浙江省蘭溪市第一中學(xué)(321102) 張城兵

函數(shù)零點(diǎn)是函數(shù)、方程與不等式三個(gè)知識塊聯(lián)系的重要橋梁,因而知識點(diǎn)的重要性就不言而喻了,由它產(chǎn)生的題目簡約而不簡單,內(nèi)涵豐富,意境深遠(yuǎn).多種知識和解題技巧組合在一起,往往讓學(xué)生無從下手,或者中途夭折.筆者選取一些典型的例子,予以剖析,以饗讀者.

例1(2015年高考浙江文科第20 題) 設(shè)函數(shù)f(x) =x2+ax+b(a,b ∈R).

(1) 略; (2) 已知函數(shù)f(x) 在[-1,1] 上存在零點(diǎn), 0 ≤b-2a≤1,求b的取值范圍.

解法一這是當(dāng)年浙江省文科高考壓軸題,至今讓人津津樂道,回味無窮.考生首先想到方法一,但龐雜的不等式組和難畫的線性規(guī)劃圖,使學(xué)生很難做全對,由方程f(x) = 0在[-1,1]上有實(shí)根及已知,得

圖1

圖2

解法二(官方的標(biāo)準(zhǔn)答案) 設(shè)s,t為方程f(x) = 0的解, 且-1 ≤t≤1, (筆者注: 因?yàn)轭}目告知函數(shù)f(x)在[-1,1] 上存在零點(diǎn), 個(gè)數(shù)不明確, 所以只要保證其中一個(gè)零點(diǎn)t ∈[-1,1],s模糊處理), 則由于0 ≤b-2a≤1,因此(-1 ≤t≤1).當(dāng)0 ≤t≤1 時(shí),由于和≤9-所以當(dāng)-1 ≤t ＜0 時(shí),由于-2 ≤＜0和-3 ≤＜0,所以-3 ≤b ＜0.故b的取值范圍是[-3,9-

圖3

解法三函數(shù)f(x) 在[-1,1] 上存在零點(diǎn), 也就是g(x)=ax+b與h(x)=-x2在x ∈[-1,1]上有交點(diǎn),而條件0 ≤b-2a≤1 意味著函數(shù)g(x) =ax+b圖象過橫坐標(biāo)為-2,縱坐標(biāo)在[0,1]上變化的點(diǎn),也即為線段AB上的任意一點(diǎn),且它與拋物線段有公共點(diǎn),如圖3,求截距b的范圍.由圖可知,直線BC、BD不符合要求, 直線AC、AD符合要求, 找它們與拋物線段有公共點(diǎn)的臨界狀態(tài)時(shí)b的值即為所求.易求AC的方程y=-2x-3,令A(yù)D的方程y-1=k(x+2)與y=-x2聯(lián)立,得x2+kx+2k+1 = 0,若直線AD與拋物線相切,由Δ =k2-8k-4 = 0,得k= 4±取k= 4-(因?yàn)閤 ∈[-1,1] 的限制, 故k= 4 +舍去), 所以截距b=9-綜上,b的取值范圍是[-3,9-

評注方法一是學(xué)生首先想到方法,畢竟這也是學(xué)習(xí)函數(shù)零點(diǎn)后常用方法,但是它的復(fù)雜程度超乎想像;方法二是很創(chuàng)意的,用確定區(qū)間上的零點(diǎn)來充當(dāng)自變量,特別是對另一個(gè)零點(diǎn)s的模糊處理是神來之筆;方法三更勝一籌,達(dá)到數(shù)形結(jié)合的最高境界.

下面筆者以零點(diǎn)個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn),分門別類剖析.

一、零點(diǎn)個(gè)數(shù)明確,以零點(diǎn)為自變量

例2(2017年浙江省數(shù)學(xué)競賽題) 已知函數(shù)f(x) =x2+ax+b(其中a,b ∈R),在區(qū)間[0,1]內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn),則a2-2b的取值范圍是____.

解析設(shè)零點(diǎn)為x1,x2∈[0,1] 且x1/=x2, 則x1+x2=-a,x1x2=b, 此時(shí),x1,x2是獨(dú)立變量, 各自可取到最大或最小值, 只是要考慮不相等即可, 所以a2-2b=

例3已知函數(shù)f(x) =x2+ax+b(a,b ∈R)在區(qū)間(0,1)和(1,2)上各有一個(gè)零點(diǎn),則a2+a-2b的取值范圍為____.

