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        井口究竟變大還是變???

        2021-05-14 08:28:30賈艷萍江舟軍洪和森
        物理通報 2021年5期
        關(guān)鍵詞:枯井井口水井

        賈艷萍 江舟軍 洪和森

        (浙江省舟山中學(xué) 浙江 舟山 316021)

        1 問題的提出

        在學(xué)習(xí)人教版選修3-4“光的反射和折射”時,學(xué)生做到這樣一道題目:如圖1所示,井口大小和深度相同的兩口井,一口是枯井,一口是水井(水面在井口之下),兩井底部各有一只青蛙,則( )

        圖1 題圖

        A.水井中的青蛙覺得井口大些,晴天的夜晚,水井中的青蛙能看到更多的星星

        B.枯井中的青蛙覺得井口大些,晴天的夜晚,水井中的青蛙能看到更多的星星

        C.水井中的青蛙覺得井口小些,晴天的夜晚,枯井中的青蛙能看到更多的星星

        D.兩只青蛙覺得井口一樣大,晴天的夜晚,水井中的青蛙能看到更多的星星

        此題正確答案為選項A,然近一半的學(xué)生選擇了選項B.為了了解學(xué)生錯誤的原因,筆者請幾位選擇選項B的學(xué)生說出自己的解題思路.其中一典型的解釋是這樣的:學(xué)生畫了一光路圖(圖2),認(rèn)為AB長度是枯井中的青蛙看到的井口真實的大小,折射光線反向延長線上A′B′的長度為水井中的青蛙看到的井口大小,因此枯井中的青蛙覺得井口大些.

        圖2 學(xué)生作光路圖

        筆者發(fā)現(xiàn)一些權(quán)威性的資料中也是這樣解釋的.問題是這種作圖法畫出的A′,B′是A,B的像嗎?井口究竟是變大還是變小呢?下面筆者利用物理規(guī)律結(jié)合數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)水井中的青蛙看到的井口位置和實際井口位置的關(guān)系.

        2 理論推導(dǎo)

        2.1 構(gòu)建模型

        如圖3所示,設(shè)A為井口左邊緣一點,根據(jù)折射定律,兩條折射光線反向延長線的交點A′即為A點的像.假設(shè)兩條折射光線均能進(jìn)入青蛙的眼睛,由于青蛙的瞳孔很小,因此,M,N兩點的距離必須非常小,這樣兩入射角大小差別很小,我們記為γ和γ+dγ.兩折射角的差別也很小,我們記為θ和θ+dθ[1~4].為了討論方便,取空氣的折射率為1,水的折射率用n表示.光在水中的臨界角用C表示,則

        A點距水面的高度為h,A′距水面的高度為h′,A和A′的水平距離用d表示(圖3).

        圖3 構(gòu)建模型

        2.2 數(shù)學(xué)推導(dǎo)

        由折射定律可知

        (1)

        nsinθ=sinγ

        ncosθdθ=cosγdγ

        (2)

        由幾何關(guān)系知

        MN=h[tan(γ+dγ)-tanγ]=

        h′[tan(θ+dθ)-tanθ]

        (3)

        由式(1)、(2)、(3)得

        討論:由已知信息可知,h′>0,說明A′在A的上方,如圖3所示.當(dāng)θ=0時,h′=nh,即青蛙在A點正下方觀察到A′在其正上方(n-1)h位置.當(dāng)θ增大且小于臨界角C時,h′也將增大,即當(dāng)青蛙從A點正下方向右移動時,它看到的A′點將上移.

        由幾何關(guān)系知

        d=h′tanθ-htanγ=

        化簡得

        討論:由已知信息可知,d>0,說明A′在A點左側(cè),正如所作圖像.當(dāng)θ=0時,d=0,即A′和A點在同一豎直線上.當(dāng)θ增大且小于臨界角時,d也將增大,即當(dāng)青蛙從A點正下方向右移動時,它看到的A′點將向左側(cè)移.

        2.3 結(jié)論

        從以上討論可知,青蛙從水面下方看井口左邊緣A點時,看到的A′點在A點上方且向左偏離觀察者.同樣道理,青蛙觀察井口右邊緣的B點,看到的像B′點在B點上方且向右偏離觀察者.由此可知,水井中的青蛙看到的井口大小A′B′大于枯井中青蛙看到的井口大小AB.

        2.4 釋疑解惑

        學(xué)生之所以像圖2那樣分析問題,實際上是犯了“想當(dāng)然”的錯誤.知道利用折射定律分析問題,但是又沒有規(guī)范地根據(jù)成像原理畫光路圖.在關(guān)鍵時刻,憑自己的感覺找到了自認(rèn)為正確的答案.從對物理問題的認(rèn)識角度分析,學(xué)生混淆了青蛙眼中井口大小和天的大小的區(qū)別.青蛙眼中天的大小取決于視角,枯井中青蛙的視角為α,水井中青蛙的視角為β(圖4).因為α>β,所以枯井中青蛙看到的天比較大.雖然枯井中的青蛙覺得天比較大,但是,在晴朗的夜晚,它只能看到光線3到光線4范圍內(nèi)的星星,而水井中的青蛙看到光線1到光線2范圍內(nèi)的星星.因此,水井中的青蛙看到的星星更多.

        圖4 青蛙的視角

        3 實驗驗證

        3.1 實驗器材

        水下攝像機(jī),內(nèi)徑高8.70 cm的飯桶,手機(jī),刻度尺,水等.

        3.2 實驗過程

        步驟一:打開攝像機(jī)自帶的wifi,用手機(jī)連接其wifi.將水下攝像機(jī)放在飯桶中心,打開其拍照功能.打開手機(jī)中GoPlus Cam軟件,調(diào)整攝像機(jī)的位置,確保看到的井口是圓形的,并在屏幕中心.最后打開手機(jī)的錄屏功能.

        步驟二:開始往飯桶中加水,感受到井口的大小有明顯變化時,測量水的高度約為3.40 cm.繼續(xù)往桶中加水,大約水的高度為8.00 cm時,停止加水.錄屏結(jié)束.

        步驟三:借助暴風(fēng)影音的截屏功能,截取未加水時,水高約3.40 cm時和水高約8.00 cm時的圖片.

        3.3 實驗結(jié)果

        未加水、水高3.4 cm、水高8.00 cm時截取的圖片如圖5所示.

        圖5 截取的圖片

        3.4 實驗結(jié)論

        圖5為視頻中截取的3幅圖片,對比可以發(fā)現(xiàn)桶口的大小隨著水位的升高,逐漸變大.參考天花板上燈的位置,可以看出桶外的視野也逐漸變大.因此選項A是正確的.

        4 總結(jié)

        要想解決因為“想當(dāng)然”導(dǎo)致的錯誤,最有效的方法就是規(guī)范化做題.物理課堂上,不僅要熟練掌握每個知識點,對于教師強(qiáng)調(diào)的如何規(guī)范化答題也要作為重點內(nèi)容.這樣才能提高解題能力和應(yīng)試能力,才能削弱所謂的“物理題一聽就懂,一做就錯”的魔咒.另一方面,物理有趣的原因之一就是實驗,因此,對于一些易錯題,如果可以做實驗的話,教師應(yīng)該通過實驗突破學(xué)生的錯誤點.不僅效果好,而且還可以增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣.

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