王佳 劉榮明 王佳超 吳慎將

(西安工業(yè)大學(xué)光電工程學(xué)院, 西安 710021)

本文提出一種基于雙圓光柵徑向剪切干涉儀的三維位移測量方法, 其測量原理是徑向剪切干涉儀所形成的莫爾條紋不僅由二維平面內(nèi)位移決定, 軸向位移會(huì)在+1 和–1 級莫爾條紋之間產(chǎn)生一個(gè)特定的相移.首先, 基于標(biāo)量衍射理論對雙圓光柵徑向剪切干涉儀的+1 和–1 級莫爾條紋強(qiáng)度分布進(jìn)行推導(dǎo), 建立了三維位移量與莫爾條紋強(qiáng)度分布的精確解析關(guān)系; 其次, 在頻譜分析的基礎(chǔ)上, 利用半圓環(huán)濾波器進(jìn)行空間濾波, 實(shí)現(xiàn)+1 和–1 級莫爾條紋的同時(shí)成像; 然后, 提出了從莫爾條紋圖中定量提取三維位移的算法, 并通過數(shù)值模擬進(jìn)行驗(yàn)證; 最后, 實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了該方法測量平面內(nèi)位移的最大絕對誤差為4.8 × 10–3 mm, 平均誤差為2.0 ×10–4 mm, 軸向位移的最大絕對誤差為0.25 mm, 平均誤差為8.6 × 10–3 mm.該方法具有裝置簡單、測量精度高、非接觸、瞬時(shí)測量等特點(diǎn), 可實(shí)現(xiàn)三維位移的同時(shí)測量.

1 引 言

兩個(gè)周期性的光柵重疊可以產(chǎn)生莫爾條紋, 這種莫爾現(xiàn)象在表面形貌、位移、應(yīng)變、振動(dòng)和折射率等光學(xué)測量領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1?8].在位移測量方面, 莫爾條紋技術(shù)具有精度高、裝置簡單、測量范圍大等特點(diǎn), 已廣泛應(yīng)用于二維位移測量[9?11].利用直線光柵的莫爾條紋可以測量二維平面內(nèi)的偏轉(zhuǎn)角和一維位移[12].隨著精密測量要求和光柵制造精度的提高, 利用圓光柵莫爾條紋的二維位移測量得到了較深入的研究和應(yīng)用[13?16].利用傅里葉變換算法、圖像分析算法或基于強(qiáng)度的計(jì)算方法可以從莫爾條紋中定量提取出位移信息[17,18].但是, 它們僅適用于二維平面內(nèi)位移的測量, 不能實(shí)現(xiàn)包含軸向位移的三維位移量測量.

基于幾何疊加理論的研究表明, 圓光柵的莫爾條紋對平面內(nèi)位移以及軸向位移均敏感[19,20].當(dāng)兩個(gè)光柵之間存在軸向距離時(shí), 從不同角度觀察到的莫爾條紋圖案不同.基于該原理的三維位移測量要求采集不同角度的莫爾條紋圖像, 在測量過程中需要移動(dòng)探測器或使用多個(gè)探測器, 探測器位置會(huì)引入新誤差[20].除此之外, 沒有文獻(xiàn)報(bào)道利用圓光柵莫爾條紋進(jìn)行三維位移測量.

對兩個(gè)完全相同的圓光柵進(jìn)行徑向剪切干涉的研究表明, 每個(gè)衍射級次的莫爾條紋與光柵圓心間的三維位移有關(guān)[21].特別地, +1 和–1 級莫爾條紋之間存在一個(gè)依賴于兩個(gè)光柵之間軸向距離的相移量.如果同時(shí)對+1 和–1 級莫爾條紋進(jìn)行成像,則可實(shí)現(xiàn)三維位移的測量.然而當(dāng)平面內(nèi)位移量都為0 時(shí), 具有兩個(gè)完全相同圓光柵的徑向剪切干涉儀不會(huì)產(chǎn)生莫爾條紋, 無法實(shí)現(xiàn)三維位移的測量.本文提出利用兩個(gè)參數(shù)不同的圓光柵徑向剪切干涉儀的三維位移測量技術(shù).建立并分析了測量系統(tǒng), 得到三維位移與莫爾條紋強(qiáng)度的精確解析關(guān)系, 并提出了三維位移量提取算法.數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性和精度.

