劉佳斌，于肇賢，王宏偉，馬余全

(北京信息科技大學(xué) 理學(xué)院，北京 100192)

0 引言

對(duì)新奇物態(tài)和相變的研究一直是凝聚態(tài)物理的理論前沿。朗道相變理論可以通過(guò)自發(fā)對(duì)稱性破缺原理對(duì)相進(jìn)行分類。但是隨著對(duì)量子Hall效應(yīng)的深入研究，發(fā)現(xiàn)朗道相變理論無(wú)法對(duì)其相變進(jìn)行解釋。這是因?yàn)橐鹆孔親all效應(yīng)的量子態(tài)并不存在對(duì)稱性破缺，相變的產(chǎn)生源于一種拓?fù)湎唷ｋS著分?jǐn)?shù)量子Hall效應(yīng)[1]、反常量子Hall效應(yīng)[2]、拓?fù)浣^緣體[3-4]以及拓?fù)涑瑢?dǎo)[5]等大量無(wú)法使用朗道相變理論解釋的現(xiàn)象出現(xiàn)，物理學(xué)界開(kāi)始引入量子信息和量子態(tài)空間幾何中的概念來(lái)研究量子相變。

從量子信息中引入了量子保真度和保真率的概念。Zanardi等[6]在一維橫場(chǎng)XY模型和Dicke模型中利用體系基態(tài)的量子保真度確定了系統(tǒng)的臨界點(diǎn)。周煥強(qiáng)等[7]研究了量子保真度與臨界標(biāo)度和重整化之間的關(guān)系。陳澍等[8]對(duì)具有次近鄰相互作用的海森堡鏈的基態(tài)和激發(fā)態(tài)保真度進(jìn)行了研究。尤文龍等[9]確立了量子基態(tài)保真率與系統(tǒng)虛時(shí)關(guān)聯(lián)函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，并成功地標(biāo)識(shí)了系統(tǒng)的量子相變和拓?fù)湎嘧兊南噙吔?。在量子態(tài)空間幾何角度，認(rèn)識(shí)到Berry相位其本質(zhì)為系統(tǒng)波函數(shù)在哈密頓參數(shù)空間中絕熱演化所誘導(dǎo)的厄米線叢上的和樂(lè)(holonomy)后，物理學(xué)界發(fā)現(xiàn)量子多體系統(tǒng)的基態(tài)Berry相位與系統(tǒng)的量子相變關(guān)系極大。Parchos等[10]在一維橫場(chǎng)各向異性XY自旋模型中發(fā)現(xiàn)了基態(tài)Berry相位和其與第一激發(fā)態(tài)的Berry相位差在相變點(diǎn)均出現(xiàn)有限的跳躍。朱詩(shī)亮[11]證明了一維橫場(chǎng)XY模型的基態(tài)Berry相位對(duì)參數(shù)的微商在相變點(diǎn)奇異。

量子保真度、量子保真率以及Berry相都是參數(shù)空間中的局域量，不能全面反映量子態(tài)的拓?fù)湫再|(zhì)，所以引入了量子幾何張量。量子保真度和Berry相位兩種途徑可以在量子幾何張量的概念下得到統(tǒng)一的理解。它的實(shí)部是由Provost和Valee[12]提出的一種(半正定的)度規(guī)張量，它定義了系統(tǒng)Hilbert參數(shù)空間中兩個(gè)毗鄰量子態(tài)之間具有U(1)規(guī)范不變性的距離，對(duì)應(yīng)于量子保真度。M.V.Berry[13]指出量子幾何張量的虛部正比于Berry曲率。

Haldane[14]將量子幾何張量引入分?jǐn)?shù)量子Hall態(tài)的研究，發(fā)現(xiàn)了量子幾何張量和Hall粘滯度的重要聯(lián)系。2013年，馬余全等[15]提出了利用能帶拓?fù)錃W拉數(shù)來(lái)表示某些具有能隙的費(fèi)米系統(tǒng)的非平庸拓?fù)湎?，拓?fù)錃W拉數(shù)利用能帶在第一布里淵區(qū)上的黎曼度規(guī)張量，根據(jù)高斯—博內(nèi)定理而求出。實(shí)驗(yàn)中在可調(diào)控的超導(dǎo)量子電路上可以直接測(cè)出量子度規(guī)張量，并且能在一個(gè)時(shí)間反演不變的兩能級(jí)系統(tǒng)中觀測(cè)到由能帶拓?fù)錃W拉數(shù)所標(biāo)志的拓?fù)淞孔酉嘧僛16-17]，從而直接驗(yàn)證了能帶拓?fù)錃W拉數(shù)的正確性。使用量子幾何張量分析多體量子系統(tǒng)的新奇物態(tài)和相變現(xiàn)象既擁有實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持，又能夠全面而深刻地揭示量子多體系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)，所以已經(jīng)成為當(dāng)前凝聚態(tài)物理的研究熱點(diǎn)。

