林 超 沈忠磊 李坪洋 鄭 山

重慶大學(xué)機械傳動國家重點實驗室，重慶，400044

0 引言

壓電驅(qū)動器由于具有分辨率高、響應(yīng)速度快及輸出力大等優(yōu)點，被頻繁地用于光學(xué)系統(tǒng)[1]、精密加工[2]、微/納定位[3]以及能量回收系統(tǒng)[4]等現(xiàn)代精密工程領(lǐng)域。通常這些工程領(lǐng)域不僅需要較高的運動精度和響應(yīng)速度，往往還需要較大的工作行程[5]。然而，壓電陶瓷的主要缺點是輸出位移較小，一般只有幾十微米，而實際工程中往往需要上百微米甚至毫米級的工作行程[6-7]。為了滿足工程應(yīng)用需求，以柔性鉸鏈為基礎(chǔ)的杠桿式、菱形式、橋式等各類柔性位移放大機構(gòu)[8-11]被廣泛開發(fā)，用于壓電陶瓷的輸出位移放大。

隨著以壓電驅(qū)動柔性鉸鏈為基礎(chǔ)的柔性機構(gòu)應(yīng)用范圍越來越廣泛，許多精密工程領(lǐng)域?qū)θ嵝詸C構(gòu)垂直向(z軸)的運動性能要求也越來越高。例如，在光刻系統(tǒng)中，垂直運動的壓電柔性平臺被設(shè)計用于提高光刻機的加工精度[12]；在X射線顯微鏡中，垂直運動的壓電柔性平臺被用于實現(xiàn)X射線的聚焦[13]；此外，在白光干涉的三維表面形貌測量系統(tǒng)中，對掃描壓電定位系統(tǒng)的垂直向工作行程、分辨率等性能提出了較高要求[14]。為了實現(xiàn)垂直方向的運動要求，通常是將水平型位移放大機構(gòu)進行豎直布置[6，15]，這種解決方案需要在結(jié)構(gòu)的緊湊性與工作行程二者之間作出犧牲，而在許多精密裝備中留給定位系統(tǒng)的布置空間十分有限同時對工作行程有較大要求。因此，面對精密工程領(lǐng)域的迫切需求，亟需開發(fā)一種位移放大比大(大的運動范圍)、固有頻率盡可能高、結(jié)構(gòu)緊湊的垂直型位移放大機構(gòu)。

柔性位移放大機構(gòu)的設(shè)計，關(guān)鍵是在運動范圍和固有頻率之間尋求一個最佳平衡點。近年來，研究者開發(fā)了許多種垂直型位移放大機構(gòu)，徐驍?shù)萚16]以橋式位移放大機構(gòu)為基礎(chǔ)，結(jié)合平行四邊形導(dǎo)向機構(gòu)，設(shè)計了一種垂直型精密定位平臺，該平臺位移放大比為6.95，固有頻率為636 Hz。KIM等[12]以菱形橋式機構(gòu)為基礎(chǔ)，開發(fā)了一種三自由度垂直型定位平臺，該平臺可實現(xiàn)190 μm的工作行程。ZHU等[17]基于杠桿和橋式機構(gòu)設(shè)計了一個多級位移放大機構(gòu)，并以此為基礎(chǔ)開發(fā)了一種垂直型單自由度納米定位平臺，該平臺具有較為緊湊的結(jié)構(gòu)。LING等[18]采用兩個菱形位移放大機構(gòu)進行交叉疊加開發(fā)了一種垂直型兩級位移放大機構(gòu)，該機構(gòu)的位移放大比為16.5，同時固有頻率可達2239 Hz。針對多級位移放大機構(gòu)位移衰減現(xiàn)象，LING等[10]建立了多級位移放大機構(gòu)的位移衰減模型，定量預(yù)測各級機構(gòu)的位移衰減量。盡管這些垂直型位移放大機構(gòu)比先前的機構(gòu)在性能上有所提高，但依然無法滿足精密工程領(lǐng)域越來越嚴(yán)苛的應(yīng)用要求。

本文提出了一種結(jié)構(gòu)緊湊的垂直型多級位移放大機構(gòu)，可實現(xiàn)三級位移放大，具有較為平衡的靜動態(tài)性能，在精密定位系統(tǒng)等領(lǐng)域具有良好的應(yīng)用前景。

