岳江浩

（重慶交通大學(xué)，重慶400000）

1 問題重述

1.1 問題背景

集成電路在生產(chǎn)的過程當(dāng)中，往往需要將裝有各種電子元件的電路板放入回焊爐，進(jìn)行回流焊接。在自動(dòng)焊接過程中，溫度對(duì)電路板的焊接效果影響很大，讓回焊爐各區(qū)域保持符合工藝要求的溫度尤為重要?；睾笭t按功能分為預(yù)熱區(qū)、恒溫區(qū)、回流區(qū)、冷卻區(qū)四個(gè)區(qū)域，各區(qū)域又設(shè)置了若干個(gè)小溫區(qū)，各溫區(qū)之間存在間隔，回焊爐前后又設(shè)有爐前區(qū)域與爐后區(qū)域。在回焊爐電路板焊接生產(chǎn)中，爐溫曲線應(yīng)滿足一定的要求，稱為制程界限。

1.2 問題的提出

回焊爐按功能分為預(yù)熱區(qū)、恒溫區(qū)、回流區(qū)、冷卻區(qū)四個(gè)區(qū)域，各區(qū)域又設(shè)置了若干個(gè)小溫區(qū)，各溫區(qū)之間存在間隔，回焊爐前后又設(shè)有爐前區(qū)域與爐后區(qū)域。由傳送帶將電路板傳送至各個(gè)區(qū)域，可以通過調(diào)節(jié)各溫區(qū)的溫度與傳送帶的過爐速度來得到較好品質(zhì)的產(chǎn)品。由此提出下列問題：

1.2.1 建立電路板溫度隨時(shí)間變化的模型，在傳送帶過爐速度為78 cm/min，各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為173℃（小溫區(qū)1～ 5）、198℃（小溫區(qū)6）、230℃（小溫區(qū)7）和257℃（小溫區(qū)8 ～9）的情況下，求解焊接區(qū)域中心溫度的變化情況，并分別列出小溫區(qū)3、6、7 中點(diǎn)和8 區(qū)域結(jié)束處的溫度，同時(shí)畫出爐溫曲線，并將每隔0.5 s 焊接區(qū)域中心的溫度制成表格。

1.2.2 假定各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為182℃（小溫區(qū)1 ～5）、203℃（小溫區(qū)6）、237℃（小溫區(qū)7）、254℃（小溫區(qū)8 ～ 9），根據(jù)問題一的模型確定傳送帶最大允許速度。

2 模型的假設(shè)

2.1 假設(shè)爐前區(qū)域與間隔區(qū)域?yàn)榉€(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。

2.2 假設(shè)各溫區(qū)溫度不受相鄰溫曲溫度影響。

2.3 假設(shè)電路板與傳送帶接觸的一面絕熱。

2.4 假設(shè)該傳熱過程為一維非穩(wěn)態(tài)無限大平板傳熱。

2.5 假設(shè)焊接區(qū)域中心為電路板幾何中心。

2.6 忽略熱輻射的影響。

3 問題一模型的建立與求解

熱風(fēng)式回流焊爐通過熱風(fēng)的層流運(yùn)動(dòng)傳遞熱能，利用加熱器與風(fēng)扇，使?fàn)t內(nèi)空氣不斷升溫并循環(huán)，待焊件在爐內(nèi)受到熾熱氣體的加熱，從而實(shí)現(xiàn)焊接。(以下分析都基于同一溫度下的區(qū)域)

3.1 一維平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱模型

3.1.1 爐前區(qū)域與間隔區(qū)域?qū)徇^程分析

因?yàn)橄噜弮尚貐^(qū)空氣溫度均勻恒定，間隔內(nèi)介質(zhì)均勻其傳熱過程數(shù)學(xué)描述為：

其中:q 為熱流密度，λ 表示傳熱系數(shù)，dt/dx 表示空間節(jié)點(diǎn)上的溫度差,Φ 為熱流量，A 為導(dǎo)熱面積。根據(jù)式(4)得到笛卡兒坐標(biāo)系中三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程[2]的一般形式為：

綜合方程組(9)與式（11) 得到描述電路板溫度隨時(shí)間變化的一維平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱模型：

3.2 電路板經(jīng)過各溫區(qū)時(shí)間隨傳送速度變化模型

區(qū)域劃分:

