王天鵬　張建仁　王磊　馬亞飛

摘 ? 要：為給橋梁纜索鋼絲疲勞性能分析提供簡單有效的方法，根據(jù)鋼絲的微觀組織結(jié)構和相關試驗數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析結(jié)果，建立了鋼絲疲勞裂紋擴展速率預測模型，并給出了模型參數(shù)的計算方法. 通過變載刻痕法在原狀鋼絲上獲取了穩(wěn)定擴展區(qū)的疲勞裂紋擴展速率，預測模型較好地描述了試驗獲取的數(shù)據(jù)和文獻中近門檻值區(qū)域鋼絲的疲勞裂紋擴展規(guī)律. 在此基礎上，通過斷裂力學方法計算了新鋼絲和腐蝕鋼絲的疲勞壽命并與試驗數(shù)據(jù)相比較，結(jié)果表明：鋼絲腐蝕不會對疲勞裂紋擴展速率產(chǎn)生影響，仍可用未腐蝕鋼絲的力學性能通過本文方法進行預測，腐蝕鋼絲疲勞壽命的變化是由于初始裂紋尺寸發(fā)生改變而引起. 對于新鋼絲和輕微腐蝕鋼絲，可采用等效初始裂紋法進行疲勞壽命計算;當鋼絲腐蝕較為嚴重時，疲勞總壽命基本由裂紋擴展壽命構成，初始裂紋尺寸即為真實銹坑深度. 鑒于蝕坑深度分布的隨機性，宜采用最大蝕坑深度對腐蝕鋼絲進行疲勞壽命計算.

關鍵詞：橋梁纜索鋼絲;裂紋擴展;初始裂紋;疲勞壽命;斷裂力學

中圖分類號：U443.38 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標志碼：A

Crack Growth Rate Prediction and Fatigue Life

Calculation of Bridge Cable Steel Wires

WANG Tianpeng1，2?，ZHANG Jianren1，WANG Lei1，MA Yafei1

（1. School of Civil Engineering，Changsha University of Science & Technology，Changsha 410114，China;

2. School of Civil Engineering，Central South University of Forestry and Technology，Changsha 410004，China）

Abstract：In order to provide a simple and effective method for the fatigue performance analysis of bridge cable steel wires，according to the microstructure of the steel wire and ?statistical analysis results of relevant test data，a prediction model of steel wire fatigue crack growth rate is established，and the calculation method of model parameters is given. The fatigue crack growth rate in the stable growth region is obtained on the original steel wire by the variable load indentation method. The prediction model can better describe the data obtained from the test and the fatigue crack growth law of the steel wire in the near threshold region in the literature. On this basis，the fatigue life of new steel wire and corroded steel wire is calculated by the fracture mechanics method and compared with the test data. The results show that the corrosion will not affect the fatigue crack growth rate of the steel wire. The mechanical properties of the uncorroded steel wire can still be predicted by this method. The change of fatigue life of the corroded steel wire is attributed to the change of the initial flaw size. For new steel wire and slightly corroded steel wire，the equivalent initial flaw size method can be used to calculate the fatigue life;when the steel wire is corroded seriously，the total fatigue life is basically composed of the crack propagation life，and the initial flaw size is the true depth of rust pit. In view of the randomness of pit depth distribution，the maximum pit depth should be used to calculate the fatigue life of corroded steel wire.

Key words：bridge cable steel wires;crack propagation;initial flaw;fatigue life;fracture mechanics

