吳琴菲 文錦輝

(中山大學(xué)物理學(xué)院, 廣州 510275)

頻率分辨光學(xué)開(kāi)關(guān)(frequency-resolved optical gating, FROG)法是目前測(cè)量超短激光脈沖的主要方法之一.針對(duì)其常用的主成分廣義投影重構(gòu)(principal component generalized projections, PCGP)算法在處理大矩陣FROG 譜圖時(shí)速度會(huì)減慢及存在噪音時(shí)準(zhǔn)確度下降的缺點(diǎn), 本文提出一種基于搜尋者優(yōu)化算法的FROG算法.該算法在直接測(cè)量脈沖光譜分布的基礎(chǔ)上, 通過(guò)搜索脈沖頻域相位的幾個(gè)色散系數(shù), 從而恢復(fù)脈沖的結(jié)構(gòu).由于新算法主要在頻域上進(jìn)行運(yùn)算, 流程比PCGP 算法簡(jiǎn)便很多, 收斂速度和準(zhǔn)確性都有明顯改善.通過(guò)數(shù)值模擬方法重構(gòu)了多個(gè)不同結(jié)構(gòu)的超短脈沖, 分析討論了無(wú)噪音和在不同噪音水平下該算法的準(zhǔn)確度.計(jì)算結(jié)果充分展示了該算法重構(gòu)脈沖的速度快、準(zhǔn)確度高的特點(diǎn), 在無(wú)噪音條件下其準(zhǔn)確度比PCGP 提升了3 個(gè)數(shù)量級(jí)以上.

1 引 言

頻率分辨光學(xué)開(kāi)關(guān)(frequency-resolved optical gating, FROG)法是目前常用的超短激光脈沖測(cè)量技術(shù)[1?3], 它可以完整地恢復(fù)脈沖信息.其中二次諧波頻率分辨光學(xué)開(kāi)關(guān)(second-harmonic generation FROG, SHG-FROG)法因靈敏度高,可測(cè)量較弱能量的脈沖而應(yīng)用廣泛[4?6].FROG 方法的輸出信號(hào)是一個(gè)二維光譜圖, 需要采用迭代逼近算法來(lái)重構(gòu)脈沖的形狀.為了提高脈沖重構(gòu)的速度和準(zhǔn)確性, 達(dá)到實(shí)時(shí)測(cè)量脈沖的目的, 人們不斷地對(duì)FROG 重構(gòu)算法進(jìn)行改進(jìn)[7?10].其中廣義投影(generalized projections, GP)算法[7?11]適用于各種結(jié)構(gòu)的FROG 技術(shù)的脈沖重構(gòu), 其收斂性能和魯棒性都很好.在GP 算法基礎(chǔ)上, Kane[8,12?14]提出了主成分廣義投影(principal component generalized projections, PCGP)算法, 它通過(guò)脈沖的外積矩陣構(gòu)建FROG 譜圖, 然后用奇異值分解(singular value decomposition, SVD)或者冪方法選擇主成分因子的方法, 代替GP 算法的最小化搜尋方式, 計(jì)算速度比GP 算法快了2 倍以上[8].目前, GP 和PCGP 算法作為主流的FROG 算法,被應(yīng)用于各種超短脈沖的測(cè)量[15?17].利用全局搜索算法實(shí)現(xiàn)的FROG 算法也分別被提出, 例如利用模擬退火(simulated annealing, SA)算法[9]和遺傳算法(genetic algorithm, GA)[10]實(shí)現(xiàn)FROG技術(shù)的脈沖重構(gòu).

