安徽省合肥市第四中學(xué)(230000) 周賽龍 儲(chǔ)炳南

1 問題的提出

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(人教A 版)數(shù)學(xué)選修4-4第33 頁例3 是這樣的:

例題如圖1, 已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是拋物線y2= 2px(p ＞0) 上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn), 且OA ⊥OB,OM ⊥AB并與AB相交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡.

下文將具體說明: 在保留題設(shè)條件“OA ⊥OB”不變的情況下,該問題有著極其豐富的推廣價(jià)值.另外,為了使該問題能與函數(shù)更好地結(jié)合,將題設(shè)中的拋物線改為焦點(diǎn)在y軸上的拋物線.

圖1

圖2

2 問題的推廣

結(jié)論1(拋物線情形): 如圖2, 已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是拋物線C:x2= 2py(p ＞0) 上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T(2pt,2pt2)是拋物線C上一定點(diǎn)(t ∈R 為常數(shù)),且TA ⊥TB,則直線AB過定點(diǎn)Q(-2pt,2p+2pt2).

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0), 由于直線AB與拋物線必有兩個(gè)交點(diǎn), 故可設(shè)其方程為:y -y0=k(x - x0), 其中k為直線AB的斜率.聯(lián)立方程:從而x2-2pkx+ 2pkx0-2py0= 0, 所以x1+x2= 2pk,x1x2= 2pkx0-2py0,由y1- y0=k(x1- x0),y2- y0=k(x2- x0), 得y1+y2= 2pk2-2kx0+ 2y0, 由x21= 2py1,x22= 2py2,得y1y2== (kx0-y0)2, 又因?yàn)門A⊥TB, 所以= 0, 因?yàn)?x2-2pt,y2-2pt2),所以=x1x2-2pt(x1+x2)+4p2t2+y1y2-2pt2(y1+y2)+4p2t4=0,將

代入上式整理得:

因?yàn)楫?dāng)k ∈R 時(shí),上式恒成立,所以

結(jié)論2(橢圓情形)如圖3, 已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是橢圓C:1(a ＞b ＞0) 上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T(m,n) 是橢圓C上一定點(diǎn)(m,n為常數(shù)), 且TA ⊥TB, 則直線AB過定點(diǎn)

圖3

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),設(shè)直線AB方程為:y-y0=k(x-x0),其中k為直線AB的斜率.聯(lián)立方程:從而

由y1-y0=k(x1-x0),y2-y0=k(x2-x0)得到

又因?yàn)門A⊥TB,所以

將y1+y2=k(x1+x2)-2kx0+2y0,y1y2=k2x1x2+k(y0-kx0)(x1+x2)+(y0-kx0)2代入上式得:

將(1)(2)代入上式整理得:

所以當(dāng)k ∈R 時(shí),上式恒成立.由于T(m,n)是橢圓C上一定點(diǎn),所以

結(jié)論3(雙曲線情形) 已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是雙曲線C:= 1(a ＞0,b ＞0 且a /=b) 上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T(m,n) 是雙曲線C上一定點(diǎn)(m,n為常數(shù)), 且TA ⊥TB, 則直線AB過定點(diǎn)

雙曲線情形的證明方法與橢圓情形類似.

圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)1已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是拋物線C:x2=2py(p ＞0)(或橢圓C:=1(a ＞b ＞0)或雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0 且a/=b))上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T是拋物線上一定點(diǎn),且TA ⊥TB,則直線AB過定點(diǎn).

結(jié)論4(拋物線情形)如圖4,已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是拋物線C:x2= 2py(p ＞0) 上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T(2pt,2pt2) 是拋物線C上一定點(diǎn)(t ∈R 為常數(shù)), 且TA ⊥TB,TM ⊥AB并與AB相交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M在定圓x2+(y-p-2pt2)2=4p2t2+p2上運(yùn)動(dòng).

證明由結(jié)論1 可知直線AB過定點(diǎn)Q(-2pt,2p+2pt2).又因?yàn)門(2pt,2pt2)也為定點(diǎn),且TM⊥AB,所以點(diǎn)M在以線段TQ為直徑的定圓上運(yùn)動(dòng).圓心為線段TQ中 點(diǎn)(0,p+2pt2), 半徑所以點(diǎn)M所在定圓的方程為:x2+(y-p-2pt2)2=4p2t2+p2.證畢.

結(jié)論5(橢圓情形) 已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是橢圓C:= 1(a ＞ b ＞0) 上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T(m,n) 是橢圓C上一定點(diǎn)(m,n為常數(shù)), 且TA ⊥ TB,TM ⊥ AB并與AB相交于點(diǎn)M, 則點(diǎn)M在定圓上運(yùn)動(dòng).

