王浩，張占月，張海濤，姜平

1. 航天工程大學(xué)，北京 101400 2. 中國人民解放軍63601部隊(duì)，酒泉 732750

星座中部分衛(wèi)星因故失效后重新調(diào)整星座構(gòu)型的措施稱為星座重構(gòu)[1]，按重構(gòu)方式不同可分為在軌衛(wèi)星重構(gòu)和發(fā)射重構(gòu)。在軌衛(wèi)星重構(gòu)是利用星座中現(xiàn)有衛(wèi)星重新部署;發(fā)射重構(gòu)是通過發(fā)射新的衛(wèi)星提升受損星座性能。對區(qū)域偵察彈性星座的重構(gòu)方法進(jìn)行研究，可為偵察星座的建設(shè)提供參考。

文獻(xiàn)[2-3]對在軌衛(wèi)星重構(gòu)方法進(jìn)行了研究，提出了一種基于Lambert理論的星座重構(gòu)方法，該方法采用Lambert轉(zhuǎn)移對衛(wèi)星進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)，對機(jī)動(dòng)過程中的速度增量進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[4]對COMPASS導(dǎo)航星座的重構(gòu)方法進(jìn)行了研究，分別提出了利用低、中、高軌衛(wèi)星和臨近飛行器對失效星座進(jìn)行重構(gòu)的方法。文獻(xiàn)[5]對以電推進(jìn)方式進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)的星座重構(gòu)方法進(jìn)行了研究，運(yùn)用組合算法解決了在星座重構(gòu)過程中多星耦合機(jī)動(dòng)的優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[6]對全球?qū)Ш叫亲闹貥?gòu)方法進(jìn)行了研究，對受損星座中剩余衛(wèi)星采用軌道機(jī)動(dòng)的方式，通過遺傳算法對調(diào)整衛(wèi)星的選取及調(diào)整后衛(wèi)星的相位進(jìn)行了優(yōu)化。文獻(xiàn)[7]對區(qū)域覆蓋星座的重構(gòu)方案進(jìn)行了研究，提出了保持軌道基本屬性和星座構(gòu)型的預(yù)置量軌道機(jī)動(dòng)重構(gòu)方法。文獻(xiàn)[8]對導(dǎo)航星座的重構(gòu)方法進(jìn)行了研究，采取單顆鄰位衛(wèi)星機(jī)動(dòng)、兩顆鄰位衛(wèi)星機(jī)動(dòng)和全部衛(wèi)星機(jī)動(dòng)的重構(gòu)策略，考慮重構(gòu)能量、重構(gòu)時(shí)間、能量消耗均衡度、星座的可恢復(fù)性、性能提升程度，建立了星座重構(gòu)優(yōu)化模型。文獻(xiàn)[9]對偵察星座的在軌重構(gòu)方法進(jìn)行了研究，考慮平均重訪時(shí)間、最大覆蓋時(shí)間，以及基于任務(wù)調(diào)度的覆蓋總時(shí)長指標(biāo)，建立了重構(gòu)優(yōu)化模型，并提出了一種變量維數(shù)可變的多目標(biāo)差分進(jìn)化算法，可有效求解重構(gòu)過程中機(jī)動(dòng)衛(wèi)星和機(jī)動(dòng)目標(biāo)位置耦合優(yōu)化問題。文獻(xiàn)[10]提出發(fā)射新衛(wèi)星和在軌衛(wèi)星機(jī)動(dòng)相結(jié)合的重構(gòu)方法，通過發(fā)射衛(wèi)星和在軌衛(wèi)星機(jī)動(dòng)形成一個(gè)新軌道面，對每顆衛(wèi)星的位置及重構(gòu)策略進(jìn)行了優(yōu)化，但并未考慮發(fā)射過程對重構(gòu)的影響。文獻(xiàn)[11]針對通信星座的重構(gòu)方法進(jìn)行了研究，采取在軌衛(wèi)星相位重置的方式進(jìn)行，以網(wǎng)絡(luò)傳輸速率和延遲作為優(yōu)化目標(biāo)，建立了重構(gòu)優(yōu)化模型。

