葛嵇南，馮志華

(蘇州大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，江蘇 蘇州 215021)

0 引言

我國(guó)塑料機(jī)械已成為機(jī)械制造業(yè)發(fā)展最快的行業(yè)之一，年需求量在不斷地加大[1]。目前，高速PET吹瓶機(jī)已有了長(zhǎng)足的進(jìn)展。如克朗斯新型高速吹瓶機(jī)Contiform 3 Speed，單模產(chǎn)能已達(dá)到2 750 BPH，最高設(shè)備產(chǎn)能達(dá)到82 500 BPH[2]。旋轉(zhuǎn)式吹瓶機(jī)作為一種新型的高效吹瓶設(shè)備，逐步取代直線式吹瓶機(jī)，占據(jù)主要的市場(chǎng)份額，并逐步向吹—貼—灌—旋一體機(jī)發(fā)展[3]。

旋轉(zhuǎn)式吹瓶機(jī)作為吹—貼—灌—旋一體機(jī)中最關(guān)鍵的一環(huán)，它的運(yùn)行速度決定了機(jī)器整體的工作效率。凸輪作為旋轉(zhuǎn)式吹瓶機(jī)取送瓶(坯)機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵傳動(dòng)零件，控制著機(jī)械手的運(yùn)行軌跡。在設(shè)計(jì)機(jī)械手凸輪輪廓曲線時(shí)，文獻(xiàn)[4]采用擺線規(guī)律和簡(jiǎn)諧規(guī)律作為取、送瓶凸輪的升程和回程規(guī)律，這使得凸輪曲線比較平滑，曲率波動(dòng)較小。文獻(xiàn)[5]通過三次插值函數(shù)對(duì)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行了擬合，并配以試驗(yàn)表明吹瓶機(jī)的出瓶質(zhì)量及效率得到了提高，減小了振動(dòng)和噪聲。

現(xiàn)有文獻(xiàn)報(bào)道對(duì)機(jī)械手運(yùn)動(dòng)的設(shè)計(jì)偏簡(jiǎn)單，未考慮到每個(gè)階段之間機(jī)械手加速度銜接的連續(xù)性，因此設(shè)計(jì)一條保證加速度連續(xù)的凸輪輪廓曲線是機(jī)械手運(yùn)行穩(wěn)定的最低保障。本文以實(shí)現(xiàn)取送瓶加速度的連續(xù)性為基本條件，提出了以五次多項(xiàng)式擬合靠近階段運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并利用三次樣條函數(shù)對(duì)同步階段進(jìn)行擬合的設(shè)計(jì)方法，為實(shí)際設(shè)計(jì)制造提供參考。

1 機(jī)械手運(yùn)動(dòng)參數(shù)方程的建立與改進(jìn)

旋轉(zhuǎn)式吹瓶機(jī)凸輪機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，OO1為主動(dòng)盤，繞O點(diǎn)順時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)；O1O4為擺動(dòng)凸輪從動(dòng)件，在主動(dòng)盤的帶動(dòng)下沿著軌跡繞O1做相對(duì)擺動(dòng)運(yùn)動(dòng)；O1O3為直動(dòng)凸輪從動(dòng)件，在主動(dòng)盤的帶動(dòng)下沿著軌跡做相對(duì)直線運(yùn)動(dòng)。

圖1 機(jī)械手各機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)化圖

本文以機(jī)械手取甁動(dòng)作為例進(jìn)行分析。將取甁階段運(yùn)動(dòng)軌跡分為三段：取甁靠近階段、取甁同步階段和取甁退出階段，并采用復(fù)數(shù)矢量法導(dǎo)出平面凸輪機(jī)構(gòu)的輪廓參數(shù)計(jì)算式[6]。

