徐艷

一、學情分析

本節(jié)課為習題課，在此之前學生已經(jīng)學習并掌握了一次函數(shù)的概念、圖像及性質，對一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式之間的關系有了一定的認識，能夠初步解讀一次函數(shù)的圖像，并能運用讀取的信息，數(shù)形結合地解決簡單的實際問題。但學生對函數(shù)圖像的解讀大多停留在較為無序的感知階段，對復雜情境中的函數(shù)圖像，難以準確地讀取信息，因而無法順利地解決問題。

該從哪些角度層層解讀，從而獲取足夠多的信息，再結合函數(shù)與方程、不等式等模型的關系來解決問題呢？本節(jié)課嘗試以問題驅動探究，從不同維度逐層深入地解讀一次函數(shù)圖像，從而幫助學生順利地解決函數(shù)類問題。

二、教學實錄

問題1 某種洗衣機在洗滌衣服時，經(jīng)歷了進水、清洗、排水、脫水四個連續(xù)的過程，其中進水、清洗、排水時，洗衣機中的水量y（升）與時間x（分鐘）之間的關系如圖1所示。根據(jù)圖像解答下列問題：

（1）洗衣機的進水時間是多少分鐘？清洗時洗衣機中的水量是多少升？

（2）已知洗衣機的排水速度為每分鐘19升。

①求排水時水量y與x之間的表達式;

②如果排水時間為2分鐘，求排水結束時，洗衣機中剩下的水量。

師：讀圖，首先請根據(jù)題意弄清x、y分別表示的量是什么。

生1：根據(jù)題意，x表示洗衣機工作的時間，y表示洗衣機中的水量，函數(shù)圖像表示工作時洗衣機中的水量與工作時間之間的關系。

師：你能根據(jù)圖像解讀一下變化過程分為幾段嗎？水量隨著時間的變化是怎樣變化的呢？

生2：從變化過程來看，第一階段，洗衣機中的水量隨著時間的增加而增加，即進水階段;接著一段時間內，水量保持不變，即清洗階段;最后，水量隨著時間的增加而減少，即排水階段。

師：很好！下面我們從幾個具體的維度來解讀這個函數(shù)的圖像。

維度1 圖中有哪些點是已知的？它們對應的實際意義是什么？

生3：圖中已知的點有（0，0）、（4，40）、（15，40）。其中（0，0）表示洗衣機沒有開始工作時，水量為0;（4，40）表示洗衣機開始工作（進水）4分鐘時，水量為40升;（15，40）表示洗衣機工作15分鐘（并不是清洗15分鐘）時，水量仍為40升。

維度2 圖中有哪些線是可以直接用待定系數(shù)法求出表達式的？

生4：圖中第一階段的線段（0≤x≤4）上有兩個已知點（0，0）、（4，40），因此，我們可以用待定系數(shù)法直接求得其對應的函數(shù)表達式為y=10x;第二階段的線段（415）因為只有一個已知點，所以我們無法用待定系數(shù)法直接求得其對應的函數(shù)關系式。

維度3 根據(jù)已知數(shù)據(jù)，你能得出每一階段水量變化的速度，然后具體地描述這次洗衣服的過程中，洗衣機水量的變化情況嗎？

生5：前4分鐘，水量均勻增加，洗衣機處于進水狀態(tài)，4分鐘進水40升，因此，進水的速度為40÷4=10（升/分鐘）;4—15分鐘這11分鐘內，洗衣機處于清洗狀態(tài)，水量保持40升不變;15分鐘后，水量均勻減少，洗衣機處于排水狀態(tài)，排水速度為每分鐘19升（已知）。

師：水能完全排空嗎？相應的圖像有什么特征呢？

生6：水并不能完全排空，最后的水量要經(jīng)過脫水才能為0，因此，圖像到最后并沒有與x軸相交。

維度4 根據(jù)維度3中描述的實際變化情況，你能設法求出洗衣機排水狀態(tài)所對應的第三階段線段的函數(shù)表達式嗎？

生7：可以用待定系數(shù)法。但這里只有一個點，無法確定k、b啊，因此，我們還需要再知道一個點的坐標。

師：再找哪一點呢？讀題，根據(jù)“排水速度為每分鐘19升”，你可以得到什么啟發(fā)呢？

生8：可以求得當x=16（即排水1分鐘）時，水量為40-19×1=21（升），由此可得第二個點（16，21）。由點（16，21）、（15，40），可用待定系數(shù)法求得對應函數(shù)表達式為y=-19x+325。

生9：或者求出排水2分鐘后的水量，同樣可求得函數(shù)表達式，同時完成第（2）②問。

生10：也可以用虛線延長線段與x軸相交，求得交點橫坐標為15+40÷19=17[219]，從而確定交點坐標為（17[219]，0），進而用待定系數(shù)法求得函數(shù)表達式。

師：大家根據(jù)題中“排水速度為每分鐘19升”這一信息，找出了1分鐘后、2分鐘后、如果能排光等多個不同的點，這些點都可以用來求函數(shù)表達式，非常好！

生11：我覺得可以不用待定系數(shù)法，根據(jù)實際意義就可以直接列式。由題意，排水時的水量=排水前清洗時的水量-排出的水量，用式子表示即為y=40-19×（x-15），化簡得y=-19x+325。

