汪夢甫　肖詩穎

摘 ? 要：提出了在模態(tài)測試的基礎上識別得到指數型非粘滯阻尼系統中阻尼系數矩陣的方法. 通過求解一個帶約束最優(yōu)化問題，得到滿足系統特征方程的最優(yōu)修正阻尼系數矩陣. 考慮了實際模態(tài)測試中得到的模態(tài)參數的非完備性，可以利用有限的低階模態(tài)，較為準確地識別出系統的阻尼系數矩陣，但隨著系統的非粘滯阻尼特性逐漸增強時，想要精確識別出阻尼系數矩陣所需要的模態(tài)數目會逐漸增加. 同時，進一步考慮到模態(tài)測試中復模態(tài)的虛部受噪聲影響較大，提出了阻尼矩陣識別過程中對復模態(tài)虛部進行更新的方法，使之滿足指數型阻尼系統特征方程，且利用上述方法得到的復模態(tài)虛部，能較為精確地識別出阻尼系數矩陣. 由于目前對松弛因子識別的研究較少，在模態(tài)更新方法的基礎上提出了不依賴于復模態(tài)虛部的松弛因子識別公式，并通過數值算例，驗證了指數型非粘滯阻尼模型的阻尼識別方法及復模態(tài)更新方法的適用性和有效性，及松弛因子識別的準確性. 最后通過懸臂梁的振動測試進行模態(tài)參數識別，并討論了指數阻尼模型的適用性和合理性.

關鍵詞：粘彈性;復模態(tài)分析;阻尼系數;參數識別;拉普拉斯域

中圖分類號：TU311 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標志碼：A

Complex Modal Updating and Damping Matrix Recognition

of Exponentially Damping Systems

WANG Mengfu?，XIAO Shiying

（College of Civil Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China）

Abstract：A method of identifying damping coefficient matrix in exponential non-viscous damping systems based on the modal test is proposed in this paper. By solving a constrained optimization problem，the optimal modified damping coefficient matrix satisfying the system characteristic equation is obtained;and considering the incompleteness of the modal parameters obtained in the actual mode test，the damping coefficient matrix of the system can be accurately identified by using the limited low-order modes. However，with the gradual enhancement of the non-viscous characteristics of the system，the number of modes needed to accurately identify the damping coefficient matrix gradually increases. Furthermore，a method of updating the imaginary part of the complex mode，which can be greatly affected by noise in the modal test，is proposed to satisfy the characteristic equation of the exponentially damping system in this paper;and as a result，the damping coefficient matrix can be accurately identified by using the updated complex-modal imaginary part. Due to the lack of research on the recognition of the relaxation parameter，an identification method of relaxation parameter which is independent of the imaginary part of complex mode is proposed based on the modal updating method. And then，through numerical studies，the applicability and effectiveness of the damping identification method and the complex modal correction method for the exponentially non-viscous damping model are verified，and the accuracy of relaxation factor recognition method is proved. Finally，the modal parameters of a cantilever beam are identified through the vibration test，and the applicability and rationality of the exponential damping model are discussed.

Key words：viscoelasticity;complex modal analysis;damping coefficients;parameter identification;Laplace domain

實際工程中振動的發(fā)生通常不可避免，因此研究者們廣泛關注于如何通過結構耗能（即阻尼）來進行結構減振. 但阻尼不能直接測量得到，而是根據假設的阻尼模型在宏觀上近似地表達，因此對阻尼模型的假設很大程度上影響著結構動力分析的準確性和可靠性[1]. ?由于經典粘滯阻尼模型自身存在不足，為了滿足工程界日益復雜的工程材料和結構的需要，研究者們近年來提出了一些新的阻尼模型，最早由Biot[2]提出的卷積型非粘滯阻尼模型就是其中的一種. 該模型假設阻尼力不僅依賴于瞬時速度，而且與速度的時間歷程相關，數學表述為質點速度與核函數的卷積[3]. 在Woodhouse、Adhikari等人[4-5]的進一步發(fā)展下，卷積型非粘滯阻尼模型多年來得到了不同領域動力分析的研究和應用. 其中，作為卷積型阻尼模型的一個特例，指數阻尼模型在數學計算上較為簡單，且能夠更加合理地表述阻尼的物理本質，因此本文選擇對指數阻尼模型進行研究.