1.1 機(jī)械手軌跡方程的建立

建立矢量模型如圖2所示。以主動(dòng)盤回轉(zhuǎn)中心O為原點(diǎn)，主動(dòng)盤回轉(zhuǎn)中心與模腔回轉(zhuǎn)中心的連線OO′為極軸，逆時(shí)針方向?yàn)檎较蚪O坐標(biāo)系。

圖2 機(jī)械手取甁矢量圖

為保證機(jī)械手能準(zhǔn)確取到瓶子，在靠近階段機(jī)械手直動(dòng)手臂需指向模腔中心即點(diǎn)O2、O4、P在一條直線上。曲線SABC為機(jī)械手運(yùn)行軌跡，A點(diǎn)為靠近階段起點(diǎn)位置，B點(diǎn)為同步階段起點(diǎn)位置，C點(diǎn)為同步階段終點(diǎn)位置。吹瓶機(jī)主動(dòng)盤回轉(zhuǎn)半徑為R，模腔回轉(zhuǎn)半徑為r，主動(dòng)盤回轉(zhuǎn)中心與模腔回轉(zhuǎn)中心的圓心線長(zhǎng)度為o。凸輪盤的轉(zhuǎn)速與模腔回轉(zhuǎn)速度成正比，比值為η，由此可以推斷出φ與φ′之間的比值也為η。表1給出吹瓶機(jī)各部件的基本尺寸。

表1 吹瓶機(jī)的部件尺寸

假設(shè)機(jī)械手OO4的長(zhǎng)度為ρ，順時(shí)針方向與極軸的夾角為ω。因此可得機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡矢量方程如下：

OO4+O4P=OO′+O′P

(1)

轉(zhuǎn)化為歐拉方程：

ρejω=o+rej(π-φ′)-Sej(φ+θ)

(2)

其中：

OO2+O2P=OO′+O′P

(3)

Rejφ+lej(φ+θ)=o+rej(π-φ′)

(4)

可得θ的函數(shù)如下：

(5)

整理后可得參數(shù)方程為：

(6)

結(jié)合矢量圖和參數(shù)方程可將這段運(yùn)動(dòng)分為兩段，第一段：機(jī)械手在心與模腔之間的距離S在不斷減小，直至為0，這一階段可稱之為取瓶靠近階段；第二段：機(jī)械手心與模腔完全重合，機(jī)械手完全跟隨模腔的軌跡運(yùn)動(dòng)，這一階段稱之為取瓶同步階段。

1.2 曲線規(guī)律的改進(jìn)

分析上文得出的機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡參數(shù)方程，ρ、ω、θ都是關(guān)于φ的變量，只有S的變化規(guī)律是不確定的，因此需要設(shè)計(jì)出一種函數(shù)規(guī)律以保證機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡的平穩(wěn)流暢。對(duì)于S的規(guī)律函數(shù)文獻(xiàn)[4]采用擺線規(guī)律，如式(7)所示。

(7)

此規(guī)律在靠近階段直動(dòng)凸輪的加速度變化很大，會(huì)對(duì)凸輪機(jī)構(gòu)造成很大的沖擊，為減小控制機(jī)械手的直動(dòng)凸輪最大加速度，同時(shí)保證機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡在取甁靠近階段前后加速度連續(xù)，本文將高階插補(bǔ)方法與可行的凸輪曲線動(dòng)態(tài)改進(jìn)模型相結(jié)合，建立確定最優(yōu)高階運(yùn)動(dòng)參數(shù)的改進(jìn)模型[7-8]。最終采用五次多項(xiàng)式運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行改進(jìn)設(shè)計(jì)，并根據(jù)機(jī)械手的實(shí)際運(yùn)動(dòng)規(guī)律設(shè)計(jì)出理想的邊界條件。

