董小雨，馮秀芳

(1.太原理工大學(xué) 信息與計(jì)算機(jī)學(xué)院，山西 晉中 030600；2.太原理工大學(xué) 軟件學(xué)院，山西 晉中 030600)

0 引 言

對圖像的加密算法的研究成為圖像加密[1-4]領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，彩色圖像加密[5-8]、多圖像加密、混沌圖像加密[9-12]等圖像加密方法被學(xué)者所提出。當(dāng)前，圖像加密算法中普遍使用置亂、擴(kuò)散兩個(gè)階段對圖像進(jìn)行加密。在加密算法中，有學(xué)者提出異或、加取模、移位等循環(huán)擴(kuò)散加密方法。例如，多次異或運(yùn)算實(shí)現(xiàn)對圖像的擴(kuò)散操作[13]。有學(xué)者提出增加對像素值的不同數(shù)學(xué)運(yùn)算操作，例如，將超混沌系統(tǒng)與移位密碼結(jié)合對像素位置加密、擴(kuò)散和混淆像素值[14]。也有學(xué)者提出在對圖像置亂的同時(shí)實(shí)現(xiàn)擴(kuò)散的加密方法。例如，在傳統(tǒng)圖像加密算法基礎(chǔ)上，增加置亂和擴(kuò)散的耦合性，實(shí)現(xiàn)多混沌結(jié)合的快速圖像加密[15]。

近年來，學(xué)者們提出的通過循環(huán)數(shù)學(xué)運(yùn)算、增加新的操作或多種操作的融合提高加密算法的復(fù)雜度。但從為建立各像素值之間關(guān)聯(lián)的角度，傳統(tǒng)的擴(kuò)散算法一般使用當(dāng)前明文像素值、與當(dāng)前明文像素相鄰的密文像素值、混沌序列之間進(jìn)行相互運(yùn)算，加密過程中參數(shù)不變，有限次加密得到的加密圖像之間具有較強(qiáng)的規(guī)律性，抗攻擊能力較差。為處理這些問題，本文提出一種基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散加密算法，進(jìn)行可變控制參數(shù)的圖像加密。在置亂階段，首先使用Hilbert曲線置亂圖像，將相鄰像素進(jìn)行重新組合，減少圖像中不動(dòng)點(diǎn)數(shù)量；其次使用Arnold隨機(jī)矩陣對圖像每一像素進(jìn)行選擇性置亂。在擴(kuò)散階段使用基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散算法，將圖像之間的差異程度對擴(kuò)散過程中混沌序列的初始參數(shù)、擴(kuò)散初始值、擴(kuò)散序列等參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，實(shí)現(xiàn)擴(kuò)散加密過程參數(shù)的改變。通過該加密方法，加密任意兩幅圖像使用的密鑰，加密過程中的參數(shù)都不相同，可有效提高明文敏感性。

1 系統(tǒng)模型及相關(guān)概念

在本文的加密系統(tǒng)中，使用Hilbert曲線置亂、Arnold置亂等置亂方法，結(jié)合提出的基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散算法對圖像進(jìn)行加密。本節(jié)介紹Hilbert曲線置亂、Arnold變換、基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散的基本思路。

1.1 Hilbert曲線置亂

二維Hilbert曲線可以描述為，將一個(gè)正方形以一定的規(guī)則進(jìn)行遍歷，可得到一條填滿整個(gè)正方形的曲線。在本文中，按二維Hilbert曲線遍歷的順序?qū)ΧS圖像的像素點(diǎn)進(jìn)行掃描存儲(chǔ)，按列排列得到Hilbert曲線置亂圖像，實(shí)現(xiàn)圖像置亂處理。加密算法中使用Hilbert曲線遍歷圖像以減少不動(dòng)點(diǎn)的數(shù)目。Hilbert置亂加密過程如圖1所示。

圖1 Hilbert置亂加密過程

1.2 Arnold變換

Arnold置亂是基于矩陣變換的算法。首先對像素點(diǎn)做x軸方向的變換，再做y軸方向的變換，最后做取模運(yùn)算，將圖像內(nèi)的離散像素點(diǎn)進(jìn)行重新排列。

Arnold變換公式如式(1)所示

(1)

Arnold變換通過使用2×2的矩陣R，對原圖像像素點(diǎn)的坐標(biāo)位置(x0,y0)進(jìn)行變換，得到變換后圖像像素點(diǎn)的坐標(biāo)位置(x1,y1)，M、N表示圖像矩陣大小。

Arnold矩陣R如式(2)所示

(2)

