張陳曦 趙又群 馮世林 鄭 鑫 徐 瀚

南京航空航天大學(xué)能源與動(dòng)力學(xué)院，南京，210016

0 引言

輪胎的徑向剛度特性是輪胎性能的一項(xiàng)重要評價(jià)指標(biāo)，反映了輪胎所能承受負(fù)荷的能力。輪胎徑向剛度會影響其受載荷后的變形情況，還會影響其行駛阻力與乘坐舒適性。因有別于普通充氣輪胎氣壓支撐的特點(diǎn)，且市場上不同廠商的免充氣輪胎在結(jié)構(gòu)上也不同，故需對特定的免充氣輪胎剛度特性進(jìn)行研究。王強(qiáng)等[1]利用曲梁理論建立彈性封閉圓環(huán)曲梁模型，對免充氣輪胎剛度進(jìn)行了分析。FORD等[2]利用聲學(xué)方法測量了輪輞的徑向彎曲剛度和橫向扭轉(zhuǎn)剛度。VU等[3]利用任意Lagrangian Eulerian法建立環(huán)狀可變形固體的計(jì)算公式，并將該公式應(yīng)用在新的簡化輪胎振動(dòng)模型中。ROMANO等[4]提出了非充氣輪胎的環(huán)形模型，由曲線的Timoshenko梁和Hamilton變分原理導(dǎo)出了輪胎的運(yùn)動(dòng)方程。

目前，市面上的免充氣輪胎多使用合成橡膠材料作為其力學(xué)結(jié)構(gòu)支撐，彈塑性較好，利于車輛的平順行駛[5]，但徑向剛度普遍不高。在面臨重載、高沖擊的工作環(huán)境(如重型卡車的工作和高空拋擲運(yùn)輸工具)時(shí)，多數(shù)情況下充氣、免充氣輪胎變形嚴(yán)重甚至損毀。針對重載、高沖擊問題，本課題組發(fā)明了一種利用偽剛體和輮輪組合結(jié)構(gòu)的偽剛性免充氣輪胎[6]。所謂的偽剛體，是一種柔順結(jié)構(gòu)，可利用其柔性變形獲得所需的運(yùn)動(dòng)，特點(diǎn)是用較少零件可完成復(fù)雜運(yùn)動(dòng)，減小質(zhì)量、經(jīng)濟(jì)成本，在仿生、機(jī)器人領(lǐng)域用途廣泛，近年來對偽剛體的研究方興未艾。VENKITESWARAN等[7]利用偽剛體模型研究了等截面圓形梁在受外力和彎矩共同作用下的運(yùn)動(dòng)學(xué)和剛度特性，便于機(jī)構(gòu)方程的推導(dǎo)和快速求解。KE等[8]采用有限元分析法研究了不同曲度的屈曲足假體(偽剛體)在站立和跑步時(shí)的應(yīng)力和位移變化情況。BILANCIA等[9]描述了一種計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)/工程(CAD/CAE)框架，用于自動(dòng)獲得精確的偽剛體模型參數(shù)，得到其位移和柔度以及復(fù)雜撓曲的形狀優(yōu)化方法。

為研究偽剛性免充氣輪胎的徑向剛度特性，本文采用偽剛體模型和柔體彈性力學(xué)模型耦合求解的方法，分析其在不同受載情況下的輪胎下沉量及變形情況。

1 偽剛性免充氣輪胎簡介

偽剛性免充氣輪胎的典型結(jié)構(gòu)如圖1所示，包含輪轂、板簧和輮輪等結(jié)構(gòu)，其輮輪結(jié)構(gòu)采用了橡膠包裹金屬骨架的制造工藝。輪轂四周鉸接有若干個(gè)均布的板簧結(jié)構(gòu)，板簧末端又與輮輪的骨架鉸接。此種輪胎在使用過程中，利用板簧和輮輪的緩沖機(jī)理，起到代替充氣輪胎之利用橡膠和氣壓承重、緩沖的作用。

圖1 偽剛性免充氣輪胎結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structural diagram of pseudo-rigidnon-pneumatic tire