目前對星座重構(gòu)方法的研究大多以在軌機(jī)動(dòng)的方式對星座進(jìn)行重構(gòu)，該方法具有成本低、重構(gòu)時(shí)間短的特點(diǎn)，在不考慮備份衛(wèi)星機(jī)動(dòng)的情況下只能減少星座性能下降程度，難以徹底恢復(fù)原有星座性能，而發(fā)射衛(wèi)星重構(gòu)的成本較高，重構(gòu)時(shí)間與快速發(fā)射能力有關(guān)，將兩者結(jié)合進(jìn)行重構(gòu)的方法研究較少。本文針對區(qū)域偵察星座重構(gòu)問題進(jìn)行研究，提出一種一箭多星發(fā)射和在軌衛(wèi)星相位機(jī)動(dòng)相結(jié)合的星座重構(gòu)方法。首先對重構(gòu)評(píng)估指標(biāo)進(jìn)行分析，提出彈性指數(shù)作為星座彈性的評(píng)估指標(biāo)，其次對一箭多星發(fā)射過程和在軌衛(wèi)星相位機(jī)動(dòng)過程進(jìn)行分析，建立基于重構(gòu)時(shí)間和重構(gòu)成本最優(yōu)的重構(gòu)優(yōu)化模型。針對重構(gòu)優(yōu)化模型中的混合變量優(yōu)化問題，對傳統(tǒng)MOPSO算法進(jìn)行改進(jìn)，通過變量轉(zhuǎn)化將離散優(yōu)化變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)優(yōu)化變量，提出基于學(xué)習(xí)機(jī)制的種群更新策略，并將改進(jìn)的MOPSO算法應(yīng)用于重構(gòu)優(yōu)化模型求解過程。

1 重構(gòu)性能評(píng)估指標(biāo)

覆蓋指標(biāo)眾多，常用的覆蓋指標(biāo)有覆蓋率、最大重訪時(shí)間及空間分辨率，分別衡量星座對目標(biāo)空間維、時(shí)間維和質(zhì)量維的覆蓋能力[12]。最大重訪時(shí)間定義為目標(biāo)區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)連續(xù)兩次探測最大時(shí)間間隔的最大值，可通過網(wǎng)格點(diǎn)法計(jì)算[13]。本文選取最大重訪時(shí)間作為偵察星座覆蓋能力的度量指標(biāo)。

重構(gòu)成本按重構(gòu)過程可分為發(fā)射的新衛(wèi)星成本和在軌衛(wèi)星機(jī)動(dòng)成本，發(fā)射新衛(wèi)星的成本由衛(wèi)星載荷、總裝集成測試、運(yùn)行控制、地面支持設(shè)備以及發(fā)射成本構(gòu)成，可利用小衛(wèi)星成本估計(jì)模型(small satellite cost model, SSCM)計(jì)算單顆衛(wèi)星的成本Csat[14]。衛(wèi)星在軌機(jī)動(dòng)成本可通過衛(wèi)星機(jī)動(dòng)所消耗的推進(jìn)劑質(zhì)量來衡量，對需機(jī)動(dòng)的衛(wèi)星進(jìn)行編號(hào)，i為編號(hào)值，由火箭方程[15]可計(jì)算出衛(wèi)星i所消耗的推進(jìn)劑質(zhì)量mi，如下式所示。

mi=m0(eΔvi/g0Isp-1)

(1)

式中：e為自然常數(shù)；m0為衛(wèi)星質(zhì)量；Δvi為衛(wèi)星i機(jī)動(dòng)所需速度增量；Isp=300 s為火箭發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；g0=9.8 m/s2為重力加速度。

假設(shè)在軌衛(wèi)星機(jī)動(dòng)消耗單位千克推進(jìn)劑的成本為Cm，則可計(jì)算出重構(gòu)總成本C。

(2)

式中：nsat為新發(fā)射的衛(wèi)星數(shù)量；nm為需進(jìn)行軌道機(jī)動(dòng)的衛(wèi)星數(shù)量。

重構(gòu)時(shí)間按重構(gòu)過程可分為發(fā)射過程時(shí)間和在軌衛(wèi)星機(jī)動(dòng)時(shí)間。發(fā)射過程時(shí)間指新衛(wèi)星通過一箭多星發(fā)射進(jìn)入目標(biāo)軌道所需要的時(shí)間，不考慮新衛(wèi)星均勻部署到目標(biāo)相位的時(shí)間。在軌機(jī)動(dòng)時(shí)間指在軌衛(wèi)星軌道機(jī)動(dòng)到達(dá)目標(biāo)位置所需時(shí)間。兩個(gè)過程分步進(jìn)行，先發(fā)射衛(wèi)星形成新的軌道面，再對在軌剩余衛(wèi)星機(jī)動(dòng)，保證即使衛(wèi)星發(fā)射失敗，原星座構(gòu)型保持不變，避免性能再度下降。重構(gòu)總時(shí)間T可表示為：

