劉曉飛 高興華 郭慶東 崔金鵬

（北華大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，吉林省吉林市 132021）

機(jī)械手臂作為機(jī)器人的末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)[1-4]已在一些流水線生產(chǎn)中得到廣泛應(yīng)用[5]。在智能化生產(chǎn)中，步進(jìn)電機(jī)是主要的驅(qū)動(dòng)部件之一[6]，作業(yè)時(shí)其運(yùn)行的精確性和響應(yīng)速度尤為重要。由于步進(jìn)電機(jī)受脈沖頻率控制，其高速時(shí)的運(yùn)動(dòng)特性易對(duì)生產(chǎn)線上的裝配動(dòng)作如抓、卡、擰工件等產(chǎn)生沖擊，從而造成位置錯(cuò)移，甚至結(jié)構(gòu)變形等。為確保生產(chǎn)線正常運(yùn)轉(zhuǎn)，通常采用降低生產(chǎn)線速度的方式以避免問題的發(fā)生，但因此會(huì)影響生產(chǎn)效率[7]。針對(duì)以上問題，劉靜等[8-11]對(duì)步進(jìn)電機(jī)的應(yīng)用特性進(jìn)行了研究與改進(jìn)，以提高智能化生產(chǎn)效率。

合理控制頻率可為步進(jìn)電機(jī)提供平穩(wěn)的工作特性，頻率過低或過高均會(huì)影響步進(jìn)電機(jī)輸出特性，產(chǎn)生低頻振蕩或高頻振動(dòng)。步進(jìn)電機(jī)低頻振蕩是由于電機(jī)的轉(zhuǎn)子達(dá)到穩(wěn)定平衡位置時(shí)具有多余的動(dòng)能[12]。當(dāng)控制脈沖的頻率等于自由振蕩頻率時(shí)，就會(huì)發(fā)生低頻振蕩。而當(dāng)控制脈沖的頻率很高時(shí)，脈沖間隔的時(shí)間很短，電機(jī)轉(zhuǎn)子尚未到達(dá)第一次振蕩幅值，下一個(gè)脈沖就到來，如此會(huì)產(chǎn)生失步，甚至還會(huì)產(chǎn)生高頻振動(dòng)。

為提高步進(jìn)電機(jī)在智能生產(chǎn)線裝配中的工作性能，消除振蕩與振動(dòng)的產(chǎn)生，研究適合不同生產(chǎn)需求的輸出特性，本文采用正交兩指機(jī)械手臂，以步進(jìn)電機(jī)為動(dòng)力，研究以S曲線算法作為機(jī)械手臂控制算法的運(yùn)動(dòng)控制，通過合理設(shè)計(jì)每一個(gè)脈沖的升、降頻，保證步進(jìn)電機(jī)不堵轉(zhuǎn)、不失步、不過沖，使機(jī)械手臂以最少的時(shí)間精確運(yùn)行至指定位置。

1 正交兩指機(jī)械手臂的組成與輸出控制

1.1 機(jī)械手臂組成

機(jī)械手臂由步進(jìn)電機(jī)、氣滑環(huán)、滑臺(tái)氣缸和機(jī)械手指組成，如圖1 所示。

圖1 正交兩指機(jī)械手臂結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structural drawing of orthogonaltwo-finger manipulator

步進(jìn)電機(jī)為機(jī)械手臂提供旋轉(zhuǎn)動(dòng)力，帶動(dòng)氣滑環(huán)、滑臺(tái)氣缸和機(jī)械手作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。氣滑環(huán)在旋轉(zhuǎn)的同時(shí)傳遞氣路，通過氣動(dòng)回路控制機(jī)械手作夾持動(dòng)作。

1.2 步進(jìn)電機(jī)電脈沖加速控制算法

常見的步進(jìn)電機(jī)速度控制算法有梯形曲線算法、指數(shù)型曲線算法以及S曲線算法。

梯形曲線具有運(yùn)算簡(jiǎn)單[13]等特性，但存在加速突變、運(yùn)行不穩(wěn)定等問題，適用于低精度場(chǎng)合。指數(shù)控制算法曲線實(shí)現(xiàn)繁瑣[14-15]，適用于高精度場(chǎng)合。S曲線算法的核心在于防止加速度產(chǎn)生突變，減小沖擊，并使步進(jìn)電機(jī)運(yùn)動(dòng)具有快速平穩(wěn)的特性，常被應(yīng)用于精確控制[16]；以低頻啟動(dòng)，高頻率降頻實(shí)現(xiàn)減速[17]，以此達(dá)到快速響應(yīng)的要求。

