郝坤鵬，楊國(guó)來(lái)

(1.南京理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 江蘇 南京 210094；2.西安昆侖工業(yè)(集團(tuán))有限責(zé)任公司, 陜西 西安 710043)

隨著導(dǎo)彈類精確制導(dǎo)武器的速度、隱身性能等突防能力不斷發(fā)展，作為防御一方，有必要大力發(fā)展高效的末端防御系統(tǒng)。彈炮結(jié)合防空武器作為一種典型的武器配置形式，以其高效的攔截性能，而大受世界各軍事強(qiáng)國(guó)的青睞，已成為現(xiàn)代防空反導(dǎo)的主要武器之一。彈炮結(jié)合系統(tǒng)綜合了防空導(dǎo)彈射擊精度高、射程較遠(yuǎn)和高炮反應(yīng)快、火力密集、近距離毀傷概率大的優(yōu)點(diǎn)，能對(duì)付低空近程內(nèi)幾乎所有的目標(biāo)，是一種高性能防空武器系統(tǒng)，已成為現(xiàn)代防空武器系統(tǒng)發(fā)展的一個(gè)重要方向[1-2]。

系統(tǒng)效能評(píng)估在武器系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、研制、采購(gòu)、使用及維護(hù)等各個(gè)階段都十分重要，也是裝備論證所必不可缺的有效工具和方法[3]。對(duì)彈炮結(jié)合武器系統(tǒng)進(jìn)行效能評(píng)估，可以為系統(tǒng)研制決策提供一個(gè)總體性的參考，為彈炮結(jié)合系統(tǒng)各部件的戰(zhàn)術(shù)性能指標(biāo)提供某些必要的限制和最低標(biāo)準(zhǔn)，為協(xié)調(diào)戰(zhàn)術(shù)、技術(shù)、經(jīng)費(fèi)、進(jìn)度等方面的關(guān)系給出一個(gè)準(zhǔn)則，為研究設(shè)計(jì)、試驗(yàn)、驗(yàn)收、評(píng)審提供一個(gè)總的依據(jù)[4]。

1 系統(tǒng)效能模型的數(shù)學(xué)描述

系統(tǒng)效能是指在特定條件下，武器裝備被用來(lái)執(zhí)行規(guī)定的作戰(zhàn)任務(wù)時(shí)，所能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)的程度。美國(guó)工業(yè)界武器系統(tǒng)效能咨詢委員會(huì)認(rèn)為：系統(tǒng)效能(System Effectiveness)是衡量一個(gè)系統(tǒng)滿足一組特定任務(wù)要求程度的度量，是系統(tǒng)可用性、可信賴性和能力的函數(shù)，該模型是一種被普遍接受的經(jīng)典模型[5]，其數(shù)學(xué)描述如下：

E=ADC,

(1)

式中：E為系統(tǒng)效能；A為可用度；D為可信賴度；C為能力。

1.1 系統(tǒng)可用度A

可用度A是可用性(Availability)的定量指標(biāo)，一般指系統(tǒng)在規(guī)定的條件下，隨時(shí)可滿意使用的概率。

若系統(tǒng)有m個(gè)部件，每個(gè)部件只有正常(Success)和故障(Failure)兩種狀態(tài)(正常狀態(tài)可用度為ai，故障狀態(tài)下可用度為1-ai，i=1,2,3,…,m)，則系統(tǒng)有n=2m種狀態(tài)。那么，可用度A是一個(gè)n維向量，元素Ak表示系統(tǒng)在k狀態(tài)時(shí)的可用度。若此時(shí)有s(s≤m)個(gè)部件故障，則

(2)

(3)

式中：MTBF是設(shè)備平均故障間隔時(shí)間；MTTR是設(shè)備平均修理時(shí)間。

顯然有

(4)

那么，系統(tǒng)的可用度向量A為

A=(A1,A2,…,Ak,…,An)，k=1,2,…,n.

