基于負(fù)載擺動(dòng)狀態(tài)估計(jì)的雙擺型吊車滑?？刂?/h1>
2021-05-17 09:50:48肖友剛朱鋮臻李蔚謝勁松
關(guān)鍵詞：方法
肖友剛，朱鋮臻，李蔚，謝勁松
(1.中南大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410075；2.中南大學(xué)軌道交通安全關(guān)鍵技術(shù)國(guó)際合作聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，湖南長(zhǎng)沙，410075)
欠驅(qū)動(dòng)吊車具有強(qiáng)大的轉(zhuǎn)運(yùn)能力，在建筑、港口、貨倉(cāng)、車間等場(chǎng)所的物流中起到了非常重要的作用。然而，外界擾動(dòng)、吊車啟停、速度變化等都會(huì)使負(fù)載擺動(dòng)，不僅使吊車的輸運(yùn)效率降低，而且還帶來(lái)巨大的安全隱患。為了解決這一問(wèn)題，學(xué)者們將吊車簡(jiǎn)化為單擺，提出了許多抑制負(fù)載擺動(dòng)的方法[1-10]。然而，若吊車輸運(yùn)的負(fù)載體積大或吊鉤質(zhì)量不可忽略，則吊鉤會(huì)繞臺(tái)車擺動(dòng)，負(fù)載會(huì)繞吊鉤擺動(dòng)，呈現(xiàn)出復(fù)雜的雙擺現(xiàn)象。雙擺效應(yīng)使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)維數(shù)增加，欠驅(qū)動(dòng)性更強(qiáng)，消擺難度增加。目前，已有學(xué)者針對(duì)雙擺吊車提出一些控制方法，如：SINGHOSE等[11]利用輸入整形法生成臺(tái)車軌跡，并設(shè)計(jì)跟蹤控制器對(duì)該軌跡進(jìn)行跟蹤，實(shí)現(xiàn)了臺(tái)車定位和負(fù)載擺動(dòng)抑制。TANG等[12]針對(duì)臺(tái)車運(yùn)動(dòng)和環(huán)境風(fēng)而引起的荷載擺動(dòng)，提出利用一個(gè)軌跡抑制由臺(tái)車運(yùn)動(dòng)引起的擺動(dòng)，另一個(gè)軌跡抑制環(huán)境風(fēng)引起的擺動(dòng)，形成了2種運(yùn)動(dòng)軌跡相結(jié)合的控制方法。陳鶴等[13]考慮雙擺吊車工作過(guò)程中的各種物理及安全約束，構(gòu)造了以優(yōu)化運(yùn)送時(shí)間的優(yōu)化函數(shù)，利用高斯偽譜法將帶約束的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具有代數(shù)約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題。ZHANG 等[14]在臺(tái)車定位參考軌跡中引入消擺環(huán)節(jié)，并通過(guò)線性組合得出了臺(tái)車加速度軌跡，實(shí)現(xiàn)了臺(tái)車位置一、二級(jí)擺動(dòng)的控制。孫寧等[15]考慮系統(tǒng)安全性及臺(tái)車運(yùn)動(dòng)等物理約束，通過(guò)構(gòu)造平坦輸出信號(hào)，將雙擺吊車的狀態(tài)約束轉(zhuǎn)化為對(duì)平坦輸出的約束，提出了帶有狀態(tài)約束的雙擺吊車最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法。MASOUD 等[16-17]基于雙擺吊車系統(tǒng)第一階模態(tài)設(shè)計(jì)了基礎(chǔ)整形器，通過(guò)積分反饋控制消除了由第一階模態(tài)引起的殘留擺動(dòng)，并將基于閉環(huán)系統(tǒng)的第一階擺動(dòng)頻率的輸入整形器和虛擬反饋控制環(huán)節(jié)結(jié)合，提出了雙擺吊車定位消擺控制的頻率調(diào)制輸入整形法。QIAN 等[18]為抑制雙擺橋式吊車擺動(dòng)，提出了一種基于單輸入規(guī)則模塊的模糊控制器。OUYANG等[19]基于線性矩陣不等式，提出了一種簡(jiǎn)易魯棒控制器抑制雙擺橋式吊車的擺動(dòng)。ZHANG 等[20]利用能量整形的思想，設(shè)計(jì)了一種帶有跟蹤誤差約束的自適應(yīng)跟蹤控制器，在系統(tǒng)參數(shù)不確定以及外部擾動(dòng)下仍能保證系統(tǒng)的漸近跟蹤性能。TUAN等[21]提出了1 個(gè)傳統(tǒng)滑?？刂破骱? 個(gè)多層滑?？刂破?，來(lái)解決雙擺橋式吊車的定位消擺問(wèn)題。SUN等[22-23]提出了一種飽和非線性輸出反饋控制器和一種非線性準(zhǔn)PID控制器，來(lái)解決雙擺橋式吊車的擺動(dòng)問(wèn)題。ZHANG 等[24]通過(guò)引入一個(gè)廣義的信號(hào)，提出了一種有初始輸入約束的能量耦合控制方法，可精確地驅(qū)動(dòng)臺(tái)車至目標(biāo)位置，快速地抑制并消除吊鉤及負(fù)載擺動(dòng)。