結構系統的參數識別作為現代結構動力學問題的反問題之一，可以根據模態(tài)試驗并結合理論分析來處理實際工程中的振動問題[6-8]. 然而此過程中，對阻尼矩陣的預估是難點，并且通常結構阻尼值由經驗確定，并假定結構各階模態(tài)阻尼比相同，這與實際情況不符[8]，因此有必要對結構阻尼的識別進行研究. 但目前的阻尼識別方法一般針對粘滯阻尼模型，對非粘滯阻尼模型阻尼識別的研究較少，國內外主要有如下研究：Adhikari等[9]根據一階攝動法，率先將復模態(tài)分析法擴展到了指數型非粘滯阻尼模型的識別中去，然而該方法對模態(tài)參數識別的精度要求較高，且識別阻尼矩陣需要用到全模態(tài);潘玉華[10]在

Rayleigh阻尼模型的基礎上，提出了指數型比例阻尼模型，假設指數阻尼核函數的阻尼系數矩陣具有和Rayleigh阻尼相對應的形式，并給出了相應松弛因子的迭代計算方法;王禹[11]將阻尼矩陣分解法拓展到指數型非粘滯阻尼模型中，識別該模型的阻尼系數矩陣，該方法能夠在只獲得低階模態(tài)信息的情況下較為準確地識別出阻尼系數矩陣.

在結構參數識別過程中，通常需要依據一部分有限元模型分析值來識別所需要的真實值，但往往有限元理論分析結果與試驗測量結果存在差異，因此可以依據試驗結果對分析模型進行更新，使得更新后的模型能更加精確地反應結構的動力響應[12]，從而提高結構參數識別的準確性.

基于以上研究背景，本文研究了在模態(tài)測試的基礎上對指數型阻尼模型中進行阻尼系數矩陣識別及復模態(tài)更新的方法，并在此基礎上提出了新的松弛因子識別公式.

4 ? 數值算例分析

4.1 ? 案例1：模態(tài)參數精確時識別阻尼系數矩陣

為了驗證本文提出的阻尼識別方法的適用性和有效性，利用文獻[11]中的7自由度系統進行模擬計算. 該系統質量矩陣、剛度矩陣和阻尼系數矩陣真實值分別為：

其中，μ為松弛因子. 假定分析阻尼系數矩陣CA = 0，權矩陣取為WC = diag（1 ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ?1），運用式（28）識別指數型阻尼系數矩陣C. 松弛因子μ可被表示為[16]：

μ = ? ? ? ? ? ? ? （67）

式中：Tmin表示最高階無阻尼固有頻率所對應的周期，這樣結構的阻尼機制可以由γ的取值來控制，γ越小，阻尼機制就越接近于粘滯阻尼[16]. 下面分別取γ=0.002、0.2、2三種情況識別阻尼系數矩陣，具體阻尼系數識別值見表 1，表1中僅給出了阻尼系數矩陣對角線上的值的大小.

從表1中可看出，本文提出的方法能較好地識別出阻尼系數矩陣，但隨著γ的增大，系統的非粘滯阻尼特性逐漸增強時，想要精確識別出阻尼系數矩陣所需要的模態(tài)數目逐漸增加;當γ增加到2時，需要取得全模態(tài)才能精確識別出阻尼系數矩陣.

當γ取值較大時，對阻尼系數矩陣識別誤差較大且所需模態(tài)數較多的原因，認為和文中識別公式（28）中的廣義逆矩陣（W 1/2

C ? ψ）+有關. 通過MATLAB多次計算可以發(fā)現，當γ值增大，矩陣ψ的條件數也逐漸增大，求廣義逆矩陣時精度難以提高，從而誤差變大. γ值一定時，隨著選取的模態(tài)階數增加，矩陣ψ的條件數減小，從而精度越高.

按文獻[11]的識別方法對阻尼系數矩陣進行識別的結果見表2. 表2中給出的是能較為精確地得到阻尼系數矩陣所需的最小模態(tài)階數，以及在該模態(tài)階數下的阻尼矩陣識別情況. 將表1與表2的結果進行比較，可以看出，在不同的取值以及不同的模態(tài)階數下，文獻[11]方法的識別精度均要高于本文的識別方法.

取文獻[17]中含指數阻尼的軸向振動懸臂桿模型作為算例，分析兩種方法在對不同自由度下阻尼矩陣進行識別的耗時情況. 該懸臂桿模型如圖1所示.