2 測量原理

雙圓光柵徑向剪切干涉儀的光路如圖1 所示.G1 和G2 是兩個(gè)Ronchi 同心圓光柵, 其占空比為1, 周期分別為a1和a2.兩個(gè)光柵平面相互平行并垂直于光軸放置.光柵G1 的圓心固定在z軸上,光柵G2 與被測位移物體相連, 被測物體的三維位移量決定了G2 圓心的空間位置.兩個(gè)光柵圓心在(x,y) 平面內(nèi)的位移如圖2 所示, 其中?x和?y分別表示x軸和y軸位移, 軸向位移由?z表示.L1和L2 為傅里葉變換透鏡, 與空間濾波器F 組成4-f系統(tǒng), 用于對不同衍射級次的莫爾條紋圖像進(jìn)行濾波和成像.

圖1 雙圓光柵徑向剪切干涉儀光路圖Fig.1.Schematic diagram of radial shearing interferometer with double circular gratings.

圖2 兩個(gè)光柵圓心在 ( x,y) 平面內(nèi)的二維位移Fig.2.The geometric relation of in-plane displacements for two gratings.

在極坐標(biāo)系 (r,φ) 中, 圓心在z軸上的光柵G1 的透過率函數(shù)g1(r,φ) 可以表示為

其中m表示光柵G1 的衍射級次,為傅里葉展開系數(shù).準(zhǔn)直單色平行光入射到G1 上,則G1 后表面的光場分布為

根據(jù)標(biāo)量衍射理論, 入射光經(jīng)過G1 后的傳播可以由惠更斯-菲涅爾-基爾霍夫積分表示[22], 傳播軸向距離?z后光柵G2 前表面的光場分布為

其中M為一個(gè)常數(shù).

由于G2 的圓心在x和y方向的位移為?x和?y, 如圖2 所示, 則G2 上的點(diǎn) (r2,φ2) 在 (r,φ) 坐標(biāo)系中的位置為

由于?r →0 , 因此r2=r ??rcos(φ ?θ) , 則光柵G2 的透過率函數(shù)可以表示為

其中n表示光柵G2 的衍射級次, 傅里葉展開系數(shù)Cn=(1/2)sinc(nπ/2), 并且

因此, 光柵G2 后表面的光場分布為

圖3 用幾何方法描述了入射光經(jīng)過兩個(gè)圓光柵的衍射過程.由于圓光柵柵線曲率的中心對稱特性, 衍射光傳播方向也呈中心對稱分布.經(jīng)過光柵G1 后, +1 級衍射光發(fā)散傳播, 而–1 級衍射光匯聚傳播, 因此相同衍射級次的光的傳播方向不再相同.根據(jù)角譜理論, 傳播方向的相同光具有相同的頻譜[22].因此, 同一級頻譜中包含了不同衍射級次的光.經(jīng)過雙圓光柵后,m+n=+1 和m+n=?1 級衍射光都包含在一級頻譜中, 因此不能利用傳統(tǒng)的空間濾波方法對+1 和–1 級衍射光分別進(jìn)行成像.

圖3 雙圓光柵的衍射過程Fig.3.Geometrical schematic of diffraction process by double circular gratings.

很顯然, 透射率為中心對稱徑向周期函數(shù)的同心圓光柵的頻譜是中心對稱分布的.如圖4(a)所示, 經(jīng)過雙圓光柵的衍射光頻譜由一系列同心圓組成, 相鄰頻譜的間隔為 1 /a1(a1≈a2).此外, 某一個(gè)點(diǎn)的 (m+n) 級衍射頻譜與其中心對稱點(diǎn)的?(m+n)級衍射頻譜處于相同的位置.也就是說,如果將一級頻譜沿y=0 分為上、下兩個(gè)部分, 則成像面將相應(yīng)地被劃分為y>0 和y<0 兩個(gè)部分.如果使用圖4(b)中的半圓環(huán)形空間濾波器使φ ∈[0,π) 部 分的一級光譜通過, 則成像面上y >0部分為m+n=+1 級衍射光成像,y<0 部分為m+n=?1 級衍射光.相反, 如果使φ∈[π,2π) 部分的一級光譜通過, 則成像面上y>0 部分為m+n=?1 級 衍射光成像,y<0 部分為m+n=+1 級衍射光成像.因此, 可以在成像面的上、下兩部分分別得到+1 和–1 級莫爾條紋圖像.

圖4 (a)雙圓光柵的頻譜分布; (b)實(shí)驗(yàn)中使用的半圓環(huán)形濾波器Fig.4.(a) Spectrum distribution of double circular gratings;(b) the semicircular spatial filter used in experiment.

