王 萌，高 遠，范咪娜

(山東正元數字城市建設有限公司，山東 煙臺 264670)

北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(BDS)于2020年成功組成完整星座系統(tǒng)，標志著BDS在全球范圍內具有了定位能力、在中國范圍內具有了高精度定位能力[1-3]。GPS系統(tǒng)使用的坐標系統(tǒng)為WGS-84系統(tǒng)，而我國組建的BDS系統(tǒng)的坐標系統(tǒng)為CGCS2000[4-6]。隨著BDS的逐步普及，全國范圍內的CGCS2000的建立就顯得尤為關鍵[7-10]。我國使用的1980西安坐標系統(tǒng)將逐漸被CGCS2000取代，各地區(qū)已經開展了相關的坐標系統(tǒng)轉換工作；由于衛(wèi)星定位系統(tǒng)的坐標系統(tǒng)由WGS-84轉化為了CGCS2000，因此也需要在這兩種坐標系之間進行轉換，以獲得某些控制點的CGCS2000坐標值以提供靜態(tài)定位的初始值[11-12]。

區(qū)域坐標系統(tǒng)轉換有多種數學模型，布爾莎四參數是最為常見、計算最為簡單的模型，隨著測區(qū)增大也可以增加為七參數[13-14]。四參數轉換模型屬于相似變化模型，不同坐標系間的差別主要取決于兩個方面：坐標系定位、定向、橢球參數及尺度因子；局部誤差和累積誤差，其中局部誤差屬于變形誤差，累積誤差來自測量控制網[15-16]。仿射六參數模型在布爾莎四參數的基礎上增加了兩坐標軸的尺度因子，由于存在坐標軸尺度因子使此種模型在布爾莎四參數的基礎上更為靈活[17-18]。多項式逼近模型是一種數學逼近模型，與坐標轉換原理無關，根據參數數量只要提供足夠的已知點數據，即可進行預測，此方法的優(yōu)點是可以摒棄坐標系統(tǒng)本身的系統(tǒng)誤差對坐標轉換原理的誤差影響，得到更優(yōu)的計算結果。但在一些高精度的已知坐標轉換中，可能無法獲得高精度的轉換結果[19-20]。

本文以四川某區(qū)域施工坐標系與CGCS2000的轉換工作為例，通過平面四參數模型、仿射六參數模型和多項式逼近模型的計算，探討此區(qū)域坐標轉換中的最佳計算方法，為建立CGCS2000提供經驗。

1 轉換模型

1.1 平面四參數模型

(1)

令(1+m)Δx=a，(1+m)Δy=b，(1+m)cosα=c，(1+m)sinα=d，式(1)可簡化為：

(2)

由以上原理，只需要2個已知點，即可利用最小二乘法建立超定方程組求最小二乘解。

1.2 仿射六參數模型

仿射六參數坐標轉換公式見式(3)：

(3)

式中，mx和my分別為兩坐標軸的尺度因子。

利用最小二乘法進行解算，至少需要3個已知點，將其化簡為相關的6個參數，稱其為仿射六參數模型。若只需要進行坐標轉換，可在求出6個參數后直接進行轉換而不需求出原始的5個因子。與平面四參數模型類似，可以通過式(2)的方法簡化計算。

令(1+mx)Δx=a1，(1+mx)cosα=a2，(1+mx)sinα=a3，(1+my)Δy=b1，-(1+my)sinα=b2，(1+my)cosα=b3，式(3)可化簡為：

(4)

1.3 多項式逼近模型

多項式逼近模型如式(5)和式(6)所示：

(5)

(6)

式中，α0，α1，…，α5、β0，β1，…，β5為多項式系數；(xk，yk)0是變換中心附近一個點的坐標。

2 實例計算

本次實例計算選用四川某城市控制網坐標，已知數據如表1所示。特別說明，由于坐標原始數據比較重要，表中坐標值已經經過一定程度的變換，非原始坐標。評價計算結果時，以計算值和真值的差作為殘差。