本文根據(jù)吹瓶機(jī)實(shí)際工況設(shè)計(jì)出以下機(jī)械手運(yùn)動(dòng)規(guī)律：在靠近階段，機(jī)械手在徑向做減速運(yùn)動(dòng)；機(jī)械手在到達(dá)夾取目標(biāo)位置的時(shí)候預(yù)留一小段空隙，此時(shí)徑向速度和加速度都變?yōu)?，留一小段空隙是為在同步階段能更好地進(jìn)行速度和加速度匹配。如圖3所示，與常規(guī)設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線SA′BC′相比。改進(jìn)后的運(yùn)動(dòng)軌跡SA′B′C′在取瓶同步時(shí)速度、加速度銜接得更順暢平緩。

圖3 軌跡改進(jìn)前后對(duì)比示意圖

設(shè)S關(guān)于φ的五次函數(shù)S(φ)，如式(8)所示。將函數(shù)S(φ)帶入ρ的參數(shù)方程，因?yàn)镾(φ)有6個(gè)未知系數(shù)，因此需要設(shè)置6個(gè)邊界條件：始末位移、始末速度、始末加速度。

S(φ)=C0+C1φ+C2φ2+C3φ3+C4φ4+C5φ5

(8)

始末位移直接采用現(xiàn)有的設(shè)計(jì)參數(shù)，而在末尾位置時(shí)空缺一小段距離，根據(jù)機(jī)械手偏置的誤差距離，設(shè)ST=0.5 mm；選出合理的初始徑向速度以及徑向加速度。而終止徑向速度和加速度是在設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)軌跡時(shí)就已確定，都為0。機(jī)械手在靠近階段的邊界條件如表2所示。

表2 機(jī)械手靠近階段邊界條件

為了保證高速運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)性，機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡曲線需要在靠近階段與同步階段結(jié)合點(diǎn)二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)。在實(shí)際加工中是選取曲線上的點(diǎn)，然后再形成輪廓曲線。因此基于這樣的實(shí)際情況，本文提出一種新的規(guī)律曲線設(shè)計(jì)方法對(duì)原有規(guī)律進(jìn)行改進(jìn)，方法如下。

機(jī)械手在抓取瓶子的實(shí)際工況中，因其手指是由彈簧進(jìn)行約束的，在誤差允許的情況下，機(jī)械手在跟隨階段的運(yùn)行軌跡可以略微有些偏差，只需在整個(gè)過程中大體上跟著模腔運(yùn)動(dòng)。基于這種工況，在設(shè)計(jì)機(jī)械手同步階段中，無(wú)需完全同步整個(gè)軌跡。因此利用三次樣條插值函數(shù)的特性，結(jié)合機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡的基本要求，只要在原有的精確軌跡上取足夠的點(diǎn)，并進(jìn)行擬合，可以求出一條既在誤差允許范圍之內(nèi)又能保證在銜接處速度、加速度平穩(wěn)連續(xù)的規(guī)律曲線。

首先將同步階段極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程：

(9)

將原有取甁同步階段運(yùn)動(dòng)軌跡劃分為n個(gè)小區(qū)間，任取小區(qū)間[xi-1,xi]，

si(x)=ai+bix+cix2+dix3，i=1,2,…,n

(10)

其中待定系數(shù)是ai、bi、ci、di，共有4n個(gè)。

表3是對(duì)本文機(jī)械手進(jìn)行的取點(diǎn)，在機(jī)械手到達(dá)銜接位置時(shí)，主動(dòng)盤每轉(zhuǎn)動(dòng)1°就在原軌跡上取1個(gè)點(diǎn)。

表3 三次樣條函數(shù)點(diǎn)集

第二類邊界條件:

綜上可以求得機(jī)械手在同步階段的三次樣條擬合曲線。

2 建立機(jī)械手凸輪曲線參數(shù)方程

確定好機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡參數(shù)方程后，可由軌跡方程反推出擺動(dòng)凸輪和直動(dòng)凸輪的運(yùn)動(dòng)軌跡。將機(jī)械手凸輪結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化后如圖4所示，凸輪結(jié)構(gòu)與上文機(jī)械手運(yùn)動(dòng)軌跡在同一極坐標(biāo)系里，因此這里不再設(shè)置坐標(biāo)系。圖中OO1為主動(dòng)盤，半徑為R；O1O2為擺動(dòng)從動(dòng)件，長(zhǎng)度為N；O1O3為直動(dòng)從動(dòng)件，長(zhǎng)度為M，與擺動(dòng)從動(dòng)件之間的夾角為ε，與主動(dòng)盤之間的夾角為θ；O3O4為機(jī)械手臂，長(zhǎng)度為m。凸輪結(jié)構(gòu)各部件尺寸如表4所示。