為研究偽剛性免充氣輪胎的徑向剛度特性，對其進(jìn)行偽剛體-柔體耦合的力學(xué)模型的構(gòu)建，提供一種分析板簧、輮輪結(jié)構(gòu)的便利數(shù)學(xué)模型。根據(jù)偽剛性免充氣輪胎受徑向力時(shí)的結(jié)構(gòu)特征，可將其沿軸向簡化為平面問題，在輪轂幾何中心處建立直角坐標(biāo)系Oxy，第i個(gè)板簧連接輪轂的那一端記為Oi點(diǎn)，建立板簧件直角坐標(biāo)系Oixiyi。記第i個(gè)板簧在以O(shè)點(diǎn)為中心、x正軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)θi的位置。偽剛性免充氣輪胎平面結(jié)構(gòu)簡圖及各坐標(biāo)軸位置、正向如圖2所示。

圖2 偽剛性免充氣輪胎平面圖Fig.2 Structural plan of pseudo-rigidnon-pneumatic tire

2 偽剛性免充氣輪胎力學(xué)建模

偽剛性免充氣輪胎的徑向剛度受板簧和輮輪骨架的影響較大，此時(shí)可忽略輮輪橡膠層對剛度的影響，輪轂則看作剛體。為此，分別對板簧和輮輪骨架建立力學(xué)模型，并進(jìn)行耦合求解。

2.1 板簧力學(xué)建模

板簧結(jié)構(gòu)是一種有復(fù)雜幾何形狀的柔性部件，其受力過程中呈現(xiàn)非線性位移變形。偽剛體模型可以提供一種分析非線性變形系統(tǒng)的簡單方法，通過將連續(xù)的柔性結(jié)構(gòu)分割成一定數(shù)量的由扭簧鉸接的剛性段，并利用多剛體理論計(jì)算從而模擬出此柔性體的變形過程。本研究采用偽剛體模型對板簧結(jié)構(gòu)進(jìn)行力學(xué)分析。

2.1.1板簧偽剛性段的劃分

對板簧進(jìn)行偽剛性段劃分,采用曲率分段原則和剛度分段原則[10]相結(jié)合的劃分方式。設(shè)單個(gè)板簧的總弧長為S，初始假定劃分段數(shù)為N，第i(i=1, 2,…,N)劃分段的弧長為si。劃分開始時(shí)，首先應(yīng)判斷被劃分線段的曲直情況，當(dāng)線段分別為直線、曲線或曲直線過渡段時(shí)，按曲率分段原則分別計(jì)算si：

直線：si=S/N

(1)

(2)

(3)

因節(jié)省材料、減小質(zhì)量，板簧厚度e從連接輪轂處向外逐漸變薄，故還需按剛度分段的原則對上文得到的si進(jìn)行修正，修正公式為

si=λisi

(4)

式中，λi為第i劃分段的剛度系數(shù)(表示此段平均剛度與整條板簧平均剛度的比值)。

為防止因曲率過大，使得分段弧長si的長度過長或過短，約定si最大不超過smax，最小不低于smin。根據(jù)上述劃分方法，依次沿板簧曲線進(jìn)行分割，最終統(tǒng)計(jì)劃分段數(shù)n、長度si。板簧曲線劃分的流程示意圖見圖3。

圖3 板簧曲線劃分流程圖Fig.3 Flow chart of division about plate spring curve

偽剛體模型中，柔性板簧結(jié)構(gòu)被分割成一定數(shù)量的由扭簧鉸接的剛性段(圖4所示的柔性鉸鏈連接方式)。鉸接的扭簧常數(shù)[11]為

K=γKΘEI/l

(5)

式中，γ為特征半徑系數(shù)；KΘ為剛度系數(shù)(關(guān)于γ和KΘ的計(jì)算見文獻(xiàn)[11]，不再贅述)；E為板簧彈性模量；I為截面慣性矩；l為剛性段長度。

考慮到板簧偽剛性結(jié)構(gòu)存在曲線和變截面的幾何特性，故劃分后的各偽剛性段之間的扭簧常數(shù)可在添加修正系數(shù)η后進(jìn)行計(jì)算。修正后的第i扭簧常數(shù)方程為

Ki=ηγiKΘiEIi/li

(6)