表1 已知數據/m

2.1 平面四參數模型計算

將式(2)改寫誤差方程，如式(7)所示：

V=BX-L

(7)

求式(7)的最小二乘解，公式如式(8)所示：

X=(BTB)-1BTL

(8)

2.2 仿射六參數模型計算

2.3 多項式逼近模型計算

將式(5)改寫誤差方程，如式(7)。式中，V為改正數；

將式(6)改寫誤差方程，如式(7)。式中，V為改正數；

3 計算結果分析

將平面四參數模型、仿射六參數模型和多項式逼近模型計算殘差繪制折線圖，如圖1～圖2所示。

為更為詳細地評價三種模型的計算精度，引入觀測值的中誤差這一精度評價方法，其公式見式(9)：

(9)

式中，m為觀測值的中誤差；v為誤差；[]為求和符號；n為觀測次數。

計算三種模型的X坐標與Y坐標的中誤差，如表2所示。

表2 中誤差/m

由圖1可以看出，平面四參數轉換后X坐標精度不高，出現了一些殘差達到±0.7～±0.8 m的坐標點，X坐標中誤差為0.468 m；仿射六參數X坐標精度較低，出現了一些殘差達到-0.95～0.95 m的坐標點，X坐標中誤差為0.451 m；多項式逼近X坐標精度很高，殘差集中在-0.3～0.3 m之間，X坐標中誤差為0.138 m。

圖1 X坐標誤差

由圖2可以看出，平面四參數轉換后Y坐標精度不高，出現了一些殘差達到0.7～0.8 m的坐標點，但負值范圍內精度尚可，Y坐標中誤差為0.408 m；仿射六參數Y坐標精度不高，出現了一些殘差達到-0.5～0.95 m的坐標點，Y坐標中誤差為0.435 m；多項式逼近轉換后Y坐標精度很高，殘差集中在-0.2～0.2 m之間，Y坐標中誤差為0.106 m。

圖2 Y坐標誤差

三種模型計算結果的殘差值如表3所示。

表3 三種模型計算殘差對比/mm

由表3可知，平面四參數模型計算X坐標殘差最小值為-0.581 m，最大值為0.679 m；Y坐標殘差最小值為0.037 m，最大值為0.557 m；仿射六參數模型計算X坐標殘差最小值為-0.826 m，最大值為0.837 m；Y坐標殘差最小值為-0.400 m，最大值為0.819 m；多項式逼近模型計算X坐標殘差最小值為-0.246 m，最大值為0.126 m；Y坐標殘差最小值為-0.112 m，最大值為0.163 m。綜合三種模型計算的殘差圖、殘差表、中誤差、最大最小值，多項式逼近模型精度較高，殘差大多維持在厘米級，轉換后的坐標值可以用于實際工程測量中。

4 結 論

本文以四川某區(qū)域施工坐標系與CGCS2000的轉換工作為例，通過平面四參數模型、仿射六參數模型和多項式逼近模型的計算，探討此區(qū)域坐標轉換中的最佳計算方法。通過實例計算發(fā)現，平面四參數和仿射六參數模型計算精度較低，原因是原始轉換坐標為施工控制網坐標，建立時不夠精確，會帶有一定的系統(tǒng)誤差，而平面四參數和仿射六參數均為按照坐標轉換原理推導的數學模型，因此在該區(qū)域坐標轉換中效果較差；多項式逼近模型是一種純數學模型，可以更好地避免系統(tǒng)誤差，得到較好的區(qū)域坐標轉換效果。

為進一步提高坐標轉換精度，下一步工作可嘗試對模型擬合點與檢核點的方案進行討論，在已知點中選取若干擬合點進行模型預測，使用檢核點評價模型精度，以確定該區(qū)域坐標轉換的最優(yōu)擬合點分布。