王成志 王云超

集美大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，廈門，361021

0 引言

由于制造、變形、磨損，甚至裝配、相對(duì)運(yùn)動(dòng)需要等原因，機(jī)構(gòu)中不可避免地會(huì)存在運(yùn)動(dòng)副間隙，從而造成運(yùn)動(dòng)偏離理想位置。學(xué)者們提出了各種模型用于分析與研究含運(yùn)動(dòng)副間隙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)誤差，以盡可能減小間隙帶來(lái)的不良影響。有的研究是將間隙折算成對(duì)應(yīng)連接桿的長(zhǎng)度誤差[1]，或與桿合并為等效桿[2-5]，并認(rèn)為運(yùn)動(dòng)副間隙大小具有隨機(jī)性；有的則認(rèn)為銷軸中心位置按平均概率分布在孔的邊界圓內(nèi)[6-9]，偏移位置及大小具有隨機(jī)性；甚至有研究者認(rèn)為只要分析輸出端最大最小誤差[10-11]即可。上述方法不考慮間隙副兩元素的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，不必求解復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)方程，目的是為設(shè)計(jì)人員提供機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)不確定性預(yù)測(cè)。目前應(yīng)用較多的是基于運(yùn)動(dòng)副兩元素表面連續(xù)接觸假設(shè)的間隙桿模型[12]，也就是用雙副間隙桿連接運(yùn)動(dòng)副兩元素幾何中心點(diǎn)來(lái)等效替代回轉(zhuǎn)副中的間隙，再用虛功原理、靜力學(xué)方程[13]或拉格朗日方程[14-15]等來(lái)計(jì)算間隙桿方位或接觸角。這種模型考慮了運(yùn)動(dòng)副兩元素的相對(duì)運(yùn)動(dòng)，可以提供更精確的運(yùn)動(dòng)誤差分析，但因增加附加約束，計(jì)算更復(fù)雜繁瑣[13]。

對(duì)阿克曼(Ackermann)型轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)來(lái)說，間隙會(huì)進(jìn)一步增大原本存在的機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)向誤差，因此運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)轉(zhuǎn)向質(zhì)量的影響也受到了研究者的重視。文獻(xiàn)[4-5]用不考慮運(yùn)動(dòng)副相對(duì)運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，文獻(xiàn)[14]在車輛擺振動(dòng)力學(xué)分析中考慮了運(yùn)動(dòng)副間隙的影響。但轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)有其運(yùn)動(dòng)特殊性，即經(jīng)常有換向操作。上述文獻(xiàn)沒有考慮正向轉(zhuǎn)動(dòng)(指車輪朝左或右增大轉(zhuǎn)向角度的運(yùn)動(dòng)過程)及回正轉(zhuǎn)動(dòng)(指車輪減小轉(zhuǎn)向角度回到直行趨勢(shì)的運(yùn)動(dòng)過程)過程中由間隙產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)誤差的差異性，也沒有考慮齒輪齒條轉(zhuǎn)向器的齒條導(dǎo)路的傾斜與普通滑塊在導(dǎo)路中傾斜的差異。另外，平面模型與空間模型之間存在不容忽視的計(jì)算誤差，而前述研究大都是在平面機(jī)構(gòu)模型上展開分析的。

針對(duì)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)特點(diǎn)，筆者用間隙桿代替主銷孔與主銷軸之間的徑向間隙，用變長(zhǎng)桿代替拉桿兩端球窩與球之間的徑向間隙，然后用螺旋理論推導(dǎo)了比球面法更為簡(jiǎn)單的主銷轉(zhuǎn)角與車輪轉(zhuǎn)角的關(guān)系式，建立了考慮運(yùn)動(dòng)副徑向間隙和齒條傾斜但方程數(shù)及變量數(shù)少的齒輪齒條轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的三維運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，為評(píng)價(jià)該類轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)向性能提供理論計(jì)算方法。此外，還分析了運(yùn)動(dòng)副徑向間隙及齒輪傾斜對(duì)轉(zhuǎn)向精度的影響，并按轉(zhuǎn)向誤差最小和壓力角約束完成轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 含間隙轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析

這里僅討論齒輪齒條類型的轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)，它實(shí)際由兩個(gè)左右對(duì)稱RSSP(R表示轉(zhuǎn)動(dòng)副，S表示球面副，P表示移動(dòng)副)空間機(jī)構(gòu)組成，圖1所示為左側(cè)RSSP機(jī)構(gòu)。

圖1 齒輪齒條轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)左側(cè)簡(jiǎn)圖Fig.1 Scheme of the left part of the rack-and-pinionsteering linkage