2.1.2板簧的變形位移求解

利用前文已劃分好的偽剛性段結(jié)構(gòu)，分析其受力變形情況。如圖4所示，令

wp=[fxpfypτp]Tτ=[τ1τ2…τn]T

其中，wp表示偽剛體終端所受的外力和外力矩，fxp、fyp為外力在坐標(biāo)系Oixiyi下的分量，τp為外力矩；τ表示各桿與前一桿間關(guān)節(jié)處的扭矩，有τi=-Ki(ψi-ψsi)，ψsi為變形前第i桿與第i-1桿桿間逆時(shí)針方向的夾角，ψi為變形后第i桿與第i-1桿間逆時(shí)針方向的夾角。考慮到第i偽剛性段重力遠(yuǎn)小于外力wp，故可忽略此i段所受重力。

圖4 偽剛性段結(jié)構(gòu)參數(shù)Fig.4 Structure parameters of pseudo-rigid segment

則板簧在Oixiyi平面力系中有如下力矩平衡[12]關(guān)系：

(7)

其中，Gp為外力的一階影響系數(shù)矩陣，令s1～n表示sin(ψ1+ψ2+…+ψn)，c1～n表示cos(ψ1+ψ2+…+ψn)，則Gp可寫成

當(dāng)扭簧扭矩或外載荷有微小變化時(shí)，對式(7)取變分，有

(8)

因?yàn)?/p>

其中，Hp為外力的二階影響系數(shù)矩陣；?表示矩陣的Kronecker積。故式(8)可寫成

所以

D=[DxDyDr]T

式中，Dx為坐標(biāo)系Oixiyi下板簧末端的x向位移；Dy為y向位移；Dr為位移角。

當(dāng)分析板簧一次受力過程且其變形位移D較小時(shí)，有

(9)

由此得到板簧受力變形的位移計(jì)算公式。

2.2 輮輪骨架力學(xué)建模

圖1中的輮輪骨架為一種圓環(huán)結(jié)構(gòu)，適合采用彈性力學(xué)的極坐標(biāo)解法分析其位移變形。

2.2.1骨架的極坐標(biāo)力學(xué)表述

輮輪骨架在受徑向力作用時(shí)，其變形可看作與軸向位置無關(guān)，故骨架受力變形分析按二維極坐標(biāo)下的平面應(yīng)變問題考慮。按圖5a建立極坐標(biāo)系Ox，將骨架結(jié)構(gòu)沿軸向投影于一平面，取骨架圓周平面的幾何中心為極點(diǎn)O，以O(shè)點(diǎn)水平向右的方向?yàn)闃O軸x正向，平面上各點(diǎn)與極軸間的極角為θ；骨架內(nèi)圈與12個(gè)均勻分布的板簧相連接，12個(gè)連接點(diǎn)在內(nèi)圈θj= (j-1)π/6(j=1,2,…,12)處；如圖5b所示，骨架內(nèi)圈半徑為a，外圈半徑為b，規(guī)定骨架內(nèi)外圈受正應(yīng)力、切應(yīng)力的正方向如圖5b中箭頭方向。

(a)建立極坐標(biāo)系 (b)骨架內(nèi)外圈受 正應(yīng)力、切應(yīng)力圖5 輮輪骨架幾何參數(shù)示意圖Fig.5 Schematic diagram of geometric parametersabout the skeleton of the elastic wheel disk

采用半逆解法求解輮輪骨架的應(yīng)力及變形。設(shè)輮輪骨架在極坐標(biāo)系下的Airy應(yīng)力函數(shù)U具有分離變量形式的解[13]，形如U(r,θ)=R(r)T(θ)，將它代入雙調(diào)和方程后，有以下通解形式：

(10)

已知上述骨架圓環(huán)的Airy應(yīng)力函數(shù)U在極坐標(biāo)系下有徑向正應(yīng)力σr、環(huán)向正應(yīng)力σθ和切應(yīng)力τrθ，其表達(dá)式如下：

(11)

由式(11)和極坐標(biāo)下平面應(yīng)變問題的本構(gòu)關(guān)系，可得骨架圓環(huán)的徑向位移ur和切向位移uθ：

(12)

