嚴(yán)松， 顏鵬飛

(中交第二公路勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司， 湖北 武漢 430052)

鋼箱梁斜拉橋主梁一般設(shè)計(jì)為自重輕、抗扭和橫向抗彎剛度較大的扁平鋼箱梁。與混凝土斜拉橋相比，鋼箱梁斜拉橋的柔度大，耗能效果好，抗震性能好。斜拉橋設(shè)計(jì)中需要確定合理成橋狀態(tài)，根據(jù)擬定的施工工序確定合理施工狀態(tài)后通過各施工階段對結(jié)構(gòu)線形和內(nèi)力分布進(jìn)行優(yōu)化和調(diào)整，使逐步趨近于合理成橋狀態(tài)。鋼箱梁斜拉橋恒載索力對合理成橋恒載內(nèi)力狀態(tài)影響很大，可在不考慮幾何非線性和收縮、徐變及溫度影響條件下利用斜拉索索力的可調(diào)性對成橋內(nèi)力狀態(tài)進(jìn)行合理的調(diào)整與優(yōu)化。該文依托相關(guān)工程背景，分析其初始成橋索力的確定方法，介紹基于多目標(biāo)線性規(guī)劃遺傳算法在恒載下的成橋索力優(yōu)化方法。

1 斜拉橋合理成橋狀態(tài)

斜拉橋合理成橋狀態(tài)是指恒載作用下成橋階段各構(gòu)件的一種理想受力狀態(tài)，通常取斜拉橋主梁和主塔中彎曲應(yīng)變能最小狀態(tài)作為合理成橋狀態(tài)，表征成橋階段內(nèi)力分布的好壞。一旦斜拉橋結(jié)構(gòu)體系被確定，總能找到一組斜拉索索力，使得結(jié)構(gòu)體系在確定性荷載作用下，某種反映受力性能的目標(biāo)達(dá)到最優(yōu)。對于中小跨度鋼箱梁斜拉橋，應(yīng)綜合考慮成橋階段主梁線形、主梁和主塔彎矩及應(yīng)力、索力等結(jié)構(gòu)狀態(tài)。斜拉橋成橋主梁線形主要以施工階段主梁立模標(biāo)高控制為主，成橋階段索力調(diào)整常以成橋設(shè)計(jì)索力控制為主，線形控制為輔。只要保證梁塔受力和成橋索力分布最優(yōu)，即可達(dá)到對應(yīng)的合理成橋狀態(tài)。

2 初始成橋索力確定方法

單一的確定成橋索力的主要構(gòu)件彎曲能量最小法并不能使成橋索力最優(yōu)，但以此初始索力為后期優(yōu)化前提的特定約束條件下的遺傳算法可以避免索力優(yōu)化結(jié)果趨于局部最優(yōu)解，并最終達(dá)到理想成橋索力。

選取斜拉橋主要構(gòu)件的彎曲應(yīng)變能U作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。對于斜拉橋離散桿系結(jié)構(gòu)：

(1)

式中:n為離散結(jié)構(gòu)單元總數(shù)；li、Ei、Ii、Mi分別為i號單元桿件長度、彈性模量、截面抗彎慣性矩和截面彎矩。

矩陣形式表示為：

U={M}T[B]{M}

(2)

式中:{M}為彎矩向量；[B]為系數(shù)對角矩陣，對角元素為：

bii=li/(2EiIi)，i=1,2,…,n

(3)

令優(yōu)化前彎矩向量為{M0}，施調(diào)向量為{ΔT}，優(yōu)化后彎矩向量為{M1}，則:

{M1}={M0}+[C]{ΔT}

(4)

式中:[C]為索力對彎矩的影響矩陣，其中元素Cj為索力施調(diào)向量{ΔT}中Tj單位力值變化引起的{M1}變化量。

將式(4)代入式(2)得：

U=c0+{M0}T[B][C]{ΔT}+{ΔT}T[C]T[B]·{M0}+{ΔT}T[C]T[B][C]{ΔT}

(5)

合理成橋狀態(tài)下結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能最小時(shí)：

?U/?Ti=0,i=1,2,…,m

(6)

式中:m為施調(diào)拉索組數(shù)。

將式(5)代入式(6)得：

[C]T[B][C]{ΔT}+[C]T[B]{M0}=0

(7)

求解式(7)的m階線性方程組即得到優(yōu)化前彎矩{M0}下結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能最小時(shí)的優(yōu)化索力{T1}和對應(yīng)優(yōu)化彎矩{M1}。

{T1}={T0}+[A]{ΔT}

(8)

式中:[A]為索力對索力的影響矩陣，其中元素Aj為索力施調(diào)向量{ΔT}中Tj單位力值變化引起的{T1}變化量。由影響矩陣[B]和[C]的含義可知：

(9)