(5)

1.2 系統(tǒng)可信賴度D

可信賴度D(可信賴矩陣)是可信賴性(Dependability)定量指標(biāo)，是指系統(tǒng)在給定的條件下，經(jīng)過(guò)規(guī)定的工作時(shí)間t，從某一初始狀態(tài)轉(zhuǎn)換到另一狀態(tài)的概率。若系統(tǒng)有n個(gè)工作狀態(tài)，那么D是一個(gè)n×n的概率矩陣，其元素是以時(shí)間t為自變量的函數(shù)。

對(duì)于故障及修復(fù)服從負(fù)指數(shù)分布的部件，分別用R、M表示可靠度和修復(fù)度，則

(6)

式中：t為工作時(shí)間；λ為故障率;μ為修復(fù)率。

一般元件或系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換概率均符合馬爾科夫過(guò)程，且假定在Δt時(shí)間內(nèi)系統(tǒng)只能有一個(gè)部件故障或一個(gè)部件被修復(fù)，其轉(zhuǎn)換概率pij(由狀態(tài)i經(jīng)時(shí)間t轉(zhuǎn)換到j(luò)的概率)只與λ、μ有關(guān)，轉(zhuǎn)化空間如圖1所示。

狀態(tài)轉(zhuǎn)化概率矩陣P為

(7)

對(duì)于工作期間不可修復(fù)系統(tǒng)，只需在狀態(tài)轉(zhuǎn)化概率矩陣中令μ=0.

記系統(tǒng)在t時(shí)刻處于各狀態(tài)的概率為pk(t)=p(x(t)=k)，系統(tǒng)由i狀態(tài)在Δt轉(zhuǎn)移到j(luò)狀態(tài)的概率為pij(t)，有

(8)

在t+Δt時(shí)刻，系統(tǒng)處于各狀態(tài)的概率為

(9)

對(duì)式(9)進(jìn)行整理，并令Δt→0，可獲得系統(tǒng)狀態(tài)方程。構(gòu)造一個(gè)矩陣U,令矩陣U=[PT-I]，PT是矩陣P的轉(zhuǎn)置矩陣，I是PT的同階單位矩陣，則

(10)

求解狀態(tài)方程(10)的通解，代入初始條件，可獲得n個(gè)特解。將這n個(gè)特解寫成矩陣形式，記

D=[d1(t)，d2(t)，d3(t)，…，dn(t)]T=

(11)

則D為系統(tǒng)的可信賴矩陣?？梢钥闯?，可信賴矩陣具有以下特征：

1)矩陣中任一元素dij具有0≤dij≤1;

3)對(duì)于不可修復(fù)系統(tǒng)，dij=0，i>j，這表明不可修復(fù)系統(tǒng)的故障將一直會(huì)保持。

1.3 系統(tǒng)能力C

系統(tǒng)能力C是武器裝備系統(tǒng)能力(Capability)的定量指標(biāo)，是一個(gè)n維轉(zhuǎn)置向量，其元素表示系統(tǒng)在某種狀態(tài)下的能力指標(biāo)。

對(duì)一般的武器系統(tǒng)而言，采用層次分析法可以獲得其作戰(zhàn)能力層次結(jié)構(gòu)圖。層次分析法(Analytic Hierarchy Process，AHP)是美國(guó)運(yùn)籌學(xué)家T.L.Saty于上世紀(jì)70年代提出，是一種將定性和定量相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法，特別是將決策者的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行量化，在多目標(biāo)決策分析中關(guān)鍵問(wèn)題之一是確定各目標(biāo)重要程度[6-8]。定量衡量武器作戰(zhàn)能力的指標(biāo)一般包含機(jī)動(dòng)能力、反應(yīng)能力、打擊能力、生存能力和持續(xù)作戰(zhàn)能力，若用c1、c2、c3、c4、c5分別表示其相應(yīng)的能力向量，用ν1、ν2、ν3、ν4、ν5表示各種能力的權(quán)重，則系統(tǒng)某一狀態(tài)k的能力為ck:

ck=ν1c1+ν2c2+ν3c3+ν4c4+ν5c5,

(12)

那么，能力向量C:

C=(c1,c2,…,ck,…,cn)T，k=1,2,…,n.

(13)

1.4 系統(tǒng)效能

在確定了系統(tǒng)效能模型中的可用度A、可信賴度D和能力向量C后，利用Matlab軟件，按系統(tǒng)效能公式(1)計(jì)算，即可獲得系統(tǒng)效能E.對(duì)于將能力向量C簡(jiǎn)化為毀傷概率，則系統(tǒng)效能E實(shí)質(zhì)上是計(jì)及設(shè)備可靠性后毀傷概率的綜合評(píng)價(jià)。

2 某武器系統(tǒng)效能評(píng)估

2.1 系統(tǒng)組成、參數(shù)及工作狀態(tài)