f(θ)=L1cosθ+L2sinθg(θ)=L3r

式中，E′為骨架材料彈性模量；ν為材料泊松比；f(θ)、g(r)為因積分產(chǎn)生的常量函數(shù)；L1、L2、L3均為常數(shù)。

2.2.2骨架的邊界條件與求解

上文提到輪轂四周均勻安裝有12根板簧。當(dāng)各板簧受車輪徑向力變形后，車輪幾何中心由O點(diǎn)移動(dòng)到O′點(diǎn)處，如圖6所示。此時(shí)假設(shè)各板簧對輮輪骨架的作用力為Fj，F(xiàn)i與極軸Ox的夾角為φj(輪胎垂直地面下沉?xí)r，應(yīng)有骨架內(nèi)圈受力點(diǎn)4和10的極角位置不變，故有φ4=θ4=π/2，φ10=θ10=3π/2)，地面對骨架的支持力為FN?？紤]到圖2所示的板簧在小變形情況下對輮輪骨架的作用力關(guān)于y軸對稱，所以對骨架受力分析時(shí)僅考慮Fj(j=1,2,3,4,10,11,12)和FN對骨架變形的影響。則關(guān)于Fj(j=1,2,3,4,10,11,12)和FN的力平衡關(guān)系如下：

(13)

圖6 輮輪骨架假設(shè)的受力方向Fig.6 The assumed force direction for the skeleton ofthe elastic wheel disk

若設(shè)各個(gè)力Fj和FN的作用區(qū)域在圓環(huán)骨架2α弧度的弧長上，圓環(huán)厚為h，則骨架的圓環(huán)外圈有應(yīng)力邊界條件如下：

(14)

骨架的圓環(huán)內(nèi)圈有應(yīng)力邊界條件：

(15)

按式(15)將圓環(huán)骨架的應(yīng)力邊界展開成三角級數(shù)形式，有

(16)

同理可得a′0、a′n、b′n和c′0、c′n、d′n。比較代入式(10)后的式(11)和式(16)，可提取相同位置項(xiàng)的系數(shù)組成等式，構(gòu)成方程組用于后續(xù)求解。

考慮到車輪受徑向力作用輪胎下沉?xí)r，圖5極坐標(biāo)系Ox的車輪外圈在3π/2處應(yīng)無切向位移，且無切向斜率；在θj(j=1,2,…,12)處的位移應(yīng)與圖2坐標(biāo)系Oixiyi下板簧末端位移一致，在變換直角坐標(biāo)系Oixiyi和極坐標(biāo)系Ox位置和方向后，由式(9)、式(12)可得骨架圓環(huán)內(nèi)外圈的位移邊界條件：

(17)

2.3 偽剛體-柔體耦合模型的建立

3 偽剛性免充氣輪胎徑向剛度分析

利用上文建立的偽剛體-柔體耦合模型對偽剛性免充氣輪胎的徑向剛度進(jìn)行仿真分析。

3.1 板簧劃分結(jié)果

令坐標(biāo)系Oixiyi下的板簧曲線方程如式(18)，單位mm。板簧寬100 mm，始端板厚為15 mm，終端板厚為10 mm，板厚沿板簧弧長線性下降，彈性模量為210 GPa。設(shè)定的初始劃分段數(shù)N為30，按圖3所示的劃分流程，得到最終完成劃分的各段弧長及坐標(biāo)，劃分結(jié)果如圖7所示，最終劃分段數(shù)n為28。有

yi=

(18)

圖7 板簧曲線劃分結(jié)果Fig.7 The result of plate spring curve division

3.2 車輪徑向剛度的求解

偽剛性免充氣輪胎工作時(shí)，其徑向剛度受到各板簧作用力的影響?？紤]到板簧對胎面的支撐作用不像普通充氣輪胎的胎面受氣壓力均衡分布，選取兩個(gè)典型工位進(jìn)行徑向剛度分析，如圖8所示。在工位一，垂直徑向位置有一板簧直接支撐受力的輪胎；在工位二，輪胎垂直徑向位置沒有板簧直接支撐，不妨令此位置在兩板簧安裝位置的正中間。

(a)工位一 (b)工位二圖8 兩種工位Fig.8 Two working positions

3.2.1工位一

設(shè)輮輪骨架的內(nèi)半徑a為475 mm，外半徑b為495 mm，骨架由4根圓環(huán)組成，單個(gè)圓環(huán)截面厚h為10 mm，材料彈性模量E′與板簧相同，泊松比ν為0.3，輪胎受垂直徑向力的作用。結(jié)合前述偽剛體-柔體耦合建模過程，利用MATLAB求解不同載荷條件下輮輪骨架位移變形及輪胎下沉量(在不影響精度的情況下，式(10)和式(16)的級數(shù)部分取前4項(xiàng)即可)。