T=tL+tphase

(3)

式中：tL為發(fā)射過程時(shí)間；tphase為在軌衛(wèi)星機(jī)動(dòng)時(shí)間。

彈性是衡量星座抗毀能力大小的指標(biāo)，可通過星座受損后覆蓋能力下降程度來衡量[14]。本文更關(guān)注于覆蓋指標(biāo)中最大重訪時(shí)間的下降程度，將星座受損狀態(tài)定義為星座中單顆衛(wèi)星失效后最大重訪時(shí)間下降幅度最大所對應(yīng)的狀態(tài)，定義彈性指數(shù)為星座從滿站位狀態(tài)到受損狀態(tài)的最大重訪時(shí)間下降幅度相對于滿站位狀態(tài)下最大重訪時(shí)間的比例，彈性指數(shù)E如下式所示。

(4)

式中：tn為星座滿站位狀態(tài)下的最大重訪時(shí)間；td為星座受損狀態(tài)下的最大重訪時(shí)間。

2 基于一箭多星發(fā)射和在軌衛(wèi)星相位機(jī)動(dòng)的星座重構(gòu)方法

采用一箭多星發(fā)射和在軌衛(wèi)星相位機(jī)動(dòng)相結(jié)合的方式對星座進(jìn)行重構(gòu)，需要考慮兩個(gè)方面，一是如何確定重構(gòu)后星座的構(gòu)型；二是在軌衛(wèi)星如何通過相位機(jī)動(dòng)到達(dá)目標(biāo)位置。兩者相互耦合，需要對問題解耦，首先對一箭多星發(fā)射過程和在軌衛(wèi)星相位機(jī)動(dòng)過程進(jìn)行分析。

2.1 一箭多星發(fā)射過程分析

通過一箭多星快速發(fā)射形成新的軌道面是恢復(fù)星座性能的一種有效手段，發(fā)射任務(wù)流程如下：1)發(fā)射準(zhǔn)備階段：從發(fā)射任務(wù)下達(dá)開始到發(fā)射準(zhǔn)備工作完成。2)發(fā)射等待階段：發(fā)射準(zhǔn)備工作完成后等待發(fā)射窗口的過程。3)發(fā)射階段：從衛(wèi)星發(fā)射到進(jìn)入目標(biāo)軌道的過程。4)調(diào)相入軌階段：衛(wèi)星在目標(biāo)軌道上通過調(diào)相至目標(biāo)軌道相位。

對發(fā)射過程分析之前，做如下假設(shè)：

1)采用機(jī)動(dòng)發(fā)射方式。

2)為節(jié)省發(fā)射成本和入軌成本，采用共面發(fā)射方式，單共切入軌方式。

3)發(fā)射衛(wèi)星型號(hào)、載荷與在軌衛(wèi)星相同。

為保證星座構(gòu)型的相對穩(wěn)定，發(fā)射新軌道面的半長軸和傾角與原星座一致，軌面內(nèi)衛(wèi)星均勻分布。發(fā)射過程如圖1所示，發(fā)射場經(jīng)緯度(λ0,φ0)，機(jī)動(dòng)發(fā)射車速度為Vvehicle，機(jī)動(dòng)發(fā)射區(qū)域?yàn)橐园l(fā)射場為圓心的球面圓形區(qū)域，其半徑由機(jī)動(dòng)發(fā)射車速度和發(fā)射準(zhǔn)備時(shí)間決定，由幾何關(guān)系可計(jì)算出機(jī)動(dòng)發(fā)射區(qū)域的經(jīng)度范圍[λLmin,λLmax]和緯度范圍[φLmin,φLmax]。機(jī)動(dòng)發(fā)射點(diǎn)L的經(jīng)緯度為(λL,φL)，B點(diǎn)為L點(diǎn)天頂方向與目標(biāo)軌道的相交點(diǎn)，C點(diǎn)為入軌點(diǎn)，發(fā)射新軌道面升交點(diǎn)赤經(jīng)為Ωtar。以降軌發(fā)射為例，則從L點(diǎn)發(fā)射的等待時(shí)間tw為：