纜索作為橋梁的關鍵承重構件，其疲勞性能是橋梁設計、運維和安全評估的重要依據(jù)[1]. 傳統(tǒng)方法多基于S-N曲線，通過Weibull分布模型描述不同可靠度下纜索鋼絲的疲勞壽命[2-3]. 對于服役橋梁，將含有初始缺陷的裂紋擴展壽命作為結(jié)構經(jīng)濟檢修期更符合“損傷容限”的設計思想，也更便于橋梁的檢測和維護，所以國內(nèi)外學者對鋼絲的疲勞裂紋擴展規(guī)律進行了較多的研究. 在原狀鋼絲上進行疲勞試驗最符合鋼絲的實際破壞過程，但原狀鋼絲的裂紋擴展無法直接觀測，所以需要進行電信號轉(zhuǎn)換[4]，或采用塑料制品伴隨試件裂紋擴展進行觀測[5]，這樣大大增加了試驗成本. 采用染色勾線法[6]或變載刻痕法[7]在原狀鋼絲裂紋擴展過程中形成痕跡，通過斷后截面分析得到裂紋擴展規(guī)律也是可行的方法，但測試精度取決于操作人員的經(jīng)驗，主觀性強. 將原狀鋼絲加工成板條狀，通過單邊裂紋擴展試驗法可獲取較為精確的數(shù)據(jù)[8-9]，但纜索鋼絲直徑一般為7 mm或5 mm，使板條成型尺寸有限，所以至今橋梁纜索鋼絲疲勞裂紋擴展規(guī)律的試驗研究仍在進行中. 此外，有學者以跨尺度應變能密度因子作為裂紋擴展控制參量[10-11]，建立跨尺度裂紋擴展模型分析纜索的疲勞壽命，但有些參數(shù)無法通過試驗獲取，其跨尺度變化規(guī)律只能進行假設. 基于有限元分析技術，采用連續(xù)介質(zhì)力學理論模擬鋼絲的損傷演化規(guī)律[12]或采用應力場強法[13]進行疲勞壽命計算，也為橋梁纜索的疲勞分析提供了有益的參考，但理論和方法的有效性還需試驗的檢驗.

由于高強鋼絲珠光體晶體在多次冷拔過程中排列方向發(fā)生改變，與普通鋼材相比其力學性能發(fā)生了較大的改變[14]，而且受高強鋼絲形狀尺寸的限制，使其疲勞裂紋擴展速率試驗十分復雜，成本高昂. 本文統(tǒng)計分析了已有文獻的試驗數(shù)據(jù)，提出一個普遍適用性較強的鋼絲疲勞裂紋擴展速率預測模型，實例分析了新鋼絲和腐蝕鋼絲的疲勞壽命，從而節(jié)約試驗成本并可為橋梁纜索的疲勞性能分析提供參考.

1 ? 裂紋擴展速率預測模型及參數(shù)

1.1 ? 裂紋擴展速率模型

在線彈性斷裂力學范圍內(nèi)，裂紋擴展速率可分為如圖1所示的3個區(qū)域，分別為近門檻值低速區(qū)（Ⅰ區(qū)）、中部穩(wěn)態(tài)擴展區(qū)（Ⅱ區(qū)）和快速擴展區(qū)（Ⅲ區(qū)）. 目前提出的諸多疲勞裂紋擴展速率模型基本上都是基于Paris公式的改進模型，本文采用可以描述Ⅰ區(qū)和Ⅱ區(qū)裂紋擴展的三參數(shù)模型：

= B（ΔK - ΔKth）m ? ? ? ? （1）

式中：ΔK為應力強度因子范圍;ΔKth為裂紋擴展門檻值;B、m分別為疲勞裂紋擴展系數(shù)和指數(shù).

1.2 ? 裂紋擴展系數(shù)與指數(shù)

疲勞裂紋擴展系數(shù)B和指數(shù)m是疲勞裂紋擴展的控制因素，一般情況下根據(jù)試驗結(jié)果擬合得到. 鄭修麟等[15]根據(jù)考慮裂尖鈍化和力學平衡的疲勞裂紋擴展靜態(tài)斷裂模型推導出B的計算公式為：

B = ? ? ? ? ?（2）

式中：σeff為臨界斷裂應力，其值等于材料的理論斷裂強度σmax，其計算值為：

σeff = σmax = ? ? ? ? ?（3）

式中：E為彈性模量;γs為表面能密度;a0為相鄰原子平衡距離. 冷拔珠光體鋼絲由鐵素體和滲碳體兩相組成，根據(jù)兩者的物理化學性質(zhì)計算可得σmax = 0.15 ～ 0.21E，其主裂紋前緣同時與多層鐵素體片和滲碳體片相交，并橫切這些片層擴展[7，14]. 因此對于纜索鋼絲可取中值σmax = 0.18E，代入式（2）可得：