孫寧等[25]為了使雙擺吊車在快速精準(zhǔn)定位的同時(shí)抑制擺動(dòng)，提出了一種基于超螺旋的光滑魯棒控制算法。彭海軍等[26]分析了不確定性對(duì)雙擺吊車軌跡規(guī)劃的影響，提出一種基于Chebyshev代理模型的雙擺吊車不確定性軌跡規(guī)劃求解方法。OUYANG 等[27-28]針對(duì)橋式吊車、旋轉(zhuǎn)起重機(jī)的定位和擺動(dòng)抑制問(wèn)題，提出一種新型滑模控制算法。ZHANG[29]將滑模控制和PD控制復(fù)合，構(gòu)造了雙擺橋式吊車耦合增強(qiáng)型PD滑模控制。然而，已有雙擺型吊車系統(tǒng)均需要利用所有系統(tǒng)狀態(tài)的實(shí)時(shí)反饋信息進(jìn)行控制，雖然實(shí)驗(yàn)條件下通過(guò)特殊設(shè)計(jì)能夠滿足要求，但在實(shí)際運(yùn)行中，吊車的負(fù)載擺動(dòng)很難通過(guò)安裝傳感器直接測(cè)量。針對(duì)這一問(wèn)題，本文作者對(duì)雙擺型吊車的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行變換，得出2 個(gè)擺角之間的耦合關(guān)系，進(jìn)而設(shè)計(jì)一種線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)，通過(guò)該LESO利用吊鉤擺動(dòng)、控制量以及模型信息觀測(cè)負(fù)載擺動(dòng)，用負(fù)載擺動(dòng)的估計(jì)值代替實(shí)際值，反饋到滑?？刂破髦?，得到雙擺型吊車消擺定位控制器，并對(duì)控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。
1 雙擺吊車系統(tǒng)動(dòng)力分析
圖1所示為雙擺型吊車的示意圖。從圖1可以看出：臺(tái)車沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，為可驅(qū)動(dòng)部分；吊鉤和負(fù)載為欠驅(qū)動(dòng)部分，臺(tái)車?yán)玫趵K將負(fù)載輸送到目的地。在臺(tái)車啟停、加減速過(guò)程中，吊鉤會(huì)繞臺(tái)車擺動(dòng)，負(fù)載會(huì)繞吊鉤擺動(dòng)，呈現(xiàn)復(fù)雜的二級(jí)擺效應(yīng)，嚴(yán)重影響吊車的作業(yè)效率和安全性能。雙擺型吊車動(dòng)力學(xué)模型如下[21,24]：
其中：M，m1和m2分別為臺(tái)車、吊鉤、負(fù)載的質(zhì)量；β為吊鉤的垂向擺角，通過(guò)編碼器測(cè)得；φ為負(fù)載的垂向擺角，實(shí)際中難測(cè)；l1為吊繩長(zhǎng)度；l2為吊鉤與負(fù)載重心之間的距離；g為重力加速度；Ft為臺(tái)車驅(qū)動(dòng)力，x為臺(tái)車位移；Fr為臺(tái)車摩擦力，εx和kr為與摩擦力相關(guān)的系數(shù)。
圖1 雙擺型吊車系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of double-pendulum crane
考慮到實(shí)際作業(yè)過(guò)程中一、二級(jí)擺角通常都在10°以內(nèi)，有cosβ≈1，cosφ≈1，cos(β-φ)≈1，sinβ≈β，sinφ≈φ，≈0，≈0。
對(duì)式(1)，(2)和(3)在β=0°和φ=0°時(shí)進(jìn)行線性化處理，并令F=Ft-Fr，得到雙擺吊車的近似線性模型：
將式(4)兩端乘以l1并與式(5)相減可得
將式(6)兩端乘以l1，式(5)兩端乘以l2，再者相減可得
將(7)代入(8)并化簡(jiǎn)可得
2 雙擺型吊車擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性證明
為了提升雙擺型吊車的控制效果，設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，對(duì)負(fù)載擺角的狀態(tài)進(jìn)行觀測(cè)。令β=θ1，對(duì)式(9)進(jìn)行擴(kuò)張，得
根據(jù)式(11)設(shè)計(jì)線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)：
定義向量e為向量θ的觀測(cè)誤差，e=則e1=θ1-z1，e2=θ2-z2，e3=θ3-z3。由式(11)和式(12)得觀測(cè)的誤差方程：
令Y1=e1，Y2=-3ω0e1+e2，Y3=-3ω0(-3ω0e1+e2)+(-3ω02+m)e1+e3，則誤差方程更新為
令a=3ω0，b=3ω20，c=ω30，即=-cY1-bY2-aY3+θ3，因此，式(14)的特征方程為
由Hurwitz 條件可知，其特征根具有負(fù)實(shí)部的充要條件為：a>0，b>0，c>0，ab-c>0。
令W=-(ab-c)Y22/2，根據(jù)巴爾巴辛公式，得誤差系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)V：
由ab-c>0可得則