1.1 運(yùn)動(dòng)副間隙模型

為討論方便，將左右含間隙的RSSP機(jī)構(gòu)三維模型繪制成如圖2a、圖3所示間隙放大的平面模型。下文中，將R副銷孔及S副中的球窩統(tǒng)稱為“孔”，而R副的銷及S副中的球統(tǒng)稱為“銷”。從運(yùn)動(dòng)學(xué)角度分析，銷、孔可以互換，沒有差別，圖中沒有刻意區(qū)分它們。

假設(shè)銷與孔的內(nèi)表面接觸，用連接孔及銷中心的間隙桿代替運(yùn)動(dòng)副徑向間隙。這里間隙桿也是矢量，稱為運(yùn)動(dòng)副間隙偏心矢量ri(i=1,2,3)。矢量ri的模為孔與銷的半徑差ri，方向按間隙桿始終只承受拉力[13]來(lái)判定。圖2中，r1=AA′，r2=BB′，r3=CC′。

(a)間隙模型

(b)等效模型圖2 含間隙的齒輪齒條機(jī)構(gòu)左側(cè)模型Fig.2 Left model of the rack-and-pinion steeringlinkages with clearances

圖3 含間隙的齒輪齒條機(jī)構(gòu)右側(cè)模型Fig.3 Right model of the rack-and-pinion steeringlinkages with clearances

在不考慮摩擦和重力的情況下，銷與孔在接觸點(diǎn)上僅有法向反力。則拉桿2兩端承受大小相等、方向相反的約束反力，并因此產(chǎn)生彈性變形e。不考慮拉桿與兩端球副的偏置，根據(jù)虎克定律，用文獻(xiàn)[16]的車輪轉(zhuǎn)向阻力矩近似公式計(jì)算e：

(1)

式中，f為輪胎和路面間的摩擦因數(shù)，取0.7；G1為轉(zhuǎn)向軸負(fù)荷；p為輪胎氣壓；E2為彈性模量；a1為拉桿實(shí)際桿長(zhǎng)；A2為拉桿截面面積；b1為轉(zhuǎn)向梯形臂長(zhǎng)；β為梯形臂與拉桿之間的夾角。

因拉桿2是二力桿，且球副不傳遞轉(zhuǎn)矩，故可認(rèn)為兩端球副間隙及彈性變形量始終與兩端球副連線處在同一直線上，或者說，在間隙和拉桿的彈性變形影響下，拉桿的桿長(zhǎng)按受力狀態(tài)發(fā)生了變化，其虛擬桿長(zhǎng)

(2)

用拉桿的虛擬桿長(zhǎng)av來(lái)簡(jiǎn)化處理拉桿兩端球副徑向間隙和彈性變形的影響，不需求出具體的接觸點(diǎn)坐標(biāo)，可以減少變量及方程數(shù)，縮短計(jì)算時(shí)間。變長(zhǎng)桿模型只適用于不考慮摩擦的二力桿兩端運(yùn)動(dòng)副徑向間隙的處理。因桿系中的轉(zhuǎn)向節(jié)及齒條剛度大，力作用下產(chǎn)生的變形量小，故它們的彈性變形不再考慮。

如圖2a、圖3所示，制造、磨損等原因會(huì)使轉(zhuǎn)向器齒條導(dǎo)路3繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度η(這里假設(shè)是在平行地面的平面上繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng))，齒條在與受壓拉桿連接處的這一側(cè)被拉桿推開，在與受拉拉桿連接的這一側(cè)被拉桿拉近。因一側(cè)的拉桿受壓力，另一側(cè)拉桿必受拉力，所以D點(diǎn)兩側(cè)拉動(dòng)齒條轉(zhuǎn)動(dòng)方向是相同的，齒條隨車輛轉(zhuǎn)動(dòng)方向改變做對(duì)稱y軸的微小擺動(dòng)。轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)中齒條是長(zhǎng)滑塊，在力的作用下直接傾斜為η角，且在滑塊連續(xù)單向運(yùn)動(dòng)過程中不更改傾斜方向，直到齒條運(yùn)動(dòng)換向。

如果不特別說明，本文討論的運(yùn)動(dòng)副間隙包括運(yùn)動(dòng)副徑向間隙和齒條的傾斜。

梯形臂與車輪剛性連接，其擺動(dòng)直接帶動(dòng)車輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，即該R副的間隙不影響梯形臂的工作長(zhǎng)度，仍然為b1，但梯形臂的回轉(zhuǎn)中心始終是銷軸的幾何中心A′(圖2a)。所以，用間隙桿和變長(zhǎng)桿替代間隙后，RSSP機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成5桿機(jī)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)和桿長(zhǎng)如圖2b所示。右側(cè)的RSSP機(jī)構(gòu)情況類似。