解析設(shè)兩零點(diǎn)為x1,x2,且x1∈(0,1),x2∈(1,2),則a2+a-2b的取值范圍為

例4(2014年浙江省數(shù)學(xué)競賽第18 題)已知b,c ∈R,二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c.在(0,1)上與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn),求c2+(b+1)·c的取值范圍.

解析令r,s為二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)(r /=s), 則f(x) = (x - r)(x - s), 易知r+s=-b,rs=c, 所 以c2+(b+1)·c=c(c+b+1)=rs(1-r)(1-s)≤因?yàn)閞 /=s,所以等號不成立,故c2+(b+1)·c的取值范圍是

評注此三例零點(diǎn)明確有幾個(gè),并在哪個(gè)區(qū)間,此時(shí)的零點(diǎn)就是自變量,并且取值范圍也知道了,將所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為以零點(diǎn)為自變量的函數(shù),盡管有兩個(gè)自變量,但它們是獨(dú)立的,所以取值范圍不難求,這是一種常規(guī)方法.

二、零點(diǎn)個(gè)數(shù)模糊,選一個(gè)獨(dú)擋一面

例5已知函數(shù)f(x) =x2+ax+b(a,b ∈R)在[0,1]上至少有一個(gè)零點(diǎn),則a2+2b的取值范圍是____.

解析零點(diǎn)個(gè)數(shù)不明確, 題干中又未要求予以討論, 此時(shí)解法可能與零點(diǎn)個(gè)數(shù)無關(guān),故只需選某個(gè)零點(diǎn)為x0,x0∈[0,1],當(dāng)然此時(shí)不能用韋達(dá)定理了,而改用方程實(shí)根的定義(函數(shù)的零點(diǎn)實(shí)質(zhì)就是方程的實(shí)根),則+ax0+b= 0,即b=0,所以a2+2b=a2-2ax0-,這是有兩個(gè)變量的函數(shù),a與x0沒有明顯的制約關(guān)系,故可以先看作以a為主元的二次函數(shù),求得(a2+2b)min=-,再以x0為主元,因?yàn)閤0∈[0,1],故a2+2b ∈[-3,0].

例6已知函數(shù)f(x) =x2+ax+b(其中a,b ∈R)在區(qū)間(0,1]內(nèi)有零點(diǎn)x0, 則的最大值是____.

解析令零點(diǎn)為x0,x0∈(0,1],則+ax0+b=0,即b=0,所以

此例解法與前一例一脈相承,只是求最值難度加大,有更強(qiáng)的技巧性.

例7已知二次函數(shù)f(x) =ax2+bx+c有零點(diǎn), 若(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥Ma2恒成立,則實(shí)數(shù)M的最大值是____.

解析由已知b2≥4ac,則y,則x2≥4y,由(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥Ma2,得進(jìn)而M≤(1-x)2+(x-y)2+(y-1)2=2y2+2x2-2x-2y-2xy+2,令g(y)=2y2+2x2-2x-2y-2xy+2=2y2-(2+2x)y+2x2-2x+2,此時(shí)看作關(guān)于y的二次函數(shù),定義域?yàn)?/p>

1) 當(dāng)對稱軸y=即x≥ 1 +或x≤1-g(y)min=從而

2) 當(dāng)y=即時(shí),+2x2-2x+2 =-2x+2,g′(y)=+3x+2=令g′(y) = 0,得x= 1 為極小值點(diǎn),故g(y)min=所以M≤從而實(shí)數(shù)M的最大值是

評注例5、例6 零點(diǎn)個(gè)數(shù)不明確,我們可以在規(guī)定區(qū)間內(nèi)選一個(gè)記作x0,但無法只用x0來表示所求代數(shù)式,所以借助主元方法,先來后到,確保x0用在最后,而例7 不用設(shè)零點(diǎn),這是由所求問題決定的,利用齊次式,達(dá)到減元目的.

三、三個(gè)或四個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)問題的處理

例8若函數(shù)f(x)=2x3+mx2+nx+t在(0,1)上有三個(gè)不同的零點(diǎn),則f(0).f(1)取值范圍是____.