對(duì)式(17)求導(dǎo)后，將式(14)代入，得
因此，V正定，當(dāng)θ3為0 時(shí)，<0，LESO 在以e1=0，e2=0，e3=0 為平衡點(diǎn)的大范圍內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定。當(dāng)θ3≠0時(shí)，假定|θ3|≤η(η為正常數(shù))。當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，有
根據(jù)式(13)可得誤差范圍為
因此，只要使ω0?η，則e1≈e2≈e3≈0，即
3 二級(jí)擺型吊車消擺滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
對(duì)式(4)，(5)和(6)進(jìn)行整理可得：
令ex=x-pd，定義滑模面為
其中，c1，c2，c3，c4和c5為待整定系數(shù)。對(duì)滑模面s求導(dǎo)可得
將式(22)，(23)和(24)代入式(26)可得
令=0，則可求得驅(qū)動(dòng)力F：
在式(28)中加入以滑模面s為基礎(chǔ)的切換函數(shù)ξsgn(s)(其中ξ為正數(shù))，則控制律可更新為
由于符號(hào)函數(shù)不連續(xù)，式(29)所示的控制器會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)抖振，因此，采用雙曲正切函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，得到修正的雙擺型吊車控制器C1：
將控制系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)V1定義為
顯然V函數(shù)是正定的，對(duì)式(31)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)可得
將控制律(30)代入式(27)可得
將式(33)代入式(32)可得
因此，所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。
4 仿真結(jié)果及分析
為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的LESO的有效性以及將其反饋到控制器后的控制效果，將本文提出的基于負(fù)載擺動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)的雙擺型吊車控制器C1 與文獻(xiàn)[24]提出的基于能量耦合的雙擺型吊車控制器C2、文獻(xiàn)[21]提出的雙擺型吊車滑?？刂破鰿3 進(jìn)行仿真對(duì)比。仿真中，M=20 kg，m1=1 kg，m2=5 kg，l1=2 m，l2=0.4 m，g2=9.8 m/s2，frox=8，εx=0.01，kr=-1.2，臺(tái)車期望目標(biāo)位置pd=2 m。對(duì)參數(shù)經(jīng)過(guò)充分整定，C1 的控制參數(shù)為C1=0.60，C2=0.45，C3=5.12，C4=-0.04，C5=-1.78，。
文獻(xiàn)[24]提出的基于能量耦合的雙擺型吊車控制器C2數(shù)學(xué)表達(dá)式為
其中：ξx=ex+λ1sinβ+λ1sinφ；ex=x-pd。對(duì)應(yīng)的整定參數(shù)為kp=12，kd=30，λ1=-6，λ2=-1。
文獻(xiàn)[21]提出的CSMC 雙擺型吊車控制器C3數(shù)學(xué)表達(dá)式為
其中：sat(s)為飽和常數(shù)；s為滑模面，s=+λ(x-pd)+aβ+bφ。對(duì)應(yīng)的整定參數(shù)為λ=0.5，a=17，b=-11，K=90。
3 種控制器的控制性能比較見表1。通過(guò)對(duì)比表1中3種控制器的性能發(fā)現(xiàn)：在控制器調(diào)整時(shí)間相差不大(1 s內(nèi))的情況下，本文所提方法控制的吊鉤最大擺角、負(fù)載最大擺角都比其他2 種方法的小，吊鉤最大擺角僅為1.21°，負(fù)載最大擺角僅為1.20°，且基本無(wú)殘余擺動(dòng)，吊鉤與負(fù)載的殘余擺角僅分別為0.07°和0.05°；雖然臺(tái)車調(diào)整時(shí)間略比其他2種方法的高，但臺(tái)車最大驅(qū)動(dòng)力比其他2種方法的少很多，僅為13.11 N，說(shuō)明對(duì)執(zhí)行器的驅(qū)動(dòng)功率要求低，能耗少。因此，將LESO的觀測(cè)結(jié)果反饋到滑?？刂浦?，可以取得較好的控制效果，也說(shuō)明LESO的觀測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確、可靠。
表1 3種控制器的控制性能比較Table 1 Control performance comparison of three controllers
