王海濤 龔烈航

(1.廣東機(jī)電職業(yè)技術(shù)學(xué)院 廣東廣州 510080；2.陸軍工程大學(xué)野戰(zhàn)工程學(xué)院 江蘇南京210000)

油液光譜分析是利用各種金屬元素的原子在遷躍過程中發(fā)射或吸收不同的光譜波長來了解液壓油中所含金屬元素的種類及含量，從而了解零件磨損狀況，判斷機(jī)械異常和預(yù)測故障的一種方法[1]。目前已廣泛應(yīng)用于航空、鐵路、軍事等許多重要部門。油液分析數(shù)據(jù)具有記憶性強(qiáng)、依時間連續(xù)變化的特點(diǎn)，通過預(yù)測未來數(shù)據(jù)的變化趨勢結(jié)合油液分析數(shù)據(jù)的閾值，能夠較早發(fā)現(xiàn)液壓系統(tǒng)的故障征兆，避免更嚴(yán)重事故的發(fā)生，對保障設(shè)備正常運(yùn)行具有極其重要的意義[2-6]。

依靠油液分析數(shù)據(jù)預(yù)測液壓系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)時，因?qū)σ簤合到y(tǒng)內(nèi)部的磨損及運(yùn)行細(xì)節(jié)所知甚少，有理由認(rèn)為液壓系統(tǒng)為一灰色系統(tǒng)[7]。另外，油樣的采集、測試過程相對復(fù)雜，成本高，油液樣本相對較少。灰色預(yù)測模型所需數(shù)據(jù)樣本少，無需考慮待預(yù)測系統(tǒng)的狀態(tài)參數(shù)，僅依靠數(shù)據(jù)本身去預(yù)測系統(tǒng)未來狀態(tài)的發(fā)展趨勢，且具有較高的預(yù)測精度，因此，文中選擇灰色預(yù)測模型作為預(yù)測工具。

灰色系統(tǒng)理論是研究少數(shù)據(jù)、不確定性的理論，自1982年鄧聚龍教授創(chuàng)立灰色系統(tǒng)理論以來，已廣泛應(yīng)用于社會經(jīng)濟(jì)、工業(yè)、農(nóng)業(yè)等領(lǐng)域，并取得了顯著的成果[8-9]。GM(1,1)模型作為灰色系統(tǒng)理論的核心內(nèi)容，是應(yīng)用最廣泛的灰色預(yù)測模型[10]。作為GM(1,1)模型的拓廣，文獻(xiàn)[11]提出了新灰色預(yù)測NGM(1,1,K)模型，稱之為新NGM(1,1,K)模型。但在應(yīng)用新NGM(1,1,K)模型時，出現(xiàn)擬合與預(yù)測精度不高的情況，甚至不如傳統(tǒng)GM(1,1)模型。通過分析其建模機(jī)制，得出其精度不高的原因?yàn)椋盒翹GM(1,1,K)模型的定義型與白化型不匹配。為消除因不匹配問題而引起的固有偏差，本文作者在新NGM(1,1,K)模型的基礎(chǔ)上，提出了內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型。

1 內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型的建立

1.1 新NGM(1,1,K)模型

為了便于與后文提到的內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型進(jìn)行比較分析，對新NGM(1,1,K)模型[11]的建模過程作簡要介紹：

建立基于非齊次指數(shù)律特性離散數(shù)據(jù)序列的新NGM(1,1,K)模型的定義型：

x(0)(k)+az(1)(k)=kb+c

(1)

式中：z(1)(k)稱為模型的緊鄰均值生成背景值序列，

k=2,3,......,n

(2)

式(1)的一階白化微分方程

(3)

稱為新NGM(1,1,K)模型的白化型。

(4)

將參數(shù)a、b和c代入一階白化微分方程(3)，取初始條件為：x(1)(1)=x(0)(1)，可得x(1)的響應(yīng)函數(shù)：

(5)

當(dāng)k≤n時，所得值為原始數(shù)據(jù)的擬合值；當(dāng)k>n時，所得值為原始數(shù)據(jù)的預(yù)測值。

1.2 新NGM(1,1,K)模型偏差原因分析

新NGM(1,1,K)模型的建模機(jī)制為：先用定義型(1)估計(jì)參數(shù)a、b和c，再將其代入白化響應(yīng)式(5)中進(jìn)行擬合與預(yù)測計(jì)算。然而，定義型(1)與白化型(3)是有差異的，存在不匹配問題。

即：

(6)

將新NGM(1,1,K)模型的定義型x(0)(k)+az(1)(k)=kb+c與式(6)比較，可知其白化型與定義型存在兩處不匹配：

上述兩處不匹配造成了新NGM(1,1,K)模型的固有偏差。文獻(xiàn)[8]指出GM(1,1)白化型并不是從定義型推導(dǎo)出來的，僅僅是一種“借用”、“白化默認(rèn)”。文獻(xiàn)[12]深入分析了GM(1,1)模型的白化型和定義型中所含參數(shù)a和b的關(guān)系，得出2種形式下的參數(shù)是有差異的。同理，新NGM(1,1,K)模型存在同樣的問題，其原因可以歸結(jié)為：新NGM(1,1,K)模型的定義型與白化型不匹配，從而導(dǎo)致擬合與預(yù)測結(jié)果的失效。