1 機構(gòu)描述

為了實現(xiàn)沿垂直方向較大的運動行程，提出了一個新的垂直型多級位移放大機構(gòu)。如圖1所示，該機構(gòu)是由2個復(fù)合菱形機構(gòu)、2個杠桿機構(gòu)和1個普通菱形機構(gòu)共同組成的三級垂直型位移放大機構(gòu)，它的x×y×z方向外形尺寸為110 mm×86 mm×35 mm。多級位移放大機構(gòu)的共同點是上一級放大機構(gòu)的輸入端與下一級放大機構(gòu)的輸出端剛性連接，因此次一級放大機構(gòu)的輸入剛度將會對上一級放大機構(gòu)的輸出位移產(chǎn)生阻抗影響。為了避免多級位移放大機構(gòu)的位移放大比產(chǎn)生較大的衰減，第一級采用兩個復(fù)合菱形位移放大機構(gòu)，它能在保持位移放大比的情況下提高輸出端剛度和固有頻率，并將壓電陶瓷的輸出位移進行放大作為下一級位移放大機構(gòu)的輸入位移。第二級采用杠桿位移放大機構(gòu)，通過將第一級復(fù)合菱形機構(gòu)的輸出位移進行放大，并作為第三級位移放大機構(gòu)的輸入位移。第三級采用普通菱形位移放大機構(gòu)，它不僅作為該多級位移放大機構(gòu)的輸出端，同時它還將xy平面的運動轉(zhuǎn)換到z軸方向，從而實現(xiàn)垂直方向的運動。

(a)三維示意圖

(b)第一級和第二級位移放大機構(gòu)

(c)第三級位移放大機構(gòu)圖1 垂直型多級位移放大機構(gòu)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the proposed mechanism

值得注意的是，本文提出的垂直型位移放大機構(gòu)具有兩個輸出端，該機構(gòu)的輸出位移為兩個輸出端位移的疊加，由于它們具有鏡像對稱的結(jié)構(gòu)因此工作行程相同。并且采用了三級位移放大機構(gòu)串聯(lián)組成緊湊的多級位移放大機構(gòu)，因此本文提出的垂直型壓電位移放大機構(gòu)有望實現(xiàn)較大的位移放大比，同時保持較為理想的固有頻率。

2 解析模型建立

2.1 靜力學(xué)建模

多級位移放大機構(gòu)中各級機構(gòu)受力分析結(jié)果如圖2所示，假設(shè)壓電陶瓷驅(qū)動器產(chǎn)生輸出力為FPZT，進而推動第一級位移放大機構(gòu)產(chǎn)生輸入位移為2ΔxA，最終通過多級位移放大機構(gòu)實現(xiàn)對輸入位移的放大從而生成輸出位移2ΔxG。對菱形位移放大機構(gòu)而言，由于全對稱的配置，只需要建立1/4結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。其中第一級和第三級位移放大機構(gòu)的受力分析結(jié)果分別如圖2a、圖2c所示，第二級杠桿位移放大機構(gòu)的受力分析結(jié)果如圖2b所示。

(a)第一級

(b)第二級

(c)第三級圖2 多級位移放大機構(gòu)靜力學(xué)模型Fig.2 Statics models of multistage displacement amplification mechanism

在靜力學(xué)建模中，多級位移放大機構(gòu)中菱形機構(gòu)的柔性臂以及杠桿機構(gòu)的支點鉸鏈被考慮為柔性體，其他部分被視為剛性體。根據(jù)圖2a、圖2c的受力分析圖，第一級復(fù)合菱形機構(gòu)和第三級普通菱形機構(gòu)的力平衡和彎矩平衡方程分別為

(1)

(2)

根據(jù)能量守恒定律，壓電陶瓷驅(qū)動器的輸入力將轉(zhuǎn)換為柔性臂的拉伸應(yīng)變能和彎曲應(yīng)變能，以及輸出力驅(qū)動下一級位移放大機構(gòu)變形所做的功。因此，可推導(dǎo)得

Win=Wout+Vl+Vm

(3)

式中，Win為輸入力做的功；Wout為輸出力做的功；Vl為柔性臂的拉伸應(yīng)變能；Vm為柔性臂的彎曲應(yīng)變能。

根據(jù)第一級復(fù)合菱形機構(gòu)和第三級普通菱形機構(gòu)載荷情況不同，由式(3)可推導(dǎo)得

(4)

(5)

對于第一級復(fù)合菱形機構(gòu)，當(dāng)指定x軸沿著柔性臂l1的中性軸時，對應(yīng)柔性臂AB的軸向力FAB(x)和端點x的彎矩MAB(x)可推導(dǎo)如下：

FAB(x)=FAxcosθ1+FAysinθ1

(6)

MAB(x)=M1-FAxxsinθ1+FAyxcosθ1

(7)