?(t)-λL,2π)-tp

(5)

式中：mod 表示對兩個(gè)數(shù)相除取余；Itar為發(fā)射新軌道面的傾角；?(t)為初始時(shí)刻t的格林尼治恒星時(shí)角；w′為J2項(xiàng)攝動(dòng)下目標(biāo)軌道相對于地球的旋轉(zhuǎn)角速度；tp為發(fā)射準(zhǔn)備時(shí)間。

同理，采用升軌發(fā)射，發(fā)射等待時(shí)間tw為：

?(t)-λL,2π)-tp

(6)

經(jīng)過tw+tp時(shí)后，火箭從機(jī)動(dòng)發(fā)射點(diǎn)L發(fā)射，經(jīng)發(fā)射段飛行tf后到達(dá)入軌點(diǎn)C。已知發(fā)射地心角為αL，將火箭發(fā)射過程近似看做兩沖量的開普勒軌道，則發(fā)射軌道上發(fā)射點(diǎn)L的真近點(diǎn)角fL=π-αL，發(fā)射軌道上入軌點(diǎn)C真近點(diǎn)角fC=π，根據(jù)軌道力學(xué)知識(shí)可得L點(diǎn)和C點(diǎn)滿足下式[16]。

(7)

(8)

式中：Re為地球半長軸，取6 378.14 km；eL為發(fā)射軌道偏心率；ρ為發(fā)射軌道半通徑；atar為目標(biāo)軌道半長軸。

式(7)和式(8)聯(lián)立解得ρ、eL，進(jìn)一步求得發(fā)射軌道的半長軸aL：

(9)

根據(jù)真近點(diǎn)角與平近點(diǎn)角的關(guān)系，可求得發(fā)射點(diǎn)L的平近點(diǎn)角μL，則可計(jì)算出發(fā)射段的飛行時(shí)間tf：

(10)

式中：μe為地球引力常數(shù)。

進(jìn)入目標(biāo)軌道后，新衛(wèi)星按重構(gòu)后的構(gòu)型均勻部署于軌道面內(nèi)。

2.2 在軌衛(wèi)星相位機(jī)動(dòng)過程分析

假設(shè)原星座各軌道面內(nèi)衛(wèi)星均勻分布，對存在失效衛(wèi)星的軌道面內(nèi)剩余正常衛(wèi)星采取均勻相位的操作。如圖2所示，該軌道面內(nèi)衛(wèi)星6、7、8失效，剩余正常衛(wèi)星通過相位機(jī)動(dòng)重新形成相位均勻的相對構(gòu)型。已知存在失效衛(wèi)星的軌道面數(shù)為I，按升交點(diǎn)赤經(jīng)大小進(jìn)行編號(hào)，i=1,2,…,I為編號(hào)值，軌道面內(nèi)的衛(wèi)星按緯度幅角大小進(jìn)行編號(hào)，j為編號(hào)值。第i個(gè)軌道面內(nèi)第1顆衛(wèi)星的緯度幅角為Mi,1，則該軌道面內(nèi)第j顆衛(wèi)星的緯度幅角為Mi,j，如下式所示。

(11)