該懸臂桿單元質量矩陣和單元剛度矩陣分別為：

本文中該懸臂桿參數取為：ρ = 7.8 × 103 kg/m3為桿件密度;A = 6.25 × 10-4 m2為桿件截面面積;E = 2.1 × 1011 N/m3為彈性模量;L = 4 m為桿長;Le = L/n為每個桿單元的長度;n為懸臂桿劃分的單元數目. 系統的阻尼系數矩陣設為C = α0 M + α1 K，其中系數 α0 和α1取為：

α0 ?= 2ξ，α1 ?= 2ξ

式中：阻尼比ξ取0.05，第j階無阻尼固有頻率為ωj = π. 松弛因子μ按式（67）計算，其中γ取為1.

分別取n=10、20、40和80四種情況，按本文提出的方法和文獻[11]的識別方法取全模態(tài)識別阻尼系數矩陣C所需要的時間見表3. 從表3中可以看出，由于文獻[11]的識別過程涉及了大量的循環(huán)運算，若結構的自由度數較多，在利用MATLAB進行求解時會耗時較長;在本文的方法中，結構的自由度取值對運算時間影響相對而言不大. 因此，在自由度較少的情況下，利用文獻[11]提出的阻尼系數矩陣識別方法可以得到更好的結果;在結構自由度數較多時，如果有運算時間上的需求，采用本文提出的方法則更有效率.

4.2 ? 案例2：復模態(tài)虛部更新后識別阻尼系數矩陣

取案例1中的7自由度系統作為算例進行分析，取γ=0.02. 現給復模態(tài)虛部添加均值為0、標準差為0.1%的噪聲，復模態(tài)實部取為精確值，更新前阻尼矩陣的識別情況見表4.從表4中可以發(fā)現，只有取全模態(tài)進行識別時，才能得到較為準確的阻尼系數矩陣，但仍不是精確值;若取的模態(tài)值不全，即使是前六階，在該噪聲下的結果仍完全失真，數據失效顯著. 可以看出復模態(tài)虛部的準確度對識別結果能造成影響.

按本文提出的復模態(tài)更新方法，對復模態(tài)虛部值進行更新后，識別得到的阻尼系數矩陣對角線上數值見表5. 從表5中可看出，在對復模態(tài)虛部進行更新后，精確識別出阻尼系數矩陣所需要的模態(tài)數目增加了，取得全模態(tài)便能精確識別出指數阻尼系數矩陣;對復模態(tài)進行更新后可以排除噪聲對復模態(tài)虛部的干擾，反映出本文提出的復模態(tài)虛部計算公式（52）能滿足阻尼矩陣識別的需要.

4.3 ? 案例3：對松弛因子的識別

取案例1中的7自由度系統研究松弛因子識別式（64）～（66）的準確性. 當γ值較小時，如γ=0.002，該系統更接近于粘滯阻尼系統，按不同方式識別得到的γ值見圖2. 從圖2中可以看出，這3種識別公式均能較好地識別出松弛因子，按式（65）（66）獲得的松弛因子更接近原始值.

當γ值較大時，如γ=2，此時該體系的阻尼機制表現為明顯的非粘滯阻尼特性，按不同方式識別得到的γ值見圖3.從圖3中可以看出，這3種識別公式也均能較好地識別出松弛因子，按式（65）獲得的松弛因子更接近原始值.

5 ? 試驗分析

本小節(jié)將對一根混凝土懸臂梁構件進行錘擊振動測試試驗，對本文提出的阻尼系數矩陣方法進行研究，并討論指數阻尼模型的適用性.

5.1 ? 試驗概況

該懸臂梁試件配筋和尺寸信息如圖4所示. 試件采用C35普通混凝土，水泥采用42.5級普通硅酸鹽水泥. 縱筋采用HRB400級鋼筋，抗拉強度設計值為360 MPa，彈性模量為200 GPa;箍筋采用HPB300級光圓鋼筋，抗拉強度設計值為270 MPa.

該試件的參數為：密度ρ=2.41×103 kg/m3，截面積A=0.04 m2，彈性模量E=3.06×1010 N/m2，梁長L=0.2 m.

振動試驗數據采集設備采用比利時公司的LMS錘擊測振系統. 振動測試前，將懸臂梁沿梁身均勻取10個錘擊作用點，并在頂部粘貼加速度傳感器. 錘擊法振動測試試驗示意圖見圖5. 測試時，用力錘依次對所標記的10個測點進行錘擊，利用數據采集儀記錄下每次錘擊時的力傳感器信號及加速度響應信號，并計算得到每個錘擊點的頻響函數平均值. 本章的試驗完成于湖南大學結構實驗室.