步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)矩與輸入的脈沖頻率在電流等參數(shù)不變的情況下一一對(duì)應(yīng)，為實(shí)現(xiàn)輸出特性的柔順平滑，利用數(shù)字控制器將連續(xù)S曲線函數(shù)轉(zhuǎn)換為離散S曲線函數(shù)，使步進(jìn)電機(jī)的每個(gè)控制脈沖成為頻率可調(diào)的S離散信號(hào)，從而達(dá)到對(duì)步進(jìn)電機(jī)輸出特性的良好控制。

2 S曲線設(shè)計(jì)與離散化

2.1 S曲線設(shè)計(jì)

S曲線的函數(shù)為L(zhǎng)ogistic函數(shù)，Logistic函數(shù)是一個(gè)嚴(yán)格的遞增函數(shù)，圖形為一個(gè)連續(xù)光滑的 S 形，其函數(shù)定義式為：

式中：a為控制曲線傾斜的斜率參數(shù)[18-19]。設(shè)脈沖頻率為f（kHz），則

式中：n為電機(jī)轉(zhuǎn)速，r/s ；P為細(xì)分倍數(shù)。

由式（2）可得出步進(jìn)電機(jī)最小啟動(dòng)頻率fmin（kHz），以及運(yùn)行最大頻率A（kHz）。

設(shè)步進(jìn)電機(jī)運(yùn)行頻率為f(t)（kHz），則

式中：a為斜率常數(shù)，是決定運(yùn)動(dòng)快慢時(shí)間的關(guān)鍵因素；t為電機(jī)運(yùn)行時(shí)間，s；k為達(dá)到A的時(shí)間，s；C為常數(shù)。

步進(jìn)電機(jī)是一種數(shù)字電動(dòng)機(jī)，可作為數(shù)字控制系統(tǒng)中的執(zhí)行元件，步進(jìn)電機(jī)將輸入的脈沖電信號(hào)變換為階躍性的角位移或直線位移[20-21]。其角位移與脈沖數(shù)成正比，電機(jī)的轉(zhuǎn)速和脈沖信號(hào)成正比，通過改變頻率的高低即可改變電機(jī)的轉(zhuǎn)速[22-25]。

根據(jù)步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)矩頻率特性曲線可知，在電流不變的情況下，當(dāng)脈沖頻率增加時(shí)，電機(jī)鐵芯中的渦流損耗隨之增加，輸出功率和轉(zhuǎn)矩下降，使步進(jìn)電機(jī)頻率隨輸出轉(zhuǎn)矩的增大而減小。當(dāng)輸入脈沖頻率增加到一定值時(shí)，步進(jìn)電機(jī)將無法帶動(dòng)任何負(fù)載，而且只要受到很小的擾動(dòng)，就會(huì)振蕩、失步，甚至停轉(zhuǎn)。

步進(jìn)電機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程，即

式中： Te為步進(jìn)電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩，Nm；J為步進(jìn)電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，kg·m2；D為系統(tǒng)粘性阻尼系數(shù)；T為輸出轉(zhuǎn)矩，Nm；ω為電機(jī)瞬時(shí)角速度，rad/s。

ω與f成正比關(guān)系，即

式中：Q為線性系數(shù)，Q=2π。

電機(jī)從靜止開始加速，即t=0 時(shí)，ω=0，則聯(lián)立式（3）（4）（5）得：

以正轉(zhuǎn)90°為例，根據(jù)步進(jìn)電機(jī)的參數(shù)以及不同的斜率常數(shù)a計(jì)算得出多組頻率曲線，如圖2 所示。

圖2 不同斜率常數(shù)a下的頻率曲線Fig.2 Frequency curve under diあerent time constant a

圖3 不同斜率常數(shù)a下的轉(zhuǎn)矩曲線Fig.3 Torque curve under diあerent time constant a

轉(zhuǎn)矩曲線如圖3 所示，在不同斜率參數(shù)a下轉(zhuǎn)矩的單位時(shí)間變化率不同，電機(jī)分別在13、22 ms與28 ms時(shí)，頻率達(dá)到最大，轉(zhuǎn)速最快，轉(zhuǎn)矩最小，符合電機(jī)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