師：特別地，每一段水量變化的速度，與對應的函數(shù)關系式中的│k│完全一致。水量增加，k為正數(shù);水量減少，k為負數(shù)。從第一階段圖像對應水量變化速度為每分鐘10升，即可知道該段圖像對應的函數(shù)表達式中的k=10;由排水階段的水量減少速度為19，即可知道該段圖像對應的函數(shù)表達式中的k=-19。反之，已知k，也就知道了變化速度。

用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式是常規(guī)解法，而根據(jù)實際意義找到數(shù)量關系，再直接列式表示函數(shù)表達式顯得更簡便，在一次函數(shù)類問題中也非常實用。但這要求學生善于思考，能將函數(shù)問題回歸實際數(shù)量關系。

問題2 快車從甲地駛往乙地，慢車從乙地駛往甲地，兩車同時出發(fā)并且在同一條公路上勻速行駛。圖2中折線表示快、慢兩車之間的距離y（km）與它們的行駛時間x（h）之間的函數(shù)關系。小欣同學結合圖像得出如下結論：①快車途中停留了0.5h;②快車速度比慢車速度快20km/h;③圖中a=340;④快車先到達目的地。其中正確的是（? ? ? ?）。

師：讀圖，首先請根據(jù)題意弄清x、y分別表示的量是什么。

生12：根據(jù)題意可知x表示兩車出發(fā)后行駛的時間，y表示兩車之間的距離，函數(shù)圖像表示兩車之間的距離與行駛時間之間的關系。

師：你能根據(jù)圖像解讀一下變化過程分為幾段嗎？兩車之間的距離隨著時間的變化是怎樣變化的呢？

生（思考、討論、交流、陳述）：從變化過程來看，第一階段兩車之間的距離隨著時間的增加而減小，即相向而行直到相遇;接著的0.5h內距離一直為0，即兩車相遇后停留休息;然后兩車距離隨著時間的增加而增大，但很顯然，變化的速度比兩車相向而行時慢得多，說明只有一輛車在行駛，另一輛車原地不動;接著兩車之間的距離隨著時間增加而增大，目測變化速度與相向而行時一致，可見兩車均以原速背向行駛;最后一小段圖像，兩車之間的距離變化速度再次變小，表明有一輛車到了，僅另一輛車在行駛，最終到達各自終點。

師：大家描述的運動過程很清晰，下面從幾個具體的維度來解讀這個函數(shù)的圖像。

維度1 圖中有哪些點是已知的？它們對應的實際意義是什么？

生13：圖中已知的點有（0，360）、（2，0）、（2.5，0）、（3.6，88）、（5.2，360）。其中（0，360）表示準備出發(fā)時兩車相距360km，說明兩地之間的距離為360km;（2，0）表示2h后兩車相遇;（2.5，0）表示2.5h起，其中一輛車準備出發(fā);（3.6，88）表示3.6h時，兩車之間距離為88km，此時另一輛車準備出發(fā);（5.2，360）表示5.2h時，兩車各自均已到達終點。另外，（5，a）表示自出發(fā)行駛到5h時，兩車相距akm，其中一輛車到達終點。

維度2 圖中有哪些線是可以直接用待定系數(shù)法求出表達式的？

生14：根據(jù)維度1讀出的已知點可知，0≤x≤2、2

維度3 根據(jù)已知數(shù)據(jù)，你能得出每一段路程變化對應的速度，然后具體地描述這段行程嗎？

生15：兩車開始相距360km，2h后相遇，由此可知兩車速度之和為360÷2=180（km/h）;2h—2.5h，兩車相遇后距離一直為0，兩車停住休息;2.5h—3.6h這1.1h，兩車間距均勻增大為88km，因此變化速度為88÷1.1=80（km/h），顯然是慢車的速度，由此可知快車的速度為180-80=100（km/h）;3.6h—5h，兩車間距變化的速度變大，變得和最初2h的速度相當，即為180km/h，故而求得a=88+180×（5-3.6）=340（km）;5—5.2h，0.2h的間距變化為360-340=20（km），因此速度為20÷0.2=100（km/h），即只有快車在行駛，慢車已于5h時到達終點;5.2h時，快車也到達終點。

師：至此，本題所有答案都已解鎖。

維度4 根據(jù)維度3中描述的實際變化情況，你能設法求出3.6

生16：由維度3可知，3.6h—5h，兩車間距變化的速度為180km/h，因此本段函數(shù)式中的k=180，兩車間距離=3.6h時的間距+增加的距離，即y=88+180×（x-3.6）。當x=5時，可得a=y=88+180×（5-3.6）=340。由待定系數(shù)法求得當5

三、教學反思

本節(jié)課，在探究兩個問題的解題過程中，4個維度的問題設計分別為：維度1，引導學生探究關鍵點;維度2，探究關鍵線段;維度3，定量地探究實際變化過程;維度4，用數(shù)學模型解決實際問題。教師通過這4個維度引導學生逐層深入地讀取圖像中的有效信息：從整體看圖像的變化趨勢，定性地描述整個變化過程;從局部看關鍵點、線段的數(shù)量及實際意義，進而定量地描述變化過程，順利解決問題?？傊?，我們要教會學生一些通法，即先通過圖像獲取信息，再從點、線、變化過程等多個維度去讀圖、識圖、用圖，充分挖掘有用信息，然后才能數(shù)形結合地破解一次函數(shù)應用問題，以此推廣到以后學習的各類函數(shù)圖像問題。

（作者單位：江蘇省南京市竹山中學）