1.2 含間隙的RSSP轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)

用螺旋理論對(duì)轉(zhuǎn)向梯形機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。設(shè)含運(yùn)動(dòng)副間隙機(jī)構(gòu)中，R副的銷軸在力的作用下沿主銷偏心間隙矢量r1=(r1x,r1y,r1z)T偏離原孔中心，且假設(shè)是整個(gè)主銷軸平移，不存在沿孔軸向的歪斜。圖1中，在兩側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軸線與對(duì)應(yīng)主銷軸線的交點(diǎn)之間的中點(diǎn)O建立全局坐標(biāo)系Oxyz(記為{O})，D點(diǎn)坐標(biāo)為(xD,yD,zD)，則考慮運(yùn)動(dòng)副間隙后，拉桿與齒條連接球副點(diǎn)C的位置矢量為

pC=(xD+(l0+s)sinη,(l0+s)cosη,zD)T

(3)

式中，s為齒條位移；l0為齒條半長(zhǎng)；η為齒條傾斜角，規(guī)定η角在Oxy坐標(biāo)系中的第一象限為正，第二象限為負(fù)。

將轉(zhuǎn)向節(jié)AB的初始位置AB0定在經(jīng)過A′點(diǎn)所在的橫向鉛垂面上，則B0點(diǎn)的位置矢量

pB0=-c1ω+pP+(0,-b1cosα0,-b1sinα0)T=
-c1ω+(r1x,K/2+r1y-b1cosα0,r1z-b1sinα0)T

(4)

pP=(r1x,K/2+r1y,r1z)T

ω=(sinαβ,sinα0cosαβ,-cosα0cosαβ)T

αβ=arctan(cosα0tanβ0)

式中，K為兩側(cè)轉(zhuǎn)向車輪軸線與對(duì)應(yīng)主銷軸線的交點(diǎn)之間的距離；pP為主銷軸線上的P點(diǎn)位置矢量；c1為梯形臂沿主銷軸向偏移的長(zhǎng)度；ω為主銷軸線的單位矢量；α0、β0分別為主銷內(nèi)傾角與后傾角；αβ為主銷軸線與其在平行yz平面上的投影間的夾角。

根據(jù)Rodrigues公式，繞ω軸轉(zhuǎn)動(dòng)θ角的運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)矩陣

(5)

而在同時(shí)考慮相對(duì)ω軸移動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)的螺旋位移矩陣中表示相對(duì)移動(dòng)的部分為

(6)

設(shè)γ1為梯形底角，θL為左主銷轉(zhuǎn)角(加下標(biāo)L、R分別表示左、右輪)，則由螺旋位移矩陣可推導(dǎo)出轉(zhuǎn)向節(jié)繞ω軸轉(zhuǎn)動(dòng)(γ1+θL)角后B點(diǎn)的位置矢量

pB=R1(ω,γ1+θL)pB0+t(ω,γ1+θL)

(7)

因在換向前拉桿桿長(zhǎng)不變，故有

(8)

展開該式，可得到含間隙的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程：

T1sin(γ1±θ)+U1cos(γ1±θ)+V1=0

(9)

其中，運(yùn)算符號(hào)“±”或“?”中上面的運(yùn)算符號(hào)用于左轉(zhuǎn)向節(jié)，下面的運(yùn)算符號(hào)用于右轉(zhuǎn)向節(jié)(下同)。當(dāng)計(jì)算左主銷轉(zhuǎn)角時(shí), 用式(9)求出的是左主銷轉(zhuǎn)角θL，否則求出的是右主銷轉(zhuǎn)角θR。如果r1x=r1y=r1z=r2=r3=0和η=0，則式(9)求出的是無(wú)運(yùn)動(dòng)副間隙理想狀態(tài)下的主銷轉(zhuǎn)角θ或齒條位移s。

