張 浩，彭 克，劉盈杞，姜淞瀚

（山東理工大學 電氣與電子工程學院，山東 淄博255000）

0 引言

隨著可再生分布式能源、電力電子設(shè)備的不斷增加，傳統(tǒng)的交流配電系統(tǒng)在電能質(zhì)量、傳輸容量及系統(tǒng)穩(wěn)定性等方面的劣勢日益明顯，相比而言，柔性直流配電系統(tǒng)具有提高新能源利用率、降低成本等優(yōu)點，在未來電網(wǎng)中將發(fā)揮巨大作用［1-4］。模塊化多電平換流器（MMC）已在柔性直流輸電系統(tǒng)中得到廣泛研究并成功應(yīng)用，其拓展性好、波形質(zhì)量高、損耗低等優(yōu)點使MMC 在柔性直流配電系統(tǒng)中具有良好的應(yīng)用前景［5-6］。

高比例電力電子設(shè)備接入電網(wǎng)使得系統(tǒng)易產(chǎn)生振蕩，其中低頻振蕩問題嚴重威脅系統(tǒng)的安全穩(wěn)定運行［7-8］。針對低頻振蕩問題，國內(nèi)外學者開展了研究并取得了一定的進展。文獻［9］對低壓直流配電系統(tǒng)單母線的諧振機理進行了分析，指出換流器與恒功率負荷級聯(lián)，產(chǎn)生負阻抗會導(dǎo)致低頻振蕩現(xiàn)象。文獻［10］指出在風電換流器、柔性直流換流器及其控制環(huán)節(jié)存在耦合作用會引起系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)定性問題，通過建立系統(tǒng)單輸入單輸出模型，研究發(fā)現(xiàn)當風電場輸出功率達到額定功率時，互聯(lián)系統(tǒng)存在低頻振蕩失穩(wěn)風險。文獻［11］在直流電壓時間尺度下，基于運動方程建立了MMC 的小信號模型，通過特征值分析研究了影響系統(tǒng)低頻振蕩的因素。文獻［12］研究了柔性直流電網(wǎng)與系統(tǒng)互聯(lián)時的振蕩模態(tài)，指出可以通過調(diào)節(jié)柔性直流系統(tǒng)各換流站的有功功率抑制交流系統(tǒng)的低頻振蕩。文獻［13］通過建立包含整流器、逆變器及其控制的阻抗模型，研究了柔性直流輸電系統(tǒng)直流低頻振蕩現(xiàn)象，研究表明直流線路電容的大小對系統(tǒng)低頻振蕩影響較大，而與交流系統(tǒng)不同的是傳輸功率的等級對系統(tǒng)低頻振蕩影響較小。目前，學者們大多通過建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程，利用特征值分析法進行分析或者將系統(tǒng)等效成電阻、電容和電感串并聯(lián)的阻抗模型，利用阻抗分析法研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

上述文獻大多聚焦于討論系統(tǒng)是否穩(wěn)定，而較少研究振蕩機理，尤其是在時域角度下對低頻振蕩機理研究得較少。針對以上問題，本文用時域解析法建立了基于MMC 的柔性直流配電系統(tǒng)的高階數(shù)學模型，通過引入阻抗系數(shù)，分析其低頻段的幅頻特性實現(xiàn)了數(shù)學模型的降階，獲取了系統(tǒng)降階模型的解析式，分析了子模塊（SM）電容、子模塊個數(shù)等關(guān)鍵參數(shù)與振蕩頻率之間的關(guān)系，最后通過仿真驗證了理論分析的正確性。