為驗(yàn)證偽剛體-柔體耦合模型的正誤，利用有限元軟件ABAQUS建立了偽剛性免充氣輪胎板簧與骨架的三維有限元模型(圖9)，對車輪徑向剛度進(jìn)行靜力學(xué)有限元分析。作為對比的有限元模型在保留原有約束關(guān)系的前提下，對原零部件的結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡化。與偽剛體-柔體耦合模型一樣也忽略了橡膠層結(jié)構(gòu)，將輪轂和地面作剛體約束，地面完全固定，并設(shè)置骨架與地面的接觸；板簧首尾兩端分別與輪轂、輮輪骨架建立綁定約束，從而固定板簧首尾端的位置；創(chuàng)建車輪幾何中心點(diǎn)，將此點(diǎn)與輪轂耦合后用于限制輪轂僅能在y向移動(dòng)，后續(xù)施加的質(zhì)量力也通過此點(diǎn)傳遞給輪轂；板簧與骨架采用非協(xié)調(diào)單元C3D8I單元，此種單元可克服剪切自鎖，適合分析彎曲問題；模型共劃分單元總數(shù)為7032。

圖9 輪胎有限元模型Fig.9 Finite element model of tire

上述兩種方法運(yùn)算后，結(jié)果如下：

(1)在工位一，輪胎受10 kN、30 kN、60 kN垂直徑向力條件下，兩種方法計(jì)算的輪胎下沉量及相對有限元方法計(jì)算解的誤差比較見表1。圖10是輪胎下沉量受載荷影響的關(guān)系圖，實(shí)線是MATLAB計(jì)算的偽剛體-柔體耦合模型結(jié)果，虛線是Abaqus計(jì)算的有限元模型結(jié)果，從中可以看出，此種輪胎的載荷與下沉量近似成正比，其徑向剛度比一般普通輪胎大，適合在重載、高沖擊環(huán)境下使用。

表1 工位一不同受力下的輪胎下沉量

圖10 工位一載荷-下沉量關(guān)系Fig.10 Relation between load and sinkage displacementin first working position

(2)利用偽剛體-柔體耦合模型計(jì)算的下沉量結(jié)果與有限元計(jì)算的結(jié)果相似，受力較小時(shí)，兩者結(jié)果接近度較好，誤差較低；受力較大時(shí)，偽剛體-柔體耦合模型計(jì)算的下沉量會逐漸略大于有限元計(jì)算的結(jié)果，考慮到式(8)在小變形條件下成立的特點(diǎn)，且僅取式(10)和式(16)的級數(shù)項(xiàng)前4項(xiàng)，隨著板簧和骨架變形增大，其計(jì)算結(jié)果會有少許偏差，但偏差的數(shù)量級在宏觀尺度上可忽略。

(3)此次運(yùn)算采用的計(jì)算機(jī)配置如下：CPU為Core i5-3470，RAM為8GB。建模完成后的計(jì)算過程中，ABAQUS分析有限元模型在幾種工況下的平均運(yùn)算時(shí)間為118.08 s，MATLAB分析偽剛體-柔體耦合模型的平均運(yùn)算時(shí)間為9.37 s；從時(shí)間上比較，偽剛體-柔體耦合模型在得到近似結(jié)果的情況下，運(yùn)算時(shí)間大幅縮短，減少了工作周期。

(4)圖11～圖13分別是工位一時(shí)受10 kN、30 kN、60 kN垂直徑向力后輮輪骨架內(nèi)圈的形變圖，圖11的變形量放大了50倍，其他變形量放大了10倍，從中可以看出：兩種計(jì)算方法得到的骨架內(nèi)圈變形結(jié)果近似；受力較小時(shí)，兩者結(jié)果吻合度較好，受力較大時(shí)，偽剛體-柔體耦合模型計(jì)算的骨架變形量略大于有限元計(jì)算的結(jié)果。

圖11 工位一10 kN骨架內(nèi)圈形變(放大50倍結(jié)果)Fig.11 Deformation of skeleton inner ring under10 kN load in first working position(result is magnified by 50 times)

圖12 工位一30 kN骨架內(nèi)圈形變(放大10倍結(jié)果)Fig.12 Deformation of skeleton inner ring under30 kN load in first working position(result is magnified by 10 times)

