陳李成，謝振宇，郝建勝，吳炎

(南京航空航天大學(xué) 直升機(jī)傳動(dòng)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 江蘇 南京 210016)

0 引言

隨著航空、航天、醫(yī)療、化工、石油、汽車等行業(yè)的發(fā)展，普通軸承的性能已經(jīng)不能滿足復(fù)雜、苛刻的使用需求。磁軸承和氣體軸承因?yàn)榫哂袩o磨損、轉(zhuǎn)速高、功耗低、噪聲小、壽命長等優(yōu)點(diǎn)，特別適合用于高速度、高精度旋轉(zhuǎn)機(jī)械。國內(nèi)外對(duì)于磁軸承和氣體軸承已經(jīng)開展了大量的研究工作，磁軸承和氣體軸承的應(yīng)用也日漸成熟，但是在精度要求、剛度要求、承載要求更高的場合，單一的磁軸承或者氣體軸承難以滿足使用需求。因此，磁氣組合軸承便逐漸吸引了國內(nèi)外許多科研人員的關(guān)注。

在磁氣組合軸承的控制算法方面，應(yīng)用最多且最成熟的是PID控制，除此之外研究的都是現(xiàn)代控制理論[1]，例如模糊控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、魯棒控制、線性二次型最優(yōu)控制以及自適應(yīng)控制等。模糊控制是現(xiàn)代智能控制的一個(gè)分支，是以模糊集合理論、模糊語言變量、模糊邏輯推理及解模糊化為基礎(chǔ)的計(jì)算機(jī)數(shù)字控制方法。簡單來說就是使計(jì)算機(jī)能夠像人一樣對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行邏輯判斷控制。

氣體軸承的引入導(dǎo)致了磁氣組合軸承的工況更加復(fù)雜，而成熟的PID控制在復(fù)雜工況下又無法實(shí)現(xiàn)參數(shù)的自適應(yīng)整定。因此，本文在考慮了氣體軸承動(dòng)態(tài)承載力的情況下，研究了應(yīng)用于磁氣組合軸承的模糊PID控制算法。

1 磁氣組合軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型

圖1為采用差動(dòng)控制策略的軸向磁氣組合軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受力圖，磁軸承的電磁力可表示為[2]

F磁=F磁2-F磁1=2kiiz-2kzz

(1)

其中：ki為電流剛度；kz為位移剛度。

氣體軸承的承載力F氣=F氣2-F氣1，則根據(jù)牛頓第二定律，磁氣組合軸承的傳遞函數(shù)可表示為

(2)

圖1 軸向磁氣組合軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)受力圖

本文采用電渦流位移傳感器，其傳遞函數(shù)可以用一階慣性環(huán)節(jié)來表示，即

功率放大器采用電流差動(dòng)控制的輸出方式，其傳遞函數(shù)用一階慣性環(huán)節(jié)來表示：

本文采用模糊PID控制器，模糊算法的具體設(shè)計(jì)將在下文詳細(xì)論述，這里僅簡要說明PID控制器的數(shù)學(xué)模型，其傳遞函數(shù)可表示成如下形式：

式中：Kp為比例系數(shù)；τi為積分時(shí)間常數(shù)；τd為微分時(shí)間常數(shù)；U(s)為控制量；E(s)為控制偏差。

2 基于PID控制器的控制算法設(shè)計(jì)與仿真

2.1 PID控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

磁氣組合軸承控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖如圖2所示，其中傳感器Gs(s)、控制器Gc(s)、功率放大器Gp(s)以及磁氣組合軸承的傳遞函數(shù)在上文中已經(jīng)寫明?，F(xiàn)將其轉(zhuǎn)換為Simulink的系統(tǒng)仿真模型，軸向磁氣組合軸承PID控制系統(tǒng)離散仿真模型如圖3所示。圖中各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)都已搭建完成，其中，氣體軸承只有在轉(zhuǎn)子高速轉(zhuǎn)動(dòng)的情況下才會(huì)產(chǎn)生承載力，故用sin函數(shù)來描述轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速以及振動(dòng)幅值，其動(dòng)態(tài)承載力用S-Function模塊編寫的程序加載到仿真模型中。該仿真模型是基于PID控制器來設(shè)計(jì)的，其中P為比例(proportion)、I為積分(integration)、D為微分(differentiation)，比例可調(diào)節(jié)系統(tǒng)響應(yīng)速度，積分可減小系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，微分可改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