式中右端矩陣[δ]和[Δ]中元素δij、ΔiP寫為：

(10)

將式(10)代入式(7)得：

(11)

類比力法方程的形式，將上式拓展為包含彎矩項(xiàng)和軸力項(xiàng)的力法方程：

(12)

式(12)中換EiIi為ζEiIi(ζ取較小數(shù)，如0.001)，則軸力項(xiàng)相較于彎矩項(xiàng)可忽略不計(jì)，式(12)即與式(11)等同。取主梁剛度足夠小時(shí)，式(11)表示全橋一次落架計(jì)算的施調(diào)索力組{T}引起的全橋基本結(jié)構(gòu)[無拉索及外荷載M0(s)]彎曲應(yīng)變能正好抵消調(diào)索前外荷載引起的全橋基本結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能。

即以合適倍數(shù)縮小斜拉橋有限元模型整體單元?jiǎng)偠茸鲆淮温浼苡?jì)算所得全橋索力為彎曲能量最小時(shí)的初始成橋索力。計(jì)算步驟為：① 確定斜拉橋結(jié)構(gòu)總體布置及壓重等外荷載M0(s)；② 按斜拉橋成橋狀態(tài)設(shè)計(jì)參數(shù)建立平面桿系有限元模型，單元拉壓剛度EiAi不變，抗彎剛度EiIi變?yōu)棣艵iIi，取ζ=0.001；③ 對成橋施加自重和壓重等外荷載進(jìn)行一次落架線性分析；④ 反復(fù)調(diào)整壓重等外荷載參數(shù)使全橋整體受力盡量合理。

3 遺傳算法索力再優(yōu)化

單純追求結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能最小化并不能滿足索力分布均勻性的要求，而索力均勻性調(diào)整勢必使彎曲應(yīng)變能增加。基于初始成橋索力的再優(yōu)化即利用遺傳算法以若干優(yōu)化指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行索力的再調(diào)整。文中以控制截面彎矩作為約束條件，提出以索力均勻系數(shù)αi和能量變化系數(shù)β為目標(biāo)函數(shù)的多目標(biāo)線性規(guī)劃遺傳算法模型，使索力均勻性和能量變化指標(biāo)最優(yōu)。

取鄰近3根拉索Ti-1、Ti、Ti+1定義索力均勻系數(shù)：

(13)

取調(diào)整前后彎曲能量U0、U1定義能量變化系數(shù)：

(14)

通過式(13)控制全橋索力的均勻性，其值越小越均勻;式(14)控制調(diào)整后結(jié)構(gòu)彎曲應(yīng)變能變化，不至于使調(diào)整后彎矩分布變得不合理。索力再優(yōu)化的多目標(biāo)函數(shù)和約束條件表達(dá)式分別為：

Min{Max{αi},β}

(15)

(16)

式中:{Mu}和{Md}分別為控制截面彎矩上、下限值。

遺傳算法(Genetic Algorithm)作為一種復(fù)雜系統(tǒng)優(yōu)化的自適應(yīng)概率優(yōu)化技術(shù)在工程優(yōu)化計(jì)算上的運(yùn)用前景廣闊，式(15)可由基于多目標(biāo)函數(shù)的Pareto遺傳算法進(jìn)行Matlab編程計(jì)算。

4 應(yīng)力可行域

為判斷得到的最終成橋索力下成橋合理狀態(tài)主梁受力是否滿足要求，需要進(jìn)一步結(jié)合合理成橋狀態(tài)下的應(yīng)力可行域?qū)χ髁汉爿d應(yīng)力進(jìn)行評估。文中鋼箱梁斜拉橋主梁恒載下的截面上、下緣應(yīng)力的可行域通用表達(dá)式為：

(17)

式中：[Rs]為主梁上、下緣鋼板屈服應(yīng)力；δy為成橋索力對主梁截面的法向應(yīng)力；δhmin和δhmax分別為可變作用組合下主梁應(yīng)力包絡(luò)最小和最大值；δu、δd分別為恒載下主梁某截面容許應(yīng)力上、下限值，且截面上緣和下緣各對應(yīng)一組上下限值，區(qū)間[δd,δu]即為恒載下主梁上下緣應(yīng)力可行域。合理成橋狀態(tài)恒載下的主梁截面上、下緣應(yīng)力均在各自應(yīng)力可行域的合理位置，可判別主梁受力滿足要求。

5 工程應(yīng)用

某雙塔單索面鋼箱梁斜拉橋跨徑布置為(50+96+192+70) m=408 m，中心梁高3.0 m，箱梁頂板寬度29.5 m。Z4、Z5橋塔兩側(cè)分別設(shè)置9對、5對斜拉索。拉索編號和結(jié)構(gòu)總體布置如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)總體布置圖(單位：m)

