席守治　賴?yán)诮?/p>

摘要：為解決傳統(tǒng)雙平行四邊形柔性機(jī)構(gòu)中二級(jí)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)欠約束問題，設(shè)計(jì)了一種波紋梁夾持型對(duì)稱雙平行四邊形柔性機(jī)構(gòu)。首先，提出了一種基于正弦曲線的波紋梁結(jié)構(gòu)，并將其安裝在對(duì)稱雙平行四邊形機(jī)構(gòu)的2個(gè)二級(jí)平臺(tái)之間;其次，建立了機(jī)構(gòu)靜力學(xué)解析模型，并利用拉格朗日方程建立了動(dòng)力學(xué)模型;最后，利用有限元和實(shí)驗(yàn)方法對(duì)其靜、動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行了仿真和測(cè)試。結(jié)果表明：該機(jī)構(gòu)在沒有改變機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)剛度和一階固有頻率的情況下，對(duì)二級(jí)平臺(tái)進(jìn)行了有效約束，從而提升了雙平行四邊形機(jī)構(gòu)的高階固有頻率，能夠有效改善傳統(tǒng)雙平行四邊形機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性和抑制振動(dòng)能力。

關(guān)鍵詞：柔性機(jī)構(gòu);波紋梁;平行四邊形機(jī)構(gòu);欠約束;模態(tài)分析

【Abstract】Inordertosolvetheunder-constraintproblemofthesecondarymotionplatforminthetraditionaldoubleparallelogramflexiblemechanism，acorrugatedbeamclampingsymmetricaldoubleparallelogramflexiblemechanismisdesigned.First，acorrugatedbeamstructurebasedonasinecurveisproposedandinstalledbetweenthetwosecondaryplatformsofthesymmetricaldoubleparallelogrammechanism;secondly，ananalyticalmodelofmechanismstaticsisestablished，andadynamicmodelisestablishedusingLagrangianequations;finally，finiteelementandexperimentalmethodsareusedtosimulateandtestitsstaticanddynamicperformance.Theresultsshowthatthemechanismeffectivelyrestrainsthesecondaryplatformwithoutchangingthestiffnessofthemechanismandthefirst-orderfrequency，andimprovesthehigh-ordernaturalfrequencyofthedoubleparallelogrammechanism，therebyeffectivelyimprovingdynamiccharacteristicsandabilitytosuppressvibrationofthetraditionaldoubleparallelogrammechanism.

【Keywords】flexiblemechanism;corrugatedbeam;parallelogrammechanism;under-constraint;modalanalysis

作者簡(jiǎn)介：席守治（1992-），男，碩士研究生，主要研究方向：柔性微納米定位技術(shù)與控制研究;賴?yán)诮荩?986-），男，博士，副教授，主要研究方向：微位移驅(qū)動(dòng)控制研究。

0引言

隨著精密加工、微電子、航空航天、生物工程等領(lǐng)域的迅速發(fā)展，基于壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器和柔性機(jī)構(gòu)的微納米定位技術(shù)得到了廣泛應(yīng)用[1]。其中，柔性機(jī)構(gòu)通過其柔性部件的彈性變形來實(shí)現(xiàn)微納米定位運(yùn)動(dòng)，具有裝配少、無摩擦、無間隙、無需潤(rùn)滑和運(yùn)動(dòng)精度高等優(yōu)點(diǎn)，是微納米定位技術(shù)的理想選擇[2-5]。柔性機(jī)構(gòu)中，雙平行四邊形機(jī)構(gòu)具有行程大，應(yīng)力小等優(yōu)點(diǎn)[6]，現(xiàn)已成功應(yīng)用在大行程微納米定位平臺(tái)中。雖然雙平行四邊形柔性模塊在其自由度方向能夠?qū)崿F(xiàn)大行程運(yùn)動(dòng)范圍，但由于雙平行四桿柔性機(jī)構(gòu)中的二級(jí)平臺(tái)存在與末端平臺(tái)相同的自由度，造成了二級(jí)平臺(tái)的欠約束問題[7]，隨著其工作方向行程的增加，平臺(tái)約束方向的側(cè)向剛度迅速下降，并且二級(jí)平臺(tái)的高階振動(dòng)同樣也會(huì)對(duì)定位平臺(tái)的控制器設(shè)計(jì)和動(dòng)態(tài)性能產(chǎn)生不良影響。

