馮小庭

(西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710026)

0 引言

鐵道客車集中軸溫報(bào)警器是檢測鐵路客車運(yùn)行軸溫、保證旅客列車運(yùn)行安全的重要設(shè)備。客貨車軸溫報(bào)警器由傳輸線路、溫度傳感器、控制顯示器及數(shù)據(jù)記錄儀組成?？拓涍\(yùn)列車100%安裝軸溫報(bào)警儀設(shè)備，對軸溫進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測，其目的是對列車軸承進(jìn)行運(yùn)行狀態(tài)實(shí)時(shí)監(jiān)測。隨著列車運(yùn)營速度的不斷提升，軸承、剎車發(fā)熱對列車車軸的動態(tài)特性的影響愈加顯著，其熱彈性振動研究顯得十分必要。

有大量的文獻(xiàn)涉及典型結(jié)構(gòu)的熱彈性振動分析[1-5]?？芎＝岢隽藷釠_擊和碰摩故障共同作用下的旋轉(zhuǎn)懸臂板系統(tǒng)動力特性解析解法，討論分析得出熱沖擊和碰摩故障對薄板振動的影響規(guī)律[6]。孫凱鵬建立熱彈性梁動力學(xué)建模，并對熱彈性梁進(jìn)行熱彈性有限元分析[7]。王明祿討論FGM梁在熱載荷作用下的變形和應(yīng)力分布，發(fā)現(xiàn)熱載荷下FGM梁的應(yīng)力翻轉(zhuǎn)現(xiàn)象[8]以及結(jié)構(gòu)在濕熱磁等復(fù)雜物理場協(xié)同作用下的振動特性[9-10]。通過研究發(fā)現(xiàn)，列車車軸的熱彈性研究尚不多見。

本文中將列車車軸等效為簡直梁，基于Euler-Bernoulli梁理論，研究了車軸在恒定溫度場中的振動問題；應(yīng)用熱彈性理論得出梁的本構(gòu)關(guān)系；使用Hamilton原理推導(dǎo)出系統(tǒng)的動力學(xué)方程，并使用Rayleigh-Ritz法對方程進(jìn)行離散；研究了溫度變化對車軸振動的影響。

1 系統(tǒng)建模

1.1 系統(tǒng)動能和勢能

列車在行進(jìn)過程中，軸承與車軸接觸有發(fā)熱現(xiàn)象。將列車車軸簡化為簡支梁，在兩段受恒定熱源的加熱，如圖1所示。建立圖示的坐標(biāo)系Oxyz。梁截面圓形半徑為r，長為L，橫截面積為A,彈性模量為E，截面慣性矩為I，泊松比為μ，密度為ρ，熱膨脹系數(shù)為α。假設(shè)溫度場沿橫向分部均勻。

圖1 列車車軸

梁上任意一點(diǎn)P0(x)變形后的位置是P，其在慣性坐標(biāo)系Oxyz下的變形矢量為u=[u,w]T。

P點(diǎn)在慣性坐標(biāo)系Oxyz下的矢徑為

r=ui+wk

(1)

式(1)對時(shí)間求導(dǎo)，得到P點(diǎn)的速度矢量

(2)

則系統(tǒng)的動能為

(3)

根據(jù)Euler-Bernoulli梁理論和線性熱彈性假設(shè)，即材料的彈性模量E不隨溫度變化[12]，可得材料本構(gòu)方程為

σx=E[εx-α(T-T0)]

(4)

不計(jì)梁的面內(nèi)拉伸變形。故系統(tǒng)勢能僅是彎曲變形的應(yīng)變能

(5)

其中NT、MT為熱軸力、熱彎矩，表達(dá)式如下：

(6)

(7)

式中T0是參考溫度,即車軸剎車盤處的溫度。

1.2 系統(tǒng)運(yùn)動方程

應(yīng)用Hamilton原理建立系統(tǒng)的動力學(xué)方程。將動能、勢能、外力功的變分代入式(6)。并在任意兩個(gè)時(shí)刻積分

(8)

其中t0、t1為任意兩個(gè)固定時(shí)刻。將式(3)、式(5)代入式(6)，得系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(9)

(10)

由上式可知溫度與軸向運(yùn)動之間是耦合的。考慮到橫向振動遠(yuǎn)大于軸向振動，故僅研究橫向振動。熱響應(yīng)特征時(shí)間與結(jié)構(gòu)響應(yīng)特征時(shí)間的比是振動的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)。當(dāng)溫度變化緩慢或者溫度變化頻率遠(yuǎn)小于軸向振動頻率時(shí)，即可以忽略溫度與彈性之間的耦合關(guān)系。同時(shí)，溫度沿x軸方向有變化?？刂品匠陶頌?/p>

(11)

1.3 溫度場

當(dāng)列車在剎車時(shí)，剎車盤劇烈發(fā)熱。視車軸一端的溫度恒定，即剎車與車軸連接的根部溫度是恒定的。則，此時(shí)問題轉(zhuǎn)換為一維穩(wěn)定傳熱問題。將車軸散熱問題視為內(nèi)部有負(fù)熱源的熱傳導(dǎo)問題,由一維穩(wěn)態(tài)傅里葉導(dǎo)熱方程可知

(12)

(13)

