王超

（重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶400041）

有限元法全稱有限單元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）[1]。有限元分析程序涉及力學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)三個(gè)不同學(xué)科的理論和方法，因而其編制工作十分復(fù)雜，且程序龐大易錯(cuò)[2]。面向?qū)ο蠓椒ㄊ且环N強(qiáng)有力的工具，采用面向?qū)ο蠓椒ㄩ_發(fā)大型有限元分析軟件是一種非常有效的方法，與傳統(tǒng)的有限元程序相比，面向?qū)ο笥邢拊绦蚋子诰帉憽⒏子诰S護(hù)和擴(kuò)充，程序代碼的可重用成分更大[3]。

本文將通過(guò)研究設(shè)計(jì)及編程實(shí)踐，討論應(yīng)用面向?qū)ο蟮某绦蛟O(shè)計(jì)方法進(jìn)行有限元程序設(shè)計(jì)的基本思想及采用C++語(yǔ)言進(jìn)行有限元分析程序編制的基本方法。最后將程序計(jì)算結(jié)果與有限元軟件（Abaqus）的計(jì)算結(jié)果以及問(wèn)題的理論值進(jìn)行比較，從而驗(yàn)證程序以及問(wèn)題模型建立的正確性。

1 C++程序設(shè)計(jì)思想

在有限元分析過(guò)程中，主要應(yīng)用了結(jié)構(gòu)、載荷、節(jié)點(diǎn)、單元、自由度、矩陣、材料、高斯積分點(diǎn)、邊界條件、求解和輔助計(jì)算等物理概念。因此，根據(jù)面向?qū)ο蟪绦蛟O(shè)計(jì)方法可確定有限元分析過(guò)程的對(duì)象為：結(jié)構(gòu)對(duì)象、載荷對(duì)象、節(jié)點(diǎn)對(duì)象、單元對(duì)象、自由度對(duì)象、矩陣對(duì)象、材料對(duì)象、截面對(duì)象、邊界條件對(duì)象、求解對(duì)象和輔助計(jì)算對(duì)象等。根據(jù)確定的有限元分析過(guò)程的對(duì)象和所標(biāo)識(shí)的對(duì)象間的關(guān)聯(lián)，便形成了一個(gè)由單元類、節(jié)點(diǎn)類、自由度類、載荷類、材料類、邊界條件類、結(jié)構(gòu)類、求解類以及矩陣類和截面類等組成的有限元分析類庫(kù)。對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行處理，包括對(duì)節(jié)點(diǎn)自由度的劃分，單元?jiǎng)偠染仃嚭秃奢d向量的組裝，以及利用約束信息對(duì)總剛度矩陣進(jìn)行劃0 置1，最后利用整體結(jié)構(gòu)的平衡方程求出各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移解[4]。

本文的基本力學(xué)模型為端部受集中荷載的懸臂梁，在有限元計(jì)算原理的基礎(chǔ)上，利用Visual Studio 進(jìn)行程序設(shè)計(jì)，以求解此離散化力學(xué)模型的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角，本程序中包括節(jié)點(diǎn)類、約束類、力的類、對(duì)象基類，其中截面和材料信息統(tǒng)一放到了單元類中。因此，視單元類為抽象基類，并添加對(duì)象基類，采用public 關(guān)鍵字以便其派生類能夠存取有關(guān)數(shù)據(jù)，采用virtual 關(guān)鍵字以實(shí)現(xiàn)多態(tài)性。這樣就構(gòu)筑了類之間的層次和體系結(jié)構(gòu)，形成了繼承關(guān)系。然后，結(jié)構(gòu)類接受用戶輸入的節(jié)點(diǎn)位置、單元、載荷、邊界條件等信息后，讀取信息并構(gòu)造具體節(jié)點(diǎn)類、單元類、約束類、荷載類。最后由結(jié)構(gòu)類、具體單元類中的各個(gè)計(jì)算公式的函數(shù)體的實(shí)現(xiàn)，從而完成一個(gè)結(jié)構(gòu)的有限元分析過(guò)程。

2 有限元計(jì)算原理及公式

2.1 對(duì)此懸臂梁進(jìn)行離散化如圖1 所示，得到兩個(gè)單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的離散結(jié)構(gòu)。

圖1 矩形懸臂鋼梁離散結(jié)構(gòu)圖

2.2 根據(jù)虛功原理，考慮到虛位移的任意性，可得到平面坐標(biāo)系下的單元平衡方程[4]：

2.3 根據(jù)單元的虛變形能，可得到單元?jiǎng)偠染仃嚍閇4]：

3 C++程序的實(shí)現(xiàn)

3.1 結(jié)構(gòu)類的介紹

結(jié)構(gòu)類接受用戶輸入的節(jié)點(diǎn)位置、單元、載荷、邊界條件等信息后，發(fā)送消息并構(gòu)造具體節(jié)點(diǎn)類、單元類、約束類、荷載類，然后對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行處理，包括對(duì)節(jié)點(diǎn)自由度的初始化，單元?jiǎng)偠染仃嚭秃奢d向量的組裝，以及利用約束信息對(duì)總剛度矩陣進(jìn)行劃0 置1，最后利用整體結(jié)構(gòu)的平衡方程求出各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移解[4]。

表1 節(jié)點(diǎn)信息表

表2 單元信息表

表3 約束信息表

表4 力信息表

表5 程序計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移

表6 Abaqus 計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移

3.2 懸臂梁的離散化

在完成結(jié)構(gòu)離散化之后，建立輸入文本信息如表1、2、3、4所示。

3.3 程序計(jì)算結(jié)果

運(yùn)行該程序后，即得到該離散化力學(xué)模型各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移解計(jì)算結(jié)果，經(jīng)整理后制成如表5 所示。

3.4 ABAQUS 分析結(jié)果對(duì)比

經(jīng)過(guò)Abaqus 建模分析該算例，得到各個(gè)節(jié)點(diǎn)的位移解計(jì)算結(jié)果，經(jīng)整理后制成如表6 所示。

4 結(jié)論

通過(guò)對(duì)比有限元軟件與C++程序的分析計(jì)算結(jié)果，我們可以看出二者各節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角值相同，各節(jié)點(diǎn)x 與y 方向位移也幾乎接近，從而驗(yàn)證了本文有限元程序的正確性，并且通過(guò)本文更加直觀的了解了有限元法的一般思路和步驟，為進(jìn)一步開發(fā)通用的面向?qū)ο蟮挠邢拊治鲕浖峁┝丝煽康膮⒖?。通過(guò)典型算例，更加深入的理解了計(jì)算力學(xué)程序設(shè)計(jì)的思想和方法。