B = ? ? ? ? ?（4）

當以式（2）作為疲勞裂紋擴展系數(shù)時，由裂紋擴展的靜態(tài)斷裂模型可知疲勞裂紋擴展指數(shù)m = 2. 取彈性模量E = 200 MPa，門檻值ΔKth取各文獻的平均值，由式（1）得到鋼絲疲勞裂紋擴展速率，與文獻[16-18]中Paris公式擬合結(jié)果（應力比R≤0.1）比較如圖2所示. 疲勞裂紋擴展指數(shù)在圖中表現(xiàn)為曲線斜率，本文預測曲線的斜率與文獻[5-6，17]十分接近，并隨著ΔK增大各曲線逐漸趨同. 雖然相比文獻[7，16]斜率偏小，但在穩(wěn)態(tài)擴展區(qū)預測曲線與試驗擬合結(jié)果相差不大，文獻[18]測試方法與其他文獻不同，所得曲線斜率最大. 總體上預測曲線位于所有試驗擬合曲線的中間位置，表明指數(shù)m = 2是適宜的.

1.3 ? 裂紋擴展門檻值

門檻值ΔKth與材料的顯微組織有關，可由疲勞極限求出[19]，當應力比R = 0時：

ΔKth0 = 1.122σ0 ? ? ? ? （5）

式中：lc為斷裂單元尺寸，是一材料常數(shù). 對現(xiàn)有文獻[20]中屈服強度σy在1 200 ～ 2 000 MPa范圍內(nèi)的高強鋼絲的疲勞試驗結(jié)果進行統(tǒng)計，根據(jù)R ≤ 0時的門檻值和疲勞極限由式（5）計算得到lc值，其與鋼絲的屈服強度σy關系如圖3所示，因此lc可以通過σy進行估算：

log lc = -8.565 × 10-4 σy - 3.317 ? ? ? （6）

對已有文獻[21-22]鋼絲脈動疲勞極限σ0與抗拉強度σb進行統(tǒng)計分析，如圖4所示.盡管數(shù)據(jù)比較離散，但兩者仍表現(xiàn)出較明顯的線性關系，即σ0≈0.26σb，當缺少試驗數(shù)據(jù)時，可由鋼絲的抗拉強度對疲勞極限進行估算，即可對門檻值ΔKth0進行預測.

應力比R對鋼絲中部穩(wěn)態(tài)擴展區(qū)的影響十分微弱，因此疲勞裂紋擴展系數(shù)B和指數(shù)m可以忽略應力比的影響[6-7]，但對門檻值ΔKth的影響必須考慮. 一般鋼材的平均應力σm對光滑試件疲勞極限σa的影響如圖5所示.

鋼絲的疲勞裂紋主要由拉應力引起，因此僅考慮R ≥ 0的情況（CB區(qū)段），在CB上任取一點P（σm，σa），則：

== （7）

式中：σa0為脈動循環(huán)R = 0時疲勞極限應力σ0的幅值，即σ0 = 2σa0 . 取σ0 = 0.26σb代入式（7），由式（5）可得：

= ?= ? ? ? ? ? （8）

式（8）與其級數(shù)展開式隨應力比的變化如圖6所示. 根據(jù)已有的試驗數(shù)據(jù)[23]可知，式（8）可能會高估高應力比對門檻值的影響，因此取三項級數(shù)展開式比較適宜，即纜索鋼絲不同應力比的門檻值估算式為：

ΔKth = ΔKth0（1 - 0.26R - 0.19R2 - 0.14R3） ?（9）

2 ? 模型預測結(jié)果分析

2.1 ? 疲勞裂紋擴展速率試驗

2.1.1 ? 試驗材料

采用直徑為7 mm的橋梁纜索用鍍鋅鋼絲，由江蘇法爾勝纜索有限公司生產(chǎn). 通過靜力拉伸試驗測定其基本力學性能，包括抗拉強度、屈服強度、彈性模量和斷后伸長率，如表1所示. 結(jié)果表明，本試驗批次鋼絲性能指標均能滿足GB/T 17101—2008《橋梁纜索用熱鍍鋅鋼絲》的要求.