表4 機(jī)械手凸輪機(jī)構(gòu)的部件尺寸

從圖4中可以列出機(jī)械手的矢量方程：

OO3=OO1+O1O3

(11)

轉(zhuǎn)化為歐拉方程：

ρejω=Rejφ+lej(φ+θ)

(12)

(13)

擺動(dòng)凸輪的軌跡方程為：

OO4=OO1+O1O4

(14)

轉(zhuǎn)化為歐拉方程：

RBejb=Rejφ+Nej(φ+θ+ε)

(15)

由此可得擺動(dòng)凸輪的參數(shù)方程為：

(16)

直動(dòng)凸輪曲線方程：

OO2=OO1+O1O2

(17)

轉(zhuǎn)化為歐拉方程：

RZeja=Rejφ+Mej(φ+θ)

(18)

其中M=l-m。

由此可得直動(dòng)凸輪的參數(shù)方程為：

(19)

圖4 機(jī)械手與凸輪結(jié)構(gòu)關(guān)系矢量圖

3 改進(jìn)設(shè)計(jì)結(jié)果分析

考慮到壓力角與凸輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系[9]，當(dāng)壓力角增到一定數(shù)值時(shí)，由于摩擦阻力大于有效分力，機(jī)構(gòu)將發(fā)生自鎖。有時(shí)機(jī)構(gòu)雖然沒有自鎖，但是過大的壓力角會(huì)導(dǎo)致摩擦損耗增大，傳動(dòng)效率低，加劇零件的磨損。

圖5、圖6為改進(jìn)前后擺動(dòng)凸輪和直動(dòng)凸輪壓力角隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間變化的曲線圖。

圖5 擺動(dòng)凸輪改進(jìn)前后壓力角結(jié)果對(duì)比

圖6 直動(dòng)凸輪改進(jìn)前后壓力角結(jié)果對(duì)比

擺動(dòng)凸輪的最大壓力角為10°，根據(jù)表5給出的工程推薦許用壓力角[10]可知，是遠(yuǎn)小于45°，在同樣的尺寸大小下，改進(jìn)前后擺動(dòng)凸輪的壓力角并沒有變化，是保持一致的。但是直動(dòng)凸輪的壓力角由之前的劇烈波變得連續(xù)平緩，同時(shí)改進(jìn)前的最大壓力角為35°，僅僅滿足最低要求，而且在銜接點(diǎn)處還是斷開的。改進(jìn)后的直動(dòng)凸輪壓力角有了明顯的改進(jìn)，不僅最大壓力角為13.5°，遠(yuǎn)小于所允許的最大壓力角，而且在銜接點(diǎn)處壓力角保持連續(xù)的。由圖7可知與改進(jìn)前的方案相比，擺動(dòng)凸輪的相對(duì)速度并沒有發(fā)生變化，這也可由推導(dǎo)出的公式得知。從圖8中可以看出改進(jìn)前直動(dòng)凸輪的相對(duì)速度從3.7 m/s急劇降低到-3 m/s，然后再回到2.1 m/s，并且在銜接點(diǎn)處還存在速度斷點(diǎn)，與之相比改進(jìn)后的相對(duì)速度變化則比較平緩，沒有突然變大或變小，而且在銜接點(diǎn)處速度連續(xù)。