圖13 工位一60 kN骨架內(nèi)圈形變(放大10倍結(jié)果)Fig.13 Deformation of skeleton inner ring under60 kN load in first working position(result is magnified by 10 times)

(5)參照圖2坐標(biāo)系Oxy方向和圖8中工位一板簧位置，當(dāng)輪胎受10 kN質(zhì)量力時(shí)，偽剛體-柔體耦合模型求解得到的板簧受力Fj(j=1,2,3,4,10,11,12)在x、y向的分量及其受力支撐的貢獻(xiàn)度見表2，可見板簧10對輪胎y向垂直支撐起到主要貢獻(xiàn)作用，板簧11、12對阻礙輪胎x向變形起到主要貢獻(xiàn)作用。作為對比，分別提取ABAQUS中輪胎在y向、x向的位移變化結(jié)果，如圖14、圖15所示，可知各板簧變形情況與偽剛體-柔體耦合模型計(jì)算的受力大小吻合。

表2 工位一10 kN下各板簧受力及貢獻(xiàn)度

圖14 工位一10 kN下輪胎y向位移Fig.14 The y direction displacement of the tireunder 10 kN load in first working position

圖15 工位一10 kN 下x向位移Fig.15 The x direction displacement of tireunder 10 kN load in first working position

3.2.2工位二

工位二的求解方式與工位一設(shè)置的載荷及邊界條件相同，仍比較偽剛體-柔體耦合模型與有限元模型的分析情況。結(jié)果如下：

(1)從表3、圖16中看出，偽剛體-柔體耦合模型與有限元模型的計(jì)算結(jié)果和工位一的結(jié)論一致。

表3 工位二不同受力下的輪胎下沉量

圖16 工位二載荷-下沉量關(guān)系Fig.16 Relation between load and sinkage displacementin second working position

(2)前文假設(shè)輪內(nèi)均布的板簧在小變形時(shí)左右受力相同，但在圖17～圖19工位二的骨架內(nèi)圈形變圖中可以看出，ABAQUS的計(jì)算結(jié)果顯示骨架內(nèi)圈左右變形量稍有不一，但因數(shù)量級較小，不影響對整體變形趨勢的把握，故可忽略。

圖17 工位二10 kN骨架內(nèi)圈形變(放大50倍結(jié)果)Fig.17 Deformation of skeleton inner ring under10 kN load in second working position(result is magnified by 50 times)

圖18 工位二30 kN骨架內(nèi)圈形變(放大10倍結(jié)果)Fig.18 Deformation of skeleton inner ring under30 kN load in second working position(result is magnified by 10 times)

圖19 工位二60 kN骨架內(nèi)圈形變(放大10倍結(jié)果)Fig.19 Deformation of skeleton inner ring under60 kN load in second working position(result is magnified by 10 times)

(3)以圖8中工位二板簧位置，輪胎受10 kN質(zhì)量力時(shí)的板簧受力Fj(j=1,2,3,10,11,12)在x、y向的分量及其受力支撐的貢獻(xiàn)度見表4，可見仍然是板簧10對輪胎y向垂直支撐起主要貢獻(xiàn)作用。板簧11、12對阻礙輪胎x向變形起主要貢獻(xiàn)作用；作為對比提取的ABAQUS輪胎y向位移變化(圖20)、x向位移變化(圖21)與偽剛體-柔體耦合模型計(jì)算的受力大小吻合。

表4 工位二10 kN各板簧受力及貢獻(xiàn)度

圖20 工位二10 kN輪胎y向位移Fig.20 The y direction displacement of the tireunder 10 kN load in second working position

圖21 工位二10 kN輪胎x向位移Fig.21 The x direction displacement of the tireunder 10 kN load in the second working position

(4)比較表3和表1，從下沉量結(jié)果上看，當(dāng)失去板簧直接支撐作用后，工位二的下沉量比工位一的下沉量稍大,當(dāng)輪胎滾動(dòng)時(shí)，這種變剛度過程會對其平順性產(chǎn)生影響。若相同質(zhì)量力作用下輪胎徑向剛度在工位一處為kⅠ、工位二處為kⅡ，工位一與工位二間徑向剛度呈線性變化，又因輪胎均布有12個(gè)板簧，則在t時(shí)刻輪胎角速度為ω時(shí)，輪胎徑向剛度k(t)滿足：