矩陣R中a(i,j)、b(i,j) 表示Arnold變換參數(shù)。本文中a(i,j)、b(i,j) 的取值為混沌系統(tǒng)得到的隨機(jī)序列X值。對圖像中每一像素使用Arnold矩陣R進(jìn)行變換，對 (i,j) 位置的像素點(diǎn)進(jìn)行置亂使用的參數(shù)為a矩陣中的 (i,j) 點(diǎn)的隨機(jī)序列值和b矩陣中的 (i,j) 點(diǎn)的隨機(jī)序列值。使用Arnold 變換進(jìn)行置亂的矩陣a、b如圖2所示。

圖2 隨機(jī)矩陣a，b轉(zhuǎn)換

Arnold置亂加密算法見表1，Arnold置亂解密算法見表2。

表1 置亂加密算法

表2 置亂解密算法

1.3 基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散

在圖像擴(kuò)散加密中，通過改變像素點(diǎn)的灰度值使得任一像素點(diǎn)的像素值信息影響盡可能多的其它像素點(diǎn)的像素值。設(shè)明文圖像為8 bit的圖像，基于動(dòng)態(tài)密鑰的加密模擴(kuò)散算法如式(3)所示

Ci=(Ci-1+Si+Pi+Ki×V)mod256

(3)

在基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散算法中，明文圖像被展開成一維向量，記為Pi，i=1,2,…,MN； 相應(yīng)的密文也為一維向量，記為Ci，i=1,2,…,MN； 初始值C0來自密鑰；Si，Ki為密碼向量，i=1,2,…,MN；V為圖像的一個(gè)特征值Fp與衡量圖像的差異值E之差，作為擴(kuò)散算法的初始值和參數(shù)。

在基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散算法中，擴(kuò)散階段使用混沌序列Ki與擴(kuò)散階段初始值V的乘積作為擴(kuò)散階段的一個(gè)參數(shù)對擴(kuò)散過程進(jìn)行調(diào)整，同時(shí)將圖像之間的差異值E對擴(kuò)散階段中的混沌序列Ki的初始參數(shù)K={x0,y0,z0,w0} 進(jìn)行調(diào)整，擴(kuò)大圖像差異對擴(kuò)散過程的影響，提高明文敏感性。采用式(3)所示的運(yùn)算進(jìn)行擴(kuò)散處理，其擴(kuò)散加密算法，解密算法見表3，表4。

表3 擴(kuò)散加密算法

表4 擴(kuò)散解密算法

2 加密算法

2.1 加密算法的過程

本文提出的加密算法中，使用Hilbert曲線和Arnold隨機(jī)矩陣對圖像進(jìn)行置亂。在擴(kuò)散階段使用基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散算法進(jìn)行加密。加密算法的過程如圖3所示，解密過程為加密算法的逆過程。

圖3 加密算法的過程

2.2 基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散加密算法

以彩色Lena圖像為例，擴(kuò)散加密流程如下列步驟所示：

(1)將彩色圖像分解為紅，綠，藍(lán)這3個(gè)通道的圖像，分別為P-R,P-G,P-B。

(2)將紅，綠，藍(lán)這3個(gè)通道的圖像P-R,P-G,P-B進(jìn)行Hilbert置亂，使用二維Hilbert曲線遍歷圖像得到P-R1,P-G1,P-B1。

(3)使用超混沌Lorenz系統(tǒng)的初始值作為密鑰，通過超混沌Lorenz系統(tǒng)得到隨機(jī)序列X，將隨機(jī)序列X轉(zhuǎn)換為兩個(gè)M×N大小矩陣P1、Q1作為Arnold置亂的初始矩陣參數(shù)a、b矩陣，Arnold置亂矩陣R中的a(i,j) 和b(i,j) 分別為P1(i,j)、Q1(i,j)， 使用式(1)對Hilbert置亂3個(gè)通道的圖像P-R1,P-G1,P-B1進(jìn)行Arnold置亂得到P-R2,P-G2,P-B2。

(4)使用式(4)計(jì)算，將彩色圖像每一通道的圖像的像素值P(i,j) 累加和對256取余得到的值Fp分別作為圖像三通道的特征值R-Fp,G-Fp,B-Fp，使用式(5)以該特征值與常數(shù)T(密鑰)之間的差作為不同圖像之間的差異程度R-E,G-E,B-E，使用式(6)將特征值Fp與差異程度E的差值作為擴(kuò)散階段的初始值R-V,G-V,B-V

(4)

E=T-Fp

(5)

V=Fp-E

(6)

