11]將機構運動副約束反力向量視作未知勢源向量,添加到系統(tǒng)向量鍵合圖模型相應的0-結,可以完全消除微分因果關系,基于MLSD運動副間隙模型[12],應用向量鍵合圖法實現了含運動副間隙的RRR-RRP六連桿壓力機機構計算機建模與動力學仿真。

但是,對于有些非線性系統(tǒng),其向量鍵合圖貯能場和耗散場方程是非線性的,其建模方法具有很大的局限性。另外,由于MLSD模型采用線性彈簧阻尼描述間隙運動副的接觸碰撞,實際應用中也具有局限性,例如不能反映碰撞過程中的能量轉換特性,其彈簧阻尼器的參數難以確定等。

針對上述問題,筆者提出一種適用于計算機自動建模的向量鍵合圖法,通過對計及驅動電機、非線性運動副間隙的曲柄滑塊壓力機機構系統(tǒng)進行一體化自動建模與動力學仿真,驗證所述方法的可靠性及有效性。

1 系統(tǒng)狀態(tài)方程及運動副約束反力方程

全積分因果關系系統(tǒng)鍵合圖模型場和結型結構如圖1所示。

圖1 全積分因果關系統(tǒng)鍵合圖模型場和結型結構系統(tǒng)獨立貯能場獨立運動的能量變量向量,為m1維列向量;系統(tǒng)獨立貯能場非獨立運動的能量變量向量,為m2維列向量;系統(tǒng)獨立貯能場獨立運動的共能量變量向量,為m1維列向量;系統(tǒng)獨立貯能場非獨立運動的共能量變量向量,為m2維列向量;耗散場的輸入向量、輸出向量,為L維列向量;系統(tǒng)已知源輸入向量,為ms維列向量;系統(tǒng)運動副約束反力向量,為mu維列向量

由圖1可知,對于系統(tǒng)獨立貯能場,可將其特性方程列寫成如下非線性的形式:

(1)

(2)

對于系統(tǒng)耗散場,可將其特性方程列寫成如下非線性的形式:

(3)

系統(tǒng)的結型結構方程可寫成如下形式[13]:

(4)

(5)

(6)

(7)

將式(1～7)聯立,經進一步代數處理可建立系統(tǒng)狀態(tài)方程及運動副約束反力方程。

當det(TLE)≠0時,有:

(8)

式中:I1—L×L單位矩陣。

當JCL=0時,有:

(9)

2 計及運動副間隙的機電系統(tǒng)向量鍵合圖模型

電機驅動含間隙曲柄滑塊壓力機機構系統(tǒng)如圖2所示。

由圖2可知,曲柄AB質心位于A點,其余各桿件均勻。

驅動電機參數如下:電樞線圈電感、電阻分別為La=0.05 H,ra=0.4 Ω,換能系數T=0.678 N·m/A,轉子阻尼系數Da=0.226 N·m·s/rad,電機輸入電壓Vt=60 V,電樞線圈電流強度ia,其初始值ia(0)=0。

系統(tǒng)向量鍵合圖模型如圖3所示。

圖3 系統(tǒng)向量鍵合圖模型滑塊(刀具)的速度向量;容性元件C10的廣義位移、廣義速度向量,即軸與軸套相互碰撞的壓入深度向量、相對彈性變形速度向量;δC—軸與軸套相互碰撞的壓入深度;MBC—連桿BC的質量矩陣,連桿BC質心速度向量,

該系統(tǒng)永磁式直流驅動電動機的鍵合圖模型如圖3中的Ⅰ部分所示[16]。該機構曲柄AB、連桿BC彼此間用轉動副連接,滑塊(刀具)與機架通過移動副連接。由于機構運行時滑塊(刀具)沖切工件會發(fā)生碰撞與沖擊,連接連桿BC與滑塊(刀具)的轉動副C受實際沖切力的影響最直接,極易產生磨損,故這里僅計及轉動副C的間隙。筆者分別建立圖2所示機構各構件的向量鍵合圖模型,將其按照機構的上述運動約束關系鍵接起來,可以建立計及運動副間隙的曲柄滑塊壓力機機構向量鍵合圖模型,將其與圖3Ⅰ驅動電機的鍵合圖模型進一步鍵接,可以建立圖2所示機電系統(tǒng)完整的向量鍵合圖模型。其中,間隙轉動副C的向量鍵合圖模型如圖3中的Ⅱ部分所示。