+1 和–1 級莫爾條紋是由m+n=+1 和m+n=?1 級衍射光成像的結(jié)果.當(dāng)|m|>1 和|n|>1時(shí), 傅里葉展開系數(shù)非常小, 因此只需要保留其中(m=1,n=0),(m=0,n=1) 和(m=?1,n=0),(m=0,n=?1)這兩項(xiàng).因此, 成像面光場分布可以表示為

莫爾條紋強(qiáng)度分布表示為

(9)式和(10)式表明: +1 和–1 級莫爾條紋不僅由平面內(nèi)位移量 (?r,θ) 決 定, 也受到軸向位移?z的影響.?z在+1 和–1 級莫爾條紋之間引入一個(gè)相移, 因此會(huì)導(dǎo)致莫爾條紋在y=0 處出現(xiàn)突變.

當(dāng)探測光源為He-Ne 激光(波長為632.8 nm),圓光柵G1 和G2 的周期分別為0.10 mm 和0.11 mm 時(shí), 通過(9)式和(10)式進(jìn)行數(shù)值模擬得到的莫爾條紋如圖5 所示.在相同的參數(shù)下實(shí)驗(yàn)得到的莫爾條紋如圖6 所示.可以清楚地看出,數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全吻合, 證明了理論推導(dǎo)的正確性.

圖5 數(shù)值模擬得到的不同位移量的莫爾條紋Fig.5.Moiré patterns with different 3D displacements obtained by numerical simulation.

3 位移信息提取

3.1 提取算法

從莫爾條紋圖中定量提取三維位移信息的方法包括傅里葉變換算法、圖像分析算法或基于強(qiáng)度的計(jì)算方法[17,18,20].為了方便處理, 一般以莫爾條紋的中心為原點(diǎn), 將直角坐標(biāo)系下的莫爾條紋轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)系中進(jìn)行分析.

由(9)式和(10)式可以得到+1 或–1 級莫爾條紋的亮條紋中心坐標(biāo)位置(以下稱為特征點(diǎn))為

其中當(dāng)y>0 時(shí)符號為“–”, 當(dāng)y<0 時(shí)符號為“+”,K為未知整數(shù).

在+1 級或–1 級莫爾條紋圖中同一亮條紋上的特征點(diǎn)P+1={(ri,φi),i=1,2,3,···}或P?1={(ri,φi), i=1,2,3,···}滿足關(guān)系式:

圖6 實(shí)驗(yàn)得到的不同位移量的莫爾條紋Fig.6.Moiré patterns with different 3D displacements obtained by experiment.

其中 (ri,φi) 和 (ri?1,φi?1) 是+1 級或–1級中的兩個(gè)特征點(diǎn)位置.利用三個(gè)特征點(diǎn)的位置, 可以得到以下線性方程組:

因此, 平面內(nèi)位移?x和?y可以通過以下公式進(jìn)行求解:

由(11)式可以得到, 同一條亮條紋中+1 級和–1 級特征點(diǎn)滿足關(guān)系式:

利用+1 級和–1 級同一條亮條紋中的兩個(gè)特征點(diǎn)位置 (ri,φi) 和 (rj,φj) , 可以求解出軸向位移?z:

3.2 數(shù)值模擬

通過數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證位移提取算法的精度.在模擬實(shí)驗(yàn)中, 探測光的波長為632.8 nm, 兩個(gè)圓光柵的周期分別為0.10 mm 和0.11 mm.通 過(9)式 和(10)式 計(jì) 算 出(?x,?y,?z)=(0.2 mm,0.1 mm,4.5 mm)的莫爾條紋如圖7(a)所示.

圖7 提取特征點(diǎn)坐標(biāo)的圖像處理過程Fig.7.Process of image processing for extracting the coordinates of feature points.

首先, 將直角坐標(biāo)系中的莫爾條紋轉(zhuǎn)換到極坐標(biāo)系中, 結(jié)果如圖7(b)所示.其次, 對圖像進(jìn)行二值化, 并提取出亮條紋的骨架, 結(jié)果如圖7(c)和(d)所示.然后, 保留其中一個(gè)亮條紋骨架, 數(shù)值為255 的像素點(diǎn)位置即為亮條紋的特征點(diǎn)位置.最后, 利用(13)—(15)式計(jì)算三維位移, 結(jié)果為

(0.2003 mm, 0.0999 mm, 4.4417 mm), 絕對誤差為0.1521%、0.1404%和1.2965%, 證明了該算法具有較高的精度.

4 實(shí)驗(yàn)及分析

實(shí)驗(yàn)中光源選用He-Ne 激光器(大恒光電DH-HN250), 探測光波長為632.8 nm.圓光柵G1和G2(蘇州聚芯微納科技有限公司設(shè)計(jì)加工)的周期分別為0.10 mm 和0.11 mm.光柵G1 的圓心固定于光軸上, 光柵G2 安裝在一個(gè)分辨率為0.001 mm的三維平移臺(大恒光電GCM-TP)上進(jìn)行平移.4f 系統(tǒng)中傅里葉變換透鏡的焦距為150 mm, 孔徑為38.1 mm(大恒光電GCL-010607).用CCD 相機(jī)(CCD: MER-630-16 GM/C, 鏡頭: Kowa LM12-JC5MC)采集莫爾條紋, 由于鏡頭的放大作用, 每個(gè)像素的真實(shí)成像大小為0.05 mm.