1.3 主銷間隙偏心矢量

在圖2a中，主銷位置的R副孔與銷的接觸點(diǎn)就是孔對(duì)銷的反力作用點(diǎn)。若梯形臂1只承受拉桿對(duì)它的作用力、阻力矩和孔對(duì)銷的反力，因阻力矩不影響孔對(duì)銷的反力作用點(diǎn)位置，又假設(shè)拉桿2是二力桿，故A點(diǎn)銷對(duì)孔反力作用點(diǎn)或接觸點(diǎn)就位于經(jīng)過孔的中心點(diǎn)A且與拉桿兩球窩中心連線BC平行的方向上。這個(gè)方向線與銷的軌跡圓有兩個(gè)交點(diǎn)，要再根據(jù)拉桿對(duì)梯形臂的施力方向，即根據(jù)拉桿受拉還是受壓來(lái)確定其中一點(diǎn)。施力方向的單位矢量

(10)

則主銷間隙偏心矢量

r1=r1uBC

(11)

聯(lián)立式(9)和式(11)，有4個(gè)標(biāo)量方程，在給定齒條位移s時(shí)共4個(gè)未知變量：θL、r1x、r1y、r1z，可求解得到左主銷轉(zhuǎn)角θL?？梢?，與文獻(xiàn)[13]需要大量力平衡方程不同，本文采用的間隙桿和變長(zhǎng)桿結(jié)合模型完全不需要計(jì)算桿的受力大小，只需判定拉桿的受力方向，減少了方程和未知變量數(shù)，因而求解方便容易。

右主銷轉(zhuǎn)角θR求解過程類似。

如果θ(θL、θR)已知，則聯(lián)立式(9)與式(11)可以反求齒條位移s(sL、sR)。由于存在間隙，在齒條換向時(shí)不會(huì)立即帶動(dòng)轉(zhuǎn)向梯形臂轉(zhuǎn)動(dòng)，這時(shí)可以固定換向瞬間的車輪轉(zhuǎn)角，力作用方向反向，反求齒條位移s作為臨界點(diǎn)slim。返回的齒條位移只有到達(dá)slim(認(rèn)為所有運(yùn)動(dòng)副中的兩元素已經(jīng)在新位置重新接觸)，齒條才會(huì)繼續(xù)移動(dòng)從而帶動(dòng)梯形臂轉(zhuǎn)動(dòng)。這里假定齒條到達(dá)slim前，梯形臂不受干擾，車輪保持換向瞬間的轉(zhuǎn)角不動(dòng)。因左右側(cè)拉桿分別承受拉力和壓力，且換向時(shí)對(duì)應(yīng)的車輪轉(zhuǎn)角不同，所以左右側(cè)RSSP機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的臨界點(diǎn)slim并不相同。

檢查實(shí)際車輛發(fā)現(xiàn)，有些銷孔被磨損成近似橢圓形，這可能是由于車輛的常用轉(zhuǎn)角范圍使傳遞給梯形臂作用力的拉桿也長(zhǎng)期在一定范圍內(nèi)擺動(dòng)，因而與拉桿平行的銷與孔的接觸點(diǎn)也在小范圍變動(dòng)而造成的。

式(1)中梯形臂與拉桿之間的夾角β可按下式計(jì)算：

cosβ=(pB-pA)·uBC/‖pB-pA‖

(12)

pA=pP-c1ω

式中，pA為梯形臂上B點(diǎn)在主銷上的垂足點(diǎn)。

1.4 主銷轉(zhuǎn)角與車輪轉(zhuǎn)角關(guān)系

由于主銷與車輪軸兩者剛性連接在一起，故主銷運(yùn)動(dòng)會(huì)精確傳遞給車輪。在圖4所示主銷軸線與車輪旋轉(zhuǎn)軸線的交點(diǎn)P建立與Oxyz平行的坐標(biāo)系PxLyLzL，PA是主銷軸線，PM0是車輛直行時(shí)的車輪軸線初始位置，點(diǎn)M0是車輪輪心。當(dāng)主銷轉(zhuǎn)過角θ時(shí)，輪心按其運(yùn)動(dòng)軌跡(輪心軌跡是圓心在主銷軸線上O1點(diǎn)的空間圓ζ)從點(diǎn)M0運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M，則車輪軸線矢量從PM0運(yùn)動(dòng)到PM，兩者在水平面上投影的夾角就是車輪轉(zhuǎn)角δ，即∠L0PL=δ。顯然PM0上的單位矢量為

pM0=(sinλτ,cosλ0cosλτ,-sinλ0cosλτ)T

(13)

λτ=arctan(cosλ0tanτ0)

式中，λ0、τ0分別為車輪外傾角和前束角；λτ為車輪軸線與其在yLzL平面上的投影間的夾角。

圖4 主銷轉(zhuǎn)動(dòng)與車輪轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系圖Fig.4 Relationship between kingpin and wheelaxis rotation