式中：Qi為第i個(gè)失效軌道面內(nèi)原衛(wèi)星總數(shù)。

圖2 在軌衛(wèi)星均勻相位Fig.2 On-orbit satellites uniform phase

除去失效衛(wèi)星后，重新按緯度幅角大小進(jìn)行編號(hào)，k為編號(hào)值，則該軌道面上第k顆正常衛(wèi)星的緯度幅角為Mi,k。

均勻相位可采用高軌調(diào)相和低軌調(diào)相方法進(jìn)行。高軌調(diào)相過程如圖3所示，衛(wèi)星1從當(dāng)前相位移動(dòng)到目標(biāo)位置，調(diào)相方式為衛(wèi)星進(jìn)入比目標(biāo)軌道半長軸大的調(diào)相軌道，利用兩個(gè)軌道的周期不同，逐漸減小衛(wèi)星1和目標(biāo)位置的相位差。具體實(shí)施方式為：衛(wèi)星1首先沿速度方向加速進(jìn)入調(diào)相軌道，在調(diào)相軌道運(yùn)行一定圈數(shù)后到達(dá)目標(biāo)位置時(shí)，再施加一個(gè)沿速度反方向的沖量進(jìn)入目標(biāo)軌道。低軌調(diào)相過程與此相反。當(dāng)調(diào)相時(shí)間固定時(shí)，調(diào)相所需速度增量與衛(wèi)星相位調(diào)整量成正比，當(dāng)相位調(diào)相量ΔM∈(0,180]時(shí)，采用低軌調(diào)相所需速度增量更小，當(dāng)ΔM∈(180,360)時(shí)，采用高軌調(diào)相所需速度增量更小。

圖3 高軌調(diào)相Fig.3 High orbit phase adjustment

均勻相位后第i個(gè)軌道面第1顆衛(wèi)星的緯度幅角為Ki,1，則該軌道面第k顆衛(wèi)星的緯度幅角為Ki,k，如下式所示。

k=1,2,…,Qi-Si

(12)

式中：Si為第i個(gè)軌道面內(nèi)失效衛(wèi)星數(shù)量。

第i個(gè)軌道面第k顆衛(wèi)星相位調(diào)整量為ΔMi,k=Ki,k-Mi,k。當(dāng)ΔMi,k∈(0,180]時(shí)，采用低軌調(diào)相，當(dāng)ΔMi,k∈(180,360)時(shí)，采用高軌調(diào)相。

(13)

(14)

式中：Torbit為失效軌道周期。

若采用高軌調(diào)相，同理可得調(diào)相時(shí)間和調(diào)相所需速度。

(15)

(16)

由式(1)和式(2)可計(jì)算出所有失效軌道面上正常衛(wèi)星機(jī)動(dòng)所需成本Cn為：

(17)

調(diào)相階段所需總時(shí)間tphase為：

i=1,2,…,I;k=1,2,…,Qi-Si

(18)

2.3 基于重構(gòu)時(shí)間最優(yōu)的重構(gòu)優(yōu)化模型

以恢復(fù)原有星座性能為目的，要求重構(gòu)時(shí)間最短，建立重構(gòu)優(yōu)化模型，該模型主要應(yīng)用于應(yīng)急狀態(tài)下的重構(gòu)任務(wù)。共存在5+I個(gè)優(yōu)化變量：發(fā)射形成的新軌道面內(nèi)衛(wèi)星數(shù)S，機(jī)動(dòng)發(fā)射點(diǎn)經(jīng)度λL，發(fā)射點(diǎn)緯度φL，新軌道面的升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω以及軌道面內(nèi)第1顆衛(wèi)星的緯度幅角M0，第i個(gè)失效軌道面相位均勻后第1顆衛(wèi)星的緯度幅角Ki,0(i=1,2,…,I)。

優(yōu)化目標(biāo)：

min (F,T,E)

(19)

式中：F為星座對目標(biāo)區(qū)域的最大重訪時(shí)間。

優(yōu)化變量：

x=(S,λL,φL,Ω,M0,Ki,0)

(20)

約束條件：

1)為保證機(jī)動(dòng)發(fā)射點(diǎn)能夠發(fā)射目標(biāo)軌道的衛(wèi)星，機(jī)動(dòng)發(fā)射點(diǎn)的緯度φL需滿足：

φL≤itar

(21)

2)由于機(jī)動(dòng)發(fā)射區(qū)域?yàn)榍蛎鎴A區(qū)域，機(jī)動(dòng)發(fā)射車速率為Vvehicle，發(fā)射準(zhǔn)備時(shí)間為tp，機(jī)動(dòng)發(fā)射點(diǎn)的經(jīng)緯度除滿足邊界約束外，還需滿足：

(22)

式中：β為機(jī)動(dòng)發(fā)射點(diǎn)與發(fā)射場的地心夾角。

3)在軌衛(wèi)星機(jī)動(dòng)過程中，當(dāng)ΔMi,k∈(0,180]時(shí)，優(yōu)先選擇低軌調(diào)相機(jī)動(dòng)，調(diào)相軌道半長軸ai,k需高于低軌調(diào)相所允許的最小軌道半長軸。若不滿足，則選擇高軌調(diào)相。

ai,k≥Rx

(23)