1 系統(tǒng)模型

1.1 MMC簡化模型

直流配電系統(tǒng)具有節(jié)點多、潮流復(fù)雜的特點，與下垂控制相比，采用主從控制策略更易實現(xiàn)直流母線電壓的穩(wěn)定。目前，柔性直流示范工程如上海南匯柔性直流工程、張北直流電網(wǎng)示范性工程、舟山多端柔性直流工程等均采用主從控制，因此本文中也采用主從控制策略。主站采用定直流電壓控制，定直流電壓控制單元由直流電壓外環(huán)控制、交流電流內(nèi)環(huán)控制及環(huán)流控制構(gòu)成，起到維持公共直流母線電壓穩(wěn)定的作用；從站采用定功率控制，起到保證傳輸功率平衡的作用，其對外呈現(xiàn)負阻性［14］。

本文所研究的系統(tǒng)簡化模型如圖1所示，負荷以級聯(lián)的形式通過公共直流母線實現(xiàn)與換流器的互聯(lián)。圖中，usa、usb和usc為交流電源三相電壓；Lac為交流線路等效電感；iodc為流入負荷的直流電流；ikp、ikn分別為k（k=a，b，c）相上、下橋臂電流；N為單個橋臂中子模塊級聯(lián)數(shù)目；Rs、Ls分別為橋臂等效電阻、電感；Udc為直流電壓。

圖1 柔性直流配電系統(tǒng)簡化模型Fig.1 Simplified model of flexible DC distribution system

MMC 的內(nèi)部動態(tài)過程十分復(fù)雜，而研究整個系統(tǒng)的穩(wěn)定性時不需要分析換流器內(nèi)部動態(tài)特性，只需要考慮MMC 模塊對于換流器所連接網(wǎng)絡(luò)的外特性［15］，因此采用平均值建模的方法［16］，可以得出MMC直流電壓的表達式為：

其中，ukp、ukn分別為k相上、下橋臂電壓。

MMC 每相有2N個子模塊，正常工作時投入的子模塊數(shù)為N。采用電容電壓均衡算法，可以認為各子模塊電容電壓均衡良好。在考慮橋臂等效電阻與電感的情況下，從換流器直流端口得到等效模型如附錄中圖A1 所示。文獻［17］采用圖A1 所示的模型以張北直流示范工程為例分析了影響系統(tǒng)穩(wěn)定性的因素。

目前，有學者依據(jù)電力電子設(shè)備控制器的響應(yīng)速度對系統(tǒng)存在的多時間尺度進行了劃分，可分為機電時間尺度、直流電壓時間尺度和交流電流時間尺度［18］。其中，由機械轉(zhuǎn)子、無功功率引起的振蕩問題屬于機電時間尺度；由直流電壓、端電壓引起的振蕩問題屬于直流電壓時間尺度；由電流控制器引起的振蕩問題屬于交流電流時間尺度。根據(jù)以上時間尺度的劃分可以大幅簡化所研究的動態(tài)問題。在經(jīng)典的矢量控制中，MMC 主要包含直流電壓時間尺度（振蕩頻率在10 Hz 左右）和交流電流時間尺度（振蕩頻率在100 Hz 左右），本文研究的是在直流電壓時間尺度下的低頻振蕩問題，可以認為在交流電流時間尺度下較快的控制過程已經(jīng)完成指令跟蹤。同時對于MMC 而言，為了改善輸出波形，還會增加環(huán)流抑制控制器，環(huán)流抑制控制器同屬于交流電流時間尺度［19］，因此可以將其忽略。鎖相環(huán)的主要作用為動態(tài)獲取交流側(cè)電壓、電流相位信息，實現(xiàn)網(wǎng)側(cè)有功、無功功率控制，而本文主要針對直流側(cè)部分進行研究，且由于忽略電流內(nèi)環(huán)動態(tài)變量，故鎖相環(huán)部分的動態(tài)過程對于本文的研究并無影響。依據(jù)上述分析可以建立系統(tǒng)的控制框圖如附錄中圖A2所示。

1.2 負荷模型

在柔性直流配電系統(tǒng)中，大部分直流負荷、分布式電源、基于電力電子裝置的接口都具有恒功率特性［20］，可將其視為通用恒功率負荷（G-CPL），其模型如附錄中圖A3所示。