依據(jù)裝備需求方對(duì)彈炮結(jié)合防御武器的核心作戰(zhàn)需求，利用層次分析的方法，可以獲得武器系統(tǒng)必須具備的核心能力具體有：目標(biāo)探測(cè)能力、綜合火力控制能力(含指控及火控功能)、目標(biāo)跟蹤能力(含目標(biāo)速度、距離、高低角、方位角探測(cè)能力及抗復(fù)雜電磁環(huán)境功能)、導(dǎo)彈及火炮系統(tǒng)火力打擊能力以及機(jī)動(dòng)運(yùn)載能力等。在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，為提高彈炮結(jié)合末端防御武器系統(tǒng)在復(fù)雜電磁環(huán)境下的抗干擾能力，均會(huì)采用跟蹤雷達(dá)與光電跟蹤設(shè)備進(jìn)行能力互補(bǔ)與數(shù)據(jù)融合，從而形成具有多通道跟蹤、多通道攔截的復(fù)合型高效武器系統(tǒng)[9]。

某防御武器系統(tǒng)在論證時(shí)，受光電跟蹤設(shè)備結(jié)構(gòu)、布設(shè)位置及指標(biāo)精度影響，其向小口徑速射火炮提供目標(biāo)高精度位置信息的能力受到一定的限制，為簡(jiǎn)化系統(tǒng)的分析維度，在論證初期可暫不考慮；同時(shí)，對(duì)可獨(dú)立評(píng)估的目標(biāo)探測(cè)和機(jī)動(dòng)運(yùn)載能力，亦可在論證初期暫不考慮。通過(guò)對(duì)該防御武器系統(tǒng)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化，其主要的功能通道為:

1)綜合火力控制—跟蹤雷達(dá)—速射火炮；

2)綜合火力控制—跟蹤雷達(dá)—防空導(dǎo)彈；

3)綜合火力控制—光電跟蹤儀—防空導(dǎo)彈。

該系統(tǒng)功能框圖如圖2所示。

武器系統(tǒng)功能結(jié)構(gòu)確定后，依據(jù)裝備方提出的可靠性、維修性技術(shù)指標(biāo)，開(kāi)展可靠性分配、預(yù)計(jì)及設(shè)計(jì)工作，可初步確定各設(shè)備可靠性、維修性參數(shù)[10-11]。為簡(jiǎn)化計(jì)算模型，小口徑火炮及防空導(dǎo)彈以長(zhǎng)時(shí)制隨動(dòng)參數(shù)為主，涉及火炮及導(dǎo)彈發(fā)射的短時(shí)可靠性，可單獨(dú)分析；同時(shí)，考慮裝備技術(shù)指標(biāo)保密，對(duì)部分參數(shù)進(jìn)行了必要調(diào)整，如表1所示。

表1 某彈炮結(jié)合武器可靠性、維修性參數(shù)

導(dǎo)彈和火炮對(duì)典型的導(dǎo)彈類目標(biāo)的理論毀傷概率分別是pMIS=0.8和pGUN=0.7；武器系統(tǒng)戰(zhàn)斗值班時(shí)間(連續(xù)工作時(shí)間)t為24 h，且假定其值班期間系統(tǒng)故障可修復(fù)。

該彈炮結(jié)合武器在工作過(guò)程中，設(shè)備狀態(tài)只有正常和故障兩種，且其狀態(tài)轉(zhuǎn)換規(guī)律服從齊次馬爾科夫過(guò)程，通過(guò)系統(tǒng)分析其工作特點(diǎn)，系統(tǒng)共有9種工作狀態(tài)，其中狀態(tài)1為系統(tǒng)各設(shè)備均正常，狀態(tài)2～8中某一個(gè)或某兩個(gè)設(shè)備故障，系統(tǒng)可以工作，狀態(tài)9為系統(tǒng)不可工作，如表2所示。表中S表示設(shè)備正常，F(xiàn)表示設(shè)備故障。

2.2 系統(tǒng)效能計(jì)算

2.2.1 確定可用度A

結(jié)合系統(tǒng)各工作狀態(tài)下設(shè)備的故障情況，利用式(1)分別計(jì)算系統(tǒng)的可用度Ak，則可用度向量A：

A=( 0.994 7，0.001 5，0.001 1，0.001 2，0.000 6，0.000 0，0.000 0，0.000 0，0.000 8).