然而, GP 算法的脈沖重構(gòu)速度相對(duì)較慢[8];PCGP 算法處理存在噪音的FROG 譜圖時(shí)重構(gòu)出來(lái)的脈沖相位與強(qiáng)度不能很好吻合[12], 用單一矩陣構(gòu)建的FROG 譜圖與實(shí)際圖像存在偏差[14,18],以致重構(gòu)脈沖的誤差較大[12].在恢復(fù)復(fù)雜脈沖時(shí),PCGP 算法的收斂性通常不太理想, 盡管Hause等[19]通過(guò)修改標(biāo)準(zhǔn)的PCGP 算法流程降低了較差收斂的概率, 但沒(méi)有徹底解決這個(gè)問(wèn)題.Kane[20]在2017 年提出一種基于PCGP 的改進(jìn)算法, 利用多個(gè)外積矩陣之和來(lái)構(gòu)造FROG 譜圖, 在不影響收斂速度的情況下算法的魯棒性可提升50%.基于SA 和GA 的FROG 算法則受經(jīng)典SA 和GA收斂速度的限制, 它們重構(gòu)脈沖的速度比較慢.

總之, GP 和PCGP 算法未能同時(shí)兼顧重構(gòu)脈沖的準(zhǔn)確性和實(shí)時(shí)性, 其他基于全局搜索算法的重構(gòu)方法也只能犧牲速度以保證重構(gòu)脈沖的準(zhǔn)確性.這意味著在實(shí)時(shí)并準(zhǔn)確地重構(gòu)超短脈沖的需求方面, 現(xiàn)有FROG 算法的表現(xiàn)未能令人滿意.

針對(duì)以上問(wèn)題, 我們提出了一種新的FROG算法.該算法在實(shí)驗(yàn)上記錄待測(cè)脈沖的FROG 譜圖和光譜分布, 利用搜尋者優(yōu)化算法(seeker optimization algorithm, SOA)[21?23]搜索脈沖的色散系數(shù), 這些色散系數(shù)可決定脈沖的光譜相位曲線.知道了光譜分布和光譜相位曲線即可確定脈沖的形狀.理論模擬結(jié)果顯示, 基于SOA 的FROG 算法具有搜索速度快, 收斂準(zhǔn)確度高和魯棒性強(qiáng)的特點(diǎn);與PCGP 算法比較, 其迭代速度稍快一些, 重構(gòu)脈沖的準(zhǔn)確度更高, 尤其對(duì)具有高階色散的脈沖重構(gòu)有較為突出的優(yōu)勢(shì), 如在無(wú)噪音條件下其準(zhǔn)確度比PCGP 提升了3 個(gè)數(shù)量級(jí)以上.

2 算法描述

超快激光脈沖的結(jié)構(gòu)可分別采用電場(chǎng)振幅的時(shí)域表示E(t)和頻域表示E(ω)兩種形式:

其中,I(t)和φ(t)分別是脈沖在時(shí)域上的強(qiáng)度包絡(luò)和相位曲線,ω0是中心圓頻率,S(ω)和φ(ω)是脈沖的光譜強(qiáng)度和光譜相位分布.E(t)和E(ω)滿足傅里葉變換關(guān)系, 只要測(cè)得其中一個(gè), 脈沖的結(jié)構(gòu)就唯一地確定了.

由鎖模激光振蕩器和超快激光放大器輸出的超短脈沖, 其光譜相位φ(ω)通常展現(xiàn)為一條平滑曲線, 可在中心頻率ω0處作泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)

由(2)式和(3)式可知, 如果脈沖光譜S(ω)已知, 則只要測(cè)出光譜相位φ(ω)的各階色散系數(shù),即可確定脈沖的結(jié)構(gòu).由此, 我們提出一種新的FROG 算法, 在直接用光譜儀測(cè)量S(ω)的基礎(chǔ)上,選擇一種優(yōu)化算法搜索φ(ω)的各階色散系數(shù)(特別是2—5 階系數(shù)), 使之相對(duì)應(yīng)的SHG-FROG 譜圖與實(shí)驗(yàn)測(cè)得的譜圖基本相符即可.

我們考察或嘗試了包括SA, GA, 進(jìn)化算法和粒子群算法等多種優(yōu)化算法, 最終選擇了SOA 用于FROG 的脈沖重構(gòu).