本文將使用量子幾何張量對(duì)二維空間中兩能帶高陳數(shù)格點(diǎn)模型進(jìn)行研究。這個(gè)模型由D.Sticlet[18]等首先提出，模型在費(fèi)米子原子組成的三角晶格上實(shí)現(xiàn)，每個(gè)格點(diǎn)都有一個(gè)內(nèi)部軌道自由度。類似于Hofstadter模型[19]，模型中電子的躍遷概率幅是復(fù)數(shù)，這種復(fù)躍遷的電子行為會(huì)破壞系統(tǒng)的時(shí)間反演對(duì)稱性。根據(jù)模型Bloch動(dòng)量空間中的哈密頓量，能夠計(jì)算出系統(tǒng)的量子幾何張量，并得到相應(yīng)的Berry曲率和度規(guī)張量。能帶的第一類陳數(shù)由Berry曲率在第一布里淵區(qū)上的積分得到。將度規(guī)張量限定在正定區(qū)域，那么度規(guī)張量也是一種黎曼度規(guī)，運(yùn)用高斯—博內(nèi)定理，在第一布里淵區(qū)的閉合Bloch態(tài)流形上計(jì)算出能帶的拓?fù)錃W拉數(shù)，這種拓?fù)湫騕20]與第一類陳數(shù)不同，同時(shí)給出了模型的第一類陳數(shù)和拓?fù)錃W拉數(shù)的相圖。第一類陳數(shù)和拓?fù)錃W拉數(shù)是基于量子幾何張量的一種直觀簡(jiǎn)單的研究方法，它超越了朗道相變理論框架，全面地刻畫(huà)了高陳數(shù)模型的拓?fù)淞孔酉嘧儸F(xiàn)象，并進(jìn)一步揭示了低維量子體系的拓?fù)湫再|(zhì)，為探索新奇量子態(tài)和相變提供了理論方法支持。

1 陳數(shù)和拓?fù)錃W拉數(shù)

計(jì)算能帶的第一類陳數(shù)和拓?fù)錃W拉數(shù)，首先引入Bloch動(dòng)量空間中的量子幾何張量。它由系統(tǒng)Bloch態(tài)U(1)線叢上的兩個(gè)毗鄰態(tài)之間規(guī)范不變的度量導(dǎo)出，這里的U(1)線叢是由第n個(gè)能級(jí)的Bloch態(tài)|un(k)〉的絕熱演化得到。兩個(gè)相鄰Bloch態(tài)|un(k)〉和|un(k+δk)〉之間的量子度規(guī)為

(1)

其中μ和ν表示kμ和kν。|?μun(k)〉將分解為

|?μun(k)〉=|Dμun(k)〉+[1-P(k)]|?μun(k)〉

(2)

式中Pn(k)=|un(k)〉〈un(k)|為投影算符，在線叢上|un(k)〉的協(xié)變導(dǎo)數(shù)為|Dμun(k)〉=Pn(k)|?μun(k)〉。量子絕熱近似保證了|un(k)〉到|un(k+δk)〉在U(1)線叢上的平行輸運(yùn)，故|Dμun(k)〉=0。因此，將式(2)代入式(1)得到量子度規(guī)：

dS2=

(3)

由此給出量子幾何張量為

(4)

現(xiàn)在求能帶的第一類陳數(shù)和拓?fù)錃W拉數(shù)。在二維動(dòng)量空間中，第一布里淵區(qū)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是一個(gè)二維的環(huán)面，考慮二維動(dòng)量空間中的哈密頓量，Bloch態(tài)|un(k)〉會(huì)隨著系統(tǒng)哈密頓量參數(shù)的量子絕熱演化誘導(dǎo)出一個(gè)U(1)線叢。U(1)線叢上所有填充帶的拓?fù)洳蛔兞渴堑谝活愱悢?shù)，量子幾何張量的虛部(Berry曲率)在布里淵區(qū)上積分得到第一類陳數(shù)：

(5)

由量子幾何張量實(shí)部計(jì)算出的拓?fù)錃W拉數(shù)同樣具有拓?fù)洳蛔冃?，根?jù)高斯—博內(nèi)定理，拓?fù)錃W拉數(shù)為

(6)

(7)

式中Rn為與Bloch態(tài)|un(k)〉相聯(lián)系的里奇曲率。

在二維準(zhǔn)動(dòng)量空間k=(kx,ky)中，兩能帶Bloch態(tài)的哈密頓量為

(8)

式中：ε(kx,ky)為哈密頓量的特征值；I2×2為2×2單位矩陣；σα為泡利矩陣，表示贗自旋自由度；dα為泡利矩陣的系數(shù)。哈密頓量的本征能級(jí)為

(9)

哈密頓量的本征向量為

(10)

已知Pn(k)=|un(k)〉〈un(k)|，選用低能帶Bloch態(tài)|un(k)_〉，將其代入式(4)得到量子幾何張量：

Qkxky=〈?kxu-|[1-|u-〉〈u-|]|?kyu-〉

(11)

Fkxky=-2ImQkxky=

〈?kxu-|?kyu-〉-〈?kyu-|?kxu-〉

(12)