2.2.2 確定可信賴矩陣D

對(duì)于系統(tǒng)值班工作過(guò)程，假定系統(tǒng)故障不可修復(fù)。通過(guò)對(duì)表2中系統(tǒng)工作狀態(tài)和設(shè)備故障情況的分析，系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)換空間如圖3所示。按式(7)列出系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣P:

(14)

按照式(9)，列出系統(tǒng)狀態(tài)方程并解出其通解p1(t)、p2(t)，…，p9(t)：

p1(t)=c1e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5)t,

(15)

p2(t)=-c1e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5)t+c2e-(λ1+λ3+λ4+λ5)t,

(16)

p3(t)=-c1e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5)t+c3e-(λ1+λ2+λ3+λ5)t,

(17)

p4(t)=-c1e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5)t+c4e-(λ1+λ2+λ4+λ5)t,

(18)

p5(t)=-c1e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5)t+c5e-(λ1+λ2+λ3+λ4)t,

(19)

p6(t)=c1e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5)t-c2e-(λ1+λ3+λ4+λ5)t-

c4e-(λ1+λ2+λ4+λ5)t+c6e-(λ1+λ4+λ5)t,

(20)

p7(t)=c1e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5)t-c3e-(λ1+λ2+λ3+λ5)t-

c5e-(λ1+λ2+λ3+λ4)t+c7e-(λ1+λ2+λ3)t,

(21)

p8(t)=c1e-(λ1+λ2+λ3+λ4+λ5)t-c3e-(λ1+λ2+λ3+λ5)t-

c4e-(λ1+λ2+λ4+λ5)t+c8e-(λ1+λ2+λ5)t,

(22)

p9(t)=c3e-(λ1+λ2+λ3+λ5)t+c4e-(λ1+λ2+λ4+λ5)t-

c6e-(λ1+λ4+λ5)t-c7e-(λ1+λ2+λ3)t-c8e-(λ1+λ2+λ5)t+c9.

(23)

利用初始條件解出特解，得到系統(tǒng)可信賴矩陣D：

2.2.3 確定能力向量C

對(duì)于末端防御武器而言，其最核心的能力還是打擊能力，即系統(tǒng)的毀傷概率。為簡(jiǎn)化計(jì)算，暫不考慮機(jī)動(dòng)能力、反應(yīng)能力、生存能力和持續(xù)作戰(zhàn)能力，則C=c3.對(duì)于彈炮結(jié)合系統(tǒng)而言，則C是由pMIS和pGUN構(gòu)成的函數(shù)，即C=c3(pMIS，pGUN).

末端防御武器系統(tǒng)攔截目標(biāo)時(shí)，根據(jù)概率論原理，一般采用彈炮接力攔截的模式時(shí)，C=1-(1-pMIS)(1-pGUN)=0.94；若僅用導(dǎo)彈或者火炮一次攔截，則C=pMIS=0.8或者C=pGUN=0.7；系統(tǒng)不能工作，必然C=0.

按照表2中描述的系統(tǒng)工作狀態(tài)，按式(12)分別計(jì)算各種狀態(tài)下作戰(zhàn)能力ck，則能力向量C為

C=[0.940，0.800，0.940，0.800，0.700，0.800，

0.700，0.800，0.000]T.

2.2.4 計(jì)算系統(tǒng)效能

利用Matlab軟件或Excel軟件的相關(guān)函數(shù)功能，按公式(1)計(jì)算得到武器系統(tǒng)工作到24 h時(shí)，系統(tǒng)效能E24h=0.876 3.

3 可靠性對(duì)系統(tǒng)效能影響計(jì)算

為進(jìn)一步分析可靠性參數(shù)對(duì)系統(tǒng)效能的影響，進(jìn)行任務(wù)可靠性建模，計(jì)算任務(wù)平均無(wú)故障時(shí)間MTBCFS，且

(24)

對(duì)于串聯(lián)模型，其系統(tǒng)故障率λs為

(25)

對(duì)于并聯(lián)模型，故障率λs為

(26)

根據(jù)圖2所示的系統(tǒng)框圖，分析得到彈炮結(jié)合系統(tǒng)任務(wù)可靠性模型數(shù)學(xué)描述如下：

λs=λ1∩{(λ2∩λ3)∪[(λ2∪λ4)∩λ5]},

(27)

式中：∩為串聯(lián)模型，符合式(25)；∪為并聯(lián)模型，符合式(26)。

利用式(24)～(27)計(jì)算，可得：λs=0.040，MTBCFS=248.49 h.