與式(4)～式(7)推導(dǎo)pB的過程類似，可以得到pM0在主銷轉(zhuǎn)動(dòng)后的單位矢量pM= (px,py,pz)T。pM各分量分別為(因pz與水平投影的轉(zhuǎn)角計(jì)算無(wú)關(guān)，故pz略)

(14)

χ=sinαβsinλτ+sin(α0+λ0)cosαβcosλτ

式中，χ為ω與pM0兩者之間夾角φ的余弦。

將pM0和pM投影到水平面，得到兩水平矢量分別為p0=(sinλτ,cosλ0cosλτ,0)T，p=(px,py,0)T，兩者之間的夾角即為車輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角：

(15)

文獻(xiàn)[17]等的研究中采用的是用“球面三角學(xué)”推導(dǎo)的車輪轉(zhuǎn)角求解模型(以下簡(jiǎn)稱“球面法”)，但這些文獻(xiàn)中的公式復(fù)雜，且沒有考慮前束的影響。不考慮前束影響(τ0=0)時(shí)，式(15)與“球面法”公式及文獻(xiàn)[18]幾何投影模型的數(shù)值計(jì)算結(jié)果完全一致。但式(15)考慮了前束影響，還可由車輪轉(zhuǎn)角δ反求主銷轉(zhuǎn)角θ，比球面法更為靈活方便，比幾何投影模型簡(jiǎn)單。

本文規(guī)定車輛的左、右輪轉(zhuǎn)向都是右轉(zhuǎn)為正，左轉(zhuǎn)為負(fù)，故不再區(qū)分內(nèi)輪、外輪。上述公式求出的δ值都可反映θ的轉(zhuǎn)動(dòng)方向。而用正負(fù)θ值代入“球面法”公式得到的只有正的δ值，即“球面法”不考慮轉(zhuǎn)向。

2 考慮間隙的傳力性能分析

在轉(zhuǎn)向過程中壓力角不能太大，故須進(jìn)行壓力角分析。顯然，B點(diǎn)速度方向垂直于AB和AP構(gòu)成的平面，其單位矢量

(16)

拉桿作用在梯形臂上力的方向沿拉桿中心線BC，故在B點(diǎn)壓力角余弦為

cosαB=(pB-pC)·vB/‖pB-pC‖

(17)

C點(diǎn)速度方向單位矢量vC=(0,1,0)T，故在C點(diǎn)的壓力角余弦為

cosαC=(pB-pC)·vC/‖pB-pC‖

(18)

顯然，兩壓力角計(jì)算公式都考慮了運(yùn)動(dòng)副徑向間隙及齒條傾斜的影響。

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 優(yōu)化目標(biāo)

設(shè)smax為齒條單側(cè)最大位移，則理想情況是在 -smax

cotδRd=cotδLd-K/L

(19)

式中，L為轉(zhuǎn)向車輪軸線與主銷軸線的交點(diǎn)到過轉(zhuǎn)向中心橫向豎直鉛垂面的距離；δLd、δRd分別為左右車輪理想轉(zhuǎn)角(未加下標(biāo)d的δL、δR表示按機(jī)構(gòu)模型計(jì)算獲得的車輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角)。

Ackermann型轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)并不能完全滿足上述理想轉(zhuǎn)向條件，通常取一側(cè)的車輪轉(zhuǎn)角作為理想輸入，另一側(cè)的車輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角與理想轉(zhuǎn)角之差的絕對(duì)值就作為轉(zhuǎn)向誤差，即

ΔR=|δR(δLd)-δRd(δLd)|

(20)

實(shí)際計(jì)算時(shí)，將齒條位移s及運(yùn)動(dòng)副徑向間隙ri(i=1,2,3)代入式(9)及式(11)，聯(lián)立求解得到左右主銷轉(zhuǎn)角θL、θR，再由式(15)求左右車輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角δL、δR，將求得的δL作為理想轉(zhuǎn)角δLd代入式(19)，得到的δRd即為右輪理想轉(zhuǎn)角，再用式(20)計(jì)算轉(zhuǎn)向誤差。

因轉(zhuǎn)角誤差直觀體現(xiàn)了轉(zhuǎn)向的差異性，所以本文用最大絕對(duì)誤差作為轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)質(zhì)量的評(píng)價(jià)指標(biāo)，優(yōu)化目標(biāo)就是使ΔR最大值最小。

3.2 優(yōu)化變量及約束條件

梯形底角、梯形臂長(zhǎng)、梯形臂沿主銷軸向偏移的長(zhǎng)度以及齒條中心點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)轉(zhuǎn)向性能和傳力性能影響比較大，故取以下5個(gè)參數(shù)作為優(yōu)化變量：