為了驗(yàn)證所提算法的魯棒性，設(shè)計(jì)4組仿真實(shí)驗(yàn)，其中，前3組實(shí)驗(yàn)分別變化負(fù)載質(zhì)量、吊繩長(zhǎng)度、目標(biāo)位置，已整定的控制參數(shù)和其他模型參數(shù)均保持不變，第4 組實(shí)驗(yàn)所有的參數(shù)都保持不變，只施加擾動(dòng)。
在負(fù)載質(zhì)量m2分別為1，3 和5 kg 時(shí)，所提算法的控制結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出：臺(tái)車在8 s 內(nèi)都到達(dá)了目標(biāo)位置且無(wú)任何超調(diào)，說(shuō)明負(fù)載質(zhì)量變化對(duì)臺(tái)車定位和調(diào)整時(shí)間幾乎沒有影響；隨負(fù)載質(zhì)量增加，吊鉤、負(fù)載擺動(dòng)幅度略減少，但基本可以忽略，且吊鉤、負(fù)載擺動(dòng)時(shí)間幾乎不變，臺(tái)車驅(qū)動(dòng)力變化幅度也不大，說(shuō)明在質(zhì)量發(fā)生變化時(shí)，控制器C1對(duì)質(zhì)量變化不敏感。
圖2 不同負(fù)載質(zhì)量下所提方法的控制結(jié)果Fig.2 Control results for proposed method with different playload masses
圖3 不同繩長(zhǎng)下所提方法的控制結(jié)果Fig.3 Control results for proposed method with different rope lengths
在吊繩長(zhǎng)度l1分別為1，2和4 m時(shí)，所提算法的控制結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出：當(dāng)繩長(zhǎng)取不同值時(shí)，到達(dá)目標(biāo)位置的時(shí)間幾乎不變，均在8 s 內(nèi)穩(wěn)定；隨擺長(zhǎng)增加，擺動(dòng)幅度略有增大，但變化幅度在0.1°以內(nèi)，可以忽略不計(jì)；擺動(dòng)穩(wěn)定時(shí)間也均在8 s 左右，在整個(gè)過(guò)程中驅(qū)動(dòng)力變化不大，最大值不超過(guò)14 N，均在合理范圍以內(nèi)，說(shuō)明所提算法在擺長(zhǎng)發(fā)生變化時(shí)，魯棒性較好。
為了驗(yàn)證算法在不同距離下的控制效果，設(shè)計(jì)了如下仿真實(shí)驗(yàn)，臺(tái)車目標(biāo)位置pd分別為1，2，3 和4 m，仿真結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出：臺(tái)車均可到達(dá)不同指定目標(biāo)位置，且無(wú)任何超調(diào)；隨目標(biāo)位置增大，擺動(dòng)幅度增加，但吊鉤、負(fù)載在整個(gè)過(guò)程中的擺動(dòng)幅度都不超過(guò)2°；在臺(tái)車到達(dá)目標(biāo)位置后無(wú)殘余擺動(dòng)，驅(qū)動(dòng)力隨定位距離增加雖有所增大，但增加幅度很小，說(shuō)明所提方法在執(zhí)行器功率有限的情況下，可以適應(yīng)比較寬的作業(yè)范圍，有利于發(fā)揮吊車的效能。
圖4 不同目標(biāo)位置下所提方法的控制結(jié)果Fig.4 Control results for proposed method with different desired situations
為了驗(yàn)證算法的抗干擾能力，針對(duì)負(fù)載在9 s時(shí)施加脈沖干擾、15～16 s 時(shí)施加正弦干擾，幅值均為2°。不同干擾下的控制結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出：在施加干擾之后，擾動(dòng)可快速消除，并且擺角最大幅度均在2°以內(nèi)，說(shuō)明本算法的抗干擾能力較強(qiáng)。
圖5 不同干擾下所提方法的控制結(jié)果Fig.5 Control results for proposed method with different disturbances
5 結(jié)論
1)利用吊鉤擺角與負(fù)載擺角之間的耦合關(guān)系設(shè)計(jì)的LESO能夠?qū)ω?fù)載擺角進(jìn)行有效觀測(cè)，能夠代替?zhèn)鞲衅鞯膶?shí)測(cè)值對(duì)雙擺型吊車進(jìn)行反饋控制，克服了已有雙擺型吊車控制中需要安裝傳感器的弊端，減少了控制裝置的復(fù)雜度，更有利于工程實(shí)際應(yīng)用。
2)將LESO對(duì)負(fù)載擺動(dòng)的估計(jì)值反饋到滑?？刂破髦?，形成了吊車消擺定位控制器，并采用Lyapunov 方法證明了該控制器的漸進(jìn)穩(wěn)定性?？刂破髟谪?fù)載質(zhì)量、繩長(zhǎng)、臺(tái)車位置變化情況下都具有很好的消擺定位性能，且臺(tái)車驅(qū)動(dòng)力、吊鉤及負(fù)載擺動(dòng)都比其他2種對(duì)比方法好，說(shuō)明所提方法在執(zhí)行器功率有限的情況下，可以適應(yīng)比較寬的作業(yè)范圍，有利于發(fā)揮吊車的效能。