1.3 柔性直流配電系統(tǒng)等效模型

一般地，橋臂電阻值較小，可以近似認為Rs的值為0，將橋臂等效電感外移，即將MMC 等效電容電壓作為直流電壓的反饋點，通過附錄中圖A1和圖A3 可以得到柔性直流配電系統(tǒng)的等效模型如圖2所示。圖中，id為換流器等效輸出直流電流；Ceq為等效電容，即Ceq=6C/N，C為子模塊電容值；R為線路等效電阻；L為橋臂等效電感與線路等效電感之和；R1和C1分別為G-CPL等效電阻和電容。

圖2 柔性直流配電系統(tǒng)等效模型Fig.2 Equivalent model of flexible DC distribution system

2 系統(tǒng)降階數(shù)學模型

2.1 數(shù)學模型的建立

根據(jù)所建立的柔性直流配電系統(tǒng)等效模型及其控制框圖，可以得到如下表達式：

其中，Udcref為直流電壓參考值；kp和ki分別為電壓外環(huán)的比例系數(shù)和積分系數(shù)；μ為換流器輸入輸出電壓變換系數(shù)；s為拉普拉斯算子。

聯(lián)立式（2）—（6）可以得到關(guān)于直流電壓Udc的方程為：

其中，t1、t2為積分時間。由于式（7）中含有一重積分項，所以對該式求一階導(dǎo)數(shù)，由此得到關(guān)于直流電壓Udc的四階微分方程，如式（8）所示。

根據(jù)四階微分方程獲得的振蕩頻率解析式非常復(fù)雜，使得振蕩頻率計算十分困難，且難以對關(guān)鍵參數(shù)與振蕩頻率之間的關(guān)系進行討論，下面考慮對系統(tǒng)模型進行降階。

2.2 降階數(shù)學模型

在負荷側(cè)引入阻抗系數(shù)［21］，令其為α（s），并進行如圖3所示的變換，阻抗系數(shù)α（s）為：

圖3 引入α（s）的G-CPL等效模型Fig.3 G-CPL equivalent model with α（s）

對α（s）的幅頻特性進行分析，如圖4 所示。不難得到在低頻段（即直流電壓時間尺度）可以將α（s）近似等效為1，即線路阻抗、橋臂電感以及G-CPL 單元的電容對低頻振蕩的影響很小，可以忽略。需要說明的是，這在后續(xù)的仿真算例中進行了驗證。

圖4 α（s）幅頻特性Fig.4 Amplitude-frequency characteristics of α（s）

根據(jù)上述分析可以將柔性直流配電系統(tǒng)的等效模型進行進一步化簡，得到如圖5 所示的簡化模型。圖中，Csum為換流器等效電容與G-CPL電容并聯(lián)后的等效電容，即Csum=C1+6C/N。從而使關(guān)于直流電壓Udc的微分方程實現(xiàn)降階，便于進行理論分析。

圖5 柔性直流配電系統(tǒng)的降階模型Fig.5 Reduced-order model of flexible DC distribution system

根據(jù)柔性直流配電系統(tǒng)的降階模型和所構(gòu)建的控制框圖可以得到關(guān)于直流電壓Udc的二階微分方程如式（10）所示。

振蕩頻率ω與所構(gòu)建特征方程共軛復(fù)根的虛部有關(guān)，當判別式Δ=b2-4ac<0 時，特征方程有1 對共軛復(fù)根并發(fā)生振蕩現(xiàn)象，得到振蕩頻率ω的表達式如式（13）所示。

3 低頻振蕩機理分析

根據(jù)第2 節(jié)分析得到的振蕩頻率ω的表達式，進一步得到其解析式如式（14）所示，下面對其解析式中的參數(shù)進行定量分析研究。

根據(jù)式（14）繪出各關(guān)鍵參數(shù)對系統(tǒng)振蕩頻率的影響曲線如附錄中圖A4 所示。柔性直流配電系統(tǒng)源側(cè)、負荷側(cè)基本參數(shù)分別如附錄中表A1 和表A2所示。