轉動副C間隙模型簡圖如圖4所示。

圖4 轉動副C間隙模型簡圖Ri—軸套的半徑;Rj—軸的半徑;旋轉鉸C軸與軸套的偏心向量;e—旋轉鉸C軸與軸套的偏心量

由圖4可知:間隙轉動副C用修正非線性連續(xù)接觸碰撞力混合模型來描述。該模型是在L-N碰撞力模型[17]及改進彈性基礎模型[18]的基礎上提出的,解決了碰撞剛度系數的取值問題,且不受間隙尺寸和恢復系數的限制,實際應用中能夠更精確地描述運動副間隙。構件i表示軸套,構件j表示軸,Oi、Oj分別為軸套和軸的軸心點。

設軸與軸套的半徑差為c,則有:

δC=e-c

(10)

c=Ri-Rj

(11)

為建立間隙轉動副C的向量鍵合圖模型,筆者將間隙轉動副碰撞力進一步歸納整理成向量形式:

(12)

(13)

(14)

(15)

3 系統(tǒng)動力學仿真及分析

由本文所述方法可得圖3中與圖1相對應的向量,其中:

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

由圖3所示系統(tǒng)向量鍵合圖,可以建立方程(1～3)的函數關系矩陣:

(24)

(25)

同時,也可以確定方程(4～7)中的函數系數矩陣。

無間隙機構、有間隙機構運動副C約束反力合力曲線、滑塊(刀具)加速度曲線、運動副B約束反力合力曲線如圖5所示。

圖5 機構動力學仿真實驗結果曲線

為驗證上述仿真結果的可靠性,筆者應用牛頓-歐拉動力學方法及電工學方法,分別建立該系統(tǒng)機械部分及驅動電機的動力學方程,并聯立求解。

無間隙機構牛頓-歐拉動力學方法驗證的部分結果如表1所示。

表1 無間隙機構牛頓-歐拉動力學方法驗證的部分結果

含間隙機構牛頓-歐拉動力學方法驗證的部分結果如表2所示。

表2 有間隙機構牛頓-歐拉動力學方法驗證的部分結果

由表1、表2可知:牛頓-歐拉動力學方法驗證的部分結果與用本文方法所得結果是一致的。為更加清晰、直觀地表達這一點,將表1、表2所列數據用涂黑的圓點表示在圖5中,結果顯示這些圓點均在相對應的仿真曲線上。這一驗證過程手工處理量較大,比較費時且容易出錯。

由此可見,本文方法具有如下明顯的優(yōu)勢:(1)將機電耦合系統(tǒng)的動力學建模以統(tǒng)一的程式化方式由計算機來完成,提高了系統(tǒng)動力學建模與仿真工作的自動化程度及可靠性;(2)與現有的鍵合圖方法相比較,本文所推出的系統(tǒng)狀態(tài)方程更具有通用性,特別適用于Fi1、Fi2、R為狀態(tài)變量函數矩陣的非線性系統(tǒng)。

由圖5可知：曲柄的初始位置角為180°;曲柄由初始位置逆時針轉720°,機構完成2個周期的運動。

由圖5(a,b)可得:在系統(tǒng)運行過程中,對于有間隙及無間隙的運動副C,其約束反力曲線總體變化趨勢相近。不考慮間隙時,運動副C的約束反力曲線較光滑。運動副間隙導致其軸與軸套間產生脈沖式的間隙碰撞力,使有間隙的運動副C約束反力曲線呈高頻振蕩狀態(tài),其最大幅值明顯增大。角位移q1=719.983 5°時,無間隙運動副C約束反力的最大值為67 064.328 4 N;角位移q1=719.242 9 °時,有間隙運動副C約束反力的最大值為69 446.965 7 N,其最大值增加了2 382.637 3 N。兩者達到最大值的曲柄角位移差為0.740 6°,這表明運動副C約束反力對其本身的間隙十分敏感。另外,在圖5所示的兩個運動周期內,間隙運動副約束反力合力FC始終大于0,表明運動副軸與軸套處于連續(xù)接觸狀態(tài)。