(5)超混沌Lorenz系統(tǒng)的初始值S={x0,y0,z0,w0} 作為密鑰，通過超混沌Lorenz系統(tǒng)得到隨機(jī)序列Si,i=1,2,…,MN。 將圖像之間的差異值E對擴(kuò)散階段中的混沌序列的初始參數(shù)K={x0,y0,z0,w0} 以式(7)進(jìn)行調(diào)整，通過超混沌Lorenz系統(tǒng)得到隨機(jī)序列Ki,i=1,2,…,MN。 實(shí)現(xiàn)對擴(kuò)散階段密鑰的調(diào)整

x0=x0+E×10-10
y0=y0+E×10-10
z0=z0+E×10-10
w0=w0+E×10-10

(7)

(6)對Arnold置亂3個(gè)通道的圖像P-R2,P-G2,P-B2 分別展開成一維向量，記為Pi,i=1,2,…,MN。 使用本文提出的擴(kuò)散算法進(jìn)行加取模正向、逆向擴(kuò)散操作得到圖像P-R3,P-G3,P-B3。實(shí)現(xiàn)對擴(kuò)散過程參數(shù)的調(diào)整。

(7)將置亂、擴(kuò)散加密處理的3個(gè)通道的圖像P-R3,P-G3,P-B3混合為彩色圖像得到加密彩色圖像。

以彩色Lena圖像的紅色通道圖像Lena-R為例，基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散加密算法流程如圖4所示。

圖4 基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散加密算法流程

2.3 基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散解密算法

解密算法與加密算法的過程相反，對彩色圖像的每個(gè)通道的圖像先進(jìn)行加取模擴(kuò)散的還原，再進(jìn)行Arnold置亂和Hilbert置亂的還原。在接收方接收到密文和密鑰進(jìn)行圖像解密時(shí)，加取模擴(kuò)散、Arnold置亂和Hilbert置亂解密的過程如下：

(1)使用式(5)以密鑰中衡量圖像變化程度的常數(shù)T與彩色圖像三通道的特征值R-Fp,G-Fp,B-Fp分別進(jìn)行差值計(jì)算得到3個(gè)通道圖像之間的差異程度R-E,G-E,B-E，使用式(6)將彩色圖像三通道的特征值R-Fp,G-Fp,B-Fp與差異程度R-E,G-E,B-E的差值作為逆向加取模擴(kuò)散的初始值R-V,G-V,B-V。

(2)使用密鑰中超混沌Lorenz系統(tǒng)的初始值S=

{x0,y0,z0,w0}， 通過超混沌Lorenz系統(tǒng)得到隨機(jī)序列Si,i=1,2,…,MN。 將圖像之間的差異值E對擴(kuò)散階段中的混沌序列的初始參數(shù)K={x0,y0,z0,w0} 以式(7)進(jìn)行調(diào)整，通過超混沌Lorenz系統(tǒng)得到隨機(jī)序列Ki,i=1,2,…,MN。 實(shí)現(xiàn)對逆向擴(kuò)散階段密鑰的調(diào)整。

(3)分別取加密圖像3個(gè)通道的圖像P-R3,P-G3,P-B3，將其展開成一維向量，記為Pi,i=1,2,…,MN。 使用本文提出的擴(kuò)散算法進(jìn)行加取模正向、逆向的反向擴(kuò)散操作得到圖像P-R4,P-G4,P-B4。實(shí)現(xiàn)對擴(kuò)散逆過程參數(shù)的調(diào)整。

(4)使用超混沌Lorenz系統(tǒng)的初始值作為密鑰，通過超混沌Lorenz系統(tǒng)得到隨機(jī)序列X，將隨機(jī)序列X轉(zhuǎn)換為兩個(gè)M×N大小矩陣P1、Q1作為Arnold置亂的初始矩陣參數(shù)a和b矩陣，Arnold矩陣A中的a(i,j) 和b(i,j) 分別為P1(i,j)、Q1(i,j)， 使用式(1)對逆向擴(kuò)散解密3個(gè)通道的圖像P-R4,P-G4,P-B4進(jìn)行Arnold置亂還原得到P-R5,P-G5,P-B5。

(5)將Arnold置亂還原得到的紅，綠，藍(lán)這3個(gè)通道的圖像P-R5,P-G5,P-B5進(jìn)行Hilbert置亂還原，使用二維Hilbert曲線逆向遍歷圖像得到P-R6,P-G6,P-B6。

(6)將二維Hilbert曲線逆向遍歷圖像得到P-R6,P-G6,P-B6圖像作為紅，綠，藍(lán)這3個(gè)通道的圖像，將三通道圖像融合得到彩色圖像。以彩色Lena圖像的紅色通道圖像Lena-R為例，基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散解密算法流程如圖5所示。