為了解決上述問題，常見的方法是運(yùn)用杠桿機(jī)構(gòu)強(qiáng)制使中間平臺(tái)和末端平臺(tái)實(shí)現(xiàn)1：2的位移比[8-9]。基于此思路，Panas等人[10]提出了在雙平行四邊形柔性機(jī)構(gòu)中嵌入梯形遠(yuǎn)程運(yùn)動(dòng)中心機(jī)構(gòu)來模擬杠桿的作用，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)末端平臺(tái)和中間平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)位移進(jìn)行約束。改進(jìn)后的機(jī)構(gòu)中間平臺(tái)的約束方向剛度提升了134倍，并且在保證一階固有頻率基本不變的情況下，將二階諧振頻率提升了11倍。基于該類改進(jìn)的雙平行四邊形機(jī)構(gòu)，Roy等人[11]設(shè)計(jì)了一種行程達(dá)到50mm×50mm的二自由度柔性納米定位平臺(tái)，由于使用了內(nèi)嵌梯形機(jī)構(gòu)的雙平行四邊形柔性模塊，其二階固有頻率從25Hz提升至86Hz，而其一階諧振頻率保持在6Hz。另外，Awtar等人[1]也設(shè)計(jì)了一種夾持型對(duì)稱雙平行四邊形柔性機(jī)構(gòu)，在保證運(yùn)動(dòng)方向剛度不變的情況下，對(duì)雙平行四邊形機(jī)構(gòu)的二級(jí)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行了約束，提升機(jī)構(gòu)的側(cè)向剛度，有效減少了寄生位移，但由于該機(jī)構(gòu)增加了夾持部分的質(zhì)量，其一階固有頻率會(huì)有一定程度的降低。

本文提出了一種波紋梁夾持型雙平行四邊形柔性機(jī)構(gòu)，該機(jī)構(gòu)能夠在保持工作方向剛度和一階固有頻率同時(shí)不變的基礎(chǔ)上，解決平行四邊形機(jī)構(gòu)二級(jí)平臺(tái)欠約束問題，同時(shí)能提高二級(jí)運(yùn)動(dòng)平臺(tái)引起的高階固有頻率。本文首先設(shè)計(jì)了波紋梁夾持型對(duì)稱雙平行四邊形機(jī)構(gòu)構(gòu)型，并建立了機(jī)構(gòu)的靜、動(dòng)力學(xué)的解析模型，同時(shí)對(duì)其工作方向剛度和前三階固有頻率進(jìn)行有限元仿真和實(shí)驗(yàn)分析，驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)的有效性。

1波紋梁夾持型對(duì)稱雙平行四邊形機(jī)構(gòu)

本文首先提出了波紋梁結(jié)構(gòu)，如圖1所示。圖1中，紅色曲線是需要構(gòu)造的正弦曲線。參見圖1，在局部坐標(biāo)系xOy中，建立正弦曲線L（單位為mm），即：

將文中設(shè)計(jì)的波紋梁安裝到傳統(tǒng)雙平行四邊形機(jī)構(gòu)（機(jī)構(gòu)一），如圖2（a）所示，由此形成了波紋梁夾持型雙平行四邊形機(jī)構(gòu)（機(jī)構(gòu)二），如圖2（b）所示。由圖2（b）可知，波紋梁的安裝方式是將2個(gè)波紋梁上下對(duì)稱安裝到2個(gè)二級(jí)平臺(tái)中間，安裝位置深度在機(jī)構(gòu)厚度b的四分之一和四分之三處。

改進(jìn)后的機(jī)構(gòu)二由1個(gè)主平臺(tái)、2個(gè)二級(jí)平臺(tái)、1個(gè)波紋梁夾持部分（包括2個(gè)波紋梁）、8個(gè)直梁和機(jī)架組成。其中，b、l、h分別表示直梁的寬度（機(jī)構(gòu)的厚度）、長(zhǎng)度和厚度;Sm表示主平臺(tái)的面積;Hs、Ls分別表示二級(jí)平臺(tái)的長(zhǎng)度、寬度;Lc表示兩二級(jí)平臺(tái)之間的距離，近似等同于波紋梁直線距離。

相比于直梁，安裝的波紋梁軸向剛度相對(duì)較低，沿寬度方向抗彎能力較高，因此，將2根波紋梁上下對(duì)稱安裝在2個(gè)二級(jí)平臺(tái)上，使2個(gè)二級(jí)平臺(tái)平時(shí)能夠沿工作方向同時(shí)運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)二級(jí)平臺(tái)的有效約束。

可以得到波紋梁夾持型雙平行四邊形機(jī)構(gòu)的固有頻率。由于機(jī)構(gòu)二中波紋梁對(duì)其運(yùn)動(dòng)方向影響較小，故在計(jì)算機(jī)構(gòu)二的固有頻率時(shí)，只需要在二級(jí)平臺(tái)上增加波紋梁的質(zhì)量。但波紋梁的質(zhì)量較小，因此對(duì)機(jī)構(gòu)一階固有頻率的影響也較小。

4有限元仿真分析

在三維軟件Solidworks中，建立了傳統(tǒng)雙平行四邊形機(jī)構(gòu)和波紋梁夾持型雙平行四邊形機(jī)構(gòu)的三維模型。然后，將其導(dǎo)入有限元仿真軟件ANSYSWorkbench中，分別建立這兩種柔性機(jī)構(gòu)的有限元模型，并進(jìn)行靜力學(xué)分析和模態(tài)分析。機(jī)構(gòu)材料選為鋁合金Al7075，具體機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵尺寸和材料參數(shù)見表1。