式中：Rx為低軌調(diào)相所允許的最小軌道半長軸，一般取6 678 km；ai,k為第i個(gè)失效軌道面第k顆正常衛(wèi)星的調(diào)相軌道半長軸。

2.4 基于重構(gòu)成本最優(yōu)的重構(gòu)優(yōu)化模型

重構(gòu)目的為最小重構(gòu)成本恢復(fù)原有星座性能，適用于常規(guī)場景下的重構(gòu)任務(wù)，建立星座重構(gòu)優(yōu)化模型。模型中的優(yōu)化變量、約束條件及優(yōu)化步驟與基于時(shí)間最優(yōu)的重構(gòu)優(yōu)化模型類似，不再敘述。

優(yōu)化目標(biāo)：

min(F,C,E)

(24)

添加約束條件：

1)發(fā)射過程優(yōu)先選用降軌發(fā)射，當(dāng)發(fā)射時(shí)機(jī)不滿足降軌發(fā)射時(shí)，即降軌發(fā)射等待時(shí)間tw<0，表明無降軌發(fā)射時(shí)機(jī)，則選擇升軌發(fā)射。

2)規(guī)定重構(gòu)最大時(shí)長為Tmax，則重構(gòu)總時(shí)間小于重構(gòu)最大時(shí)長。

T

(25)

3 改進(jìn)的MOPSO算法

傳統(tǒng)的多目標(biāo)算法對離散變量優(yōu)化時(shí)多采取圓整和轉(zhuǎn)化為約束條件的操作方法，而星座構(gòu)型問題的離散變量一般為衛(wèi)星數(shù)量和軌道面數(shù)，與軌道參數(shù)一同確定星座構(gòu)型，共同影響星座的性能。若采取去圓整的方法將導(dǎo)致初期進(jìn)化階段衛(wèi)星數(shù)量和軌道面數(shù)變化太快，無法對變量空間進(jìn)行充分搜索，遺漏最優(yōu)解。星座問題的強(qiáng)非線性導(dǎo)致約束條件越復(fù)雜越難得到最優(yōu)解，將整數(shù)變量轉(zhuǎn)化為約束條件加大了算法的收斂難度。針對這些問題，本文提出一種改進(jìn)的MOPSO算法，首先通過變量轉(zhuǎn)化法將離散變量轉(zhuǎn)化為連續(xù)變量進(jìn)行處理，其次利用約束支配關(guān)系將約束融入優(yōu)化過程中，之后對種群進(jìn)行Pereto支配排序，依據(jù)排序等級(jí)及擁擠度構(gòu)建優(yōu)勢子種群集合，種群中其余粒子向優(yōu)勢粒子學(xué)習(xí)，算法流程如圖4所示。

圖4 MOPSO算法流程Fig.4 MOPSO algorithm flow chart

建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，如下式所示。

min(f1(x),f2(x),…,fn(x))

(26)

(27)

式中：f(x)為優(yōu)化目標(biāo)；x為優(yōu)化變量；g(x)為不等式約束條件；h(x)為等式約束條件；n,m,p分別為編號(hào)值；M為不等式約束個(gè)數(shù)；P為等式約束個(gè)數(shù)。

3.1 約束處理

優(yōu)化算法常采用約束違反度cv來衡量解違反約束的程度，如下式所示，約束違反度越大，表明該解的適應(yīng)度越差。

(28)

式中：ε為等式約束容忍值。

針對基于Pareto支配的多目標(biāo)優(yōu)化算法，通過約束支配關(guān)系可處理算法中目標(biāo)與約束之間的關(guān)系。加入約束后支配關(guān)系如下[17]，對于任意兩個(gè)解xa、xb，當(dāng)xaPareto支配xb時(shí)，需滿足以下條件之一：

1)xa是可行解，xb是不可行解。

2)xa、xb都是不可行解，但cv(xa)

3)xa、xb都是可行解，xaPareto支配xb。

3.2 變量轉(zhuǎn)換

變量轉(zhuǎn)換是一種利用映射關(guān)系將多種不同變量轉(zhuǎn)換為同一類型變量的方法，從而有利于優(yōu)化過程中對變量進(jìn)行操作，常見的兩種變量為離散變量和連續(xù)變量。將轉(zhuǎn)化后的變量稱為名義變量，連續(xù)變量的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下[18]：

xr=a+bxk

(29)