SOA 是一種新型智能的全局搜索算法, 它模仿人類的經(jīng)驗(yàn)、記憶、不確定性推理和彼此合作互通信息等搜索行為, 能夠根據(jù)情況的變化不斷調(diào)整多個(gè)參數(shù)的搜索方向和搜索步長(zhǎng), 因而兼具全局搜索和局部?jī)?yōu)化的特點(diǎn), 能夠有效地避免在搜索過(guò)程中陷于局部極小的境地, 目前它在多種應(yīng)用上表現(xiàn)出優(yōu)越的性能[21?24].該算法要設(shè)定S個(gè)搜尋者, 每個(gè)搜尋者有M個(gè)搜索維度.每個(gè)搜尋者各個(gè)維度的搜索方向被自己的利己行為、預(yù)動(dòng)行為和他人的利他行為所決定, 而每次搜索的步長(zhǎng)則由基于模糊推理規(guī)則的不確定性推理所決定.

基于SOA 的FROG 重構(gòu)算法(SOA-FROG)的具體流程如下:

1) 用實(shí)驗(yàn)方法記錄待測(cè)脈沖的SHG-FROG譜圖Ifrog(ω,τ)(為N×N矩陣), 同時(shí)用光譜儀記錄脈沖的光譜分布S(ω), 并設(shè)定FROG 迭代算法的容許誤差ε.

2) 根據(jù)SOA 規(guī)則選定S個(gè)搜尋者Ψn(n= 1,2, ···,S), 每個(gè)搜尋者包含M個(gè)色散系數(shù), 其隨機(jī)初始位置為Ψn(GDD0, TOD0, FOD0, FVOD0, ···).

3)對(duì)每個(gè)搜索者Ψn, 結(jié)合已知的S(ω)可導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的猜測(cè)脈沖的頻域表示E(ω).對(duì)E(ω)作傅里葉變換可得到時(shí)域表示E(t), 即可利用(4)式求出相應(yīng)的SHG-FROG 譜圖Icalc(ω,τ)(亦為N×N矩陣):

4)利用(5)式計(jì)算各個(gè)搜尋者當(dāng)前所對(duì)應(yīng)的誤差函數(shù)G:

5) 判斷是否其中一個(gè)搜尋者已滿足迭代終止條件G≤ε.若還沒(méi)有, 則由SOA 搜索規(guī)則去確定每個(gè)搜尋者各個(gè)維度新的搜索方向和步長(zhǎng), 從而得到下一輪循環(huán)的色散系數(shù)組合Ψn(GDD, TOD,FOD, FVOD, ···).

6) 重復(fù)3)—5)的循環(huán)迭代過(guò)程, 直至其中一個(gè)Ψn滿足終止條件G≤ε即可停止搜索, 然后輸出其對(duì)應(yīng)的脈沖結(jié)構(gòu)E(ω)和E(t)作為脈沖重構(gòu)結(jié)果.

可以看出, SOA-FROG 算法的迭代運(yùn)算主要在頻域上進(jìn)行, 其流程步驟要比PCGP 算法簡(jiǎn)便很多; PCGP 算法則要對(duì)FROG 譜圖作時(shí)域-頻域的反復(fù)轉(zhuǎn)換及相應(yīng)的SVD 運(yùn)算等一系列矩陣操作.估計(jì)在PCGP 算法一個(gè)迭代循環(huán)的時(shí)間內(nèi), 新算法已經(jīng)循環(huán)搜索了5 次以上.這對(duì)于處理大數(shù)據(jù)陣列如512 × 512, 1024 × 1024 以上的情形尤其有利.另外, 由于光譜分布S(ω)已知, 該算法只需要搜索幾個(gè)色散系數(shù), 理應(yīng)比PCGP 算法具有更快的收斂速度.

3 數(shù)值模擬結(jié)果與分析

采用數(shù)值模擬的方法, 分析SOA-FROG 算法分別在無(wú)噪音和有噪音條件下的準(zhǔn)確度及達(dá)到收斂的速度, 并與PCGP 算法作對(duì)比.