Midas/Civil建立的全橋有限元模型采用梁單元模擬塔、梁和墩，只受拉桁架單元模擬56根拉索，如圖2所示。主墩采用彈性連接中的剛性連接模擬，并調(diào)整局部坐標(biāo)。斜拉索錨固點(diǎn)、索塔節(jié)點(diǎn)與主梁節(jié)點(diǎn)之間均采用剛性連接，拉索錨固點(diǎn)設(shè)為從節(jié)點(diǎn)。

圖2 有限元模型

根據(jù)擬定的合理掛索張拉順序?yàn)锽1、Z1/B14、Z14→B2、Z2/B13、Z13→B3、Z3/B12、Z12→B4、Z4/B11、Z11→B5、Z5/B10、Z10→B6、Z6→B7、Z7→B8、Z8→B9、Z9。在有限元模型施工階段中按照以上張拉順序設(shè)置每根拉索施加單位力(1 kN)為一個(gè)獨(dú)立工況，施工分析控制中索力以添加方式施加，計(jì)算完成即可整理提取出索力對彎矩的影響矩陣[C]、索力對索力的影響矩陣[A]。文中索力優(yōu)化方法借助Matlab與Midas/Civil配合計(jì)算，Midas/Civil計(jì)算得到的初始成橋索力作為Matlab遺傳算法的初始種群，從得到的Pareto解集中優(yōu)選一組索力優(yōu)化結(jié)果作為最終成橋索力。

6 索力再優(yōu)化結(jié)果

如圖3所示，兩系數(shù)不能同時(shí)取得最優(yōu)值，索力分布越均勻則彎曲能量變化越不合理，反之亦然。選取解集中索力均勻系數(shù)α=0.022對應(yīng)的索力解為最終優(yōu)化解，此時(shí)能量變化系數(shù)β約為0.921，即U1/U0≈2.51倍(圖3中標(biāo)★點(diǎn))。

圖3 Pareto解集索力均勻系數(shù)與能量變化系數(shù)發(fā)展曲線

如圖4所示，初始成橋索力基本滿足由近塔端至遠(yuǎn)塔端索力分布從小到大漸變的合理趨勢，但索力均勻性較差，個(gè)別拉索出現(xiàn)不合理空載和過載現(xiàn)象。結(jié)合表1分析，基于遺傳算法對初始索力再優(yōu)化得到的最終成橋索力分布更合理，均勻系數(shù)明顯減小。如圖5所示，索力均勻性優(yōu)化是以主塔和斜拉索錨固區(qū)主梁彎矩增加為代價(jià)，主梁更多地參與受力，但整體彎矩分布趨于合理。非錨固區(qū)主梁彎矩水平變化小，如Z3輔助墩最大負(fù)彎矩保持為78 000 kN·m左右。

圖4 索力優(yōu)化前后對比

表1 索力優(yōu)化結(jié)果對比

圖5 索力優(yōu)化前、后主梁彎矩分布(單位：kN·m)

如圖6所示，最終成橋索力時(shí)主梁恒載作用下的上、下緣應(yīng)力分布均居中于恒載應(yīng)力可行域內(nèi)，表明通過遺傳算法索力再優(yōu)化得到的最終合理成橋狀態(tài)滿足主梁合理受力的要求。

圖6 合理成橋狀態(tài)主梁上、下緣應(yīng)力范圍

7 結(jié)語

以彎曲能量最小法為分析前提，基于多目標(biāo)線性規(guī)劃的遺傳算法對于鋼斜拉橋成橋索力優(yōu)化的效果理想。實(shí)例分析可知索力優(yōu)化目標(biāo)選取及優(yōu)化效果往往取決于計(jì)算者對于具體結(jié)構(gòu)的理解和優(yōu)化側(cè)重，并無絕對的方法優(yōu)劣之分，需要綜合分析各優(yōu)化目標(biāo)的效果并進(jìn)行合理取舍。文中創(chuàng)新提出以能量法和線性規(guī)劃遺傳算法結(jié)合的分步算法，借助通用計(jì)算軟件Matlab和Midas/Civil針對同類型斜拉橋結(jié)構(gòu)的優(yōu)化計(jì)算是方便可行的。該方法綜合了能量法求解初始索力與遺傳算法求解優(yōu)化目標(biāo)下成橋索力的優(yōu)越性。文中闡述的中等跨徑鋼斜拉橋索力優(yōu)化實(shí)例的方法可作為同類型斜拉橋之參考，對于較大跨徑和復(fù)雜形式的斜拉橋，成橋索力優(yōu)化有待進(jìn)一步驗(yàn)證。