2.1.2 ? 試驗過程

疲勞試件長度為300 mm，為使疲勞裂紋在試件中部沿橫截面擴展，在試件中間切割0.5 mm深缺口作為初始裂紋. 試驗采用“變荷載刻痕法”獲取裂紋擴展速率：在應力幅0.5 σa作用下，以8 Hz循環(huán)加載5 000次獲得一定裂紋深度 ，保持應力比不變增加應力幅至σa，以4 Hz循環(huán)加載100次，形成寬度為Δa的條紋，此時疲勞裂紋擴展速率為Δa/100. 之后再恢復到應力幅0.5 σa，重復上述過程直至鋼絲斷裂，鋼絲疲勞荷載曲線與裂紋擴展分別如圖7、圖8所示. 試驗按應力比R=0.1、0.2和0.3分為3個工況，為分析應力幅的影響，每個工況按不同的應力幅σa=281MPa、304 MPa、328 MPa和351 MPa進行加載. 鋼絲斷口形成如圖9所示清晰、規(guī)律的疲勞條紋即為有效試樣，每個工況不同應力幅條件下至少一個有效試樣，共計12個有效試樣. 通過對斷口的電鏡掃描分析獲得裂紋深度方向的條紋寬度Δa.

2.1.3 ? 試驗數(shù)據(jù)處理

形成疲勞條紋時裂紋擴展的平均速率為：

= ? ? ? ?（10）

此時應力強度因子幅值的計算式：

ΔK = YΔσ ? ? ?（11）

式中：Δσ = 2σa為應力范圍;Y為裂紋形狀因子. 當鋼絲直徑為D時，裂紋形狀因子Y與相對深度a/D的關系式為[24]：

由此即可得到每個試樣的有效da/dN-ΔK數(shù)據(jù)點.

2.2 ? 預測結(jié)果分析

根據(jù)試驗所用鋼絲的拉伸性能對其疲勞裂紋擴展速率進行預測，與試驗結(jié)果相比較如圖10所示.

由試驗結(jié)果可知，在相同應力比的情況下，應力幅對裂紋穩(wěn)態(tài)擴展區(qū)的速率沒有明顯規(guī)律性的影響，可采用同一條裂紋擴展速率曲線進行描述. 盡管數(shù)據(jù)較為離散，但預測曲線總體上位于實測數(shù)據(jù)的中值附近，說明本文的預測模型可以對鋼絲的疲勞裂紋擴展速率進行有效的預測.

2.3 ? 文獻試驗數(shù)據(jù)分析

上述試驗僅獲得了穩(wěn)態(tài)擴展區(qū)的疲勞裂紋擴展速率，不能驗證預測模型在近門檻值低速區(qū)的有效性. Llorca等[6]和Zheng等[9]分別采用不同的試驗方法獲得了鋼絲近門檻值區(qū)域的裂紋擴展速率，并采用Paris和Walker公式對穩(wěn)態(tài)擴展區(qū)數(shù)據(jù)進行了擬合. 試驗鋼絲的力學性能和加載條件如表2所示. 應用本文預測模型對試件的疲勞裂紋擴展速率進行預測，與文獻中的試驗數(shù)據(jù)比較結(jié)果如圖11所示.

由比較結(jié)果可知，在近門檻值低速區(qū)預測曲線總體上與實測值吻合良好，當應力比較高時誤差略大，這是因為高應力比對門檻值影響更為復雜，樣本數(shù)據(jù)更為離散. 在穩(wěn)態(tài)擴展區(qū)，預測曲線略高于文獻[6]的試驗擬合曲線，斜率基本一致;與文獻[9]相比，預測曲線大部分位于50%和95%存活率之間，隨著 ΔK的增大，擬合曲線逐漸高于預測曲線. 文獻[6]與文獻[9]分別采用了不同的測試方法和應力強度因子計算式，本文預測公式始終采用應力強度因子與門檻值的差值作為裂紋擴展速率的控制值，這可能是與文獻[9]在穩(wěn)態(tài)擴展區(qū)后段差別的原因，但此區(qū)域已接近快速擴展區(qū)，疲勞裂紋擴展壽命很短，計算時往往可以忽略. 因此本文提出的模型可以對鋼絲裂紋擴展速率的近門檻值低速區(qū)和穩(wěn)態(tài)擴展區(qū)進行有效預測，可用于鋼絲的疲勞壽命計算.