式中，x為柔性臂AB上任意端點x到A點的距離。

同理，對于第三級普通菱形機構(gòu)，當(dāng)指定x軸沿著柔性臂l6的中性軸時，對應(yīng)柔性臂FG的軸向力FFG(x)和端點x的彎矩MFG(x)推導(dǎo)如下：

FFG(x)=FAycosθ2

(8)

MFG(x)=M2-FFyxsinθ2

(9)

在小變形情況下，彈性梁彎曲變形微分方程：

(10)

式中，ω為彈性梁垂直于中性軸的變形量。

由式(7)和式(10)可推導(dǎo)得柔性臂AB的端點B的撓度：

(11)

式中，kθ1為第一級復(fù)合菱形機構(gòu)柔性臂的轉(zhuǎn)動剛度，kθ1=EIAB/l1。

相似地，由式(9)和式(10)可推導(dǎo)得柔性臂FG的端點G的撓度：

(12)

式中，kθ2為第三級普通菱形機構(gòu)柔性臂的轉(zhuǎn)動剛度，kθ2=EIFG/l6。

根據(jù)柔性臂彎曲變形與輸出位移間的幾何關(guān)系，由式(11)和式(12)可分別推導(dǎo)得第一級單個復(fù)合菱形機構(gòu)的輸出位移ΔyB和第三級普通菱形機構(gòu)的輸出位移ΔzG如下：

(13)

(14)

由于第一級位移放大機構(gòu)采用兩個復(fù)合菱形機構(gòu)串聯(lián)，因此第一級位移放大機構(gòu)的輸出位移

(15)

將式(6)、式(7)和式(15)代入式(4)，可推導(dǎo)得第一級復(fù)合菱形機構(gòu)的輸入位移

(16)

式中，kl1為第一級復(fù)合菱形機構(gòu)柔性臂的拉伸剛度。

相似地，將式(8)、式(9)和式(14)代入式(5)，可推導(dǎo)得到第三級菱形機構(gòu)的輸入位移

(17)

式中，kl2為第三級普通菱形機構(gòu)柔性臂的拉伸剛度。

根據(jù)圖2b所示的受力分析圖，第二級杠桿機構(gòu)力平衡和彎矩平衡方程為

(18)

式中，L=l4+l5，如圖1所示。

針對第二級杠桿機構(gòu)動力臂和阻力臂的載荷情況不同，對其進行分段積分。

對于DE段(0≤x≤l4)：

(19)

對于EF段(l4≤x≤L)：

(20)

分別對式(19)和式(20)進行積分可得

(21)

(22)

式中，c1、c2為積分常數(shù)。

將邊界條件x=0，ω=0和x=l4，ω=ΔyE代入式(21)，x=l4，ω=ΔyE和x=L，ω=ωF代入式(22)，聯(lián)立式(21)和式(22)可求解得

c1=EIDFωF/L+(FDy-FEy)L2/6-(M2-FDyl4)L/2

c2=0

其中，ωF為杠桿端點F的位移量。

當(dāng)將杠桿臂視為剛性桿時，ωF可表示為

ωF=LΔθ=M2L/kθCD

當(dāng)分別取x=l4、x=L時，由式(22)可分別推導(dǎo)得到第二級杠桿機構(gòu)的輸入位移ΔyE和輸出位移ΔyF如下：

(23)

(24)

聯(lián)立式(17)和式(24)可得到第三級輸入力與第二級的輸出力的比例系數(shù)H32，H32可用于描述第三級普通菱形機構(gòu)對第二級杠桿機構(gòu)產(chǎn)生的阻抗影響大小：

(25)

式中，kl6為第三級普通菱形機構(gòu)柔性臂FG的拉伸剛度。

將式(25)代入式(24)，聯(lián)立式(13)和式(23)可得到第二級輸入力與第一級輸出力比例系數(shù)H21，H21可用于描述第二級杠桿機構(gòu)對第一級復(fù)合菱形機構(gòu)產(chǎn)生的阻抗影響大?。?/p>

(26)

η1=12kθ2(kθCDcos2θ2+L2kl6)+

η2=2L2-3L+1

將式(26)分別代入式(15)、式(16)可獲得第一級復(fù)合菱形機構(gòu)的輸入位移ΔxA和輸出位移ΔyB與第一級輸入力FAx的關(guān)系：

(27)

相似地，將式(25)分別代入式(23)、式(24)可得到第二級杠桿機構(gòu)的輸入位移ΔyE和輸出位移ΔyF與輸入力FEy的關(guān)系如下：

(28)

聯(lián)合式(14)、式(17)、式(27)和式(28)，多級位移放大機構(gòu)的位移放大比可由下式計算：

(29)