3)在不同外界擾動(dòng)作用下，所提方法都能很快消除其對(duì)吊車消擺定位的影響，魯棒性良好。
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肖友剛，朱鋮臻，李蔚，謝勁松
(1.中南大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙，410075；2.中南大學(xué)軌道交通安全關(guān)鍵技術(shù)國(guó)際合作聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室，湖南長(zhǎng)沙，410075)
欠驅(qū)動(dòng)吊車具有強(qiáng)大的轉(zhuǎn)運(yùn)能力，在建筑、港口、貨倉(cāng)、車間等場(chǎng)所的物流中起到了非常重要的作用。然而，外界擾動(dòng)、吊車啟停、速度變化等都會(huì)使負(fù)載擺動(dòng)，不僅使吊車的輸運(yùn)效率降低，而且還帶來(lái)巨大的安全隱患。為了解決這一問(wèn)題，學(xué)者們將吊車簡(jiǎn)化為單擺，提出了許多抑制負(fù)載擺動(dòng)的方法[1-10]。然而，若吊車輸運(yùn)的負(fù)載體積大或吊鉤質(zhì)量不可忽略，則吊鉤會(huì)繞臺(tái)車擺動(dòng)，負(fù)載會(huì)繞吊鉤擺動(dòng)，呈現(xiàn)出復(fù)雜的雙擺現(xiàn)象。雙擺效應(yīng)使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)維數(shù)增加，欠驅(qū)動(dòng)性更強(qiáng)，消擺難度增加。目前，已有學(xué)者針對(duì)雙擺吊車提出一些控制方法，如：SINGHOSE等[11]利用輸入整形法生成臺(tái)車軌跡，并設(shè)計(jì)跟蹤控制器對(duì)該軌跡進(jìn)行跟蹤，實(shí)現(xiàn)了臺(tái)車定位和負(fù)載擺動(dòng)抑制。TANG等[12]針對(duì)臺(tái)車運(yùn)動(dòng)和環(huán)境風(fēng)而引起的荷載擺動(dòng)，提出利用一個(gè)軌跡抑制由臺(tái)車運(yùn)動(dòng)引起的擺動(dòng)，另一個(gè)軌跡抑制環(huán)境風(fēng)引起的擺動(dòng)，形成了2種運(yùn)動(dòng)軌跡相結(jié)合的控制方法。陳鶴等[13]考慮雙擺吊車工作過(guò)程中的各種物理及安全約束，構(gòu)造了以優(yōu)化運(yùn)送時(shí)間的優(yōu)化函數(shù)，利用高斯偽譜法將帶約束的優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具有代數(shù)約束的非線性規(guī)劃問(wèn)題。ZHANG 等[14]在臺(tái)車定位參考軌跡中引入消擺環(huán)節(jié)，并通過(guò)線性組合得出了臺(tái)車加速度軌跡，實(shí)現(xiàn)了臺(tái)車位置一、二級(jí)擺動(dòng)的控制。孫寧等[15]考慮系統(tǒng)安全性及臺(tái)車運(yùn)動(dòng)等物理約束，通過(guò)構(gòu)造平坦輸出信號(hào)，將雙擺吊車的狀態(tài)約束轉(zhuǎn)化為對(duì)平坦輸出的約束，提出了帶有狀態(tài)約束的雙擺吊車最優(yōu)軌跡規(guī)劃方法。MASOUD 等[16-17]基于雙擺吊車系統(tǒng)第一階模態(tài)設(shè)計(jì)了基礎(chǔ)整形器，通過(guò)積分反饋控制消除了由第一階模態(tài)引起的殘留擺動(dòng)，并將基于閉環(huán)系統(tǒng)的第一階擺動(dòng)頻率的輸入整形器和虛擬反饋控制環(huán)節(jié)結(jié)合，提出了雙擺吊車定位消擺控制的頻率調(diào)制輸入整形法。QIAN 等[18]為抑制雙擺橋式吊車擺動(dòng)，提出了一種基于單輸入規(guī)則模塊的模糊控制器。OUYANG等[19]基于線性矩陣不等式，提出了一種簡(jiǎn)易魯棒控制器抑制雙擺橋式吊車的擺動(dòng)。ZHANG 等[20]利用能量整形的思想，設(shè)計(jì)了一種帶有跟蹤誤差約束的自適應(yīng)跟蹤控制器，在系統(tǒng)參數(shù)不確定以及外部擾動(dòng)下仍能保證系統(tǒng)的漸近跟蹤性能。TUAN等[21]提出了1 個(gè)傳統(tǒng)滑?？刂破骱? 個(gè)多層滑?？刂破?，來(lái)解決雙擺橋式吊車的定位消擺問(wèn)題。SUN等[22-23]提出了一種飽和非線性輸出反饋控制器和一種非線性準(zhǔn)PID控制器，來(lái)解決雙擺橋式吊車的擺動(dòng)問(wèn)題。ZHANG 等[24]通過(guò)引入一個(gè)廣義的信號(hào)，提出了一種有初始輸入約束的能量耦合控制方法，可精確地驅(qū)動(dòng)臺(tái)車至目標(biāo)位置，快速地抑制并消除吊鉤及負(fù)載擺動(dòng)。孫寧等[25]為了使雙擺吊車在快速精準(zhǔn)定位的同時(shí)抑制擺動(dòng)，提出了一種基于超螺旋的光滑魯棒控制算法。