宋欣，王娜，b，何敏

(青島大學(xué) a.自動(dòng)化學(xué)院; b. 山東省工業(yè)控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東 青島 266071)

0 引言

在復(fù)雜環(huán)境中,影響系統(tǒng)的干擾來(lái)自多方面,如測(cè)量噪聲、未建模動(dòng)態(tài)、建模誤差及外部不同環(huán)境的干擾。這些干擾因素不僅影響系統(tǒng)的控制精度，而且破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，已有文獻(xiàn)嘗試了許多控制策略，研究系統(tǒng)的抗干擾控制問(wèn)題[1-2]。

為減少外部干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，提高系統(tǒng)性能，最直接的辦法是測(cè)量外部系統(tǒng)產(chǎn)生的干擾，利用干擾的測(cè)量值，在控制器中加入前饋補(bǔ)償，抵消外部干擾對(duì)系統(tǒng)的影響。然而，干擾一般是不能直接測(cè)量得到的。為解決這個(gè)問(wèn)題，干擾估計(jì)已經(jīng)得到了業(yè)內(nèi)人士的廣泛關(guān)注，并且提出了許多解決方案，例如擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器[3]、自適應(yīng)估計(jì)[4]和等價(jià)輸入干擾[5]等方法。20世紀(jì)80年代末，基于干擾觀測(cè)器的控制方法(DOBC)被提出并廣泛應(yīng)用于控制系統(tǒng)中。在干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)過(guò)程中，首要任務(wù)是確定觀測(cè)器增益，使干擾估計(jì)誤差快速收斂為0。為構(gòu)造干擾估計(jì)動(dòng)態(tài)誤差系統(tǒng)，需要獲得干擾的導(dǎo)數(shù)信息。文獻(xiàn)[6]提出一種非線性干擾觀測(cè)器，該觀測(cè)器克服了線性觀測(cè)器在摩擦補(bǔ)償、獨(dú)立關(guān)節(jié)控制等方面的缺點(diǎn)，在求解穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)，假設(shè)干擾的導(dǎo)數(shù)為0，滿足系統(tǒng)收斂條件，觀測(cè)器能快速估計(jì)干擾。文獻(xiàn)[7]提出一種滑模非線性觀測(cè)器，假設(shè)未知干擾項(xiàng)上界已知，觀測(cè)器能夠在有限時(shí)間內(nèi)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)和未知干擾。文獻(xiàn)[8]假設(shè)外部系統(tǒng)模型中參數(shù)矩陣已知，提出一種基于全維觀測(cè)器的輸出反饋復(fù)合抗干擾控制方法，極大地提高了系統(tǒng)的抗干擾能力。

上述文獻(xiàn)假設(shè)干擾恒定(或緩慢時(shí)變)、有界或參數(shù)矩陣已知，但在實(shí)際中很難求取精確的參數(shù)矩陣或者保證干擾在穩(wěn)定狀態(tài)下是恒定值。文獻(xiàn)[9]提出了一種基于自適應(yīng)干擾觀測(cè)器的控制方法(ADOBC)，引入自適應(yīng)律估計(jì)未知參數(shù)矩陣，克服干擾對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生影響。此方法與之前文獻(xiàn)提出的方法相比更具實(shí)用性。

從上述文獻(xiàn)可知，針對(duì)參數(shù)矩陣未知的外部系統(tǒng)產(chǎn)生的干擾，在干擾觀測(cè)器中引入自適應(yīng)律能很好地解決此問(wèn)題。本文針對(duì)輸入輸出皆有非線性和外部干擾的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)一種基于自適應(yīng)干擾觀測(cè)器的輸出反饋控制器。構(gòu)造自適應(yīng)律來(lái)估計(jì)未知參數(shù)矩陣，利用得到的估計(jì)信息設(shè)計(jì)復(fù)合控制器，控制器增益和觀測(cè)器增益用線性矩陣不等式(LMI)求解，通過(guò)仿真驗(yàn)證了本文提出方法可以將外部干擾準(zhǔn)確估計(jì)出來(lái)，降低外部干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，提高系統(tǒng)的抗干擾能力。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

考慮以下?tīng)顟B(tài)和輸出方程均具有非線性和外部干擾的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)[10]：

(1)

y(t)=C0x(t)+F02f02(x(t),t)+D0d(t)

(2)

z(t)=Czx(t)

(3)

其中：x(t)∈Rn是狀態(tài)向量；u(t)∈Rm是控制向量；y(t)∈Rr是測(cè)量輸出向量；d(t)是外部系統(tǒng)產(chǎn)生的干擾；z(t)是H∞性能參考輸出；A0、B0、C0、D0、F01、F02和Cz是已知的系統(tǒng)矩陣；f01(x(t),t)和f02(x(t),t)是非線性部分。

假設(shè)干擾是由以下外部系統(tǒng)產(chǎn)生的

(4)

d(t)=Vw(t)

(5)

其中：w(t)Rk是干擾d(t)的狀態(tài)向量；V是已知矩陣；W是一個(gè)具有已知維數(shù)的未知有界常實(shí)數(shù)矩陣，‖W‖<ε。

假設(shè)1：對(duì)于任意的xj(t)∈Rn，j=1，2，非線性函數(shù)f0i(x(t)，t)(i=1，2)滿足f0i(0，t)=0，i=1，2，

‖f0i(x1(t),t)-f0i(x2(t),t)‖≤‖Ui[x1(t)-x2(t)]‖。

假設(shè)2：(A0，B0)是可控的，(W，B0V)是可觀的。

引理1：對(duì)于任意正標(biāo)量λ

其中X和Y是具有適當(dāng)維數(shù)的任意矩陣。

引理2：對(duì)于有適當(dāng)維數(shù)的向量x和y，有

xTy=tr(xyT)