圖2 軸向磁氣組合軸承控制系統(tǒng)傳遞函數(shù)框

目前，PID控制器[3]以其結(jié)構(gòu)簡單、魯棒性好、應(yīng)用成熟等優(yōu)勢成為工業(yè)上應(yīng)用最廣泛的控制器。PID控制器最關(guān)鍵的一個(gè)環(huán)節(jié)是Kp、Ki、Kd等相關(guān)參數(shù)的確定。

本文利用MATLAB Simulink自帶的PID模塊對(duì)其相關(guān)參數(shù)進(jìn)行自整定，獲得較好的參數(shù)后，對(duì)圖3所示的磁氣組合軸承PID控制系統(tǒng)仿真模型進(jìn)行仿真，得到了如圖4所示的磁氣組合軸承PID控制系統(tǒng)響應(yīng)圖。從圖4可以看出，系統(tǒng)響應(yīng)的超調(diào)量較小，大概為0.25 V，調(diào)節(jié)時(shí)間也較短，大概為0.02 s。

圖3 磁氣組合軸承PID控制系統(tǒng)離散仿真模型

圖4 磁氣組合軸承PID控制系統(tǒng)響應(yīng)圖

2.2 偏差及偏差變化率的波動(dòng)范圍

下文要將系統(tǒng)的偏差e以及偏差變化率ec作為模糊控制器的輸入，模糊控制器的模糊論域一般為定值，本文的模糊論域取[-3，3]。然而，偏差e以及偏差變化率ec的波動(dòng)范圍未必在模糊論域內(nèi)，這時(shí)需要相應(yīng)的量化因子，使得偏差以及偏差變化率乘以量化因子后能夠包含于模糊論域內(nèi)。因此，需要根據(jù)系統(tǒng)的偏差以及偏差變化率的波動(dòng)范圍，來初步確定模糊控制器的量化因子。

圖5為偏差的波動(dòng)范圍，從圖中可以看出，在階躍信號(hào)下，偏差的波動(dòng)范圍為-0.25 V～2.5 V，穩(wěn)定后，偏差在±0.05 V左右波動(dòng)。圖6為偏差變化率的波動(dòng)范圍，從圖中可以看出，在階躍信號(hào)下，偏差變化率的波動(dòng)范圍為-0.07 V～0.01 V，穩(wěn)定后，偏差變化率在±0.002 5 V左右波動(dòng)。

圖5 偏差波動(dòng)范圍

圖6 偏差變化率波動(dòng)范圍

3 基于模糊PID控制器的系統(tǒng)設(shè)計(jì)

模糊控制器的設(shè)計(jì)流程主要包括以下幾個(gè)步驟：確定模糊控制器的結(jié)構(gòu)、確定模糊論域、確定輸入量的量化因子、確定模糊控制規(guī)則、確定解模糊化的方法、確定輸出量的比例因子。下文會(huì)具體闡述以上關(guān)鍵步驟的詳細(xì)內(nèi)容。

3.1 模糊控制器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

結(jié)合本文研究的磁氣組合軸承，模糊PID控制器[4]結(jié)構(gòu)如圖7所示。圖中，模糊控制器通過對(duì)軸向磁氣組合軸承控制系統(tǒng)的偏差e以及偏差變化率ec進(jìn)行運(yùn)算處理后，得到了比例、積分、微分的調(diào)節(jié)量ΔKp、ΔKi、ΔKd，再通過此調(diào)節(jié)量實(shí)時(shí)調(diào)整PID控制器中的相應(yīng)參數(shù)，最終實(shí)現(xiàn)了模糊PID自適應(yīng)整定的控制。