由圖5(c,d)可得：不考慮運動副間隙時,機構滑塊(刀具)加速度曲線較光滑。考慮運動副C的間隙時,由于間隙對其約束反力的影響,使機構滑塊(刀具)加速度曲線呈高頻波動狀態(tài)。與無間隙機構相對比,有間隙機構刀具的加速度曲線變化趨勢相近,但其正、反向最大幅值均明顯增大。角位移q1=719.983 5°,無間隙機構滑塊(刀具)加速度的反向最大值為-6 706.429 9 m·s-2;角位移q1=719.242 9°,含間隙機構滑塊(刀具)加速度的反向最大值為-6 925.966 6 m·s-2,其反向最大值的絕對值增加了219.536 7 m·s-2,兩者達到反向最大值的曲柄角位移差為0.740 6°;當角位移q1=900°時,無間隙機構滑塊(刀具)加速度的正向最大值為4 584.939 9 m·s-2,含間隙機構滑塊(刀具)加速度的正向最大值為4 848.041 2 m·s-2,其正向最大值增加了263.101 3 m·s-2,這會在較大程度上影響機構運動的穩(wěn)定性。

由圖5(e,f)可得:無間隙機構運動副B約束反力曲線較光滑。由于間隙對運動副C約束反力的直接影響,也使得機構運動副B約束反力曲線呈高頻波動狀態(tài)。與無間隙機構相對比,有間隙機構運動副B約束反力曲線變化趨勢相近,但其最大幅值明顯增大。角位移q1=719.983 5°時,無間隙機構運動副B約束反力的最大值為76 909.736 4 N,角位移q1=719.242 9°時,有間隙機構運動副B約束反力的最大值為79 068.454 6 N,其最大值增加了2 158.718 2 N,兩者達到最大值的曲柄角位移差為0.740 6°,這表明運動副B約束反力對運動副C的間隙也比較敏感。

由此可見,運動副間隙導致其軸與軸套間產生脈沖式的間隙碰撞力,使機構運動副C的約束反力、刀具加速度及運動副B的約束反力的最大值分別增加了3.55%、5.7%、2.8%。這會使機構運行產生較大的沖擊、振動及噪聲,影響機構運動的穩(wěn)定性,也會降低機構構件的強度及使用壽命。

4 結束語

(1)在系統(tǒng)貯能場、耗散場方程是非線性的條件下,筆者建立了系統(tǒng)狀態(tài)方程及運動副約束反力方程,比現有同類方法通用性更強,適用范圍更廣,其程式化的建模方式特別適用于復雜非線性機電系統(tǒng)一體化計算機建模與動力學仿真;

(2)基于修正非線性連續(xù)接觸碰撞力混合模型,筆者推導出了間隙運動副接觸碰撞力向量方程。在此基礎上所建立的間隙轉動副向量鍵合圖模型,具有精細度高、模塊化的特點,便于嵌入到系統(tǒng)的向量鍵合圖模型中,為更精確計及運動副間隙的機電系統(tǒng)一體化計算機建模及動力學仿真奠定了基礎;

(3)根據所建立的計及驅動電機、運動副間隙的曲柄滑塊壓力機機構系統(tǒng)向量鍵合圖模型,實現了系統(tǒng)的一體化計算機建模及動力學仿真。

研究結果表明:本文所述方法是可靠的,提高了機電系統(tǒng)動力學建模與仿真工作的自動化程度;運動副C的間隙對系統(tǒng)動態(tài)性能產生一定程度的影響,使機構運動副C的約束反力、刀具加速度及運動副B的約束反力呈高頻振蕩狀態(tài),其最大值分別增加了3.55%、5.7%、2.8%。該結果說明了本文方法的有效性,對于機構的設計、控制及可靠性問題的研究具有一定的價值。