首先對軸向位移測量進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究.保持平面內(nèi)位移?x= 0 mm、?y= 0 mm 不變, 軸向距離?z以間距1 mm 由0 mm 增加到15 mm, 實(shí)驗(yàn)獲得的莫爾條紋如圖8 所示.利用上述位移提取算法對莫爾條紋進(jìn)行處理, 得到軸向位移?z變化如圖9(a)所示, 圖9(b)顯示了軸向位移測量誤差.

然后進(jìn)行三維位移測量實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)中位移?y=0.15 mm 和?z= 7.90 mm 保持不變,?x以間距0.05 mm 從0 mm 增加到0.35 mm.實(shí)驗(yàn)得到的莫爾條紋如圖10 所示.三維位移測量結(jié)果及測量誤差如圖11 所示, 詳細(xì)數(shù)據(jù)見表1.

由(13)—(15)式可知, 三維位移測量精度取決于光柵周期、探測光波長和特征點(diǎn)位置精度.測量誤差主要由坐標(biāo)變換原點(diǎn)和亮條紋特征點(diǎn)的定位誤差造成的.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果中, 測量平面內(nèi)位移的最大絕對誤差為4.8 × 10–3mm, 平均誤差為2.0 × 10–4mm, 軸向位移的最大絕對誤差為0.25 mm, 平均誤差為8.6 × 10–3mm.在已有的測量方法中, 平面內(nèi)位移的最大絕對誤差為5.25 × 10–3mm[18], 軸向位移的最大絕對誤差為0.22 mm, 平均誤差為0.085 mm[20],與該方法具有較高的測量精度.

圖8 當(dāng) Δ x = 0 mm、 Δ y = 0 mm 時(shí)實(shí)驗(yàn)得到的莫爾條紋圖Fig.8.Moiré patterns captured by experiment when Δ x = 0 mm and Δ y = 0 mm.

圖9 當(dāng) Δ x = 0 mm、 Δ y = 0 mm 時(shí)軸向位移測量結(jié)果Fig.9.Measurement results of out-of-plane displacement when Δ x = 0 mm and Δ y = 0 mm.

圖10 當(dāng) Δ y = 0.15 mm、 Δ z = 7.90 mm 時(shí)實(shí)驗(yàn)得到的莫爾條紋圖Fig.10.Moiré patterns captured by experiment when Δ y = 0.15 mm and Δ z = 7.90 mm.

z軸測量誤差大于x軸和y軸.這是因?yàn)槟獱枟l紋的變化對x軸和y軸位移更敏感.如圖6 和圖8所示, 當(dāng)z軸位移量在1 個(gè)Talbot 距離(15.8 mm)內(nèi)變化時(shí), 由相移引起的莫爾條紋變化十幾個(gè)像素.這導(dǎo)致該測量方法對z軸位移測量的靈敏度較低, 誤差較大.通過選擇合適的光柵和提高圖像采集設(shè)備的分辨率, 可以提高測量精度.

圖11 當(dāng) Δ y = 0.15 mm、 Δ z = 7.90 mm 時(shí)三維位移測量結(jié)果Fig.11.Measurement results of 3D displacements when Δ y = 0.15 mm and Δ z = 7.90 mm.

表1 實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果及誤差Table 1.Measurement results and errors of experiment.

5 結(jié) 論

本文研究了基于雙圓光柵徑向剪切干涉儀的三維位移測量方法, 通過空間濾波技術(shù)同時(shí)得到+1 和–1 級莫爾條紋圖像, 并提出了相應(yīng)的位移量提取算法.二維平面內(nèi)位移可分別用+1 或–1 級莫爾條紋進(jìn)行測量, 軸向位移用+1 和–1 級莫爾條紋之間的相移來測量.該方法采用同軸成像的徑向剪切干涉儀, 與需要采集不同視角莫爾條紋的三維位移測量方法相比[20], 可利用單個(gè)探測器拍攝到的一幅莫爾條紋圖實(shí)現(xiàn)三維位移的瞬時(shí)測量, 并具有相同的測量精度.總而言之, 該方法具有裝置簡單、測量精度高、非接觸、瞬時(shí)測量等特點(diǎn), 可實(shí)現(xiàn)三維位移的同時(shí)測量.