圖7 模糊PID控制器結(jié)構(gòu)圖

3.2 輸入變量的量化因子確定

由圖7可知，模糊PID控制器的輸入量為偏差e以及偏差變化率ec，本文的模糊論域設(shè)定為[-3，3]，re為參考信號(hào)，設(shè)定為2.5 V，rk為傳感器輸出的位置信號(hào)，其輸出范圍為0～5 V，則偏差信號(hào)的范圍為[-2.5，2.5]。據(jù)此可以推斷偏差e的量化因子為3/2.5。另外考慮到安全因素，對(duì)偏差進(jìn)行限幅，最終偏差e的量化因子取2。關(guān)于偏差變化率的量化因子可參考圖6來初步確定，在階躍信號(hào)下，其波動(dòng)范圍為-0.07 V～0.01 V，因此，偏差變化率ec的量化因子為3/0.07，同樣對(duì)偏差變化率進(jìn)行限幅，最終偏差變化率ec的量化因子取100。

3.3 模糊化

量化因子確定后，偏差e以及偏差變化率ec通過量化因子轉(zhuǎn)換成變量E和EC，假設(shè)E與EC在其模糊論域上定義了{(lán)NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}7個(gè)模糊子集，即負(fù)大、負(fù)中、負(fù)小、零、正小、正中、正大。另外，上文已經(jīng)提到過模糊論域設(shè)定為[-3，3]，則NB對(duì)應(yīng)為-3，NM對(duì)應(yīng)為-2，NS對(duì)應(yīng)為-1，ZO對(duì)應(yīng)為0，PS對(duì)應(yīng)為1，PM對(duì)應(yīng)為2，PB對(duì)應(yīng)為3。

模糊子集確定后，需要確定隸屬函數(shù)。MATLAB Simulink的模糊控制工具箱中給出了11種隸屬函數(shù)，本文選用的隸屬函數(shù)為三角形隸屬函數(shù)。圖8為三角形隸屬函數(shù)的一般形式，通常三角形隸屬函數(shù)由圖中的a、b、c3個(gè)參數(shù)確定，其表達(dá)式如下所示：

圖8 三角形隸屬函數(shù)

3.4 模糊控制器的規(guī)則設(shè)計(jì)

模糊PID控制器的規(guī)則是依據(jù)理論經(jīng)驗(yàn)以及調(diào)試經(jīng)驗(yàn)來確定的[5-6]。當(dāng)系統(tǒng)的偏差e以及偏差變化率ec發(fā)生變化時(shí)，PID的參數(shù)也要及時(shí)做出相應(yīng)調(diào)整。一般的調(diào)整經(jīng)驗(yàn)如下：當(dāng)|e|較大時(shí)，比例系數(shù)P要相應(yīng)地增大，同時(shí)減小微分系數(shù)D來防止微分過飽和；當(dāng)|e|較小時(shí)，減小比例系數(shù)P，增加積分系數(shù)I來獲得更好的穩(wěn)態(tài)性能，在這種情況下，若|ec|較大，則減小微分系數(shù)D來增加系統(tǒng)抗干擾能力，若|ec|較小，則增加微分系數(shù)；當(dāng)|ec|較大時(shí)，偏差變化的速率非常大，此時(shí)需要減小比例系數(shù)P，增加積分系數(shù)I來防止偏差急速地變化。

按照PID控制器的控制規(guī)律以及調(diào)試經(jīng)驗(yàn)，考慮Kp、Ki、Kd三個(gè)系數(shù)與e、ec的關(guān)系，設(shè)計(jì)模糊控制規(guī)則。如表1-表3所示，分別為比例系數(shù)Kp模糊控制規(guī)則表、積分系數(shù)Ki模糊控制規(guī)則表、微分系數(shù)Kd模糊控制規(guī)則表。

表1 比例系數(shù)Kp模糊控制規(guī)則表

表2 積分系數(shù)Ki模糊控制規(guī)則表

表3 微分系數(shù)Kd模糊控制規(guī)則表

3.5 解模糊化

解模糊化是獲得精確控制量的過程，使用較多的解模糊化方法有質(zhì)心法、最大隸屬度法以及系數(shù)加權(quán)平均法。

本文選取的解模糊化方法為質(zhì)心法(centroid)。質(zhì)心法是將隸屬度函數(shù)與橫坐標(biāo)圍成面積的質(zhì)心作為解模糊化的輸出值，質(zhì)心法的輸出控制比較靈敏，即使有較小的輸入量，輸出量也會(huì)發(fā)生變化。質(zhì)心法的離散公式如下：