式中：xr為連續(xù)變量；a、b為實(shí)數(shù)；xk為名義變量，xk∈(0,1)。例如xr∈[2,7]，則可通過名義變量表示為xr=2+5xk。

離散變量的轉(zhuǎn)化關(guān)系如下[18]：

xI=c+d·floor(xk)

(30)

式中：xI為離散變量；c、d為整數(shù)。例如xI∈[1,5]，則可通過名義變量表示為xI=1+floor(4xk)。

3.3 基于學(xué)習(xí)機(jī)制的種群更新策略

傳統(tǒng)MOPSO算法需要建立外部檔案，保存粒子的歷史信息，操作復(fù)雜。本文提出基于學(xué)習(xí)機(jī)制的種群更新策略，只對當(dāng)代粒子進(jìn)行操作，增強(qiáng)了算法的收斂性。策略分為兩步，第一步構(gòu)建優(yōu)勢子種群。根據(jù)Pareto等級(jí)和擁擠距離選擇優(yōu)勢粒子構(gòu)建子種群方法如下：假設(shè)優(yōu)勢子種群的粒子個(gè)數(shù)為N1(N1

第二步對種群中其余N-N1粒子進(jìn)行學(xué)習(xí)操作，粒子i學(xué)習(xí)過程如下：1)隨機(jī)選擇優(yōu)勢子種群中的一個(gè)優(yōu)勢粒子。2)粒子i向該優(yōu)勢粒子進(jìn)行學(xué)習(xí)，使得種群逐漸靠近真實(shí)的最優(yōu)解集。參考PSO算法中粒子速度和位置更新策略對種群進(jìn)行更新，用該優(yōu)勢粒子替代歷史最優(yōu)粒子，用所有優(yōu)勢粒子的平均值代替全局最優(yōu)粒子。速度更新公式為：

(31)

位置更新公式為：

xi+1=xi+vi+1

(32)

對更新后的種群粒子進(jìn)行變異操作，以保證種群探索新粒子的能力，一般采用多項(xiàng)式變異。合并原種群和更新后的種群，進(jìn)行精英選擇，構(gòu)成新種群參與下一代進(jìn)化。

4 仿真校驗(yàn)

仿真時(shí)間為2021-01-01 00:00:00—2021-01-02 00:00:00，通過STK和MATLAB聯(lián)合進(jìn)行仿真。原星座參數(shù)：軌道高度為500 km，軌道傾角為86°，3個(gè)軌道面升交點(diǎn)赤經(jīng)分別為50°、108°、228°,每個(gè)軌道內(nèi)8顆衛(wèi)星均勻分布，3個(gè)軌道面第1顆衛(wèi)星的緯度幅角分別為34°、40°、20°。每個(gè)軌道面存在2顆失效衛(wèi)星，軌道參數(shù)如表1所示。

表1 失效衛(wèi)星軌道參數(shù)

經(jīng)STK計(jì)算，可得星座滿站位狀態(tài)下對某一區(qū)域的最大重訪時(shí)間為2.797 4×104s，彈性指數(shù)為0.48。在受損狀態(tài)下，星座對區(qū)域的最大重訪時(shí)間為3.97×104s，彈性指數(shù)為0.09。

設(shè)置初始參數(shù)如下：發(fā)射場經(jīng)緯度值(100.5,41.1)，機(jī)動(dòng)發(fā)射車速度88 km/h，發(fā)射準(zhǔn)備時(shí)間tp=2 h，則機(jī)動(dòng)發(fā)射點(diǎn)經(jīng)度值范圍[98.4,102.5]，緯度值范圍[39.50,42.68]。衛(wèi)星總質(zhì)量m0=120 kg，在軌衛(wèi)星機(jī)動(dòng)消耗單位千克推進(jìn)劑的成本Cm=200美元，火箭最大搭載量1 t，發(fā)射地心角αL=10°。在軌衛(wèi)星機(jī)動(dòng)階段原失效衛(wèi)星運(yùn)行圈數(shù)l=5。

建立基于重構(gòu)時(shí)間最優(yōu)的重構(gòu)優(yōu)化模型，并通過改進(jìn)的MOPSO算法求解，得到的Pareto解集如圖5所示，圖6為Pareto解集的最大重訪時(shí)間與彈性指數(shù)的關(guān)系。