1.3 內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型

為解決新NGM(1,1,K)模型的定義型與白化型不匹配問題，消除其固有偏差，文中提出內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型。

設(shè)x(0)為原始序列，x(1)為其一次累加生成序列，對x(0)建立如下模型，記為內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型：

其中，a、b和c為待定參數(shù)，由公式(4)求得。

證明：基于新NGM(1,1,K)模型的定義型：

x(0)(k)+az(1)(k)=kb+c

以z(1)(k)的表達(dá)式：

代入有：

x(0)(k)+0.5a(x(1)(k)+x(1)(k-1))=kb+c

以x(1)(k)的表達(dá)式：

x(1)(k)=x(0)(k)+x(1)(k-1)

代入上式有：

x(0)(k)+0.5a(x(0)(k)+2x(1)(k-1))=kb+c

可轉(zhuǎn)化為

(1+0.5a)x(0)(k)+ax(1)(k-1)=kb+c

令k=2有：

(1+0.5a)x(0)(2)+ax(1)(1)=2b+c，

聯(lián)合考慮

(1+0.5a)x(0)(k)+ax(1)(k-1)=kb+c

(7)

(1+0.5a)x(0)(k-1)+ax(1)(k-2)=

(k-1)b+c

(8)

從式(7)有：

(9)

從式(8)有

(10)

將式(10)代入式(9)有

(11)

式(11)也適合

從而有：

依此類推可得：

(12)

已知k=2時，新NGM(1,1,K)模型的定義型為

(13)

由此可見，內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型是從新NGM(1,1,K)模型的定義型推導(dǎo)出來的，故與定義型存在零偏差。

2 模型在油液光譜分析中的應(yīng)用

監(jiān)測試驗(yàn)在某型挖掘機(jī)液壓系統(tǒng)上進(jìn)行，取樣點(diǎn)位于回油管的取樣球閥處，對所采集到的油樣在測量之前，做如下預(yù)處理：

(1)采用超聲波振蕩器振蕩油液；

(2)將油液溫度加熱到50 ℃;

(3)采用超聲波清洗儀除氣泡。

對油樣做發(fā)射光譜分析，得到的Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)原始數(shù)據(jù)如表1所示。以前4次Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)為建模數(shù)據(jù)，分別建立內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型、新NGM(1,1,K)模型和傳統(tǒng)GM(1,1)模型以預(yù)測第5次、第6次和第7次Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)，其擬合、預(yù)測結(jié)果如表2所示。

以Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)序列建立的內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型，其響應(yīng)式為

建立的NGM(1,1,K)模型，其響應(yīng)式為

k=1,2,......,n

建立的傳統(tǒng)GM(1,1)模型，其響應(yīng)式為

表1 Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)原始數(shù)據(jù)

表2 3種模型精度比較

由表2可知：擬合精度方面，內(nèi)涵型NGM(1,1,K)的平均擬合相對誤差為0.262 8%，新NGM(1,1,K)模型的平均擬合相對誤差為4.279 5%,GM(1,1)模型的平均擬合相對誤差為0.430 9%；預(yù)測精度方面，內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型的平均預(yù)測相對誤差為1.247 9%，新NGM(1,1,K)模型的平均預(yù)測相對誤差為10.218 8%，GM(1,1)模型的平均預(yù)測相對誤差為3.157 9%。3種模型的預(yù)測曲線如圖1所示，內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型可以很好地預(yù)測Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)的變化，新NGM(1,1,K)模型預(yù)測值偏大，GM(1,1)模型預(yù)測值偏小。由此可見，文中提出的內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型預(yù)測精度最高，其次是GM(1,1)模型，精度最差的是新NGM(1,1,K)模型。

結(jié)合光譜分析閾值制定方法[13]，得到液壓系統(tǒng)Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)的正常值、警戒值和異常值界限如圖1所示。新NGM(1,1,K)模型預(yù)測值偏大，根據(jù)液壓系統(tǒng)維護(hù)規(guī)則，會造成過度維護(hù)，浪費(fèi)資源；GM(1,1)模型預(yù)測值偏小，會造成維護(hù)不到位，而后引發(fā)故障。內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型預(yù)測第6次取樣Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)為6.078 91×10-5，處于正常值界限以下。第6次取樣實(shí)測值為6×10-5，預(yù)測第7次取樣值為7.370 67×10-5，超過正常值界限，預(yù)示液壓系統(tǒng)將要面臨不正常磨損，要對液壓系統(tǒng)進(jìn)行體外循環(huán)過濾或停機(jī)檢查，防止故障發(fā)生。

圖1 3種模型預(yù)測曲線

3 結(jié)論

(1)針對新NGM(1,1,K)白化型與定義型存在不匹配的問題，提出了內(nèi)涵型NGM(1,1,K)灰色預(yù)測模型。將該模型對某型挖掘機(jī)液壓系統(tǒng)光譜分析Fe元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)序列進(jìn)行建模，與GM(1,1)模型和新NGM(1,1,K)模型相比，該模型具有更高的擬合與預(yù)測精度。

(2)內(nèi)涵型NGM(1,1,K)模型得到的光譜分析元素質(zhì)量分?jǐn)?shù)的預(yù)測值結(jié)合閾值制定結(jié)果可實(shí)現(xiàn)對液壓系統(tǒng)的狀態(tài)監(jiān)測，做到主動維護(hù)，保障其可靠運(yùn)行，防止故障發(fā)生。