為方便起見(jiàn), 設(shè)定要重構(gòu)的所有待測(cè)脈沖具有相同的高斯分布的光譜強(qiáng)度S(ω)(如圖1 所示), 不同的待測(cè)脈沖只是色散系數(shù)有差異.其中脈沖的中心圓頻率為ω0= 2π × 375 THz, 光譜寬度為Δω= 2π × 25 THz.脈沖SHG-FROG 譜圖的時(shí)間抽樣點(diǎn)數(shù)為N= 256, 抽樣間隔為1.5 fs.

圖1 所有待測(cè)脈沖的光譜強(qiáng)度分布Fig.1.Spectral intensity of all the test pulses in context.

3.1 脈沖重構(gòu)的準(zhǔn)確度

3.1.1 無(wú)噪音的情形

設(shè)定SOA-FROG 算法的迭代次數(shù)為1500 次.考察兩類待測(cè)脈沖的結(jié)構(gòu): 一是脈沖的色散系數(shù)只有GDD 和TOD 是主要的, 而更高階的系數(shù)較小可以忽略.這時(shí)可設(shè)置搜尋者數(shù)目S= 3, 空間維度M= 2, 即只搜索GDD 和TOD.我們對(duì)100個(gè)色散系數(shù)落在|GDD|<200 fs2, |TOD|<2500 fs3,|FOD|<10 fs4和|FVOD|<100 fs5范圍內(nèi)的隨機(jī)脈沖進(jìn)行了重構(gòu)計(jì)算.數(shù)值模擬的結(jié)果為當(dāng)算法收斂時(shí)誤差G值均小于10–4, 其中G< 10–6的脈沖有28 個(gè), 10–6 10–4的脈沖只有3 個(gè)(如圖2 黑柱所示).

圖2 兩類色散結(jié)構(gòu)的隨機(jī)脈沖經(jīng)過(guò)SOA 迭代運(yùn)算1500 次后的誤差分布Fig.2.Distributions of FROG error at three levels for random ultrashort pulses of two chirped features after 1500 circles of iteration with SOA.

根據(jù)FROG 算法的規(guī)則, 在無(wú)噪音時(shí)G≤10–4代表所用算法能嚴(yán)格收斂.所以在FOD 及以上色散系數(shù)可忽略時(shí), 本文提出的SOA-FROG 算法在迭代1500 次以內(nèi)完全達(dá)到了嚴(yán)格收斂的條件;而當(dāng)脈沖的FOD 和FVOD 不可忽略, 但落在上述限定范圍時(shí), 絕大部分脈沖在迭代1500 次后也實(shí)現(xiàn)了算法的嚴(yán)格收斂.個(gè)別脈沖可能需要更多的迭代次數(shù)或者設(shè)定不同的初始隨機(jī)色散系數(shù)進(jìn)行搜索應(yīng)能達(dá)到嚴(yán)格收斂條件.

表1 列出了上述運(yùn)算中處理過(guò)的3 個(gè)脈沖的原始色散系數(shù), 以及分別對(duì)它們隨機(jī)設(shè)定初始色散系數(shù)然后進(jìn)行30 次重構(gòu)運(yùn)算后所得到的平均結(jié)果.可以看出SOA 的平均誤差基本上低于10–5,重構(gòu)得到的色散系數(shù)值甚至可準(zhǔn)確到個(gè)位數(shù)(忽略時(shí)間方向上的模糊).作為對(duì)比, 利用基于文獻(xiàn)[13]的PCGP 算法標(biāo)準(zhǔn)程序?qū)@3 個(gè)脈沖在相同條件下進(jìn)行了重構(gòu), 其平均誤差就比較大.從表1 可看出SOA 的準(zhǔn)確度比PCGP 算法提升了至少3 個(gè)數(shù)量級(jí).