3 ? 基于預測模型的疲勞壽命計算

3.1 ?疲勞壽命計算式

在疲勞裂紋擴展速率預測模型的基礎上，由式（1）可得裂紋擴展壽命的計算表達式：

Nf = da ? ? （13）

式中：a0為初始裂紋尺寸;ac為臨界裂紋尺寸. 只需確定積分上下限即可對鋼絲的疲勞壽命進行計算.

3.2 ? 初始裂紋尺寸

疲勞總壽命分析中，通常將疲勞過程分為疲勞裂紋萌生和擴展兩個階段，短裂紋的形成和擴展組成了裂紋萌生階段. 長裂紋通常指宏觀裂紋，其擴展規(guī)律可用線彈性斷裂力學進行描述. 短裂紋從力學角度和物理學角度有不同的定義，概括起來說為不滿足線彈性斷裂力學有效性條件、裂紋長度不超過應力應變場范圍或者說與塑性區(qū)同一數(shù)量級的裂紋[25]. 為計算短裂紋區(qū)段的疲勞壽命，以等效初始裂紋aEIFS（Equivalent Initial Flaw Size）作為初始裂紋尺寸. 等效初始裂紋并非構件真實存在的裂紋，引入其目的是避免計算短裂紋復雜且難尋規(guī)律的擴展速率，以等壽命原則，利用長裂紋擴展速率表達式計算疲勞全壽命[26]. 等效初始裂紋可根據(jù)疲勞極限和門檻值ΔKth計算：

a0 = aEIFS =

（14）

應用時Δσf通常取107～108次循環(huán)對應的超高周疲勞極限. 工程上常取2 × 106為指定循環(huán)次數(shù)進行疲勞試驗，直接應用可能會給出較高的疲勞壽命，導致不安全. 本文采用等壽命原則，當荷載等級為工程疲勞極限Δσf時，壽命為試驗指定循環(huán)次數(shù)進行反算確定a0值，即：

Nf = da = 2 × 106 ? （15）

3.3 ? 臨界裂紋尺寸

臨界裂紋尺寸ac可根據(jù)斷裂韌度KC計算：

ac =

（16）

已有文獻中高強鋼絲斷裂韌度的測試數(shù)據(jù)[27-28]

列于表3中，可見各試驗結(jié)果十分接近. 由圖1可知，當應力強度因子最大值接近斷裂韌度時，疲勞裂紋處于快速擴展區(qū)，其只占裂紋擴展總壽命的極小一部分，故KC的取值精度對疲勞總壽命影響很小. 所以若缺少鋼絲的斷裂韌度試驗值，可根據(jù)文獻的試驗數(shù)據(jù)近似取值，本文統(tǒng)一取文獻中斷裂韌度測試結(jié)果的平均值進行計算.

3.4 ? 計算流程

已有研究成果表明，腐蝕鋼絲的強度和彈性模量基本不變，強度和塑性性能變化主要是由鋼絲截面參數(shù)的變化和材料表面硬化造成[3]. 所以認為腐蝕鋼絲的裂紋擴展速率不發(fā)生改變，可采用統(tǒng)一的裂紋擴展速率表達式. 由于鋼絲裂紋形狀因子Y是與裂紋尺寸a有關的變量，等效初始裂紋尺寸和臨界裂紋尺寸的計算需要通過迭代計算獲得，并通過數(shù)值積分法計算鋼絲的疲勞壽命. 利用Mathematica軟件編制計算程序，基于本文預測模型的鋼絲疲勞壽命計算流程如圖12所示.

4 ? 實例分析

4.1 ? 新鋼絲

新鋼絲具有較為明確的力學性能，根據(jù)表4中試驗鋼絲的力學性能和加載條件[29-30]，應用本文方法計算所得的S-N曲線如圖13所示. 由比較結(jié)果可知，除了局部由于試件斷于夾具處的數(shù)據(jù)導致偏差，總體上計算所得的S-N曲線與試驗數(shù)據(jù)符合較好，鋼絲疲勞壽命隨試驗荷載的變化規(guī)律由本文計算方法得到了良好的呈現(xiàn).