圖5 Pareto解集(時(shí)間最優(yōu))Fig.5 Pareto solution set(time optimal)

圖6 Pareto解集的最大重訪時(shí)間與彈性指數(shù)的關(guān)系(時(shí)間最優(yōu))Fig.6 The maximum revisiting time and the elastic index of the pareto solution(time optimal)

如圖6所示，陰影部分為重構(gòu)后星座大于原有星座性能的重構(gòu)方案，箭頭所指的重構(gòu)方案的重構(gòu)時(shí)間最短，為51 711 s，為重構(gòu)時(shí)間最優(yōu)方案。具體發(fā)射方案為需要發(fā)射6顆衛(wèi)星，機(jī)動(dòng)發(fā)射點(diǎn)經(jīng)緯度值為(100.53,40.68)，發(fā)射的新軌道面升交點(diǎn)赤經(jīng)為112.32°，面內(nèi)第1顆衛(wèi)星的緯度幅角為49.54°。在軌衛(wèi)星相位機(jī)動(dòng)方案為：均勻相位后3個(gè)失效軌道面內(nèi)第1顆衛(wèi)星的相位分別為32.75°、11.18°、29.03°。重構(gòu)后星座對該區(qū)域的最大重訪時(shí)間為2.772 2×104s，彈性指數(shù)為0.047，均優(yōu)于原星座滿站位狀態(tài)下的指標(biāo)值，滿足重構(gòu)要求。

以重構(gòu)成本作為優(yōu)化目標(biāo)，建立基于重構(gòu)成本最優(yōu)的重構(gòu)優(yōu)化模型。規(guī)定最大重構(gòu)時(shí)長為1天，得到的Pareto解集如圖7所示，圖8為Pareto解集的最大重訪時(shí)間與彈性指數(shù)的關(guān)系。

圖7 Pareto解集(成本最優(yōu))Fig.7 Pareto solution set(cost optimal)

圖8 Pareto解集的最大重訪時(shí)間與彈性指數(shù)的關(guān)系(成本最優(yōu))Fig.8 The maximum revisiting time and the elastic index of the pareto solution(cost optimal)

如圖8所示，陰影部分為重構(gòu)后星座大于原有星座性能的重構(gòu)方案，箭頭所指的重構(gòu)方案重構(gòu)成本最少，為1.09×105美元。具體發(fā)射方案為需發(fā)射4顆衛(wèi)星，機(jī)動(dòng)發(fā)射點(diǎn)經(jīng)緯度值為(101.85,40.82)，形成的新軌道面升交點(diǎn)赤經(jīng)為177.46°，面內(nèi)第1顆衛(wèi)星的緯度幅角為154.57°。在軌衛(wèi)星相位機(jī)動(dòng)方案為：均勻相位后3個(gè)失效軌道面內(nèi)第1顆衛(wèi)星的相位分別為32.06°、49.57°、35.77°，重構(gòu)后星座對區(qū)域的最大重訪時(shí)間為2.723 6×104s，彈性指數(shù)為0.13，均優(yōu)于原星座滿站位狀態(tài)下的指標(biāo)值，滿足重構(gòu)要求。

5 結(jié)束語

本文對區(qū)域偵察彈性星座的重構(gòu)問題進(jìn)行了研究，提出了基于MOPSO的區(qū)域偵察彈性星座重構(gòu)方法，并應(yīng)用于某一受損星座的重構(gòu)優(yōu)化中。結(jié)果表明提出的方法及算法可有效解決重構(gòu)時(shí)間最優(yōu)和重構(gòu)成本最優(yōu)兩類區(qū)域偵察彈性星座的重構(gòu)問題。同時(shí)該方法也可拓展應(yīng)用于通信、導(dǎo)航等星座的重構(gòu)任務(wù)，只需將性能指標(biāo)替換為通信、導(dǎo)航任務(wù)所關(guān)注的指標(biāo)即可。本文僅分析了在軌衛(wèi)星相位機(jī)動(dòng)情況，除此機(jī)動(dòng)方式之外，結(jié)合軌面間機(jī)動(dòng)和發(fā)射考慮的重構(gòu)方法可進(jìn)一步進(jìn)行研究。