為了方便建模與求解，現(xiàn)將爐前區(qū)、爐后區(qū)以及11 個(gè)小溫區(qū)按溫度重新劃分區(qū)域，編號(hào)用i 表示：爐前區(qū)編號(hào)為1，1-5溫曲編號(hào)為2，6 溫曲編號(hào)為3，7 溫曲編號(hào)為4，8-9 溫曲編號(hào)為5，10-11 溫曲編號(hào)為6，爐后區(qū)編號(hào)為7。

3.3 電路板經(jīng)過各區(qū)域時(shí)間隨傳送速度變化模型

3.4 模型求解

有限差分法:

因?yàn)楸灸Ｐ蜑榉欠€(wěn)態(tài)模型相對(duì)于理想穩(wěn)態(tài)情況在控制方程中多出了一個(gè)非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，現(xiàn)我們通過對(duì)該一維非穩(wěn)態(tài)模型離散化來求解，具體步驟如下：step1：時(shí)間-空間區(qū)域離散化。首先對(duì)連續(xù)的時(shí)間設(shè)置時(shí)間步長t, 在電路板上焊接區(qū)域中心所在與x 軸平行的線段上取n 個(gè)點(diǎn)，這n 個(gè)點(diǎn)平分該線段，則某一節(jié)點(diǎn)的溫度可表示為T(i)。step2: 一維平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱顯式差分格式。顯示格式可以通過上一時(shí)間節(jié)點(diǎn)來計(jì)算下一個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)的溫度，計(jì)算工作量小但需要對(duì)方程進(jìn)行約束來防止解出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象。對(duì)式(11) 進(jìn)行顯示差分, 擴(kuò)散項(xiàng)中心差分，非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)向前差分：

step4：數(shù)值穩(wěn)定性約束在顯式差分格式中，點(diǎn)n 在i+1 時(shí)刻的溫度是在該點(diǎn)i 時(shí)刻溫度基礎(chǔ)上得出，且受臨近兩點(diǎn)溫度的影響，為了保證結(jié)果的穩(wěn)定性與精確度，對(duì)差分方程添加傅利葉網(wǎng)格限制[4]:

模型中有a 和b 兩個(gè)未知參數(shù)，首先給算法中這兩個(gè)未知參數(shù)任意設(shè)立幾個(gè)值值，利用matlab 求出結(jié)果與附件中提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行比較并計(jì)算方差得到大致的參數(shù)范圍，再用最小二乘法求得最優(yōu)解。利用matlab 進(jìn)行求解得出在傳送帶過爐速度為78 cm/min，各溫區(qū)溫度的設(shè)定值分別為1730C（小溫區(qū)1～5）、1980C（小溫區(qū)6）、2300C（小溫區(qū)7）和2570C（小溫區(qū)8～9）情況下焊接中心溫度隨時(shí)間變化的曲線如圖1 所示。經(jīng)過計(jì)算得到小溫區(qū)3、6、7 中點(diǎn)及小溫區(qū)8 結(jié)束處焊接區(qū)域中心的溫度和時(shí)間如表1。

表1

4 問題二模型建立與求解

4.1 傳送速度優(yōu)化模型的建立

4.1.1 目標(biāo)函數(shù)的確立

目標(biāo)是在1820C（小溫區(qū)1～5）、2030C（小溫區(qū)6）、2370C（小溫區(qū)7）、2540C（小溫區(qū)8～9）的情況下求得最大傳送速度:

maxv

4.1.2 約束條件的確立

圖1

4.1.3 優(yōu)化模型建立

結(jié)合問題一得出的一維平板非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱模型，聯(lián)立目標(biāo)函數(shù)與約束條件，從而建立回焊爐傳送速度的優(yōu)化模型：見公式（20）。

4.2 模型求解

step1：傳送帶傳送速度范圍為(65～100cm/min)，在這個(gè)范圍內(nèi)平均取N 個(gè)節(jié)點(diǎn)，每兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的區(qū)域足夠小，將傳送速度離散化。step2：將每個(gè)速度節(jié)點(diǎn)按從大到小的順序，依次代入問題一的一維平板非穩(wěn)態(tài)差分算法中。step3：得到的第一個(gè)滿足外部約束條件的速度節(jié)點(diǎn)既為最大傳送速度。最終算得最快傳送速度為85cm/min。