構(gòu)造一個(gè)系數(shù)S=MTBFS/t，表征系統(tǒng)任務(wù)可靠性與系統(tǒng)工作時(shí)間之間的關(guān)系。分別選取武器系統(tǒng)工作時(shí)間分別為24、12、4和2 h，系統(tǒng)MTBF的10%～150%，以及導(dǎo)彈、火炮理論仿真毀傷概率P的90%、100%、110%等變量，按前述計(jì)算過(guò)程，可得到不同狀態(tài)下的系統(tǒng)效能，如表3所示。

表3 系統(tǒng)效能表

續(xù)表3

對(duì)計(jì)算獲得的系統(tǒng)效能數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，繪制工作時(shí)間為24 h的系統(tǒng)效能E變化量(相對(duì)原設(shè)計(jì)方案確定的系統(tǒng)效能0.876 3的增幅百分比)與S變化曲線如圖5所示。原設(shè)計(jì)方案MTBCFS=248.49 h，S=10.353 9，E=0.876 3，若為降低成本及制造難度，允許系統(tǒng)效能最大降低5%.由圖表進(jìn)行分析可知，當(dāng)S=6.212 3，MTBCFS=149.10 h時(shí)，E降低到0.832 5(降幅5%)，但MTBCFS的降幅度高達(dá)40%；當(dāng)大幅提高系統(tǒng)MTBCFS時(shí)，系統(tǒng)效能E卻沒(méi)有明顯的增加;反之，當(dāng)S<6時(shí)，系統(tǒng)效能E大幅下降，由此可知，合理的匹配系統(tǒng)MTBCFS與工作時(shí)間t可明顯提升武器裝備經(jīng)濟(jì)效能。同時(shí)，從圖表分析可知，調(diào)整理論毀傷概率，對(duì)系統(tǒng)效能也將產(chǎn)生一定影響，在S>6時(shí)，基本呈線性關(guān)系，可見(jiàn)，在保證系統(tǒng)可靠性的基礎(chǔ)上，提升理論毀傷概率仍是提高系統(tǒng)效能的有效方法。

繪制不同工作時(shí)間條件下系統(tǒng)效能E變化量(相對(duì)原設(shè)計(jì)方案確定的系統(tǒng)效能0.876 3的增幅百分比)與S變化量曲線如圖6所示。由圖表進(jìn)行分析可知，雖然工作時(shí)間t不同，但對(duì)相同的S，武器系統(tǒng)效能E基本相同，且在S=6.212 3時(shí)達(dá)到一個(gè)最佳效能匹配點(diǎn)。

4 結(jié)束語(yǔ)

從系統(tǒng)總效能計(jì)算過(guò)程和各種條件下系統(tǒng)效能計(jì)算結(jié)果和曲線可以得出以下結(jié)論：

1)系統(tǒng)可靠性參數(shù)、理論作戰(zhàn)能力和系統(tǒng)工作時(shí)間均對(duì)系統(tǒng)效能有較大的影響，計(jì)及系統(tǒng)可靠性后，系統(tǒng)效能小于理論作戰(zhàn)能力。

2)對(duì)于工作期間不可修復(fù)的武器系統(tǒng)，隨著系統(tǒng)工作時(shí)間的增加，其系統(tǒng)效能呈現(xiàn)不斷衰減的趨勢(shì)。

3)提升系統(tǒng)可靠性參數(shù)，可提升系統(tǒng)效能；合理優(yōu)化系統(tǒng)參數(shù)，使得S=6，系統(tǒng)可以獲得最佳的綜合效能；避免選擇S<4，此區(qū)間會(huì)造成系統(tǒng)效能急劇下降，達(dá)不到使用要求；同樣也要避免S>12，此區(qū)間系統(tǒng)制造難度及成本會(huì)大幅提升，但效能提升較慢，且趨于最大理論值，效費(fèi)比不佳。

4)提高系統(tǒng)理論作戰(zhàn)能力，亦可提升系統(tǒng)效能，在S>6時(shí)，效能提升基本呈線性。

總之，系統(tǒng)效能提升是一個(gè)系統(tǒng)工程，要把握系統(tǒng)功能、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、可靠性、維修性、工作時(shí)間、系統(tǒng)精度和制造成本等因素的協(xié)調(diào)、匹配，通過(guò)多次仿真、迭代，最終優(yōu)選出一組結(jié)構(gòu)及性能參數(shù)，從而使系統(tǒng)性能最優(yōu)。