X=(x1,x2,x3,x4,x5)=(γ1,b1,c1,xD,zD)

這5個(gè)參數(shù)根據(jù)空間限制設(shè)定最大最小值，作為變量的上下限，表示為xiLB≤xi≤xiUB(i=1，2，…，5)。

為保證傳力性能，要求限制B、C兩點(diǎn)的壓力角不超過許用值[αB]、[αC]，且一般[αC]<[αB]。另外，還須限制車輪的最小轉(zhuǎn)彎半徑，或者最小的最大轉(zhuǎn)向角，否則，優(yōu)化時(shí)可能滿足了給定的優(yōu)化參數(shù)范圍及傳動(dòng)壓力角要求，但同時(shí)卻減小了最大轉(zhuǎn)向角，使原有的最小轉(zhuǎn)彎半徑增大。因左右輪轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)關(guān)系可根據(jù)式(19)算出，故可只規(guī)定：當(dāng)齒條運(yùn)動(dòng)到極限位置時(shí)左輪右轉(zhuǎn)最大轉(zhuǎn)角大于指定值。即約束條件為

(21)

因此，轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)就是在給定變量范圍和約束條件下，含運(yùn)動(dòng)副間隙轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的最大轉(zhuǎn)向誤差絕對(duì)值最小，即優(yōu)化模型為

minf(X)=min maxΔR
xiLB≤xi≤xiUBi=1,2,…，5
s.t.gj(X) ≤0j=1，2，3

4 實(shí)例分析

樣車轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)參數(shù)如表1所示，運(yùn)動(dòng)副間隙(假設(shè)r1=r2=r3=ri)見表2。按表2“車輛循環(huán)運(yùn)動(dòng)過程”的一個(gè)往返周期分析運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)車輛轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)的影響，并優(yōu)化機(jī)構(gòu)。

表1 車輛基本特性參數(shù)

表2 運(yùn)動(dòng)副間隙

無(wú)間隙(表2的C0)和運(yùn)動(dòng)副徑向間隙ri=1 mm(C1)的左右車輪機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角隨齒條位移s的變化情況分別見圖5、圖6，C0、C1、C2及C3四種間隙情形下右輪轉(zhuǎn)向誤差絕對(duì)值變化情況見圖7。由圖5～圖7可知：

圖5 左輪轉(zhuǎn)角隨齒條位移變化情況Fig.5 Change of left wheel steering angle withrack displacement

圖6 右輪轉(zhuǎn)角隨齒條位移變化情況Fig.6 Change of right wheel steering angle withrack displacement

圖7 不同間隙下右輪轉(zhuǎn)向誤差曲線Fig.7 Steering error curves of right wheel underdifferent clearances

(1)運(yùn)動(dòng)副徑向間隙和齒條傾斜對(duì)車輛轉(zhuǎn)向誤差都有比較大的影響，兩者的共同作用也會(huì)增大轉(zhuǎn)向誤差，但不是直接疊加，如：C3綜合考慮了徑向間隙(C1)和齒條傾斜(C2)的影響，但其轉(zhuǎn)向誤差并不是兩者的直接疊加。

(2)有間隙時(shí)，在齒條位移s=0的零點(diǎn)位置，轉(zhuǎn)向誤差不等于0。從直行狀態(tài)開始轉(zhuǎn)彎的瞬間，這里假設(shè)各運(yùn)動(dòng)副銷與孔中心重合，齒條沒傾斜，故ΔR=0；但當(dāng)車輛回正(齒條位移s絕對(duì)值增大時(shí)為正轉(zhuǎn)，s絕對(duì)值縮小時(shí)為回正)到中位s=0時(shí)，因假設(shè)拉桿是保持原有受拉或受壓狀態(tài)到達(dá)s=0的位置點(diǎn)，即各運(yùn)動(dòng)副銷與孔仍保持回正時(shí)的偏心和齒條傾斜狀態(tài)，故左右輪都沒有回到零轉(zhuǎn)角位置，ΔR≠0。圖5、圖6中，開始仿真實(shí)驗(yàn)時(shí)左右轉(zhuǎn)角是從0°開始，并且因?yàn)殚g隙而有一小段水平線；但回正到s=0時(shí)，左右轉(zhuǎn)角不等于0°。當(dāng)然，在接近s=0時(shí)，實(shí)際的運(yùn)動(dòng)副兩元素接觸點(diǎn)可能會(huì)受外力干擾不斷變化，車輪有微小擺動(dòng)，ΔR也會(huì)波動(dòng)。