式中，R1、R2、R3分別為第一級復(fù)合菱形機構(gòu)、第二級杠桿機構(gòu)、第三級普通菱形機構(gòu)的位移放大比。

基于式(27)、式(28)以及式(17)，第一級、第二級、第三級放大機構(gòu)的輸入剛度Kin1、Kin2、Kin3分別為

(30)

(31)

(32)

2.2 動力學(xué)建模

對于無阻尼自由振動系統(tǒng)，令Lagrange函數(shù)為La=T-V，則系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

(33)

式中，T和V分別為系統(tǒng)總的動能和勢能；qi為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)；n為廣義坐標(biāo)數(shù)量，它與系統(tǒng)的自由度數(shù)相等。

在動力學(xué)建模過程中，由于第二級杠桿機構(gòu)柔性鉸鏈的質(zhì)量相比整個位移放大機構(gòu)的總質(zhì)量小得多，因此在動能計算過程中忽略其產(chǎn)生的動能。圖3為多級位移放大機構(gòu)的有效質(zhì)量分布示意圖。

圖3 有效質(zhì)量分布示意圖Fig.3 Distribution diagram of effective mass

提出的多級位移放大機構(gòu)僅有垂直方向上的輸出位移一個自由度，因此取q=ΔzG為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。根據(jù)前文的靜力學(xué)分析結(jié)果，第一級復(fù)合菱形機構(gòu)輸入位移ΔxA、輸出位移ΔyB、柔性臂AB轉(zhuǎn)角變化量Δθ1和伸長量Δl1與廣義坐標(biāo)q之間關(guān)系可表示如下：

(34)

第二級杠桿機構(gòu)的輸入位移ΔyE、輸出位移ΔyF和杠桿臂DF轉(zhuǎn)角變化量Δθ與廣義坐標(biāo)q之間具有如下關(guān)系：

(35)

同理，第三級普通菱形機構(gòu)輸入位移ΔyF、輸出位移ΔzG、柔性臂FG轉(zhuǎn)角變化量Δθ2和伸長量Δl6與廣義坐標(biāo)q之間具有如下關(guān)系：

(36)

考慮菱形機構(gòu)柔性臂的彎曲和拉伸彈性變形，以及杠桿支點柔性鉸鏈的彎曲彈性變形，則系統(tǒng)的彈性勢能為

(37)

系統(tǒng)的動能為

(38)

式中，m1、m2、m3、m5、m6和m7為位移放大機構(gòu)各部分的質(zhì)量，如圖3所示。

通過將式(34)、式(36)、式(37)和式(38)代入式(33)，可得到多級位移放大機構(gòu)的自由振動方程：

(39)

(40)

(41)

垂直型多級位移放大機構(gòu)的第n階固有頻率為

(42)

3 有限元分析

3.1 位移放大比驗證

為了驗證解析模型的正確性，保持計算參數(shù)一致，將解析模型計算結(jié)果與有限單元法(finite element method，F(xiàn)EM)計算結(jié)果進行對比，計算參數(shù)如表1所列。

表1 位移放大機構(gòu)計算參數(shù)Tab.1 Calculation parameters of the displacementamplification mechanism

有限元計算使用有限元軟件ANSYS 16.2，采用自適應(yīng)網(wǎng)格劃分方式，網(wǎng)格精度能滿足收斂性測試要求，有限元模型及計算結(jié)果如圖4所示。

(a)網(wǎng)格劃分結(jié)果

(b)有限元計算結(jié)果圖4 位移放大機構(gòu)的有限元模型和計算結(jié)果Fig.4 Finite element model and calculated results ofthe displacement amplification mechanism

當(dāng)有限元模型及其邊界條件被合理建立后，可將有限元計算結(jié)果視為真實值[10]，用于驗證解析模型計算結(jié)果的可靠性。垂直型復(fù)合多級放大機構(gòu)的解析模型計算結(jié)果以及有限元計算結(jié)果列于表2。由表2結(jié)果可以看出，解析模型計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果十分接近，最大誤差約為6.0%，因此建立的多級位移放大比解析模型可以較為準(zhǔn)確地預(yù)測提出的垂直型多級位移放大機構(gòu)各級的位移放大比。誤差產(chǎn)生的原因主要是將除菱形機構(gòu)柔性臂和杠桿機構(gòu)柔性鉸鏈之外的結(jié)構(gòu)視為剛體，忽略了它們的微小變形。

表2 位移放大比計算結(jié)果Tab.2 Calculated results of the displacementamplification ratios