一般情況下S曲線分為 “三段”，即加速、勻速和減速階段，但當(dāng)步進(jìn)電機(jī)轉(zhuǎn)過的角度很小時(shí)，運(yùn)動(dòng)曲線只需要兩段，即加速和減速階段。電機(jī)先加速再減速，此曲線為前半段加速曲線；減速階段和加速階段類似，可以分別單獨(dú)在軟件編程中做一個(gè)數(shù)組，也可以和加速階段共用一個(gè)數(shù)組。

2.2 S曲線的離散與優(yōu)化

輸入步進(jìn)電機(jī)參數(shù)，得到頻率曲線，并利用改進(jìn)歐拉遞推方法獲得離散頻率。設(shè)微分方程為：

設(shè)時(shí)間區(qū)間為[a,b]，從區(qū)間中取離散的點(diǎn)

取k=0,1,2，…，N，從t0開始，逐漸遞推求解t1時(shí)的y1，t2時(shí)的y2，…，直至tn時(shí)的yn。

其改進(jìn)歐拉遞推公式為：

式中:h=tn+1-tn。

設(shè)置優(yōu)化曲線的約束參數(shù)條件，細(xì)分倍數(shù)P、最小啟動(dòng)頻率fmin、最大運(yùn)行頻率A，時(shí)間區(qū)間為[0,30]，離散點(diǎn)數(shù)為100。得到a=0.44 時(shí)的離散頻率曲線如圖4所示。

圖4 連續(xù)頻率曲線與對(duì)應(yīng)的優(yōu)化離散頻率曲線Fig.4 Continuous frequency curve and the corresponding discrete frequency curve

確定定時(shí)器的自動(dòng)重裝值。本試驗(yàn)機(jī)械手臂的控制器為STM32，將STM32 的定時(shí)器設(shè)置為溢出中斷模式， 定時(shí)器的溢出中斷周期由時(shí)鐘預(yù)分頻數(shù)和自動(dòng)重裝值決定，固定預(yù)分頻數(shù)后，中斷周期由自動(dòng)重裝值決定。

將計(jì)算得到的離散頻率值處理為數(shù)組保存于控制器中，控制器按順序讀取數(shù)組里的頻率值進(jìn)行定時(shí)器計(jì)數(shù)值重裝載。根據(jù)不同時(shí)刻的頻率，對(duì)應(yīng)不同的自動(dòng)重裝載值，從而實(shí)現(xiàn)S曲線離散化。

3 離散優(yōu)化S曲線仿真

3.1 試驗(yàn)系統(tǒng)組成

本試驗(yàn)的機(jī)械手臂使用86 系列步進(jìn)電機(jī)，選用HB860 驅(qū)動(dòng)器。氣缸選用型號(hào)MHF2-8D1R的滑臺(tái)氣缸，行程為260 mm。試驗(yàn)所用三階魔方為市面比賽專用魔方，材料為ABS塑料，摩擦系數(shù)為0.48，邊長(zhǎng)為57 mm。手臂模型如圖5 所示。

圖5 正交兩指機(jī)械臂三維建模圖Fig.5 3D modeling diagram of orthogonal two-finger manipulator

機(jī)械臂控制核心采用STM32F407，通過定時(shí)器輸出PWM波調(diào)控電機(jī)運(yùn)動(dòng)，利用I/O口控制電磁閥換向，實(shí)現(xiàn)機(jī)械手爪動(dòng)作。