(3)回正瞬間，轉(zhuǎn)向誤差變化比較大。這是由于在回正開始后，轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)兩側(cè)各運(yùn)動(dòng)副兩元素重新開始接觸的時(shí)間不同步造成的。例如，回正開始或者說齒條開始換向移動(dòng)后，在不考慮干擾的情況下，轉(zhuǎn)向桿系中各運(yùn)動(dòng)副中的銷、孔之間先要脫離接觸，在調(diào)整相互位置并在新位置接觸前，兩側(cè)車輪不隨齒條移動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)，所以圖5、圖6 中C1曲線的兩端(也就是齒條移動(dòng)方向改變時(shí))各有一段水平線。隨后齒條移動(dòng)到某個(gè)臨界位置slim1時(shí)，左側(cè)桿系各運(yùn)動(dòng)副兩元素在新接觸點(diǎn)接觸，左車輪開始隨齒條轉(zhuǎn)動(dòng)，但此時(shí)右側(cè)桿系各運(yùn)動(dòng)副兩元素可能還沒全部相互接觸，也就是右側(cè)車輪沒開始轉(zhuǎn)動(dòng)，要齒條繼續(xù)移動(dòng)到第2個(gè)臨界點(diǎn)位置slim2時(shí)，右側(cè)桿系各運(yùn)動(dòng)副兩元素也重新接觸，右側(cè)車輪才隨齒條運(yùn)動(dòng)而轉(zhuǎn)動(dòng)。在右輪轉(zhuǎn)動(dòng)前，按已經(jīng)變化的左輪轉(zhuǎn)角δL用式(19)計(jì)算得到變化的右輪理想轉(zhuǎn)角δRd，再與不動(dòng)的右輪轉(zhuǎn)角δR一起代入式(20)計(jì)算轉(zhuǎn)向誤差ΔR，當(dāng)然就會(huì)發(fā)生圖7所示的各曲線兩側(cè)回正開始位置的劇烈變化，說明在最大轉(zhuǎn)角處換向輪胎磨損最嚴(yán)重。

(4)正轉(zhuǎn)與回正的轉(zhuǎn)向誤差曲線不重合。正向轉(zhuǎn)向時(shí)有間隙的轉(zhuǎn)向誤差一般比沒有間隙的轉(zhuǎn)向誤差小，而且可能出現(xiàn)5個(gè)精確點(diǎn)運(yùn)動(dòng)(見C1、C3)；回正時(shí)轉(zhuǎn)向誤差比正轉(zhuǎn)大。這對(duì)不是單向連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)而是往返擺動(dòng)的轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)具有重要提示，即：考慮間隙設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)當(dāng)在一個(gè)往返運(yùn)動(dòng)周期上分析間隙對(duì)轉(zhuǎn)向誤差的影響。

(5)間隙會(huì)影響車輛的原有最小轉(zhuǎn)彎半徑。存在運(yùn)動(dòng)副間隙的情況下，在相同最大齒條移動(dòng)位移下，車輛的最大轉(zhuǎn)角減小。設(shè)各運(yùn)動(dòng)間隙曲線的最大對(duì)應(yīng)橫坐標(biāo)為δLmax，表3中有間隙情況下δLmax值明顯減小表明，運(yùn)動(dòng)副間隙增大會(huì)使車輛的原有最小轉(zhuǎn)彎半徑增大，影響了車輛的原有轉(zhuǎn)向性能和穩(wěn)定性。

表3 間隙影響比較

(6)間隙影響壓力角。從圖8拉桿B、C端的壓力角變化情況可知，存在間隙時(shí)C點(diǎn)壓力角變化不大，B點(diǎn)壓力角變化稍大，且其最大壓力角稍微減小。但與其壓力角數(shù)值相比，間隙帶來(lái)的壓力角變化小，故對(duì)傳力性能影響較小。

圖8 桿系壓力角變化情況Fig.8 Variations of pressure angles of the linkages

(7)拉桿彈性變形引起的轉(zhuǎn)向誤差變化可以忽略不計(jì)。本文中拉桿材料采用45鋼，拉桿直徑為20 mm，轉(zhuǎn)向阻力矩比較小，引起的彈性變形e約在0.53～1.2 μm之間變化，它引起的轉(zhuǎn)向誤差變化小于0.003°。對(duì)于重型卡車，轉(zhuǎn)向桿系的彈性變形會(huì)對(duì)轉(zhuǎn)向產(chǎn)生比較大的影響。