FROG 誤差G越小, 恢復(fù)的色散系數(shù)就越準(zhǔn)確.以表1 中的脈沖3 為例, 其中一次重構(gòu)結(jié)果為G= 9.2 × 10–5, 對(duì)應(yīng)的色散系數(shù)為(100, –492,–3628, 6212), 前3 個(gè)系數(shù)與原始脈沖比較相近;另一次重構(gòu)誤差為G= 2.2 × 10–6時(shí), 恢復(fù)的色散系數(shù)為(100, –500, –3652, 7962), 4 個(gè)系數(shù)與原始脈沖相差不多; 還有一次重構(gòu)結(jié)果為G= 4.2 ×10–8, 恢復(fù)的色散系數(shù)與原始脈沖完全一樣.這個(gè)結(jié)果比文獻(xiàn)[25, 26]的結(jié)果好很多, 其中文獻(xiàn)[25]在相干自相關(guān)上使用GA 與保證優(yōu)化相結(jié)合的算法, 文獻(xiàn)[26]在相干自相關(guān)上使用進(jìn)化算法, 它們模擬恢復(fù)的色散系數(shù)與原始值差別都比較大.

圖3 展示了重構(gòu)脈沖3 時(shí)采用SOA 和PCGP算法的誤差分別為G= 4.2 × 10–8和G= 9.8 ×10–3時(shí)所對(duì)應(yīng)的脈沖結(jié)構(gòu)在時(shí)域上的差異.可以看出SOA 的表現(xiàn)非常好, 它重構(gòu)的脈沖準(zhǔn)確還原了原始脈沖的結(jié)構(gòu), 而PCGP 算法的結(jié)果明顯偏離真實(shí)情況.

3.1.2 有噪音的情形

由于泊松噪音可以模擬暗電流等真實(shí)的實(shí)驗(yàn)噪音, 因此利用泊松噪音作為加性噪音, 并設(shè)其泊松分布的均值為5.可將不同程度的噪音量添加在SHG-FROG 譜圖上, 即:

為了直觀地了解SOA-FROG 算法在FROG譜圖有噪音下的表現(xiàn), 考察對(duì)脈沖1 的重構(gòu)情況,其中噪音平均值分別取FROG 譜圖最大值的1%,5%, 10%和20% (加入噪音之后應(yīng)對(duì)譜圖做歸一化處理).在使用SOA-FROG 算法重構(gòu)脈沖前, 要先對(duì)FROG 圖進(jìn)行預(yù)處理.計(jì)算角落60 個(gè)點(diǎn)的平均值作為背景噪聲, 然后讓整個(gè)FROG 譜圖扣除這個(gè)背景噪聲; 扣掉背景噪音之后, 必要時(shí)還可對(duì)FROG 譜圖做3 × 3 的均值濾波處理.

在每個(gè)噪音水平下運(yùn)行SOA-FROG 算法100 次, 設(shè)置最大搜索次數(shù)為300.圖4 為不同噪音水平下利用SOA 對(duì)脈沖1 進(jìn)行重構(gòu)的結(jié)果.其中圖4(a)展示了只扣除背景噪音、扣除背景噪音加3 × 3 均值濾波與未扣除背景噪音時(shí)獲得的FROG 誤差G的對(duì)比.可知扣除背景噪音后的誤差G小了約50%, 加上均值濾波后效果要稍好一些.

1.創(chuàng)新高校辦學(xué)培養(yǎng)模式，專業(yè)技術(shù)與創(chuàng)業(yè)能力相結(jié)合。高校鼓勵(lì)大學(xué)生創(chuàng)新精神的不斷提升需要與大學(xué)生自身的專業(yè)能力相結(jié)合，大學(xué)生的專業(yè)培養(yǎng)是進(jìn)行了社會(huì)細(xì)分，根據(jù)某一種能力進(jìn)行專門(mén)的培養(yǎng)，而創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)的能力培訓(xùn)也單單是為了培養(yǎng)大學(xué)生的某一種謀生手段。高校在大學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)過(guò)程中，應(yīng)該與其專業(yè)能力相結(jié)合，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)創(chuàng)業(yè)技能的同時(shí)將自身的專業(yè)知識(shí)和興趣結(jié)合起來(lái)，發(fā)揮他們更大的創(chuàng)造力和創(chuàng)新性。將創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力結(jié)合到專業(yè)能力的培養(yǎng)中，也使得專業(yè)技能具有最大程度的價(jià)值，不脫離社會(huì)。

表1 無(wú)噪音情形下幾個(gè)脈沖的重構(gòu)結(jié)果Table 1.Reconstructed results of three test pulses in cases without noise.