3.2 離散優(yōu)化S曲線應(yīng)用仿真

建立步進(jìn)電機(jī)平衡方程，并在MATLAB中搭建仿真模型，如圖6 所示。

圖6 系統(tǒng)仿真建模Fig.6 System simulation modeling

頻率發(fā)生器輸出離散的頻率數(shù)組，通過PWM得到不同頻率的方波，輸入到驅(qū)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)電機(jī)輸出轉(zhuǎn)矩仿真結(jié)果。根據(jù)不同斜率系數(shù)a得到相應(yīng)的轉(zhuǎn)矩曲線圖，如圖7 所示。

圖7 不同斜率常數(shù)所對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)矩曲線圖Fig.7 Torque curve corresponding to diあerent slope constants

仿真結(jié)果表明，電機(jī)在22 ms，頻率達(dá)到最大，轉(zhuǎn)矩達(dá)到最小，此時(shí)轉(zhuǎn)速最大，加速度最大；當(dāng)a為0.3 時(shí)，頻率與轉(zhuǎn)矩的單位時(shí)間變化率較小，因此加速時(shí)間較長(zhǎng)，如圖7a所示；當(dāng) a為0.8 時(shí)，頻率與轉(zhuǎn)矩的單位時(shí)間變化率較大，導(dǎo)致電機(jī)發(fā)生失步，如圖7c所示。理論計(jì)算輸出的轉(zhuǎn)矩曲線與仿真曲線擬合度基本一致，其中誤差由軟件處理所致。

4 應(yīng)用試驗(yàn)測(cè)試

將機(jī)械手臂應(yīng)用于魔方機(jī)器人上進(jìn)行測(cè)試，機(jī)械手臂試驗(yàn)平臺(tái)如圖8 所示。

圖8 魔方機(jī)器人試驗(yàn)平臺(tái)Fig.8 Rubik's cube robot test platform

以帶載正轉(zhuǎn)90°為例，采用2.2 章節(jié)計(jì)算優(yōu)化后的3 組離散S曲線，其中a=0.44 時(shí)的曲線如圖9 所示。

圖9 優(yōu)化后的S曲線圖Fig.9 The optimized S-curve

離散點(diǎn)數(shù)為100，分別輸入到控制器中，讀取試驗(yàn)數(shù)據(jù)，與仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比。對(duì)比結(jié)果如表1 所示。

表1 仿真用時(shí)與試驗(yàn)用時(shí)對(duì)比Tab.1 Comparison of simulation time and experiment time

測(cè)試結(jié)果表明：電機(jī)帶載正轉(zhuǎn)90°時(shí)，斜率常數(shù)等于0.3 時(shí)，電機(jī)運(yùn)行時(shí)間并未達(dá)到最短；斜率常數(shù)等于0.44 時(shí)，運(yùn)行平穩(wěn)，時(shí)間短，且不發(fā)生失步及過沖；而斜率常數(shù)等于0.8 時(shí)，由于頻率提升快，導(dǎo)致失步，嚴(yán)重時(shí)堵轉(zhuǎn)，致使電機(jī)平穩(wěn)后并未達(dá)到期望轉(zhuǎn)角。

5 結(jié)論

本文結(jié)合實(shí)際需求，研究將離散S曲線算法用于步進(jìn)電機(jī)輸出平滑轉(zhuǎn)矩控制，算法在還原魔方機(jī)械臂調(diào)控中應(yīng)用，達(dá)到了速度快、精度高的效果。該方法通過合理設(shè)計(jì)每個(gè)脈沖頻率的升、降，有效防止了步進(jìn)電機(jī)失步、過沖等現(xiàn)象，并且使步進(jìn)電機(jī)能以最快的響應(yīng)速度執(zhí)行動(dòng)作。算法理論可推廣應(yīng)用于不同的步進(jìn)電機(jī)，通過優(yōu)化理論方程中的參數(shù)，確定適用于不同環(huán)境下步進(jìn)電機(jī)的S曲線，經(jīng)過離散處理后控制步進(jìn)電機(jī)的運(yùn)動(dòng)，可以實(shí)現(xiàn)不失步、不過沖，達(dá)到快速、精準(zhǔn)控制的目的。S曲線算法是一種全新的步進(jìn)電機(jī)調(diào)速算法，適用于機(jī)械手裝配柔性動(dòng)作等控制。