謝 瑾

（蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 730100）

數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像處理方面的基本原理是將圖像當做一個集合，以某種形狀的結(jié)構(gòu)因子與圖像加以求補、移位、交、并的集合運算，不同的集合運算形成了不同形態(tài)的數(shù)學(xué)運算結(jié)果[1-2]。數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像處理中可以分為二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和灰度數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)，二值數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)處理圖像的原理是數(shù)學(xué)集合的交與并的運算，而灰度數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)主要關(guān)注極大值與極小值的運算。

1 灰度數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)在圖像運算中的腐蝕與膨脹

假設(shè)原灰度圖像為 f（x，y），結(jié)構(gòu)元素為 b（x，y），其中整數(shù)集合為 Z，另設(shè) （x，y）為 Z×Z 中的元素，則 f（x，y），b（x，y）分別為圖像及結(jié)構(gòu)元素位于（x，y）的灰度值。

定義 1結(jié)構(gòu)元素 b（x，y）對原灰度圖像 f（x，y）的形態(tài)學(xué)腐蝕用f?b 表示為

式中：Df與Db分別表示 f（x，y），b（x，y）的定義域。

所謂腐蝕，即腐蝕變換，指的是在結(jié)構(gòu)元素確定的鄰域塊中選取圖像值和結(jié)構(gòu)元素值進行減運算得到的最小值。

定義 2將結(jié)構(gòu)元素 b（x，y）對原灰度圖像 f（x，y）的數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)膨脹描述用f⊙b 表示為

式中：Df與Db分別表示 f（x，y），b（x，y）的定義域。

根據(jù)腐蝕的含義，腐蝕變換是在結(jié)構(gòu)元素確定的鄰域塊中選取圖像值和結(jié)構(gòu)元素值進行減運算得到的最大值?；叶葓D像的腐蝕與膨脹變換對比，見圖1。

圖1 灰度圖像的腐蝕與膨脹變換對比圖

選取3×3 的結(jié)構(gòu)元素，對原灰度圖像分別進行腐蝕和膨脹運算，從圖1-b 能夠明顯得到腐蝕變換加深了圖像整體暗度的結(jié)論，同時使圖像的邊緣更加細膩；從圖1-c 能夠得到膨脹變換對圖像處理結(jié)果與腐蝕變換相反的結(jié)論[3-4]。

2 對多尺度灰度圖像增強算法分析

灰度數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)變換的原理，即從原輸入圖像中所得的差進行開運算，得到的圖像能夠表現(xiàn)出某些明顯的特征，本文根據(jù)所選圖像將此變換定義為Lady-Hat （LH）增強變換，可以表示為

式中：b表示結(jié)構(gòu)元素；f表示原輸入圖像。進行開運算的目的是盡量過濾掉小于結(jié)構(gòu)元素尺寸的高亮部分。利用式 （3）獲取圖像中的峰值信號，因此也可以把式 （3）叫做亮Lady-Hat （HLH）增強變換，主要作用是可以獲取圖像中小于結(jié)構(gòu)元素尺寸的亮特征。除此之外，還可將式 （3）定義算子的對偶算子表示為

閉運算可以過濾掉小于結(jié)構(gòu)元素尺寸的灰暗點，利用式 （4）獲取圖像中的波谷信號，把式（4）叫做暗Lady-Hat （LLH）增強變換，主要作用是可以獲取圖像中小于結(jié)構(gòu)元素尺寸的暗特征。

Bai X Z 等[5]將多尺度分析應(yīng)用于圖像的銳化增強處理中，采用的思路是先選擇特定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素基于Lady-Hat 增強變換提取圖像中的亮、暗詳細特征，分別對亮、暗詳細特征進行增強運算，再將分開得到的結(jié)果結(jié)合，重新構(gòu)成符合原灰度圖像結(jié)構(gòu)的增強圖像，其運算原理表示為