圖3 (a)脈 沖3 的 原 始SHG-FROG 譜 圖; (b) SOA 和PCGP 兩種算法重構(gòu)出的脈沖3 的時(shí)域強(qiáng)度和相位Fig.3.(a) Original SHG-FROG trace of pulse 3#; (b) reconstructed intensities and phases in time domain of the pulse by SOA and PCGP algorithm, respectively.

脈沖重構(gòu)的準(zhǔn)確性通常用時(shí)域上的強(qiáng)度誤差GI 和相位誤差GP 來(lái)表征, 具體定義請(qǐng)參看文獻(xiàn)[27].由圖4(b)和圖4(c)可知, 在1%和5%的噪音水平下GI 和GP 均較小; 而在10%和20%的噪音水平下, 雖然收斂時(shí)的FROG 誤差比噪音水平低得多, 且統(tǒng)計(jì)偏差也不大, 但是強(qiáng)度誤差和相位誤差的平均值增大; 且隨著噪音的增大, 統(tǒng)計(jì)偏差也在變大.

經(jīng)過(guò)濾波處理后, 在較大噪音條件下, GI 和GP 比未濾波時(shí)要小很多; 而在噪音較小時(shí)濾波反而惡化了重構(gòu)結(jié)果, 原因是均值濾波可能會(huì)濾掉一些脈沖結(jié)構(gòu)的細(xì)節(jié), 特別是關(guān)于高階色散的一些信息.

在不同噪音水平下用SOA-FROG 算法重構(gòu)脈沖1 的模擬結(jié)果見(jiàn)圖5.第1 列是原始FROG譜圖加上噪音后的圖像, 第2 列和第3 列分別是為重構(gòu)出來(lái)的FROG 譜圖及I(t)和φ(t)曲線.其中噪音水平為1%和5%的重構(gòu)結(jié)果是只扣本底但未做均值濾波的條件下得到的; 而10%和20%的結(jié)果是扣本底且實(shí)施均值濾波下得到的.可以看出,重構(gòu)脈沖與原始脈沖在時(shí)域的強(qiáng)度包絡(luò)和相位曲線的偏差也隨著噪音的增加而增大.

圖4 不同噪音水平下用SOA 對(duì)脈沖1 進(jìn)行重構(gòu)所對(duì)應(yīng)的 (a) FROG 誤差、(b)強(qiáng)度誤差和(c)相位誤差Fig.4.(a) FROG error, (b) intensity error, and (c) phase error of test pulse 1# reconstructed by SOA with different noise levels.

圖5 不同噪音水平下重構(gòu)脈沖1 得到的FROG 譜圖和時(shí)域曲線Fig.5.Reconstructed FROG traces, intensities and phases in time domain of test pulse 1# by SOA algorithm with different noise levels.

表2 不同噪音水平下用SOA 和PCGP 算法重構(gòu)脈沖1 的結(jié)果比較Table 2.Comparison of reconstructed results of pulse 1# by SOA and PCGP algorithms with different noise levels.