彭海軍等[26]分析了不確定性對(duì)雙擺吊車軌跡規(guī)劃的影響，提出一種基于Chebyshev代理模型的雙擺吊車不確定性軌跡規(guī)劃求解方法。OUYANG 等[27-28]針對(duì)橋式吊車、旋轉(zhuǎn)起重機(jī)的定位和擺動(dòng)抑制問(wèn)題，提出一種新型滑模控制算法。ZHANG[29]將滑模控制和PD控制復(fù)合，構(gòu)造了雙擺橋式吊車耦合增強(qiáng)型PD滑模控制。然而，已有雙擺型吊車系統(tǒng)均需要利用所有系統(tǒng)狀態(tài)的實(shí)時(shí)反饋信息進(jìn)行控制，雖然實(shí)驗(yàn)條件下通過(guò)特殊設(shè)計(jì)能夠滿足要求，但在實(shí)際運(yùn)行中，吊車的負(fù)載擺動(dòng)很難通過(guò)安裝傳感器直接測(cè)量。針對(duì)這一問(wèn)題，本文作者對(duì)雙擺型吊車的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行變換，得出2 個(gè)擺角之間的耦合關(guān)系，進(jìn)而設(shè)計(jì)一種線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)，通過(guò)該LESO利用吊鉤擺動(dòng)、控制量以及模型信息觀測(cè)負(fù)載擺動(dòng)，用負(fù)載擺動(dòng)的估計(jì)值代替實(shí)際值，反饋到滑?？刂破髦?，得到雙擺型吊車消擺定位控制器，并對(duì)控制器的穩(wěn)定性進(jìn)行嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。
1 雙擺吊車系統(tǒng)動(dòng)力分析
圖1所示為雙擺型吊車的示意圖。從圖1可以看出：臺(tái)車沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，為可驅(qū)動(dòng)部分；吊鉤和負(fù)載為欠驅(qū)動(dòng)部分，臺(tái)車?yán)玫趵K將負(fù)載輸送到目的地。在臺(tái)車啟停、加減速過(guò)程中，吊鉤會(huì)繞臺(tái)車擺動(dòng)，負(fù)載會(huì)繞吊鉤擺動(dòng)，呈現(xiàn)復(fù)雜的二級(jí)擺效應(yīng)，嚴(yán)重影響吊車的作業(yè)效率和安全性能。雙擺型吊車動(dòng)力學(xué)模型如下[21,24]：
其中：M，m1和m2分別為臺(tái)車、吊鉤、負(fù)載的質(zhì)量；β為吊鉤的垂向擺角，通過(guò)編碼器測(cè)得；φ為負(fù)載的垂向擺角，實(shí)際中難測(cè)；l1為吊繩長(zhǎng)度；l2為吊鉤與負(fù)載重心之間的距離；g為重力加速度；Ft為臺(tái)車驅(qū)動(dòng)力，x為臺(tái)車位移；Fr為臺(tái)車摩擦力，εx和kr為與摩擦力相關(guān)的系數(shù)。
圖1 雙擺型吊車系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of double-pendulum crane
考慮到實(shí)際作業(yè)過(guò)程中一、二級(jí)擺角通常都在10°以內(nèi)，有cosβ≈1，cosφ≈1，cos(β-φ)≈1，sinβ≈β，sinφ≈φ，≈0，≈0。
對(duì)式(1)，(2)和(3)在β=0°和φ=0°時(shí)進(jìn)行線性化處理，并令F=Ft-Fr，得到雙擺吊車的近似線性模型：
將式(4)兩端乘以l1并與式(5)相減可得
將式(6)兩端乘以l1，式(5)兩端乘以l2，再者相減可得
將(7)代入(8)并化簡(jiǎn)可得
2 雙擺型吊車擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性證明
為了提升雙擺型吊車的控制效果，設(shè)計(jì)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器，對(duì)負(fù)載擺角的狀態(tài)進(jìn)行觀測(cè)。令β=θ1，對(duì)式(9)進(jìn)行擴(kuò)張，得
根據(jù)式(11)設(shè)計(jì)線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(LESO)：
定義向量e為向量θ的觀測(cè)誤差，e=則e1=θ1-z1，e2=θ2-z2，e3=θ3-z3。由式(11)和式(12)得觀測(cè)的誤差方程：
令Y1=e1，Y2=-3ω0e1+e2，Y3=-3ω0(-3ω0e1+e2)+(-3ω02+m)e1+e3，則誤差方程更新為
令a=3ω0，b=3ω20，c=ω30，即=-cY1-bY2-aY3+θ3，因此，式(14)的特征方程為
由Hurwitz 條件可知，其特征根具有負(fù)實(shí)部的充要條件為：a>0，b>0，c>0，ab-c>0。
令W=-(ab-c)Y22/2，根據(jù)巴爾巴辛公式，得誤差系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)V：
