黃 欣，郜浩然，郝 穎

（華北水利水電大學(xué)土木與交通學(xué)院，河南鄭州 450045）

1 微分方程

采用高性能纖維增強(qiáng)復(fù)合材料部分代替?zhèn)鹘y(tǒng)金屬材料，是建筑物和汽車實(shí)現(xiàn)輕量化有效途徑。復(fù)合材料在變形過程中存在著拉伸—扭轉(zhuǎn)、彎曲—扭轉(zhuǎn)，以及不同面內(nèi)變形之間的互相耦合。傳統(tǒng)的 Euler-Bernoulli 梁理論和 Timoshenko 梁理論[1、2]基本上都延用平截面假定，忽略梁橫截面的翹曲變形的影響。本文除了考慮空間軸線的曲率和扭率、經(jīng)典的軸向、剪切變形和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響之外，另外計(jì)入扭轉(zhuǎn)有關(guān)的翹曲變形的影響，推導(dǎo)得到單向復(fù)合材料矩形截面梁由14 個(gè)微分方程組成的運(yùn)動(dòng)微分方程來研究單向復(fù)合材料直梁的耦合振動(dòng)。數(shù)值算例的結(jié)果證明方程的有效性，如圖1 所示。

圖1 矩形截面單向復(fù)合材料梁

設(shè)單向復(fù)合材料的柔度矩陣S 和剛度矩陣C=S-1，得到單向復(fù)合材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。根據(jù)廣義虎克定律和經(jīng)典層合板理論可得 σ2=σ3=σ4=0，得到：

假定梁只發(fā)生伸長(zhǎng)、扭轉(zhuǎn)以及彎曲，則其位移場(chǎng)為：

單向復(fù)合材料矩形截面桿自由扭轉(zhuǎn)的圣維南扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)為：

假定梁在外力作用下，作頻率為ω 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。則梁的運(yùn)動(dòng)微分方程為：

矩陣中各元素如下所示。本文采用改進(jìn)的Riccati 傳遞矩陣法求解固有頻率。

表1 高寬比變化對(duì)梁固有頻率的影響（L=1m）

表2 梁長(zhǎng)變化對(duì)梁固有頻率的影響

2 數(shù)值算例

兩端固支的單向復(fù)合材料矩形截面直梁，E1=40E2，E2=E3=2Gpa，G12=G13=0.6E2，G23=0.5E2，μ=0.25，ρ=1500kg/m3，截面 2a×2b，梁長(zhǎng)為L(zhǎng)。

算例2.1：令L=1m，表1 展示了高寬比a/b 對(duì)梁固有頻率的影響，如圖2、圖3 所示。

圖2 不同高寬比對(duì)梁固有頻率的影響

算例 2.2：令 2a=0.1m，2b=0.15m，表 2 展示了梁長(zhǎng) L 對(duì)梁固有頻率的影響。

圖3 不同梁長(zhǎng)度對(duì)梁固有頻率的影響

由表2 可知，隨著梁長(zhǎng)度的增大，梁的固有頻率隨之減小，翹曲效應(yīng)的影響也隨之增大。