圖5 基于動(dòng)態(tài)密鑰的加取模擴(kuò)散解密算法流程

在傳統(tǒng)的圖像加密算法中，通過像素改變率(number of pixels change rate，NPCR)和歸一化像素值平均改變強(qiáng)度(unified average changing intensity，UACI)的值來衡量明文圖像像素值的微小改變對加密圖像的影響。本文提出的擴(kuò)散加密算法與傳統(tǒng)的擴(kuò)散加密算法相比，加密任意兩幅圖像，即使相差一個(gè)比特值的兩幅圖像，使用的加密密鑰，加密過程中的參數(shù)都不相同。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明對原始圖像進(jìn)行微小的改變，通過一次加密，加密圖像會(huì)在大范圍內(nèi)改變，UACI、NPCR即可達(dá)到理論值，可有效抵抗選擇明文攻擊，使加密系統(tǒng)具有較強(qiáng)的明文敏感性，提高了加密的安全性。

3 加密效果分析

本節(jié)對加密算法的性能進(jìn)行分析，在實(shí)驗(yàn)中采用圖像直方圖分析、相關(guān)性分析、明文敏感性、密鑰敏感性、信息熵和魯棒性分析對Lena的紅、綠、藍(lán)這3個(gè)通道圖像加密效果進(jìn)行分析，采用NPCR、UACI等對圖像加密效果進(jìn)行定量分析。

3.1 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖6(a)、圖6(b)、圖6(c)顯示了Lena彩色圖像、加密、解密結(jié)果。直觀上可以看到密文圖像變得模糊不清，在解密后可以無損還原圖像。

圖6 加密，解密圖像

3.2 密鑰空間

圖7顯示了本文加密系統(tǒng)的密鑰，密鑰為彩色圖像三通道的特征值R-Fp,G-Fp,B-Fp，一個(gè)衡量圖像變化程度的常數(shù)T，超混沌Lorenz系統(tǒng)的初始值S={x0,y0,z0,w0}，K={x0,y0,z0,w0}， 其中x0∈(-40,40),y0∈(-40,40),z0∈(1,81),w0∈(-250,250)，x0,y0,z0的步長為10-13，w0的步長為10-12。所以本文加密算法的密鑰空間足夠大，可有效抵抗暴力攻擊。

圖7 加密系統(tǒng)密鑰

3.3 直方圖分析

圖8(a)、圖8(b)、圖8(c)分別為Lena紅色通道圖像、Lena紅色通道圖像直方圖、加密圖像直方圖分析結(jié)果。直觀上密文圖像具有平坦的直方圖，明文圖像的直方圖跌宕起伏。

圖8 加密，解密圖像直方圖

3.4 相關(guān)性分析

對明文圖像與密文圖像進(jìn)行相關(guān)性比較。設(shè)從需要考察的圖像中任取N對像素點(diǎn)，記它們的灰度值為 (ui,vi)，i=1…N， 向量u={ui} 和v={vi} 間的相關(guān)系數(shù)計(jì)算公式如下

(8)

圖9(a)～圖9(f)分別為Lena紅色通道圖像Lena-R和密文圖像在水平、垂直、正對角方向上隨機(jī)選取10 000對相鄰像素點(diǎn)的相關(guān)性分析結(jié)果。直觀上明文圖像在水平、垂直、正對角方向上具有較強(qiáng)的相關(guān)性，密文圖像相關(guān)性較差。

圖9 Lena-R加密，解密圖像相關(guān)性分析

從Lena的紅、綠、藍(lán)這3個(gè)通道的明文圖像和密文圖像中隨機(jī)選取10 000對相鄰像素點(diǎn)，計(jì)算水平、垂直、對角方向上的相關(guān)系數(shù)。如表5所示，明文圖像的相關(guān)系數(shù)接近于1，密文圖像的相關(guān)系數(shù)接近于0。

表5 Lena-R、Lena-G、Lena-B加密，解密圖像相關(guān)系數(shù)

3.5 明文敏感性分析

本文采用NPCR和UACI來衡量同一密鑰對差別微小的兩個(gè)明文圖像加密得到的密文圖像之間的差別，進(jìn)行明文敏感性分析。定義為式(9)和式(10)

(9)

(10)

實(shí)驗(yàn)中對Lena圖像的紅，綠，藍(lán)這3個(gè)通道分別選取像素值微小差異的圖像進(jìn)行明文敏感性分析，計(jì)算任意一個(gè)像素點(diǎn)相差為1到20像素值的兩幅圖像通過本文加密算法得到的加密圖像之間的NPCR和UACI值。