(14)

將上式代入熱彎矩表達(dá)公式，整理再代入式(11)，即可得車軸熱彈性振動方程。可知在溫度場中的振動可以視為簡支梁受到不變激振力的強(qiáng)迫振動。

2 振動分析

為了研究導(dǎo)熱梁的一般振動，對振動方程進(jìn)行無量綱化處理。用假設(shè)模態(tài)法進(jìn)行求解，設(shè)運(yùn)動方程的解為

(15)

已知簡支梁的固有頻率振型函數(shù)為

(16)

其中：K是剛度矩陣；KT是由于熱彈性引起的剛度變化；M是層合梁質(zhì)量矩陣。廣義坐標(biāo)向量q={q1,q2,…,qN}T。F是廣義力向量。依據(jù)振型的正交性，質(zhì)量矩陣M的第i行、j行的元素表達(dá)式為

(17)

剛度矩陣K的第i行、j行的元素表達(dá)式為

(18)

由溫度引起的剛度矩陣KT的第i行、j行的元素表達(dá)式為

(19)

3 數(shù)值計(jì)算

設(shè)表面換熱系數(shù)hs、熱傳導(dǎo)系數(shù)λ不隨溫度變化，是常值。各個(gè)參數(shù)的取值如下：彈性模量E=1.75×1011Pa，車軸橫截面積A=0.026 1 m2，熱膨脹系數(shù)α=1.2×10-5m/℃，密度ρ=7 800 kg/m3，初始溫度T0=80℃，環(huán)境溫度T∞=20℃，導(dǎo)熱系數(shù)λ=48 W/(m·K)，表面換熱系數(shù)hs=29 W/(m2·K)。計(jì)算的時(shí)長為2 s。一般而言低階振型在振動中發(fā)揮主要作用，故截取前4階振型疊加作為車軸的實(shí)際振動。

圖2是剎車盤溫度80℃、車軸遠(yuǎn)端20℃時(shí)的實(shí)際振動。分別截取了不同時(shí)刻的實(shí)際振動，振動幅值的數(shù)量級較小，說明實(shí)際車軸振動的幅值很小。

圖2 隨時(shí)間變化時(shí)的振動

當(dāng)剎車片處的溫度變化時(shí)，車軸的振動是變化的。現(xiàn)考察，溫度變化與最大振幅之間的關(guān)系。剎車片在80℃～100℃的范圍變化時(shí)，研究一個(gè)振動周期內(nèi)最大振幅與溫度的關(guān)系(圖3)。

圖3 剎車片端的溫度與最大振幅

由圖3可知，隨著剎車片處的溫度提高，車軸最大振幅呈現(xiàn)波浪上升的趨勢，這是因?yàn)闇囟鹊奶嵘沟脽釕?yīng)力增加，從而車軸的振動幅值增大。

當(dāng)列車在不同的地域行進(jìn)時(shí)，外界的溫度是不同的。為了簡化研究，假設(shè)環(huán)境溫度即為列車車軸遠(yuǎn)離剎車片的軸端溫度。圖4是環(huán)境溫度與最大振幅的變化圖。

由圖4可知，隨著環(huán)境的溫度提高，車軸最大振幅呈現(xiàn)曲線下降的趨勢。這是因?yàn)闇夭顪p小使得熱應(yīng)力減小的緣故。

圖4 環(huán)境溫度與最大振幅

車軸所受集中力對車軸的振動也是有影響的。剎車盤溫度80℃，車軸遠(yuǎn)端20℃時(shí)，剎車盤處施加[103N，2×103N]之間的集中載荷?？疾熳畲笳穹c集中載荷之間的關(guān)系(圖5)。

圖5 集中力與最大振幅

由圖5可知，隨著集中力的幅值增加，車軸最大振幅呈現(xiàn)曲線上升的趨勢。外力對車軸振幅的影響比溫度引起的變化要更加明顯。

圖6是集中力和溫度同時(shí)變化時(shí)的車軸最大振幅變化的趨勢圖。從圖6(a)可知剎車溫度越大、集中力越大時(shí)車軸的振動幅值越大。從圖6(b)可知，其他條件不變時(shí)，環(huán)境溫度越小、集中力越大時(shí)車軸的振動幅值越大。

圖6 溫度集中力同時(shí)作用時(shí)的振動

盡管車軸最大振幅的數(shù)量級是很小的，但是當(dāng)車軸內(nèi)部有氣孔、裂紋等加工缺陷時(shí)，劇烈的振動會惡化車軸的力學(xué)性能。因此，需要實(shí)時(shí)檢測車軸的溫度，避免軸溫過高時(shí)車軸的振動幅值增大。

4 結(jié)語

因列車車軸的熱彈性振動研究資料有限，當(dāng)列車以極高的速度運(yùn)行時(shí)，列車車軸的振動就不能簡單地被忽略。本文建立了一種列車熱彈性振動的簡化模型，得出軸溫的增大會使得車軸的振動加劇，這就需要對軸溫進(jìn)行準(zhǔn)確、及時(shí)地測量，同時(shí)車軸在剎車過程中受到集中載荷的作用也會使列車的振動加劇。在后續(xù)的研究中可以考慮用Timoshenko梁作為車軸振動模型的近似簡化。