由ab-c>0可得則
對(duì)式(17)求導(dǎo)后，將式(14)代入，得
因此，V正定，當(dāng)θ3為0 時(shí)，<0，LESO 在以e1=0，e2=0，e3=0 為平衡點(diǎn)的大范圍內(nèi)漸進(jìn)穩(wěn)定。當(dāng)θ3≠0時(shí)，假定|θ3|≤η(η為正常數(shù))。當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，有
根據(jù)式(13)可得誤差范圍為
因此，只要使ω0?η，則e1≈e2≈e3≈0，即
3 二級(jí)擺型吊車消擺滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
對(duì)式(4)，(5)和(6)進(jìn)行整理可得：
令ex=x-pd，定義滑模面為
其中，c1，c2，c3，c4和c5為待整定系數(shù)。對(duì)滑模面s求導(dǎo)可得
將式(22)，(23)和(24)代入式(26)可得
令=0，則可求得驅(qū)動(dòng)力F：
在式(28)中加入以滑模面s為基礎(chǔ)的切換函數(shù)ξsgn(s)(其中ξ為正數(shù))，則控制律可更新為
由于符號(hào)函數(shù)不連續(xù)，式(29)所示的控制器會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)抖振，因此，采用雙曲正切函數(shù)代替符號(hào)函數(shù)，得到修正的雙擺型吊車控制器C1：
將控制系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)V1定義為
顯然V函數(shù)是正定的，對(duì)式(31)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)可得
將控制律(30)代入式(27)可得
將式(33)代入式(32)可得
因此，所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。
4 仿真結(jié)果及分析
為驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的LESO的有效性以及將其反饋到控制器后的控制效果，將本文提出的基于負(fù)載擺動(dòng)狀態(tài)觀測(cè)的雙擺型吊車控制器C1 與文獻(xiàn)[24]提出的基于能量耦合的雙擺型吊車控制器C2、文獻(xiàn)[21]提出的雙擺型吊車滑?？刂破鰿3 進(jìn)行仿真對(duì)比。仿真中，M=20 kg，m1=1 kg，m2=5 kg，l1=2 m，l2=0.4 m，g2=9.8 m/s2，frox=8，εx=0.01，kr=-1.2，臺(tái)車期望目標(biāo)位置pd=2 m。對(duì)參數(shù)經(jīng)過(guò)充分整定，C1 的控制參數(shù)為C1=0.60，C2=0.45，C3=5.12，C4=-0.04，C5=-1.78，。
文獻(xiàn)[24]提出的基于能量耦合的雙擺型吊車控制器C2數(shù)學(xué)表達(dá)式為
其中：ξx=ex+λ1sinβ+λ1sinφ；ex=x-pd。對(duì)應(yīng)的整定參數(shù)為kp=12，kd=30，λ1=-6，λ2=-1。
文獻(xiàn)[21]提出的CSMC 雙擺型吊車控制器C3數(shù)學(xué)表達(dá)式為
其中：sat(s)為飽和常數(shù)；s為滑模面，s=+λ(x-pd)+aβ+bφ。對(duì)應(yīng)的整定參數(shù)為λ=0.5，a=17，b=-11，K=90。
3 種控制器的控制性能比較見表1。通過(guò)對(duì)比表1中3種控制器的性能發(fā)現(xiàn)：在控制器調(diào)整時(shí)間相差不大(1 s內(nèi))的情況下，本文所提方法控制的吊鉤最大擺角、負(fù)載最大擺角都比其他2 種方法的小，吊鉤最大擺角僅為1.21°，負(fù)載最大擺角僅為1.20°，且基本無(wú)殘余擺動(dòng)，吊鉤與負(fù)載的殘余擺角僅分別為0.07°和0.05°；雖然臺(tái)車調(diào)整時(shí)間略比其他2種方法的高，但臺(tái)車最大驅(qū)動(dòng)力比其他2種方法的少很多，僅為13.11 N，說(shuō)明對(duì)執(zhí)行器的驅(qū)動(dòng)功率要求低，能耗少。因此，將LESO的觀測(cè)結(jié)果反饋到滑?？刂浦?，可以取得較好的控制效果，也說(shuō)明LESO的觀測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確、可靠。
表1 3種控制器的控制性能比較Table 1 Control performance comparison of three controllers
為了驗(yàn)證所提算法的魯棒性，設(shè)計(jì)4組仿真實(shí)驗(yàn)，其中，前3組實(shí)驗(yàn)分別變化負(fù)載質(zhì)量、吊繩長(zhǎng)度、目標(biāo)位置，已整定的控制參數(shù)和其他模型參數(shù)均保持不變，第4 組實(shí)驗(yàn)所有的參數(shù)都保持不變，只施加擾動(dòng)。