利用試件實測頻響函數曲線，在LMS.Test.Lab軟件上進行分析，使用最小二乘復指數法 （LSCE） 可以估計出試件的頻率、阻尼比，并可以計算出相應模態(tài)振型.

5.2 ? 結構阻尼系數識別

首先將該試件質量矩陣與剛度矩陣按有限元法進行建模，只研究試件振動方向上的平動自由度，可以得到所需的質量矩陣和剛度矩陣分析值，均為10×10方陣. 按照文獻[18]提出的迭代算法，對分析質量矩陣與分析剛度矩陣進行修正，可得該試件修正后的質量矩陣M和剛度矩陣K. 利用識別得到的前五階模態(tài)參數及修正后的質量矩陣M和剛度矩陣K識別松弛因子μ. 按公式（65）計算得到的μ=145.868 s-1.

接下來按本文提出的復模態(tài)更新方法對該試驗梁進行復模態(tài)虛部的更新，并進行指數阻尼系數矩陣識別，識別得到的阻尼系數矩陣如圖6所示. 由圖6可以看出，該識別出的阻尼矩陣的阻尼系數分布不是很明顯，可能與試驗模態(tài)測量誤差有關.

懸臂梁試件的前三階固有頻率及阻尼比分別按指數型非粘滯阻尼模型和Rayleigh阻尼模型的識別結果見表6.

從表6中可以看出，通過文中提出的方法按這兩種阻尼模型識別的固有頻率均接近試驗實測值，但識別得到的阻尼比與實測值有差別. 試驗測量得到的阻尼比為按單模態(tài)識別得到的各測點的每階模態(tài)平均值，而按這兩種阻尼模型識別得到的阻尼比為按整體模態(tài)計算分析的結果，從而帶來識別誤差. 與按指數阻尼模型計算得到的阻尼比相比，該試驗梁采用Rayleigh阻尼模型計算出的第三階阻尼比與試驗實測值相差較大，遠大于實測值，這種誤差能顯著影響結構的動力特性. 指數阻尼模型由于參數松弛因子的存在，可以更為合理地擬合結構的阻尼特性.

6 ? 結 ? 論

1）本文提出了指數阻尼系統中對阻尼系數矩陣識別的方法，通過求解一個帶約束的優(yōu)化問題，利用權函數矩陣及初始分析阻尼矩陣，獲得滿足系統特征方程的阻尼系數矩陣;該方法不需要測得全模態(tài)，可以獲得比較高的識別精度，但隨著系統的非粘滯阻尼特性逐漸增強時，想要精確識別出阻尼系數矩陣所需要的模態(tài)數目會逐漸增加;當非粘滯阻尼特性足夠大時，最后可能需要取得全模態(tài)才能精確識別出阻尼系數矩陣.

2）針對試驗噪聲對測量得到的復模態(tài)虛部精度的影響，本文提出了對復模態(tài)虛部進行更新的方法，使之滿足指數型阻尼系統特征方程;通過算例分析，將更新前后識別得到的阻尼系數矩陣進行對比，可以看出，提出的阻尼系數矩陣識別公式對噪聲較為敏感，且復模態(tài)虛部的準確度對阻尼矩陣識別結果影響較大;采用更新后的復模態(tài)虛部表達式可以排除阻尼矩陣識別過程中噪聲對復模態(tài)虛部的影響，且能有效地識別出阻尼系數矩陣;但在對復模態(tài)進行更新后，在相同模態(tài)階數下對阻尼系數矩陣的識別精度降低了，并且精確識別所需的模態(tài)階數較多，不使用全模態(tài)時識別精度較差，目前的更新方法可以進一步改進.

3）由于目前對松弛因子識別方法的研究較少，且有一定使用限制，本文提出了不依賴于復模態(tài)虛部的3種松弛因子識別公式，通過算例分析表明這3種公式均能較高精度地識別出松弛因子，能夠滿足結構分析的需要.

4）通過對普通C35混凝土懸臂梁進行錘擊振動測試，并按本文提出的方法進行模態(tài)參數識別，將采用Rayleigh阻尼模型和本文采用的指數型非粘滯阻尼模型識別得到的阻尼比和基本頻率進行對比，可發(fā)現識別得到的固有頻率接近試驗實測值，但阻尼比與實測值有差別，采用Rayleigh阻尼模型時第三階阻尼比出現了很大的誤差. 指數阻尼模型更能準確合理地描述兩根混凝土懸臂梁的阻尼性能.

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