表5 凸輪機(jī)構(gòu)許用壓力角值

圖7 擺動(dòng)凸輪改進(jìn)前后滾子相對(duì)角速度結(jié)果對(duì)比

圖8 直動(dòng)凸輪改進(jìn)前后滾子相對(duì)速度結(jié)果對(duì)比

圖9為擺動(dòng)凸輪改進(jìn)前后滾子的相對(duì)角加速度圖。從圖中可以看出，改進(jìn)前后的相對(duì)角加速度沒有變化，這也符合推導(dǎo)出的公式。圖10為改進(jìn)前后的直動(dòng)凸輪相對(duì)加速度對(duì)比圖。改進(jìn)前的加速度呈波浪型上下浮動(dòng)，且幅度較大，最大加速度能達(dá)到2000 m/s2，而改進(jìn)后的相對(duì)加速度幾乎呈一條直線，與同步階段的相對(duì)加速度保持一致。

對(duì)機(jī)械手的參數(shù)方程(ρ,ω)進(jìn)行求導(dǎo)，求出徑向速度、加速度和切向速度、加速度，如式(20)所示。

(20)

圖9 擺動(dòng)凸輪改進(jìn)前后滾子相對(duì)角加速度結(jié)果對(duì)比

圖10 直動(dòng)凸輪改進(jìn)前后滾子相對(duì)加速度結(jié)果對(duì)比

通過極坐標(biāo)速度、加速度合成公式推導(dǎo)出機(jī)械手的絕對(duì)速度和加速度如式(21)、式(22)所示。

(21)

(22)

由此可以分析得出機(jī)械手的速度、加速度隨時(shí)間變化情況，如圖11、圖12所示。

圖11 機(jī)械手改進(jìn)前后絕對(duì)速度結(jié)果對(duì)比

圖12 機(jī)械手改進(jìn)前后絕對(duì)加速度結(jié)果對(duì)比

在同樣的結(jié)構(gòu)和工況下，改進(jìn)前機(jī)械手的絕對(duì)速度上下波動(dòng)逐漸變得平緩，而改進(jìn)后的速度則是均勻變化從低到高直至達(dá)到平穩(wěn)；改進(jìn)前絕對(duì)加速度呈“M”型大幅波動(dòng)，與之相比，改進(jìn)后的絕對(duì)加速度則變得平緩并且與同步后的加速度基本保持一致。

4 結(jié)語(yǔ)

本文首次將五次多項(xiàng)式應(yīng)用于取瓶靠近階段，根據(jù)實(shí)際工況設(shè)計(jì)出合理的邊界條件，同時(shí)還將理想運(yùn)動(dòng)曲線與實(shí)際工況相結(jié)合，提出用三次樣條函數(shù)對(duì)同步階段運(yùn)動(dòng)曲線進(jìn)行擬合。期望能夠降低機(jī)械手在運(yùn)動(dòng)過程中的最大加速度，并為機(jī)械手設(shè)計(jì)提供理論與方法指導(dǎo)，具體結(jié)論如下：

1)在取瓶靠近階段將機(jī)械手徑向運(yùn)動(dòng)設(shè)置為減速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)在銜接點(diǎn)處不與理論點(diǎn)相重合，而是在誤差允許范圍內(nèi)偏移一定距離，讓機(jī)械手過渡得更平穩(wěn)。

2)通過設(shè)計(jì)計(jì)算出邊界條件，并采用五次多項(xiàng)式對(duì)靠近過程的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行擬合，比原有設(shè)計(jì)采用的擺線規(guī)律相比整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的速度、加速度都有大幅度降低，使得運(yùn)動(dòng)過程更穩(wěn)定。

3)對(duì)同步階段的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行取點(diǎn)，使用三次樣條函數(shù)進(jìn)行擬合，在誤差允許范圍內(nèi)不僅能保證機(jī)械手在同步過程中與模腔同步，還與靠近階段改進(jìn)設(shè)計(jì)方案相匹配，使得銜接處速度、加速度更平穩(wěn)。