3.1 子模塊電容值對振蕩頻率的影響

以C為自變量，根據(jù)振蕩頻率的解析式（式（14）），通過其偏導(dǎo)數(shù)ω′C的正負分析振蕩頻率與子模塊電容值之間的關(guān)系。決定兩者關(guān)系的關(guān)鍵方程如式（15）所示。

不難看出式（15）中的分子為關(guān)于C的一次方程，分母為關(guān)于C的三次方程?？紤]到C的實際意義，可以得到C>0。在此區(qū)間內(nèi)，依據(jù)附錄中表A1與表A2 的數(shù)據(jù)可判斷ω′C的值為負，因此可以得到低頻振蕩頻率與子模塊電容成負相關(guān)。從附錄中圖A4（a）還可以得到，低頻振蕩頻率變化幅度隨子模塊電容值的增大而減小。

3.2 子模塊個數(shù)對振蕩頻率的影響

類似地，以N為自變量，根據(jù)振蕩頻率的解析式（式（14）），通過其偏導(dǎo)數(shù)ω′N的正負分析振蕩頻率與子模塊個數(shù)之間的關(guān)系。決定兩者關(guān)系的關(guān)鍵方程式如式（16）所示。

不難得到式（16）由關(guān)于N的一次方程和三次方程組合而成?？紤]到N的實際意義，可以得到N>0。在此區(qū)間內(nèi)，依據(jù)附錄中表A1 與表A2 的數(shù)據(jù)可判斷ω′N的值為正，因此可以得到低頻振蕩頻率與子模塊個數(shù)成正相關(guān)。同時從附錄中圖A4（b）還可以得到，當子模塊個數(shù)逐漸增加時，低頻振蕩頻率變化速度減小。

3.3 外環(huán)比例系數(shù)對振蕩頻率的影響

當振蕩頻率取得極值點時，外環(huán)比例系數(shù)k?p為：

3.4 外環(huán)積分系數(shù)對振蕩頻率影響

同理，當外環(huán)積分系數(shù)滿足式（18）時，低頻振蕩頻率與外環(huán)積分系數(shù)成正相關(guān)。

為驗證式（18）的正確性，將附錄中表A1 與表A2 的數(shù)據(jù)代入可得到當ki>0.570 7 時，外環(huán)積分系數(shù)與低頻振蕩頻率成正相關(guān)，且由附錄中圖A4（d）還可以得到，當外環(huán)積分系數(shù)不斷增大時，低頻振蕩頻率增大的幅度不斷減小。

4 仿真驗證

為驗證本文所分析相關(guān)參數(shù)與振蕩頻率之間關(guān)系的正確性，在MATLAB／Simulink 中搭建了如圖1所示的柔性直流配電系統(tǒng)電磁暫態(tài)模型，換流器采用直流電壓外環(huán)、交流電流內(nèi)環(huán)控制的控制策略。

4.1 降階仿真驗證

分別改變初始狀態(tài)下的直流線路電阻和電感、G-CPL 等效電容以及橋臂等效電感的取值，與初始參數(shù)下直流電壓振蕩情況進行對比，仿真結(jié)果如圖6和附錄中圖A5所示。

圖6 變C1與Ls下的直流電壓仿真波形Fig.6 Simulative waveforms of DC voltage with variation of C1 and Ls

由圖6 和圖A5 可知，改變直流線路電阻和電感、G-CPL 等效電容以及橋臂等效電感后，系統(tǒng)的振蕩頻率幾乎沒有發(fā)生變化，即上述參數(shù)對系統(tǒng)振蕩頻率的影響較小，從而驗證了降階的正確性。

