劉艷紅 周瑤瑤 閆智輝 賈曉軍

1) (太原師范學院物理系, 晉中 030619)

2) (太原師范學院, 計算物理與應(yīng)用物理研究所, 晉中 030619)

3) (山西大學光電研究所, 量子光學與光量子器件國家重點實驗室, 太原 030006)

4) (山西大學, 極端光學協(xié)同創(chuàng)新中心, 太原 030006)

量子糾纏是一種關(guān)鍵的量子資源.隨著量子信息技術(shù)的發(fā)展, 由量子通道和量子節(jié)點組成的量子網(wǎng)絡(luò)成為研究的熱點.量子信息網(wǎng)絡(luò)的建立需要在多個遠距離的量子節(jié)點間建立糾纏, 它在分步式量子計算及量子因特網(wǎng)等方面有很重要的應(yīng)用價值.本文在光和原子混合糾纏的基礎(chǔ)上, 提出了結(jié)合前饋網(wǎng)絡(luò)建立三個獨立的遠程原子系綜之間的連續(xù)變量確定性糾纏.三個原子系綜分別放置在三個遠程的節(jié)點中, 每個節(jié)點首先通過自發(fā)拉曼散射過程制備光和原子的混合糾纏; 然后, 利用平衡零拍探測器測量三束Stokes 光場干涉后的量子噪聲, 并將測量的結(jié)果前饋到原子系綜, 在三個獨立的遠距離的原子系綜間建立糾纏; 最后, 利用來自三個原子系綜的三束反斯托克斯光束的關(guān)聯(lián)方差通過三組份不可分判據(jù)驗證三個原子系綜的糾纏.該方案簡單可行,可以拓展到基于不同物理系統(tǒng)的量子節(jié)點, 甚至實現(xiàn)更多原子節(jié)點的糾纏, 從而實現(xiàn)大規(guī)模量子信息網(wǎng)絡(luò).

1 引 言

量子糾纏是實現(xiàn)量子通信和構(gòu)建量子信息網(wǎng)絡(luò)的一種關(guān)鍵的量子資源[1,2].伴隨著量子信息科學的快速發(fā)展, 由量子節(jié)點和連接量子節(jié)點的量子通道構(gòu)成的量子網(wǎng)絡(luò)開辟了廣闊的科學領(lǐng)域[3].光是最好的量子信息載體, 可以用來傳輸量子態(tài)和連接量子節(jié)點.原子系綜[4?10]、單原子[11,12]、囚禁離子[13?15]、光力系統(tǒng)[16?20]、超導(dǎo)體[21?23]、固態(tài)系統(tǒng)[24?27]和其他物理系統(tǒng)都可以被用作量子節(jié)點.量子信息網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展需要在量子節(jié)點間產(chǎn)生、存儲及分發(fā)糾纏的能力.近年來, 兩個量子節(jié)點間的糾纏已經(jīng)實現(xiàn)[28?38].伴隨著量子信息網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展, 利用量子存儲已經(jīng)實現(xiàn)了三個和四個原子系綜的預(yù)告式糾纏[39,40].產(chǎn)生、存儲和釋放三個原子系綜的確定性糾纏已經(jīng)實現(xiàn)[41].多個量子節(jié)點間高糾纏度的遠距離的確定性量子糾纏的建立是未來量子信息網(wǎng)絡(luò)和量子力學進一步發(fā)展的顯著目標.

量子態(tài)轉(zhuǎn)移是建立量子節(jié)點間糾纏的一種有效的方法, 其中前提是必須制備多組份的糾纏態(tài)光場[28?33,41].多組份糾纏態(tài)光場的建立多用參量下轉(zhuǎn)換的方法[42,43], 并且已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各種量子方案中.基于電磁感應(yīng)透明相互作用可以將糾纏態(tài)的量子信息映射到原子自旋波, 因此原子自旋波的糾纏可以被產(chǎn)生并存儲.在原子的相干時間內(nèi), 糾纏態(tài)可以從原子自旋波釋放到光場, 進而可以驗證原子系綜的糾纏, 并且可以用于其下游應(yīng)用.另一方面, 光和原子的混合糾纏結(jié)合光子間的干涉可以運用在多個原子系綜預(yù)告式糾纏的產(chǎn)生[39,40], 與原子系綜糾纏的光場可以在量子信道中傳輸, 以連接和糾纏不同的遙遠的原子系綜.