解析令f(x)=2(x-x1)(x-x2)(x-x3),(x1,x2,x3互不相等)則f(0).f(1)=-4[x1(1-x1)][x2(1-x2)][x3(1-(用均值不等式,但等號取不到),所以f(0).f(1)取值范圍是

例9已知函數(shù)f(x)=x+,g(x)=f2(x)-af(x)+2a有四個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,x3,x4,則[2-f(x1)]·[2-f(x2)]·[2-f(x3)]·[2-f(x4)]=____.

解析令t=f(x),則y=g(x)=t2-at+2a,因?yàn)間(x)有四個(gè)不同零點(diǎn)x1,x2,x3,x4,故t2-at+2a=0 有兩個(gè)不等實(shí)根t1,t2且t1+t2=a,t1t2=2a,所以2(t1+t2)=t1t2,令f(x1)=f(x2)=t1,f(x3)=f(x4)=t2,所以[2-f(x1)]·[2-f(x2)]·[2-f(x3)]·[2-f(x4)]=[(2-t1)(2-t2)]2=16.

例10設(shè)x1,x2是a2x2+bx+1 = 0 的兩實(shí)根;x3,x4是ax2+bx+1=0 的兩實(shí)根.若x3＜x1＜x2＜x4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____.

解析當(dāng)a ＞0, 如圖4,g(x1)＜0 =f(x1), 所 以得a ＞1;當(dāng)a ＜0,則g(x2)＞0=f(x2),求得解得0＜a ＜1,矛盾,故a的取值范圍是(1,+∞).

圖4

評注零點(diǎn)個(gè)數(shù)增加,并不影響方法,只是增加學(xué)生理解難度.

四、反彈琵琶型——函數(shù)不存在零點(diǎn)

例11已知f(x)=x2-2x+c,f1(x)=f(x),fn(x)=f(fn-1(x))(n≥2,n ∈N*),若函數(shù)y=fn(x)-x不存在零點(diǎn),則c值的取范圍是____.

解析當(dāng)f(x) =x無解時(shí), 用判別式得c ＞此時(shí)f(x)＞x恒成立, 則f2(x)-2f(x) +c=x ＜f(x)即f2(x)-3f(x) +c ＜0 此時(shí)仍無解, 由數(shù)學(xué)歸納法,y=fn(x)- x無零點(diǎn).而當(dāng)c≤時(shí),f(x) =x有解,則y=fn(x)-x存在零點(diǎn).所以c值的取范圍是

評注學(xué)生習(xí)慣順向思維,突然出現(xiàn)逆向思維的問題,對他們來說很難擺脫定勢干擾,就好比說研究在某某區(qū)間單調(diào)性,一般學(xué)生沒問題,但突然要求在某區(qū)不單調(diào),就會手忙腳亂.

讀者對下面練習(xí)不妨一試:

1.若函數(shù)f(x) =x2+2ax+b,(x ∈[1,2])有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則a+b的取值范圍為( )

A.(0,3] B.(0,2) C.(1,3) D.[0,3]

2.已知函數(shù)f(x) =x2+ax+b(其中a,b ∈R),在區(qū)間[0,1]上有零點(diǎn),則ab的最大值是____.

3.已知二次函數(shù)f(x) =ax2+bx+c(a,b,c ∈N*),函數(shù)f(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn),則a+b+c的最小值為____.

4.已知a,b ∈R 且0 ≤a+b≤1,函數(shù)f(x)=x2+ax+b在上至少存在一個(gè)零點(diǎn), 則a-2b的取值范圍是____.

5.已知關(guān)于x的方程x2+2bx+c= 0(b,c ∈R) 在[-1,1]上有實(shí)數(shù)根,0 ≤4b+c≤3,則b的取值范圍是____.

6.(2017年福建省數(shù)學(xué)競賽題) 若關(guān)于x的方程x2+ax+b -3 = 0(a,b ∈R) 在區(qū)間[1,2] 上有實(shí)根,則a2+(b-4)2的最小值為____.

7.若a,b,c為正整數(shù),方程ax2+bx+c= 0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2滿足-1＜x1＜x2＜1,求a+b+c的最小值.

參考答案1.B 2.3.41 4.[0,1] 5.[-1,2] 6.2 7.最小值為11.