將式(10)代入式(12)得到Berry曲率：

(13)

(14)

量子度規(guī)的計(jì)算是復(fù)雜的，量子度規(guī)行列式detgkxky卻與布洛赫態(tài)|un(k)〉存在一種簡(jiǎn)單的關(guān)系：

(15)

通過(guò)式(13)和式(15)的比較得到量子度規(guī)行列式detgkxky與Berry曲率之間的關(guān)系detgkxky=(Fkxky)2/4。將式(15)代入式(7)得到能帶拓?fù)錃W拉數(shù)：

(16)

將式(13)代入式(5)得到第一類陳數(shù)：

(17)

2 高陳數(shù)模型

本文選擇了一個(gè)具有高陳數(shù)的格點(diǎn)模型[21]作為例子，該模型具有豐富的拓?fù)湮飸B(tài)。已知該模型Bloch動(dòng)量空間中的哈密頓量為

H(k)=2t1cos(kx)σ1+2t1cos(ky)σ2+

{2t2cos(kx+ky)+2t3[sin(kx)+sin(ky)]}σ3

(18)

根據(jù)式(8)，從式(18)中得到系數(shù)：

ε(kx,ky)=0，d1=2t1cos(kx)，d2=2t1cos(ky)以及d3=2t2cos(kx+ky)+2t3[sin(kx)+sin(ky)]。將上述系數(shù)代入式(13)得到Berry曲率：

Fkxky=

(19)

將式(19)代入detgkxky=(Fkxky)2/4得到量子度規(guī)行列式：

detgkxky=

(20)

從式(19)和式(20)中知道Fkxky和detgkxky都是t2的函數(shù)。

已知兩能帶模型中的里奇曲率R恒定為8，將式(15)代入式(16)得到能帶拓?fù)錃W拉數(shù)：

(21)

將式(20)代入式(21)得到能帶拓?fù)錃W拉數(shù)的數(shù)值結(jié)果，如圖1所示。

圖1 能帶拓?fù)錃W拉數(shù)隨參數(shù)t2的變化

可以觀察到能帶拓?fù)錃W拉數(shù)并不總是一個(gè)精確的偶數(shù)，在3個(gè)奇異點(diǎn)t2=-1、t2=0和t2=1處呈現(xiàn)出冠狀曲線。將式(19)代入式(5)得到能帶的第一類陳數(shù)：

(22)

可以使用第一類陳數(shù)來(lái)劃分相圖，如圖2所示。

圖2 能帶的第一類陳數(shù)隨參數(shù)t2的變化

在二維準(zhǔn)動(dòng)量空間中，將能帶拓?fù)錃W拉數(shù)和第一類陳數(shù)進(jìn)行比較。當(dāng)t2<1時(shí)，拓?fù)錃W拉數(shù)出現(xiàn)穩(wěn)定值，其數(shù)值為對(duì)應(yīng)第一類陳數(shù)值絕對(duì)值的2倍。在-1

3 結(jié)束語(yǔ)

本文研究了兩能帶高陳數(shù)格點(diǎn)模型中Bloch電子的量子幾何張量?；诹孔訋缀螐埩康膶?shí)部給出Bloch態(tài)流形的量子度規(guī)，利用高斯—博內(nèi)定理在第一布里淵區(qū)Bloch態(tài)流形上，得到了能帶拓?fù)錃W拉數(shù)；在第一布里淵區(qū)對(duì)量子幾何張量的虛部進(jìn)行積分得到能帶的第一類陳數(shù)，兩者都可以作為拓?fù)湫騺?lái)劃分相圖。發(fā)現(xiàn)高陳數(shù)拓?fù)浣^緣體擁有極其豐富的拓?fù)淞孔酉嘧儸F(xiàn)象。當(dāng)前使用拓?fù)錃W拉數(shù)和第一類陳數(shù)等具有幾何和拓?fù)涞母拍顏?lái)揭示量子多體系統(tǒng)的拓?fù)淞孔酉嘧?，已?jīng)成為研究的熱點(diǎn)。在二維嚴(yán)格可解量子系統(tǒng)及具有相互作用的自旋與費(fèi)米系統(tǒng)中，研究它們的量子幾何張量、第一類陳數(shù)以及拓?fù)錃W拉數(shù)與拓?fù)淞孔酉嘧兊穆?lián)系，對(duì)于深入理解量子系統(tǒng)的宏觀量子特性和調(diào)控性，以及探索新奇量子態(tài)和奇異物性提供了必要的理論支持。本文的研究方法可應(yīng)用在大多數(shù)二維嚴(yán)格可解的自旋以及費(fèi)米模型中，如Haldane模型[22]、Kitaev模型[23]、Kane-Mele模型[3-4]。研究其能帶拓?fù)錃W拉數(shù)與其他拓?fù)淞孔訑?shù)的聯(lián)系可以進(jìn)一步揭示低維量子體系的一些新的幾何和拓?fù)湫再|(zhì)。