在負(fù)載質(zhì)量m2分別為1，3 和5 kg 時(shí)，所提算法的控制結(jié)果如圖2所示。從圖2可以看出：臺(tái)車在8 s 內(nèi)都到達(dá)了目標(biāo)位置且無(wú)任何超調(diào)，說(shuō)明負(fù)載質(zhì)量變化對(duì)臺(tái)車定位和調(diào)整時(shí)間幾乎沒有影響；隨負(fù)載質(zhì)量增加，吊鉤、負(fù)載擺動(dòng)幅度略減少，但基本可以忽略，且吊鉤、負(fù)載擺動(dòng)時(shí)間幾乎不變，臺(tái)車驅(qū)動(dòng)力變化幅度也不大，說(shuō)明在質(zhì)量發(fā)生變化時(shí)，控制器C1對(duì)質(zhì)量變化不敏感。
圖2 不同負(fù)載質(zhì)量下所提方法的控制結(jié)果Fig.2 Control results for proposed method with different playload masses
圖3 不同繩長(zhǎng)下所提方法的控制結(jié)果Fig.3 Control results for proposed method with different rope lengths
在吊繩長(zhǎng)度l1分別為1，2和4 m時(shí)，所提算法的控制結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出：當(dāng)繩長(zhǎng)取不同值時(shí)，到達(dá)目標(biāo)位置的時(shí)間幾乎不變，均在8 s 內(nèi)穩(wěn)定；隨擺長(zhǎng)增加，擺動(dòng)幅度略有增大，但變化幅度在0.1°以內(nèi)，可以忽略不計(jì)；擺動(dòng)穩(wěn)定時(shí)間也均在8 s 左右，在整個(gè)過(guò)程中驅(qū)動(dòng)力變化不大，最大值不超過(guò)14 N，均在合理范圍以內(nèi)，說(shuō)明所提算法在擺長(zhǎng)發(fā)生變化時(shí)，魯棒性較好。
為了驗(yàn)證算法在不同距離下的控制效果，設(shè)計(jì)了如下仿真實(shí)驗(yàn)，臺(tái)車目標(biāo)位置pd分別為1，2，3 和4 m，仿真結(jié)果如圖4所示。從圖4可以看出：臺(tái)車均可到達(dá)不同指定目標(biāo)位置，且無(wú)任何超調(diào)；隨目標(biāo)位置增大，擺動(dòng)幅度增加，但吊鉤、負(fù)載在整個(gè)過(guò)程中的擺動(dòng)幅度都不超過(guò)2°；在臺(tái)車到達(dá)目標(biāo)位置后無(wú)殘余擺動(dòng)，驅(qū)動(dòng)力隨定位距離增加雖有所增大，但增加幅度很小，說(shuō)明所提方法在執(zhí)行器功率有限的情況下，可以適應(yīng)比較寬的作業(yè)范圍，有利于發(fā)揮吊車的效能。
圖4 不同目標(biāo)位置下所提方法的控制結(jié)果Fig.4 Control results for proposed method with different desired situations
為了驗(yàn)證算法的抗干擾能力，針對(duì)負(fù)載在9 s時(shí)施加脈沖干擾、15～16 s 時(shí)施加正弦干擾，幅值均為2°。不同干擾下的控制結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出：在施加干擾之后，擾動(dòng)可快速消除，并且擺角最大幅度均在2°以內(nèi)，說(shuō)明本算法的抗干擾能力較強(qiáng)。
圖5 不同干擾下所提方法的控制結(jié)果Fig.5 Control results for proposed method with different disturbances
5 結(jié)論
1)利用吊鉤擺角與負(fù)載擺角之間的耦合關(guān)系設(shè)計(jì)的LESO能夠?qū)ω?fù)載擺角進(jìn)行有效觀測(cè)，能夠代替?zhèn)鞲衅鞯膶?shí)測(cè)值對(duì)雙擺型吊車進(jìn)行反饋控制，克服了已有雙擺型吊車控制中需要安裝傳感器的弊端，減少了控制裝置的復(fù)雜度，更有利于工程實(shí)際應(yīng)用。
2)將LESO對(duì)負(fù)載擺動(dòng)的估計(jì)值反饋到滑?？刂破髦?，形成了吊車消擺定位控制器，并采用Lyapunov 方法證明了該控制器的漸進(jìn)穩(wěn)定性?？刂破髟谪?fù)載質(zhì)量、繩長(zhǎng)、臺(tái)車位置變化情況下都具有很好的消擺定位性能，且臺(tái)車驅(qū)動(dòng)力、吊鉤及負(fù)載擺動(dòng)都比其他2種對(duì)比方法好，說(shuō)明所提方法在執(zhí)行器功率有限的情況下，可以適應(yīng)比較寬的作業(yè)范圍，有利于發(fā)揮吊車的效能。
3)在不同外界擾動(dòng)作用下，所提方法都能很快消除其對(duì)吊車消擺定位的影響，魯棒性良好。
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