其中tr(xyT)是矩陣xyT的跡。

2 自適應(yīng)干擾觀測(cè)器設(shè)計(jì)

控制系統(tǒng)中存在外部干擾，考慮外部系統(tǒng)中參數(shù)矩陣W未知的情況，需要觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，對(duì)x(t)和w(t)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器和干擾觀測(cè)器如下：

(6)

(7)

(8)

(9)

全維系統(tǒng)可以寫(xiě)成：

(10)

y(t)=Cη(t)+F2f2(η(t),t)

(11)

f1(η(t),t)=f01(x(t),t)；f2(η(t),t)=f02(x(t),t)。

對(duì)x(t)和w(t)設(shè)計(jì)全維觀測(cè)器可以寫(xiě)為：

(12)

(13)

定義系統(tǒng)的估計(jì)誤差

那么e(t)的微分方程為

(14)

根據(jù)假設(shè)1，可以證明

定理1 自適應(yīng)律滿足

(15)

存在對(duì)稱正定矩陣P,矩陣Y、R滿足

(16)

(17)

證明：選擇Lyapunov函數(shù)

(18)

因此，根據(jù)式(16)，V1(t)的微分方程為

(19)

其中

根據(jù)假設(shè)1和引理1，可以證明

(20)

(21)

不等式Λ1<0，利用Schur補(bǔ)性質(zhì)可得定理1中式(17)，若式(17)成立，則Λ1<0成立。

3 基于自適應(yīng)干擾觀測(cè)器的輸出反饋控制器設(shè)計(jì)

設(shè)計(jì)復(fù)合抗干擾動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器為

(22)

(23)

(24)

其中：xk(t)是動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器的狀態(tài)；Ak、Bk、Ck、Dk、Nk1、Nk2是待定的動(dòng)態(tài)輸出反饋控制器系數(shù)矩陣。

將控制器帶入式(1)，得到

則控制器改寫(xiě)為

(25)

(26)

z(t)=Czx(t)=CzTξ(t)

(27)

定理2 設(shè)定H∞性能指標(biāo)γ，正實(shí)數(shù)α、r、θ，滿足下列條件

若δ(t)=0，則limt→∞ξ(t)=0

若δ(t)≠0，則

(28)

那么H∞性能指標(biāo)為γ的閉環(huán)系統(tǒng)式(26)-式(27)穩(wěn)定。

(29)

Γ+ΓT+2αΘ<0

(30)

(31)

(32)

其中：

可以得到控制器增益矩陣：

證明：選擇Lyapunov函數(shù)

ξT(t)Pξ(t)

(33)

由假設(shè)1可以得‖f01(x(t),t)‖≤‖U3x‖，所以V2(t)的微分方程為

(34)

(35)

(36)

(37)

利用Schur補(bǔ)性質(zhì)得

其中：

φ12=A0+B0DkC0+(P1A0Q1+P2BkC0Q1)T+

φ22=P1A0+(P1A0)T+(P1B0DkC0)T+P2BkC0+

P1B0DkC0+(P2BkC0)T。

令：

(38)

不等式Λ3<0等同于定理2中式(29)，若式(29)成立則J(t)<0成立，那么H∞性能指標(biāo)為γ的閉環(huán)系統(tǒng)式(26)-式(27)穩(wěn)定。

(39)

(40)

(41)

4 仿真結(jié)果及分析

考慮具有外部干擾的非線性系統(tǒng)式(1)-式(3)中

系統(tǒng)模型中的非線性部分假設(shè)為：

f01(x(t),t)=f02(x(t),t)=sin(2π5t)x2(t)；

U1=diag{0，1，0，0}，U2=U3=U1；

本系統(tǒng)中干擾由外部系統(tǒng)產(chǎn)生，其參數(shù)矩陣

選擇控制器的H∞性能等級(jí)為γ=7，定理2的LMI區(qū)域?yàn)?2，20，π/6)，選擇對(duì)稱正定矩陣X=I2，系統(tǒng)初始狀態(tài)為其他參數(shù)r1=1，r2=1。

通過(guò)LMI求得的觀測(cè)器增益和控制器增益如下：

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)x1的實(shí)際值和估計(jì)值

圖3 系統(tǒng)狀態(tài)x3的實(shí)際值和估計(jì)值

圖4 系統(tǒng)狀態(tài)x4的實(shí)際值和估計(jì)值

圖5 干擾d1的實(shí)際值和估計(jì)值

圖6 干擾d2的實(shí)際值和估計(jì)值

圖7 外部系統(tǒng)不準(zhǔn)確時(shí)干擾d1的實(shí)際值和估計(jì)值

圖8 外部系統(tǒng)不準(zhǔn)確時(shí)干擾d2的實(shí)際值和估計(jì)值

5 結(jié)語(yǔ)

本文針對(duì)輸入輸出皆有非線性和外部干擾的系統(tǒng)，構(gòu)造一個(gè)自適應(yīng)干擾觀測(cè)器來(lái)估計(jì)外部干擾，應(yīng)用估計(jì)值設(shè)計(jì)輸出反饋復(fù)合控制器，補(bǔ)償和抑制干擾對(duì)系統(tǒng)的影響。仿真結(jié)果表明，在外部系統(tǒng)參數(shù)矩陣未知的情況下，基于自適應(yīng)干擾觀測(cè)器的復(fù)合控制方法可以有效地抑制外部干擾，保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，提高系統(tǒng)抗干擾能力。