結(jié)論6(雙曲線情形) 已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是雙曲線C:= 1(a ＞0,b ＞0 且a /=b) 上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T(m,n) 是雙曲線C上一定點(diǎn)(m,n為常數(shù)), 且TA ⊥TB,TM ⊥AB并與AB相交于點(diǎn)M, 則點(diǎn)M在定圓上運(yùn)動(dòng).

結(jié)論5、6 的證明方法與結(jié)論4 類似.由結(jié)論4-6 可得:

圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)2已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是拋物線C:x2=2py(p ＞0)(或橢圓C:=1(a ＞b ＞0)或雙曲線C:= 1(a ＞0,b ＞0 且a /=b))上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T是拋物線上一定點(diǎn),且TA ⊥TB,TM ⊥AB并與AB相交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M在定圓上運(yùn)動(dòng).

結(jié)論7(拋物線情形) 如圖5, 已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是拋物線C:x2=2py(p ＞0) 上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T(2pt,2pt2) 是拋物線C上一定點(diǎn)(t ∈R 為常數(shù)),且TA ⊥TB,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),則M的軌跡方程是拋物線(x+pt)2=py-2p2-p2t2.

圖5

證明設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y), 直線斜率為k.則兩式做差化簡得由結(jié)論1 可知直線AB過定點(diǎn)Q(-2pt,2p+2pt2),所以

由上式化簡整理得(x+pt)2=py-2p2-p2t2.證畢.

結(jié)論8(橢圓情形)已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是橢圓C:= 1 (a ＞b ＞0) 上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T(m,n)是橢圓C上一定點(diǎn)(m,n為常數(shù)),且TA ⊥TB,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),則M的軌跡方程是橢圓

結(jié)論9(雙曲線情形)已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0 且a/=b)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T(m,n)是雙曲線C上一定點(diǎn)(m,n為常數(shù)),且TA ⊥TB,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),則M的軌跡方程是雙曲線

結(jié)論8、9 的證明方法與結(jié)論7 類似.由結(jié)論7-9 可得:

圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)3已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是拋物線C:x2=2py(p ＞0)(或橢圓C:b ＞0)或雙曲線C:=1(a ＞0,b ＞0 且a/=b))上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T是拋物線上一定點(diǎn),且TA ⊥TB,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),則M的軌跡仍是拋物線(或橢圓或雙曲線).

結(jié)論10(拋物線情形)如圖6, 已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是拋物線C:x2=2py(p ＞0) 上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T(2pt,2pt2) 是拋物線C上一定點(diǎn)(t ∈R 為常數(shù)),

圖6

且TA ⊥TB,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)G是ΔTAB的重心,則重心G的軌跡方程是拋物線: 9x2=6py-8p2-8p2t2.

證明設(shè)M(x0,y0),G(x,y).則=(2pt-x,2pt2-y)并且= (2pt - x0,2pt2- y0).由重心的性質(zhì)知所以

化簡得

由結(jié)論7 知:M點(diǎn)滿足(x0+pt)2=py0-2p2-p2t2.將(3)代入上式化簡整理得: 9x2=6py-8p2-8p2t2.證畢.

結(jié)論11(橢圓情形)已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是橢圓C:= 1 (a ＞b ＞0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T(m,n)是橢圓C上一定點(diǎn)(m,n為常數(shù)),且TA ⊥TB,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)G是ΔTAB的重心,則重心G的軌跡方程是橢圓:

結(jié)論12(雙曲線情形)已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是雙曲線C:= 1(a ＞0,b ＞0 且a /=b)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T(m,n)是雙曲線C上一定點(diǎn)(m,n為常數(shù)),且TA ⊥TB,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)G是ΔTAB的重心,則重心G的軌跡方程是雙曲線:

結(jié)論11、12 的證明方法與結(jié)論10 類似.由結(jié)論10-12 可得:

圓錐曲線的統(tǒng)一性質(zhì)4已知O是直角坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是拋物線C:x2= 2py(p ＞0)(或橢圓C:1 (a ＞b ＞0) 或雙曲線C:= 1 (a ＞0,b ＞0且a /=b))上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),T是拋物線上一定點(diǎn), 且TA ⊥TB,點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn),點(diǎn)G是ΔTAB的重心,則重心G的軌跡仍是拋物線(或橢圓或雙曲線).

3 問題的總結(jié)

課本例題、習(xí)題既是知識(shí)應(yīng)用的典型,也是思維訓(xùn)練的范例.從往屆的高考試題的命制來看,課本例題、習(xí)題往往是其最大的知識(shí)生長點(diǎn)之一.通過對(duì)課本習(xí)題多角度、全方位的深入探究,不僅可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、法則、定理等基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握,更能夠提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力,對(duì)開發(fā)學(xué)生的智力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,提升學(xué)生的核心素養(yǎng)具有積極重大的意義[1].