本文在光和原子混合糾纏的基礎(chǔ)上, 提出了結(jié)合前饋網(wǎng)絡(luò)來產(chǎn)生三個空間分離原子系綜的連續(xù)變量確定性糾纏.由于光與原子系綜相互作用集體增強, 原子系綜適合作為量子節(jié)點.在我們的方案中, 只需要三個原子系綜, 以及由干涉、測量和射頻線圈組成的前饋網(wǎng)絡(luò)就可以將三個原子系綜糾纏在一起.該方案的實現(xiàn)不需要制備糾纏態(tài)光場,使整個實驗系統(tǒng)簡單穩(wěn)定.首先, 通過自發(fā)拉曼散射過程, 在寫光的作用下三個原子系綜產(chǎn)生三束Stokes 光場; 然后, 第一和第二束Stokes 光場在第一個分束比為R1∶T1光學分束片(BS1)上干涉, 并且來自于BS1 的其中一束輸出場和第三束Stokes 光場在第二個分束比為R2∶T2光學分束片(BS2)上耦合.用平衡零拍探測器分別測量三束Stokes 光場干涉后輸出光場的正交振幅和正交相位的量子噪聲.最后, 通過射頻線圈將測量的正交振幅和相位的結(jié)果前饋給三個原子系綜.在用戶控制的時間內(nèi), 將存儲的三個原子系綜的糾纏態(tài)釋放到三束反斯托克斯光場中, 用于驗證三個原子系綜的糾纏及其在量子網(wǎng)絡(luò)中的應(yīng)用.

2 三個原子系綜確定性糾纏的產(chǎn)生

三個遠距離原子系綜確定性糾纏的產(chǎn)生原理圖如圖1 所示.這個系統(tǒng)包括三個獨立的原子系綜A, B 和C, 兩個光學分束片BS1 和BS2, 三套平衡零拍探測器BHD1, BHD2 和BHD3.三個原子系綜A, B 和C 分別放置在三個射頻線圈中間,平衡零拍探測器由一個50/50 的分束片、一對光電二極管和一個功率減法器組成.三束斯托克斯光束由自發(fā)拉曼散射過程產(chǎn)生分別來自于原子系綜A, B 和C,在分束比為R1∶T1的光學分束片BS1 上干涉產(chǎn)生兩束光, 其中一束干涉后的輸出光與在分束比為R2∶T2的光學分束片BS2 上干涉, 分別產(chǎn)生三束光,用平衡零拍探測器BHD1, BHD2 和BHD3 分別測量的正交振幅、相位和振幅分量的噪聲.將BHD1, BHD2 和BHD3 探測到的信號通過射頻線圈分別前饋到原子系綜A, B 和C, 最終建立三個遠程原子系綜A, B 和C 之間的糾纏.

圖1 三個原子系綜確定性糾纏產(chǎn)生原理圖Fig.1.Schematic diagram of deterministic entanglement generation among three atomic ensembles.

2.1 光和原子系綜糾纏的產(chǎn)生

在量子光學理論中, 光場由產(chǎn)生和湮滅算符和來表示.光場的正交振幅分量和正交相位分量分別對應(yīng)湮滅算符的實部和虛部,,.原子總的自旋波S? 可以用龐加萊球上的Stokes 矢量描述, 且可以被看作滿足玻色對易關(guān)系同樣, 原子自旋波的振幅和相位分量分別對應(yīng)的實部和虛部,=當原子自旋波通過自發(fā)拉曼散射過程和信號光、抽運光耦合時, 光和原子系綜的糾纏建立.制備糾纏的原子系綜的能級結(jié)構(gòu)如圖1 左下角插圖所示, 該原子具有 Λ 型能級結(jié)構(gòu), 存在基態(tài)|g〉、亞穩(wěn)態(tài)|s〉和激發(fā)態(tài)|e〉.起初, 原子通過光學抽運光制備在基態(tài), 在寫脈沖的作用下, Stokes 光場和總的原子自旋波同時產(chǎn)生.在相互作用表象下, 該系統(tǒng)的有效相互作用哈密頓量可以寫為如下形式:

式中,η是光和原子的相互作用常數(shù),η=其中κeg和κes是光和原子的耦合系數(shù),Na是總的原子數(shù),Δ是寫光和Stokes 光場的失諧.在這里假設(shè)所有的失諧均相等且忽略損耗.