式中：g 為增強變換之后的最終圖像；f 為原輸入圖像；i 為尺度。這種圖像增強變換方式會對圖像產(chǎn)生增強效果，但是考慮到結(jié)構(gòu)元素的尺度以及灰度圖像的多尺度問題，仍可以對算法進行優(yōu)化。在灰度數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的變換中，在結(jié)構(gòu)元素的選擇上如果尺度過小，在圖像的變換中可能產(chǎn)生多余噪聲；相對應(yīng)的，如果尺度過大，又會導(dǎo)致在圖像變換中必要細節(jié)的缺失，邊緣變得模糊。避免以上問題的關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)元素的尺度選擇要合理，選擇多尺度的結(jié)構(gòu)元素可以有效地解決以上問題，多尺度結(jié)構(gòu)元素可以表示為

式中：b0表示小尺度結(jié)構(gòu)元素；n 表示膨脹次數(shù)。則較大尺度的結(jié)構(gòu)元素可以由小尺度的結(jié)構(gòu)元素經(jīng)過（n-1）次膨脹獲取。把多尺度的思路應(yīng)用到Lady-Hat 增強變換中去，于是獲取了多尺度Lady-Hat 增強變換算法。HLH 增強變換的表達式為

LLH 增強變換的表達式為

根據(jù)式 （7）和式 （8）能夠獲取原輸入圖像不同尺度下的亮部與暗部的詳細特征。圖2 為示例圖像的多尺度Lady-Hat 增強變換下獲取的詳細特征。

圖2 多尺度增強變換詳細特征對比圖

隨著尺度i 數(shù)值的增大，結(jié)構(gòu)元素的尺寸隨之增加，從得到圖像的結(jié)果能夠看出獲取到的小尺度的圖像細節(jié)特征逐漸增多，冗余也越來越明顯。如果能夠得到不同尺度下的有效細節(jié)特征，進而提出冗余得到優(yōu)化的細節(jié)特征[6]，提煉算法表示為

圖3 為根據(jù)式 （9）和式 （10）為示例圖像的多尺度Lady-Hat 無冗余下獲取的詳細特征。

圖3 多尺度無冗余詳細特征對比圖

在最大尺度為n 時可以按照式 （9）和式 （10）對原灰度圖像做Lady-Hat 增強變換，同時獲取多尺度的有效亮部和暗部的詳細特征，具體表示為

在獲取原灰度圖像的亮部及暗部詳細信息后就可以對圖像進行重構(gòu)計算，達到圖像增強的目的。圖像的詳細特征載體主要是像素以及其區(qū)域背景的對比度，要想實現(xiàn)圖像的增強，要對圖像的亮部和暗部細節(jié)以相同的比重構(gòu)建[7]，在本算法中主要體現(xiàn)在相同尺度下二者選取相同的權(quán)值，將本文所用的多尺度Lady-Hat 增強變換的最終算法表示為

式 （13）中的權(quán)值λi決定了圖像轉(zhuǎn)換后亮部與暗部詳細信息的比例，通常取值為[1/2，1]，實際比例會因為各個尺度的變換而變化。因此，在運算中需同時考慮尺度i 和權(quán)值λi。在現(xiàn)實生活中，人的視覺往往在多尺度范圍較小的Lady-Hat 增強變換獲取的細節(jié)中表現(xiàn)出顯著的敏感性，那么就需要在圖像的增強運算中，為小尺度的Lady-Hat 增強變換賦予相對較大的權(quán)值，為大尺度的Lady-Hat 增強變換賦予相對較小的權(quán)值，于是可以用λi表示尺度為i 的權(quán)值，表示為

得到尺度i 與權(quán)值λi的對應(yīng)數(shù)據(jù)表，見表1。

表1 尺度與權(quán)值取值的對應(yīng)表

多尺度灰度圖像優(yōu)化算法下的圖像轉(zhuǎn)換效果見圖4，可以看出經(jīng)過多尺度優(yōu)化后的算法對圖像進行轉(zhuǎn)換，亮、暗顯著優(yōu)于簡單尺度的增強效果。

圖4 多尺度優(yōu)化算法下的Lady-Hat 圖像轉(zhuǎn)換效果對比圖

3 結(jié)束語

多尺度灰度圖像的增強算法是基于灰度數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的基本原理，通過仿真實驗發(fā)現(xiàn)，多尺度灰度圖像的細節(jié)增強方法使得增強后的圖像細節(jié)突出、信息含量增加，圖像綜合質(zhì)量明顯好轉(zhuǎn)，但是仍存在部分亮、暗細節(jié)模糊的問題，值得對模糊原因及清除方法進行更深入地研究。