另外，圖7中正的左輪轉(zhuǎn)角對(duì)應(yīng)的是外輪轉(zhuǎn)角，負(fù)的左輪轉(zhuǎn)角實(shí)際對(duì)應(yīng)的是內(nèi)輪轉(zhuǎn)角。從圖7中可以看出，內(nèi)輪轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差要小于外輪轉(zhuǎn)角。對(duì)于單軸轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)，可以僅在[0,+smax]范圍內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，以減少計(jì)算時(shí)間。

按表4的參數(shù)范圍及左輪最大轉(zhuǎn)角下限[δL](這里只限制無(wú)間隙狀態(tài)的最大轉(zhuǎn)角大于[δL])和表1的許用壓力角[αB]、[αC]，用運(yùn)動(dòng)副徑向間隙r1=r2=r3=0.5 mm、齒條傾斜η=0.25°優(yōu)化該機(jī)構(gòu)，獲得參數(shù)優(yōu)化值見表4最右欄。在表2相同間隙條件下，獲得的轉(zhuǎn)向誤差隨左輪轉(zhuǎn)角的變化曲線見圖9，優(yōu)化前后各間隙下的δLmax及最大轉(zhuǎn)向誤差對(duì)比見表3。

表4 優(yōu)化參數(shù)上下限及優(yōu)化結(jié)果

圖9 優(yōu)化后不同間隙下轉(zhuǎn)向誤差曲線Fig.9 Steering error curves with different clearancesafter optimization

對(duì)比圖7與圖9(或表3)可見，優(yōu)化后，C0在比較大的范圍內(nèi)ΔR≤0.5°；C1、C2及C3在比較大的轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)ΔR<1°，特別是C3間隙下，ΔR下降明顯，表明機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)穩(wěn)健性得到了提高。當(dāng)然，優(yōu)化后各間隙下對(duì)應(yīng)的δLmax減小約1.2°～1.7°，對(duì)原有最小轉(zhuǎn)彎半徑有一定影響。

5 結(jié)論

(1)通過將不同位置的運(yùn)動(dòng)副徑向間隙用間隙桿和變長(zhǎng)桿來(lái)代替，利用螺旋理論推導(dǎo)了齒輪齒條轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)空間運(yùn)動(dòng)方程和由梯形臂繞主銷轉(zhuǎn)角計(jì)算車輪轉(zhuǎn)角理論公式，研究了運(yùn)動(dòng)副間隙對(duì)轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)的影響，所提出的模型具有較少的運(yùn)動(dòng)方程和未知變量，求解方程方便快捷。

(2)齒輪齒條轉(zhuǎn)向器可能因制造、磨損等因素使得齒條存在微量擺動(dòng)而傾斜。齒條傾斜方向與拉桿受力有關(guān)，受壓拉桿推開齒條，而受拉拉桿拉近齒條，左右兩側(cè)共同作用使齒條輕微傾斜并隨換向操作而改變傾斜方向。

(3)存在運(yùn)動(dòng)副徑向間隙或齒條傾斜的情況下，在相同最大齒條移動(dòng)位移下，運(yùn)動(dòng)副徑向間隙或齒條傾斜的增大會(huì)使車輛的最小轉(zhuǎn)彎半徑增大，因此，如果要保證車輛的最小轉(zhuǎn)彎半徑，則應(yīng)在優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)施加最小轉(zhuǎn)彎半徑約束。

(4)運(yùn)動(dòng)副徑向間隙和齒條傾斜都會(huì)增大轉(zhuǎn)向誤差，且正向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)有間隙的轉(zhuǎn)向誤差反而比沒有間隙的轉(zhuǎn)向誤差小，回正時(shí)轉(zhuǎn)向誤差比沒有間隙的轉(zhuǎn)向誤差大，因此，應(yīng)以往返的轉(zhuǎn)向誤差最小化來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)。另外，連續(xù)移動(dòng)齒條，銷-孔保持連續(xù)接觸，轉(zhuǎn)向誤差變化平穩(wěn)連續(xù)；換向操作時(shí)會(huì)產(chǎn)生短暫銷-孔脫離接觸，存在比較大的轉(zhuǎn)向誤差波動(dòng)，輪胎磨損嚴(yán)重；在齒條位置回歸中位時(shí)也仍然存在轉(zhuǎn)向誤差。

(5)對(duì)于中小型車輛，因傳遞的轉(zhuǎn)向阻力矩比較小，拉桿彈性變形小，引起相應(yīng)的轉(zhuǎn)向誤差變化可以忽略不計(jì)。