作為對(duì)比, 也計(jì)算了相同噪音條件下采用PCGP 算法的重構(gòu)結(jié)果, 其中對(duì)FROG 譜圖也作了相同的扣除背景和濾波處理.兩種算法在不同噪音水平下的重構(gòu)準(zhǔn)確度的比較見(jiàn)表2.可以看出噪音的增加導(dǎo)致SOA 重構(gòu)出來(lái)的色散系數(shù)偏離原始值, 噪音越大偏離越遠(yuǎn).但總體而言, SOA-FROG算法對(duì)噪音不是太敏感, 即使FROG 譜圖存在一定的噪音, SOA 仍能達(dá)到較高的準(zhǔn)確度, 要比PCGP算法優(yōu)越許多.原因在于用光譜儀直接測(cè)量脈沖的光譜分布S(ω), 其噪音水平應(yīng)遠(yuǎn)低于利用二階非線性光學(xué)效應(yīng)測(cè)量到的SHG-FROG 譜圖, 而SOA 算法只是搜索幾個(gè)色散系數(shù), 搜索循環(huán)過(guò)程中所構(gòu)建的各個(gè)猜測(cè)脈沖都并非來(lái)源于有噪音的FROG 譜圖, 因而該算法對(duì)噪音的耐受度較高.可以認(rèn)為實(shí)測(cè)的光譜分布S(ω)對(duì)脈沖重構(gòu)的誤差具有強(qiáng)力的抑制作用, 大大提高了噪音條件下脈沖重構(gòu)的準(zhǔn)確性.相比之下, 用PCGP 算法在同等噪音水平下得到的重構(gòu)誤差GI 和GP 遠(yuǎn)大于SOA 的數(shù)值, 是由于在迭代循環(huán)過(guò)程中所構(gòu)建的各個(gè)猜測(cè)脈沖都來(lái)源于有噪音的FROG 譜圖, 這樣重構(gòu)出來(lái)的脈沖在時(shí)域上的強(qiáng)度包絡(luò)和相位曲線通常會(huì)出現(xiàn)不規(guī)則的毛刺, 噪音越大重構(gòu)準(zhǔn)確度就越差.至于表2 中兩種算法得到的誤差G的差別并不大,原因在于它是重構(gòu)出來(lái)的FROG 譜圖與有噪音的譜圖逐點(diǎn)相減得到的平均誤差(見(jiàn)(5)式), 因而其數(shù)值大小與噪音水平直接相關(guān), 不足以準(zhǔn)確反映兩種算法在脈沖重構(gòu)準(zhǔn)確度上的明顯差異.

實(shí)際上, 還對(duì)色散系數(shù)范圍在|GDD|<200 fs2,|TOD|<2500 fs3,|FOD|<5000 fs4, 以及|FVOD|<10000 fs5的100 個(gè)隨機(jī)脈沖進(jìn)行了有噪音條件下的重構(gòu).其中SOA 取S= 3 和M= 4, 重構(gòu)的結(jié)果與脈沖1 的情況基本相似, 其中誤差GI 和GP的變化趨勢(shì)分別與圖4(b)和圖4(c)一致, 誤差水平也與圖4 差不多; 而同樣噪音水平下PCGP 的誤差變化趨勢(shì)也與SOA 基本相似.

3.2 脈沖的實(shí)時(shí)重構(gòu)

如前所述, 在無(wú)噪音情形, 若以G≤ 10–4作為算法的終止條件, SOA-FROG 算法對(duì)100 個(gè)隨機(jī)啁啾脈沖進(jìn)行重構(gòu), 除去在1500 次迭代過(guò)程中不能達(dá)到終止條件的2 個(gè)脈沖, 其余98 個(gè)脈沖的重構(gòu)平均時(shí)間為3.5 s, 其中71 個(gè)脈沖能在4 s 以內(nèi)完成, 見(jiàn)圖6(a).