4.2 算例驗證

（1）子模塊電容對振蕩頻率的影響。

令其余參數(shù)不變，子模塊電容值C分別取3000、4 000、5 000 μF 時直流電壓的振蕩情況如圖7 所示。圖中，T為振蕩周期。

圖7 變C下的直流電壓仿真波形Fig.7 Simulative waveforms of DC voltage with variation of C

由圖7 可知，隨著子模塊電容的增大，其振蕩周期隨之增大，仿真結(jié)果與理論分析結(jié)果一致，驗證了式（15）的正確性。分別給出振蕩頻率仿真值和計算值，如表1 所示?？梢缘玫絻烧哒`差很小，同樣證明了式（14）的正確性。

表1 變C下的振蕩頻率對比Table 1 Comparison of oscillation frequency with variation of C

（2）子模塊個數(shù)對振蕩頻率的影響。

令其余參數(shù)不變，分別搭建五電平、七電平和九電平電磁暫態(tài)仿真模型，得到直流電壓的振蕩情況如圖8所示。

圖8 變N下的直流電壓仿真波形Fig.8 Simulative waveforms of DC voltage with variation of N

由圖8 可以得到，隨著子模塊個數(shù)的增大，其直流電壓振蕩周期隨之減小，與理論分析結(jié)果一致，驗證了式（16）的正確性。分別給出振蕩頻率仿真值和計算值，如附錄中表A3 所示，可以得到兩者誤差很小，同樣證明了式（14）的正確性。

（3）外環(huán)比例系數(shù)對振蕩頻率的影響。

令其余參數(shù)不變，外環(huán)比例系數(shù)kp分別取0.05、0.15、0.25時直流電壓的振蕩情況如圖9所示。

圖9 變kp下的直流電壓仿真波形Fig.9 Simulative waveforms of DC voltage with variation of kp

由圖9 可知，隨著外環(huán)比例系數(shù)的增大，其振蕩周期隨之增大，且變化越快，與理論分析結(jié)果一致，驗證了式（17）的正確性。分別給出振蕩頻率仿真值和計算值，如附錄中表A4 所示，可以得到兩者誤差很小，同樣證明了式（14）的正確性。

（4）外環(huán)積分系數(shù)對振蕩頻率的影響。

令其余參數(shù)不變，外環(huán)積分系數(shù)ki分別取4、10、16時直流電壓的振蕩情況如圖10所示。

圖10 變ki下的直流電壓仿真波形Fig.10 Simulative waveforms of DC voltage with variation of ki

由圖10 可知，隨著外環(huán)積分系數(shù)的增大，其振蕩周期隨之減小，驗證了式（18）的正確性。分別給出仿真振蕩頻率仿真值和計算值，如附錄中表A5所示，可以得到兩者誤差很小，同樣證明了式（14）的正確性。

5 結(jié)論

本文從時域角度出發(fā)，建立了基于MMC 的柔性直流配電系統(tǒng)的數(shù)學模型，實現(xiàn)了數(shù)學模型的降階，基于降階數(shù)學模型探究了關(guān)鍵參數(shù)對系統(tǒng)低頻振蕩的作用規(guī)律，得到如下結(jié)論：

（1）電壓外環(huán)控制參數(shù)對系統(tǒng)低頻振蕩頻率影響較大，其中比例系數(shù)與低頻振蕩頻率成負相關(guān)，積分系數(shù)與低頻振蕩頻率成正相關(guān)；

（2）MMC 子模塊電容值對低頻振蕩頻率影響較大，且與低頻振蕩頻率成負相關(guān)；

（3）子模塊個數(shù)對低頻振蕩頻率影響較大，且與低頻振蕩頻率成正相關(guān)；

（4）直流線路阻抗、橋臂電感及G-CPL等效電容對低頻振蕩頻率影響較小。

根據(jù)本文所建立的解析方程可以更加直觀地得到關(guān)鍵參數(shù)與系統(tǒng)振蕩頻率之間的關(guān)系，同時對于系統(tǒng)電氣參數(shù)與控制參數(shù)的選擇有一定的參考價值。

附錄見本刊網(wǎng)絡(luò)版（http：//www.epae.cn）。