繆思怡 王一涵 劉長迎

（南京信息工程大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 江蘇·南京 210044）

0 引言

本文主要研究高頻振蕩積分的有效數(shù)值方法：

高振蕩積分的數(shù)值研究相對較新，近年來引起學(xué)者的高度關(guān)注。早在1982年文獻(xiàn)[2]中便提出了求解高振蕩積分的新的Levin方法，此后關(guān)于求解高振蕩積分的一系列數(shù)值研究結(jié)果被提出。文獻(xiàn)中基于配置法和高斯求積公式的思想，提出了高精度的Levin方法?；跐u近展開的思想文獻(xiàn)[3]提出了Filon型方法，對于大頻率高振蕩問題Filon型方法求解效果越好。但是對于頻率較低的問題，求解效果并不能令人滿意。

本文采用分段 Hermite插值逼近來研究高振蕩積分（1.1），主要安排如下：第二節(jié)中提出了經(jīng)典的復(fù)化Simpson公式并給出其先驗(yàn)誤差估計(jì)。第三節(jié)中構(gòu)造了頻率擬合的復(fù)化Simpson公式并給出其先驗(yàn)誤差估計(jì)。第四節(jié)中數(shù)值算例驗(yàn)證了本文的結(jié)論。

1 經(jīng)典的復(fù)化Simpson公式

表1：C-S公式求解高振蕩積分問題的收斂階

表2：M-S公式求解高振蕩積分問題的收斂階

2 修正的復(fù)化Simpson公式

定理成立。

注：由定理2的結(jié)論可以得到，M-S公式具有四階收斂精度并且計(jì)算步長不依賴于振蕩頻率。這意味著當(dāng)振蕩頻率很大時(shí)，采用大步長求解即能達(dá)到預(yù)期的精度，從而大大的減小了計(jì)算量。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

通常情況下高振蕩積分（1.1）并不能精確積分。為此，我們?nèi)〔介L下8價(jià)的Gauss求積公式的數(shù)值解作為參考解本文考慮高振蕩積分

圖1：在不同頻率下的計(jì)算效率