其中：uk為模糊規(guī)則表的相應(yīng)參數(shù)，即NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB；μu(uk)為屬于uk的隸屬度乘積。

3.6 輸出的比例因子確定

比例因子是對(duì)模糊控制器的輸出量進(jìn)行縮放的系數(shù)。本文的模糊控制器輸出如圖9-圖11所示，分別為比例調(diào)節(jié)量ΔKp、積分調(diào)節(jié)量ΔKi、微分調(diào)節(jié)量ΔKd。

圖9 比例調(diào)節(jié)量ΔKp的波動(dòng)范圍

圖10 積分調(diào)節(jié)量ΔKi的波動(dòng)范圍

圖11 微分調(diào)節(jié)量ΔKd的波動(dòng)范圍

根據(jù)輸出量的波動(dòng)范圍以及MATLAB Simulink的仿真可以初步確定比例因子的大小，輸出值的比例因子會(huì)影響整個(gè)系統(tǒng)的響應(yīng)性能，比例因子越大，模糊控制輸出的調(diào)節(jié)參數(shù)對(duì)PID參數(shù)的影響就越大。

4 軸向磁氣組合軸承模糊PID控制系統(tǒng)仿真

軸向磁氣組合軸承模糊PID控制系統(tǒng)離散仿真模型如圖12所示。圖中使用了S-Function模塊對(duì)模糊控制器,即fuzzy_control進(jìn)行了m語言編程。

由圖12可知，系統(tǒng)的偏差以及偏差變化率經(jīng)過模糊控制器運(yùn)算輸出調(diào)節(jié)量ΔKp、ΔKi、ΔKd；3個(gè)調(diào)節(jié)量經(jīng)過比例因子縮放后與PID控制器的初始參數(shù)Kp、Ki、Kd相加得到整定后的3個(gè)參數(shù)；在通過PID控制器運(yùn)算輸出控制信號(hào)；控制信號(hào)通過控制功率放大器對(duì)磁氣組合軸承進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，從而使轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮。

模糊PID的控制參數(shù)如表4所示。從表中可以看出，模糊控制器輸出的比例調(diào)節(jié)量 ΔKp經(jīng)過比例因子縮放后對(duì)比例系數(shù)Kp最大會(huì)產(chǎn)生75%的影響；同樣，積分調(diào)節(jié)量ΔKi經(jīng)過比例因子縮放后對(duì)積分系數(shù)Ki最大會(huì)產(chǎn)生20%的影響；微分調(diào)節(jié)量ΔKd經(jīng)過比例因子縮放后對(duì)微分系數(shù)Kd最大會(huì)產(chǎn)生17%的影響。由此可以看出，模糊控制器對(duì)PID控制器所起的調(diào)節(jié)作用還是比較大的。

表4 模糊PID控制參數(shù)

圖12 磁氣組合軸承模糊PID控制系統(tǒng)離散仿真模型

軸向磁氣組合軸承模糊PID與普通PID控制系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)比圖如圖13所示。圖中1號(hào)波形是PID控制系統(tǒng)仿真模型得到的系統(tǒng)響應(yīng)圖，2號(hào)波形是模糊PID控制系統(tǒng)仿真模型得到的系統(tǒng)響應(yīng)圖。從圖中可以看出，模糊PID控制器與PID控制器相比，得到的系統(tǒng)響應(yīng)波形超調(diào)量極小，約為0.05 V，調(diào)節(jié)時(shí)間也極短，約為0.002 s。因此，本文設(shè)計(jì)的模糊PID控制器具有較好的自整定能力，使得系統(tǒng)具有較好的控制性能。

圖13 模糊PID與普通PID控制系統(tǒng)響應(yīng)對(duì)比圖

5 結(jié)語

與普通PID控制相比，模糊PID控制具有參數(shù)自調(diào)整特性。仿真結(jié)果表明，模糊PID控制算法可有效改善磁氣組合軸承系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，減少調(diào)節(jié)時(shí)間，減小超調(diào)量，提高系統(tǒng)的控制精度。