則輪胎徑向垂直運(yùn)動(dòng)的微分方程可表示為

其中，m為輪胎和輪胎負(fù)載的質(zhì)量，可根據(jù)上文所給初值求得輪胎滾動(dòng)時(shí)的徑向加速度變化及加速度功率譜密度，再由ISO2631-1:1997(E)標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的頻率加權(quán)函數(shù)得到徑向加權(quán)加速度均方根值aw，用于評估輪胎平順性。10 kN質(zhì)量力車速分別為40 km/h和70 km/h兩種情況下的輪胎徑向加權(quán)加速度均方根值見表5，由加權(quán)加速度均方根值和人的主觀感覺間關(guān)系可知：當(dāng)此輪胎在低速40 km/h工作時(shí)，人主觀感覺良好，沒有感覺不舒適；在高速70 km/h工作時(shí)，人會有稍許不舒適感覺，這說明高速情況下偽剛性免充氣輪胎的平順性還有提升空間。

表5 輪胎在兩種車速下的加權(quán)加速度均方根值

3.3 車輪剛度優(yōu)化

由上文知，偽剛性免充氣輪胎徑向剛度較大，若想按需降低其剛度，則可利用偽剛體-柔體耦合模型快速求解的特點(diǎn)對此輪胎的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行優(yōu)化?？紤]輮輪骨架及板簧尺寸對車輪剛度的影響，選取骨架外圈半徑b和板簧厚度e為設(shè)計(jì)變量，工位一時(shí)的輪胎下沉量ξ(b,e)為優(yōu)化目標(biāo)，暫定約束條件為10 kN的輪胎下沉量不超過13 mm，則有

min -ξ(b,e)

s.t.ξ(b,e)-13≤0

調(diào)用MATLAB數(shù)據(jù)庫中的遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化結(jié)果見表6。

表6 優(yōu)化前后的尺寸

優(yōu)化后，骨架外半徑b和板簧厚度e均變小，板簧厚由原來沿曲線的漸變厚度變?yōu)榈群瘛＠脙?yōu)化后的結(jié)構(gòu)尺寸重新仿真輪胎下沉量及變形。偽剛體-柔體耦合模型的MATLAB仿真下沉量為-12.1902 mm，ABAQUS仿真的下沉量為-11.3346 mm，優(yōu)化前后骨架的形變?nèi)鐖D22所示。結(jié)果表明：通過減小骨架和板簧的厚度，可以起到減小偽剛性免充氣輪胎徑向剛度的作用；車輪下沉量較優(yōu)化前有所增大，車輪徑向剛度優(yōu)化效果明顯，可針對不同剛度需求，合理設(shè)計(jì)車輪尺寸。

圖22 優(yōu)化前后骨架內(nèi)圈形變比較(放大2倍結(jié)果)Fig.22 Comparison of inner ring deformation beforeand after optimization(result is magnified by 2 times)

4 結(jié)論

(1)本文采用偽剛體-柔體耦合模型對偽剛性免充氣輪胎進(jìn)行徑向剛度分析，其下沉量與載荷間近似成正比，且偽剛性免充氣輪胎徑向剛度比一般普通充氣/非充氣輪胎大，適合在重載、高沖擊的工作環(huán)境下使用。

(2)兩種工位下，偽剛性免充氣輪胎垂向下方的板簧均對支撐車輪起到主要貢獻(xiàn)作用；不同工位間的輪胎下沉量有極小差距，低車速工作時(shí)能夠滿足平順性要求，高車速工作時(shí)平順性稍有欠缺。

(3)比較二維建模的偽剛體-柔體耦合模型與三維建模的有限元ABAQUS軟件，兩者在輪胎下沉量和變形的計(jì)算結(jié)果近似，吻合度高，但從建模完成的運(yùn)算時(shí)間成本上看，偽剛體-柔體耦合模型計(jì)算時(shí)間明顯較短。

(4)為適應(yīng)不同剛度需求，利用已有的優(yōu)化算法(如遺傳算法)結(jié)合偽剛體-柔體耦合模型可以得到優(yōu)化后的設(shè)計(jì)參數(shù)，合理降低偽剛性免充氣輪胎的徑向剛度，減少優(yōu)化步驟，避免其他優(yōu)化軟件冗長的設(shè)置、二次開發(fā)過程。