當一束強的寫脈沖光作用于原子系綜時, 自發(fā)拉曼散射過程發(fā)生, 并且其哈密頓量類似于參量下轉(zhuǎn)換模型

其中AW是強的寫光脈沖的歸一化振幅,是其共軛.

其中i=1,2,3 分別對應(yīng)在原子系綜A, B 和C 中.根據(jù)算符線性化表達式, 算符可以表示為平均值和波動的和, 即.輸入光場可以看作真空光場, 其量子波動根據(jù)段路明等[44]和Simon[45]提出的光場的兩組份不可分判據(jù), 可以將其拓展到光和原子.如果光和原子系綜的正交分量的關(guān)聯(lián)方差和小于4, 那么光和原子間存在糾纏.光和原子的關(guān)聯(lián)方差V等于

其中τ是光和原子的相互作用時間.很明顯光和原子相互作用的關(guān)聯(lián)度依賴于關(guān)聯(lián)參量r=ηAWτ=r越大, 關(guān)聯(lián)方差越小.當r= 0時,V= 4 對應(yīng)相干態(tài)的關(guān)聯(lián)方差, 它被定義為量子噪聲極限(quantum noise limit, QNL); 當r> 0時, 光和原子的關(guān)聯(lián)方差V小于QNL, 這意味著光和原子間存在糾纏; 當r→∞,V→ 0 此時獲得的糾纏為完美糾纏.

2.2 通過前饋網(wǎng)絡(luò)建立三個原子系綜的糾纏

接下來, 考慮如何實現(xiàn)三個原子系綜A, B 和C的糾纏.原子系綜A 和B 通過自發(fā)拉曼散射過程產(chǎn)生的Stokes 光場和在分束比為R1∶T1的光學分束片BS1 上干涉, 干涉后的其中一束輸出光與產(chǎn)生于原子系綜C 的Stokes 光束在分束比為R2∶T2的光學分束片BS2 上干涉, 輸出的三束光場可以寫為

三個原子系綜糾纏的實現(xiàn)通過三組份不可分判據(jù)來驗證:

其中Vi(i=1,2,··· ,6) 代表不同正交分量的關(guān)聯(lián)方差,上述不等式中右邊的4 代表三組份糾纏不可分的邊界.當E1,E2和E3中任意兩個關(guān)聯(lián)方差之和小于量子噪聲極限時, 三個原子系綜是三組份類Greenberger-Horne-Zeilinger (GHZ)糾纏態(tài).g4,g5和g6是可調(diào)節(jié)的經(jīng)典測量增益因子為了獲得原子系綜的最小關(guān)聯(lián)方差之和.系統(tǒng)中不可避免的傳輸損耗會影響原子系綜糾纏的質(zhì)量.除此之外, 糾纏交換的質(zhì)量被原子的相干壽命限制,這段時間保證了原子系綜的糾纏, 因此原子的相干壽命影響原子系綜的糾纏.在熱原子系綜中相干壽命高于5 ms[46], 甚至可以達到40 ms[37], 在冷原子系綜中相干壽命可以達到秒級[47], 這個時間足以維持測量和糾纏交換的時間, 因此足夠建立三個原子系綜的糾纏.為了證明三個原子系綜的糾纏, 分別用三束讀光脈沖同時作用于原子系綜A, B 和C, 通過自發(fā)拉曼散射過程將原子系綜的量子態(tài)轉(zhuǎn)換到反斯托克斯光場的量子態(tài).三束反斯托克斯光場的正交分量的關(guān)聯(lián)方差可以用來驗證三個遠距離原子系綜間的糾纏.

3 三個原子系綜糾纏的驗證

圖2 和圖3 給出了原子系綜的最終關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3的變化曲線.分別計算E1,E2,E3的最小值, 可以得到最佳測量增益因子的表達式, 最佳測量增益因子依賴于前饋增益因子g2、壓縮參量r及光學分束片BS1, BS2 的反射率R1,R2.經(jīng)過理論計算后原子系綜的關(guān)聯(lián)方差之和E1與前饋增益因子g1,g2有關(guān),E2與前饋增益因子g1,g2,g3有關(guān),E3與前饋增益因子g2,g3有關(guān), 且E1,E2,E3都依賴于壓縮參量r及光學分束片BS1, BS2 的反射率R1,R2.由于存在前饋網(wǎng)絡(luò)的影響, 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3的變化曲線比較復(fù)雜, 隨后分別分析各參量對原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2和E3的影響.