圖10顯示了計(jì)算Lena圖像的3個(gè)通道圖像在隨機(jī)改變1個(gè)像素的加密圖像與初始加密圖像之間的NPCR、UACI值，計(jì)算結(jié)果接近于NPCR、UACI的理論值99.6094%和33.4635%。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，兩個(gè)差別微小的明文圖像加密后得到相應(yīng)的密文圖像相差迥異，它們的NPCR、UACI計(jì)算結(jié)果與其理論值相近。

圖10 NPCR和UACI值

3.6 密鑰敏感性分析

以明文圖像Lena的紅、綠、藍(lán)這3個(gè)通道圖像為例，采用圖像加密系統(tǒng)分析當(dāng)密鑰發(fā)生微小變化時(shí)，加密同一明文圖像得到的兩個(gè)密文圖像的差別，分析密鑰敏感性。密鑰為超混沌Lorenz系統(tǒng)的初始值即S={x0,y0,z0,w0}，K={x0,y0,z0,w0}，x0∈(-40,40)，y0∈(-40,40)，z0∈(1,81)，w0∈(-250,250)， 其中x0,y0,z0的步長為10-13，w0的步長為10-12。對于密鑰S、K，隨機(jī)從其密鑰空間中選取10個(gè)值，進(jìn)行如下實(shí)驗(yàn)：對于每一組密鑰，保持y0,z0,w0不變，改變x0的值，改變的量為10-13，使用改變x0前后的密鑰加密同一明文圖像，計(jì)算兩個(gè)密文圖像之間的NPCR、UACI值。計(jì)算10次實(shí)驗(yàn)得到NPCR、UACI的平均值。對于密鑰y0,z0和w0進(jìn)行同樣實(shí)驗(yàn)計(jì)算平均值，其中y0,z0改變的量為10-13，w0改變的量為10-12。

表6顯示了改變密鑰x0,y0,z0,w0，計(jì)算Lena紅、綠、藍(lán)這3個(gè)通道圖像的加密圖像的NPCR、UACI值，與NPCR、UACI的理論值非常接近，反映了兩個(gè)密文圖像差異顯著，即密碼系統(tǒng)具有較強(qiáng)的密鑰敏感性。

表6 改變密鑰的Lena-R、Lena-G、Lena-B的NPCR、UACI值比較

3.7 信息熵

信息熵反映了圖像信息的不確定性，一般認(rèn)為，熵越大，不確定性越大。計(jì)算公式如式(11)所示

(11)

L為圖像的灰度等級(jí)，p(i) 為灰度值i出現(xiàn)的概率。對于L=256的灰度圖像，H的理論值為8。從表7中可以看出Lena紅、綠、藍(lán)這3個(gè)通道加密圖像的信息熵非常接近于8。

表7 Lena-R、Lena-G、Lena-B的加密、解密圖像信息熵

3.8 魯棒性分析

衡量一個(gè)加密系統(tǒng)的抵抗干擾能力最重要的標(biāo)準(zhǔn)是魯棒性分析，本文以Lena圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，分別通過噪聲攻擊和剪切攻擊測試算法的魯棒性。圖11(a)、圖11(b)顯示了對添加10倍高斯白噪聲攻擊的加密圖像以及解密結(jié)果，圖11(c)、圖11(d)顯示了剪切攻擊加密圖像以及解密結(jié)果。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示了本文算法可以在一定程度上抵抗噪聲攻擊和剪切攻擊。若密文傳輸中出現(xiàn)傳輸錯(cuò)誤，解密系統(tǒng)可以應(yīng)對。

圖11 魯棒性分析

4 結(jié)束語

針對同一加密系統(tǒng)，不同圖像加密時(shí)加密密鑰不變，加密過程控制參數(shù)不變等規(guī)律性的問題，提出一種基于動(dòng)態(tài)密鑰的彩色圖像擴(kuò)散加密算法。算法新穎之處在于通過Arnold隨機(jī)矩陣對圖像中每一像素點(diǎn)位置進(jìn)行隨機(jī)置亂，同時(shí)使用不同圖像之間的差異程度對擴(kuò)散過程中混沌系統(tǒng)的初始參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，實(shí)現(xiàn)加密密鑰的改變，調(diào)整擴(kuò)散過程的初始值，擴(kuò)散序列等參數(shù)。通過加入待加密圖像特征值對圖像擴(kuò)散過程進(jìn)行擾動(dòng)，使得圖像加密過程與動(dòng)態(tài)密鑰相關(guān)聯(lián)，進(jìn)行可變控制參數(shù)的數(shù)字圖像加密。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的加密算法可有效提高明文敏感性，加密算法具有較高的安全性。