比較而言, 在脈沖的重構(gòu)過(guò)程中PCGP 算法的迭代速度是GP 算法的兩倍左右, 且大多數(shù)時(shí)候能在100 次迭代內(nèi)收斂, 被認(rèn)為可以實(shí)現(xiàn)超短脈沖的實(shí)時(shí)重構(gòu)[8].在本文的模擬運(yùn)算環(huán)境下, PCGP算法每秒的迭代次數(shù)為21.5 次(與SOA 相差約5 倍), 它的收斂時(shí)間約4—5 s.即取M= 4 時(shí)SOA 重構(gòu)脈沖的收斂速度比PCGP 算法稍快一點(diǎn), 但實(shí)際上兩者在收斂時(shí)的脈沖重構(gòu)準(zhǔn)確度有著很明顯的差別.圖6(b)給出了兩種算法對(duì)表1 中脈沖2 的迭代運(yùn)算情況.盡管該脈沖具有較大的TOD, 用SOA 迭代300 次后誤差G仍可降到10–5以下; 而PCGP 算法在迭代過(guò)程中誤差G先是快速下降并很快達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)(從而可認(rèn)為已經(jīng)收斂), 但G值一直維持在7 × 10–3附近, 遠(yuǎn)未達(dá)到嚴(yán)格收斂條件.因此, 如果不對(duì)比脈沖重構(gòu)準(zhǔn)確度而只是比較PCGP 算法與SOA 的收斂速度, 并沒(méi)有太大的意義.

圖6 (a)無(wú)噪音條件下用SOA 重構(gòu)隨機(jī)色散脈沖的收斂時(shí)間范圍; (b)兩種算法對(duì)脈沖1 重構(gòu)迭代300 次情形下其誤差的演化過(guò)程Fig.6.(a) Distributions of pulse numbers via reconstruction time for SOA in cases without noise; (b) evolutions of FROG error for pulse 1# in 300 circles of iteration with SOA and PCGP algorithm, respectively.

而在有噪音情形下, 由于通常設(shè)置的重構(gòu)容許誤差ε要大一些(與噪音水平接近), 因而收斂會(huì)相對(duì)容易達(dá)到.用SOA 算法進(jìn)行300 次迭代(時(shí)間3 s 左右)之后, 絕大部分脈沖都可完成重構(gòu)流程,并有較高的重構(gòu)準(zhǔn)確度, 詳見(jiàn)上文的模擬結(jié)果.

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于SOA 的FROG 算法, 它通過(guò)直接測(cè)量待測(cè)脈沖的光譜分布, 然后用SOA算法搜索該脈沖光譜相位曲線的色散系數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)脈沖的重構(gòu).利用數(shù)值模擬方法, 分析了在無(wú)噪音和存在幾種噪音水平條件下SOA 算法的重構(gòu)準(zhǔn)確度.計(jì)算結(jié)果表明, 相較于PCGP 算法, SOAFROG 算法得到的結(jié)果會(huì)更準(zhǔn)確.在無(wú)噪音情形下SOA-FROG 算法準(zhǔn)確度比PCGP 算法提升了3 個(gè)數(shù)量級(jí)以上; 在有噪音情形下, 重構(gòu)的脈沖形狀基本上與原始脈沖吻合.由于該算法的迭代運(yùn)算過(guò)程主要在頻域上進(jìn)行, 流程要比PCGP 算法簡(jiǎn)便很多, 省去了許多矩陣運(yùn)算和時(shí)域-頻域轉(zhuǎn)換的操作, 因而迭代速度和搜索速度都很快.

總之, SOA-FROG 算法在重構(gòu)超短脈沖方面既快速又準(zhǔn)確, 可為超短脈沖的實(shí)時(shí)測(cè)量提供一種新的解決方案.它不僅適于SHG-FROG, 也能用于其他基于三階非線性光學(xué)效應(yīng)的FROG 方法.當(dāng)然該算法目前還存在一些限制.例如要比PCGP 算法多測(cè)量一個(gè)脈沖光譜, 另外它只適用于測(cè)量光譜相位曲線連續(xù)可微分的超短脈沖.若要處理光譜相位存在跳變或者光譜分段等更為復(fù)雜的超短脈沖, 需要對(duì)算法作進(jìn)一步的優(yōu)化改進(jìn),或者選擇更為合適的優(yōu)化算法.相關(guān)研究工作有待繼續(xù).