圖2 描述了原子系綜的關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3與光學分束片BS1, BS2 反射率R1,R2的依賴關(guān)系, 圖2(a)和圖2(b)對應(yīng)E1的變化曲線, 圖2(c)和圖2(d)對應(yīng)E2的變化曲線, 圖2(e)和圖2(f)對應(yīng)E3的變化曲線.圖2 中, 曲線1 代表QNL,曲線2, 3, 4, 5, 6, 7 表示光學分束片BS1 的反射率R1分別取0.1, 0.2, 0.3, 0.5, 0.7 和0.9 時, 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和隨光學分束片BS2 的反射率R2的變化曲線.在我們的方案中, 壓縮參量的取值r= 0.8, 前饋增益因子的取值分別為g1=0.8 ,g2=1.0 ,g3=0.8 , 所有的參量值在實驗上均可以達到, 為實驗系統(tǒng)的設(shè)計提供了理論參考.從圖2(a)和圖2(b)可看到: 在R1取值一定時, 原子系綜的關(guān)聯(lián)方差之和E1隨著R2的增大而減小; 在R2一定時,E1隨著R1的增大先減小后增大, 在R1= 0.5時關(guān)聯(lián)方差之和E1的值最小.從圖2(a)和圖2(b)得到在R1= 0.5,R2在小于1 的范圍內(nèi)取值越大時, 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E1的值越小.在圖2(d)中, 當光學分束片BS1 的反射率R1= 0.9 時, 不存在R2的取值使得關(guān)聯(lián)方差之和E2小于量子噪聲極限.對比圖2(c)和圖2(d), 從曲線4 看出R1=0.3,R2取值在0.7 附近時,E2可以達到最小值.從圖2(e)和圖2(f)發(fā)現(xiàn): 在R1= 0.9 時, 不存在使E3小于量子噪聲極限的R2的值, 并且在R2一定時,R1越大E3的值越大; 當R1取定值時,R2存在最佳值使得關(guān)聯(lián)方差之和E3的值最小.對比圖2(e)和圖2(f)得到, 在R1取值越小,R2= 0.6 時,E3的值最小.

圖2 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E1, E2, E3 隨光學分束片BS2 的反射率R2 的變化曲線 (a), (c), (e) BS1 的反射率R1 =0.1, 0.2,0.3, 0.5 ; (b), (d), (f) BS1 的反射率R1 =0.5,0.7,0.9Fig.2.Dependence of the correlation variance combinations of atomic ensembles E1, E2, E3 on the reflectivity R2 of the second optical beam splitter BS2: (a), (c), (e) Reflectivity R 1 =0.1, 0.2, 0.3, 0.5 of BS1; (b), (d), (f) reflectivity R 1 =0.5,0.7,0.9 of BS1.

當關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3越小時, 原子系綜間的糾纏度越大.圖2 中, 綜合考慮原子系綜的不同三個關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3, 為了滿足原子系綜的關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3同時小于量子噪聲極限4, 取光學分束片BS1 和BS2 的反射率R1,R2分別是0.3, 0.6.當壓縮參量r= 0.8, 前饋增益因子g1,g2,g3分別取0.8, 1.0, 0.8, 分束片的反射率R1,R2的取值分別為0.3, 0.6 時,E1,E2,E3分別等于2.36, 2.65, 2.36, 此時三個關(guān)聯(lián)方差之和均小于量子噪聲極限, 三個原子系綜處于不可分狀態(tài).

當分束片BS1, BS2 的反射率分別取0.3, 0.6,測量增益因子g4,g5,g6取最佳值時, 關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3受前饋增益因子g1,g2,g3的影響不同.理論計算E1,E2,E3的最小值所得g1,g2,g3最佳取值不同, 因此不能同時取g1,g2,g3的最佳值使得關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3最小.圖3 描述了原子系綜的關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3與前饋增益因子的g1,g2,g3的依賴關(guān)系.