圖5為單級位移放大比和多級位移放大比分別隨第一級、第三級菱形位移放大機構(gòu)角度θ1、θ2的變化曲線。由圖5可以看出，解析模型可較為準(zhǔn)確地預(yù)測各級位移放大比，以及多級位移放大機構(gòu)隨參數(shù)改變的變化趨勢。較高的預(yù)測精度歸功于在復(fù)合位移放大比建模過程中考慮了各級放大機構(gòu)間作用力的耦合作用，而不是3個獨立機構(gòu)位移放大比直接相乘。

3.2 固有頻率驗證

位移放大比和頻帶寬度是描述位移放大機構(gòu)工作性能兩個最為關(guān)鍵的指標(biāo)，而柔順位移放大機構(gòu)的靜態(tài)性能與動態(tài)性能是相互矛盾、相互制約的，建立準(zhǔn)確的固有頻率解析模型是尋求其靜、動態(tài)性能最佳平衡點的前提。為了驗證本文建立的垂直型多級位移放大機構(gòu)固有頻率解析模型的正確性，采用ANSYS軟件對其進行有限元模態(tài)分析，計算中涉及的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示，垂直型多級位移放大機構(gòu)的前6階振型如圖6所示。

如圖6所示，其中第1階模態(tài)描述了位移放大機構(gòu)輸出端沿著位移輸出方向的變形振型，頻率約為561.28 Hz，第1階模態(tài)與正常工作狀態(tài)第三級普通菱形放大機構(gòu)的運動形式一致；第2階模態(tài)為機構(gòu)在水平面上垂直于輸入方向的擺動振型，頻率約為626.42 Hz；第6階模態(tài)為第一級復(fù)合菱形放大機構(gòu)沿位移輸出方向的變形振型，頻率約為1480.6 Hz，第6階模態(tài)與正常工作狀態(tài)時第一層菱形放大機構(gòu)的運動狀態(tài)一致。解析模型和有限元計算得到的固有頻率結(jié)果分別為627.46 Hz和561.28 Hz，兩者相對誤差為11.79 %。 誤差來源可能包括：①各級位移放大比解析模型帶來的累計誤差；②除菱形機構(gòu)柔性臂和杠桿機構(gòu)柔性鉸鏈以外結(jié)構(gòu)的微小變形被忽略；③杠桿機構(gòu)柔性鉸鏈的拉伸變形和質(zhì)量被忽略。

(a)位移放大比隨θ1變化的曲線

(b)位移放大比隨θ2變化的曲線

(d)第4階 (e)第5階 (f)第6階圖6 多級位移放大機構(gòu)前6階振型Fig.6 The first six mode shape of the proposed mechanism

3.3 性能比較

為了與近期開發(fā)的幾個垂直型位移放大機構(gòu)性能進行對比，選取位移放大機構(gòu)的位移放大比、固有頻率以及垂直方向的幾何尺寸作為對比參數(shù)，對比結(jié)果見表3。

表3 幾個典型的垂直型位移放大機構(gòu)性能對比Tab.3 Performance comparison of several typicalvertical displacement amplification mechanisms

由表3可知，相比文獻[16]和文獻[17]，在材料參數(shù)一致的情況下本文提出的垂直型多級位移放大機構(gòu)具有最大的位移放大比43.29，同時保持一個相對較大的固有頻率561.28 Hz。盡管文獻[18]提出的垂直型位移放大機構(gòu)具有更高的固有頻率，但其位移放大比有限，不適用于輕載、大行程工程領(lǐng)域。此外本文提出的垂直型多級位移放大機構(gòu)在垂直方向尺寸也相對較小，適用于對垂直方向工作行程有較大要求但安裝空間有限的應(yīng)用場景。

4 結(jié)論

(1)本文提出了一個垂直型多級位移放大機構(gòu)，該位移放大機構(gòu)是通過結(jié)合兩個復(fù)合菱形機構(gòu)、兩個杠桿機構(gòu)以及一個普通菱形機構(gòu)組成。

(2)采用能量守恒方法及彈性梁變形理論建立了該位移放大機構(gòu)的位移放大比和輸入/輸出剛度解析模型，并基于拉格朗日方程推導(dǎo)了其固有頻率解析模型。

(3)通過有限元計算結(jié)果對建立的解析模型可靠性進行了驗證，結(jié)果表明建立的解析模型可以較為準(zhǔn)確地預(yù)測位移放大機構(gòu)的位移放大比、固有頻率等性能參數(shù)。

(4)提出的位移放大機構(gòu)的位移放大比可達43.29，同時保持相對較大的固有頻率561.28 Hz。

下一步工作將以提出的垂直型多級位移放大機構(gòu)為基礎(chǔ)，并依據(jù)建立的力學(xué)解析模型，優(yōu)化設(shè)計一個具有大工作行程的柔順平臺。