4.2 ? 腐蝕鋼絲

對于腐蝕程度較輕、表面光滑的鋼絲，仍可采用等效初始裂紋法進行計算. 文獻[31]中試驗鋼絲的力學性能、加載條件如表5所示，表中試驗鋼絲的力學性能為未腐蝕狀態(tài)參數(shù)，腐蝕率η為同組試件質(zhì)量損失率的均值. 如圖14結(jié)果所示，腐蝕程度對疲勞

極限產(chǎn)生了明顯的影響，但對荷載等級較高的短壽命區(qū)沒有太大影響. 在荷載等級較低的長壽命區(qū)，計算所得的S-N曲線與試驗擬合曲線基本一致. 當荷載等級較高時，產(chǎn)生了一定誤差，可見采用等效初始裂紋尺寸法較高地估計了疲勞極限對于短壽命區(qū)的影響，但誤差仍在可接受范圍內(nèi).

當鋼絲腐蝕較為嚴重并形成尺寸較大的銹坑時，短裂紋效應不明顯，真實的銹坑深度可以作為初始裂紋尺寸. 文獻[32]中試驗鋼絲的力學性能和加載條件如表6所示，表中試驗鋼絲的力學性能為未腐蝕狀態(tài)參數(shù). 腐蝕造成鋼絲有效截面減小并在表面形成銹坑，如圖15所示. 腐蝕后的鋼絲直徑和最大銹坑深度測試結(jié)果如表7所示. 取每組試件的最大銹坑深度amax作為初始裂紋尺寸a0，取銹蝕后的鋼絲直徑均值DC計算幾何形狀因子Y，應用本文方法計算所得S-N曲線與試驗結(jié)果比較如圖16所示.

由圖16結(jié)果可知，隨著腐蝕程度的增加，裂紋擴展壽命在疲勞總壽命中的比例逐漸增大，裂紋萌生壽命逐漸減小，計算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)的符合程度因此逐漸趨好，最終裂紋擴展壽命即為疲勞總壽命. 表明本文的裂紋擴展速率預測模型較為準確，鋼絲的裂紋擴展速率不會因為腐蝕發(fā)生變化，腐蝕鋼絲疲勞壽命的變化是由于初始裂紋尺寸發(fā)生改變而引起.

5 ? 結(jié) ? 論

本文根據(jù)相關的研究成果和試驗數(shù)據(jù)，建立了鋼絲疲勞裂紋擴展預測模型，并應用其進行疲勞壽命計算，得出如下結(jié)論：

1）根據(jù)冷拔珠光體鋼絲的微觀組織結(jié)構和裂紋擴展方式，給出了不同應力比下疲勞裂紋擴展速率三參數(shù)模型中系數(shù)B、指數(shù)m 和門檻值ΔKth的確定方法，根據(jù)鋼絲的基本力學性能即可對其疲勞裂紋擴展速率進行有效預測.

2）通過“變荷載刻痕法”獲取了原狀鋼絲在穩(wěn)定擴展區(qū)的疲勞裂紋擴展速率，數(shù)據(jù)與預測模型符合較好. 通過與已有文獻試驗數(shù)據(jù)的比較，本文提出的預測模型可以較好地描述不同應力比下近門檻值低速區(qū)鋼絲的疲勞裂紋擴展規(guī)律.

3）鋼絲腐蝕不會對疲勞裂紋擴展速率產(chǎn)生影

響，仍可用未腐蝕鋼絲的力學性能通過本文方法進行預測，腐蝕鋼絲疲勞壽命的變化是由于初始裂紋尺寸a0發(fā)生改變而引起. 對于新鋼絲和輕微腐蝕鋼絲，可采用等效初始裂紋法進行疲勞壽命計算;當鋼絲腐蝕較為嚴重時，疲勞總壽命基本由裂紋擴展壽命構成，初始裂紋尺寸即為真實銹坑深度. 由于銹坑深度分布的隨機性，宜采用最大銹坑深度進行鋼絲疲勞壽命計算.

4）為方便與試驗數(shù)據(jù)相比較，本文的預測模型參數(shù)都取為均值，所求得的是具有50%存活率的疲勞壽命. 后續(xù)可對模型參數(shù)的概率分布進行分析，得到不同存活率的鋼絲疲勞壽命. 橋梁纜索是一個高冗余度構件，其系統(tǒng)失效由每一根鋼絲逐步失效引起. 本文所提出的單根鋼絲的裂紋擴展速率預測模型和疲勞壽命計算方法可為橋梁纜索的疲勞分析提供有益的參考.

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