圖3(a)表示E1與前饋增益因子g1,g2的曲線圖, 圖3(b)表示E3與前饋增益因子g2,g3的曲線圖, 圖3(c)表示E2與前饋增益因子g1,g2的曲線圖.圖3(a)中, 曲線1 表示QNL, 曲線2, 3, 4,5 表示前饋增益因子g1分別取0.7, 0.8, 0.9, 1.0 時,原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E1隨前饋增益因子g2的變化曲線.當g1取定值時, 存在最佳前饋增益因子g2使得E1最小.觀察圖3(a), 發(fā)現(xiàn)g1=0.9 ,g2=1.0時, 原子系綜的關(guān)聯(lián)方差之和E1達到最小值, 且最小值為2.31.圖3(b)中, 曲線1 代表QNL, 曲線2, 3, 4, 5 代表前饋增益因子g3分別取0.7, 0.8,0.9 和1.0 時, 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E3隨前饋增益因子g2的變化曲線.從圖3(b)得到: 當g3=0.7或g3=1.0 時, 曲線2, 5 幾乎重合; 當g3=0.8 或g3=0.9 時, 曲線3, 4 重合.當g3=0.8 或g3=0.9 ,g2=1.0時, 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E3可取最小值2.36.圖3(c)表示g3=0.8 和g3=0.9 時E2與前饋增益因子g1,g2的曲線圖.圖3(c)中, 曲線1 表示QNL, 曲線2, 3, 4, 5 代表前饋增益因子g1分別取0.7, 0.8, 0.9, 1.0 時, 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E2隨前饋增益因子g2的變化曲線, 實線和虛線分別表示g3取0.8, 0.9.從圖3(c)發(fā)現(xiàn):g2一定時, 隨著g1的增大, 原子系綜的關(guān)聯(lián)方差和E2也在增大,且g3取0.8 時E2的值大于g3取0.9 時E2的值; 當g1取定值時,g2存在最佳值使得E2最小.綜合上述分析, 由于不能同時取g1,g2,g3的最佳值使得E1,E2,E3最小.當g1=0.8 ,g2=1.0 ,g3=0.8 時,E1,E2,E3分別等于2.36, 2.65, 2.36.

圖3 原子系綜關(guān)聯(lián)方差之和E1, E2, E3 與前饋增益因子g2 的變化曲線 (a) g 1 =0.7, 0.8, 0.9, 1.0 時, E1 的變化曲線; (b) g 3 =0.7, 0.8, 0.9, 1.0 時, E3 曲線; (c)g1 =0.7,0.8, 0.9, 1.0時, E2 的變化Fig.3.Correlation variance combinations E1, E2 and E3 versus the feedforward gain factor g2 : (a) The correlation variance combination E1 versus g2 wheng1 =0.7,0.8, 0.9, 1.0; (b) the correlation variance combinations E3 versus g2 when g 3 =0.7, 0.8, 0.9, 1.0 ; (c) the correlation variance combinations E2 versus g2 wheng1 =0.7, 0.8,0.9, 1.0.

當分束片BS1, BS2 的反射率分別為R1= 0.3,R2= 0.6, 前饋增益因子g1= 0.8,g2= 1.0,g3=0.8, 測量增益因子時,關(guān)聯(lián)方差之和E1,E2,E3同時小于4, 此時三個原子系綜是類GHZ 糾纏態(tài).

4 總 結(jié)

我們提出了一種通過干涉和前饋網(wǎng)絡(luò)來確定糾纏三個空間分離原子系綜的方案.首先, 利用自發(fā)拉曼散射過程分別在三個原子系綜中制備光場和原子自旋波之間的糾纏態(tài), 并利用光場連接和糾纏遠程的量子節(jié)點.三束Stokes 光場在不同比例的分束片網(wǎng)絡(luò)上干涉, 用平衡零拍探測探測器測量干涉后光場的量子噪聲.最后根據(jù)測量結(jié)果, 通過經(jīng)典的前饋, 得到了三個原子系綜的糾纏.通過優(yōu)化前饋網(wǎng)絡(luò)可以得到三個原子系綜的最佳糾纏.將光和原子的混合糾纏結(jié)合前饋網(wǎng)絡(luò)可以糾纏更多的原子節(jié)點.此外, 我們的方案還可以推廣到其他量子節(jié)點候選者, 如囚禁離子、超導(dǎo)體等.如果將糾纏蒸餾與我們的方案相結(jié)合, 量子節(jié)點間的距離可以明顯增加[48].這一簡單可行的方案為簡化大規(guī)模量子互聯(lián)網(wǎng)提供了途徑, 彌補了原理上與現(xiàn)實世界量子信息科學應(yīng)用之間的差距.