靜力學(xué)仿真結(jié)果如圖4所示。在機(jī)構(gòu)主平臺(tái)的工作方向上施加50N的力后，機(jī)構(gòu)一和機(jī)構(gòu)二分別產(chǎn)生了0.39877×10-3m和0.3986×10-3m的位移，可計(jì)算出其剛度分別為0.12539N/μm和0.12544N/μm，改進(jìn)后的機(jī)構(gòu)二的剛度只增加了0.04%，基本保持不變。另外，數(shù)值分析結(jié)果為0.1254N/μm，計(jì)算誤差在0.01%，較為理想。

機(jī)構(gòu)二的前三階模態(tài)如圖5所示。這是仿真得到的波紋梁夾持型雙平行四邊形機(jī)構(gòu)前三階模態(tài)，分別為179.16Hz、484.55Hz和622.32Hz。機(jī)構(gòu)一的前三階固有頻率分別為180.76Hz，440.99Hz和498.28Hz。由仿真結(jié)果比較可知，機(jī)構(gòu)二的二階和三階固有頻率分別提升了9.9%和24.9%。

5實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

首先，選擇單獨(dú)加工的波紋梁，通過螺栓連接的安裝方式，將波紋梁對(duì)稱安裝到二級(jí)平臺(tái)上，如圖6所示。然后搭建測(cè)試系統(tǒng)，對(duì)機(jī)構(gòu)的剛度特性進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，測(cè)試系統(tǒng)參見圖6。系統(tǒng)中，通過調(diào)整壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器后面的螺釘來對(duì)平臺(tái)施加不同的作用力，同時(shí)分別利用測(cè)微儀（三門峽中原量?jī)x股份有限公司出品，型號(hào)為DGS-6C，分辨率為0.05μm）和力傳感器（蚌埠傳感器系統(tǒng)工程有限公司出品，型號(hào)為JLBS-MD，量程為0～50kg）對(duì)機(jī)構(gòu)主平臺(tái)的所受力和輸出位移進(jìn)行測(cè)量。通過計(jì)算被測(cè)力和位移差值比值，得到機(jī)構(gòu)一和二在工作方向上的剛度分別為0.803N/μm和0.838N/μm。顯然，2個(gè)機(jī)構(gòu)的剛度大小幾乎一致。但由于線切割時(shí)，對(duì)直梁的厚度產(chǎn)生較大誤差，導(dǎo)致直梁厚度小于1mm，同時(shí)機(jī)構(gòu)的實(shí)測(cè)剛度也變小，但不妨礙研究中機(jī)構(gòu)一和機(jī)構(gòu)二的剛度大小基本一致的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證。

為了測(cè)量機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性，使用了分辨率為0.05μm的電渦流位移傳感器（上海振迪檢測(cè)技術(shù)有限公司出品）來測(cè)量機(jī)構(gòu)主平臺(tái)的位移，如圖7所示。實(shí)驗(yàn)過程中，在機(jī)構(gòu)主平臺(tái)施加一沖擊載荷，使其自由振動(dòng)，同時(shí)使用電渦流傳感器測(cè)量其位移，基于LabVIEW搭建信號(hào)采集系統(tǒng)，并通過數(shù)據(jù)采集卡采集到信號(hào)，然后編寫程序?qū)y(cè)量時(shí)域信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，得到實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表2。由表2可知，機(jī)構(gòu)一前三階固有頻率分別為152Hz、380Hz和425Hz，而機(jī)構(gòu)二前三階固有頻率分別為150Hz、415Hz和556Hz。通過對(duì)比，機(jī)構(gòu)二在一階固有頻率基本保持不變的情況下二階和三階固有頻率較機(jī)構(gòu)一分別提高了9.2%和30.8%。分析表2可知，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果變化趨勢(shì)保持一致，證明了該設(shè)計(jì)機(jī)構(gòu)在動(dòng)力學(xué)性能的改進(jìn)。

6結(jié)束語

首先，本文設(shè)計(jì)了一種基于波紋梁夾持的對(duì)稱雙平行四邊形機(jī)構(gòu)，在沒有改變機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)剛度和一階固有頻率的情況下，解決了傳統(tǒng)雙平行四邊形機(jī)構(gòu)二級(jí)平臺(tái)的欠約束問題，從而改善傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能。文中首先對(duì)機(jī)構(gòu)剛度進(jìn)行建模，并采用能量法和模塊化思想建立了機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)解析模

型。最后，對(duì)2種柔性機(jī)構(gòu)的靜動(dòng)力學(xué)仿真結(jié)果和

實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，分析表明與傳統(tǒng)對(duì)稱雙

平行四桿機(jī)構(gòu)相比，波紋梁夾持型對(duì)稱雙平行四桿機(jī)構(gòu)的二、三階模態(tài)的固有頻率均有明顯提高，對(duì)于提高大行程柔性機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性和抑振能力具有重要意義。

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