王 麗，王 威，劉勃妮

（西安航空學院電子工程學院，陜西西安 710077）

稀疏分解理論指出，信號在某些稀疏基上具有簡潔的表達形式，降低了信號的傳輸壓力，提高了信號的處理效率。在過完備庫里尋找能夠表示信號特征最優(yōu)原子的過程，稱為稀疏分解。高光譜圖像(Hyperspectral Images,HSIs)[1]包含豐富的空間信息和光譜信息，其稀疏表示結(jié)果能夠應(yīng)用于圖像分類、識別[2-6]等，可進一步推進高光譜遙感技術(shù)的發(fā)展。

文中首先給出諧波小波包字典的構(gòu)造方法，然后介紹免疫克隆算法實現(xiàn)稀疏分解的過程，最后采用Matlab 軟件進行仿真，對高光譜圖像和一般圖像進行稀疏分解，分析諧波小波包字典的稀疏表示能力。

1 諧波小波包字典

基于冗余字典的信號稀疏模型表示為：

其中，x∈RN為原始信號，Φ∈RN×L為冗余字典，θ∈RL為稀疏系數(shù)向量。字典的每列元素稱為原子。在稀疏分解中，需要解決兩個問題：一是構(gòu)造冗余字典，二是找到稀疏系數(shù)向量。

高光譜圖像具有空間和譜間相關(guān)性，空間和譜間均存在冗余，具有稀疏性。但高光譜圖像信號特征復(fù)雜，一般的冗余字典無法準確捕捉到信號特征。諧波小波包字典(Harmonic Wavelet Packet dictionary,HWP)[7-9]具有以下特點：1）具有信號頻譜的盒型函數(shù)形式；2）表達形式簡單清晰；3）具有正交性和對稱性；4）實現(xiàn)過程簡單。基于以上分析，選擇諧波小波包字典作為高光譜圖像的稀疏基，對其進行稀疏表示。

諧波小波包字典的頻域表達式為：

其中，ω是頻率，p和q是尺度參數(shù)，決定諧波小波的帶寬。

對式（2）進行傅里葉逆變換，得到諧波小波包的時域表達式：

其中，n是時域變量。

對上述諧波小波進行位移變換，假定位移步長為v/(q-p)，v是位移參數(shù)，式（3）可變?yōu)椋?/p>

式（5）表示的諧波小波的帶寬為(q-p)2π，中心位置在v/(q-p)。與其他小波分解相似，當小波分解的層數(shù)越多時，小波分解的頻域越窄，因此低頻段的細化能力優(yōu)于高頻段。當分解層數(shù)指定后，諧波小波基函數(shù)的時寬、帶寬均固定，無法與信號自適應(yīng)匹配。為了解決此問題，采用諧波小波包的自適應(yīng)分解方法[10]。

假設(shè)信號的最高頻率為fh，若指定分解層數(shù)為s，則對應(yīng)信號將被分解到2s個子頻率段，每個頻率段對應(yīng)的信號帶寬為：

由于諧波小波的帶寬為(q-p)2π，故尺度參數(shù)p和q應(yīng)滿足：

根據(jù)上述分析，將諧波小波的參數(shù)(p,q,v)對應(yīng)到諧波小波包的參數(shù)(s,u,v)。假定信號長度為N，則分解層數(shù)s的范圍是s=0,1,…,log2(N)-1。參數(shù)u是子帶索引，其范圍是u=0,1,…,2s-1。參數(shù)v是子帶內(nèi)小波系數(shù)的位置索引，其范圍是v=0,1,…,N-1。則尺度參數(shù)p和q確定為：

通過這種自適應(yīng)分解的方式，在每個分解層級上，均能在整個分析頻域內(nèi)得到高分辨率的分析結(jié)果。給定參數(shù)(s,u,v)，就能夠得到一組諧波小波包字典，字典的原子個數(shù)為N(N-1)。

2 稀疏分解算法

正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit,OMP)[11]算法通過遍歷冗余字典的所有原子，依次找出最優(yōu)原子，實現(xiàn)信號的稀疏分解。當冗余字典的冗余較高時，正交匹配追蹤算法的時間復(fù)雜度較高。文中借鑒生物種群的進化思想，引入免疫克隆概念，采用免疫克隆算法(Immune Clone Algorithm,ICA)[12]實現(xiàn)最優(yōu)原子的搜索。與OMP 算法不同，ICA算法的全局搜索能力較強，通過模擬生物的免疫系統(tǒng)，采用克隆和記憶機制，實現(xiàn)生物個體的更新[13-14]。

在ICA 算法中，抗體是目標函數(shù)的一個可行解，抗原就是目標函數(shù)。與稀疏分解的目標函數(shù)相對應(yīng)，每個抗體代表著從冗余字典中尋找到的原子。為了利用免疫克隆算法實現(xiàn)稀疏分解，首先，要產(chǎn)生一組初始的抗體；然后，利用親和度函數(shù)計算抗體和抗原之間的親和度。在抗體確定后，利用克隆、克隆變異和克隆選擇3 個算子[15]，實現(xiàn)抗體的不斷更新，隨著進化過程的進行，找到最優(yōu)原子并計算稀疏表示系數(shù)。

2.1 免疫克隆算法

2.1.1 初始化

1）初始抗體的產(chǎn)生

假定需要尋找的最優(yōu)原子個數(shù)為K，則抗體表示為1×K的行向量，即a=(aa1,aa2,…,aaK)，其中aaK是集合[1,L]中的一個數(shù)字，代表冗余字典中的一個原子。種群包含M個抗體，表示為A=(a1,a2,…,aM)。

2）親和度函數(shù)的設(shè)計

親和度函數(shù)用于計算抗體和抗原的親和度，即用于評價抗體代表的可行解的優(yōu)劣。親和度越高，表明抗體代表的可行解越優(yōu)。設(shè)計的親和度函數(shù)表示為：

其中，Φa和θa是抗體a所對應(yīng)的原子字典和稀疏系數(shù)向量。

2.1.2 初始化

1）克隆算子

每個抗體對應(yīng)的克隆個數(shù)與其親和度相關(guān)，定義為：

2）克隆變異算子

為了保留原始種群信息，只針對克隆個體進行變異操作。設(shè)定變異概率為Pm，對于抗體的每個元素，產(chǎn)生一個0 和1 之間的隨機數(shù)r。如果r＜Pm，則對應(yīng)的元素位置就替換為集合[1,L]中的任意數(shù)字，即變異為新的抗體。

3）克隆選擇算子

假設(shè)某克隆變異后的抗體滿足b=max{affinity(aim)|m=1,2,…,Ci-1}，并且滿足：

則用抗體b替代其父抗體ai，以更新種群。

通過克隆、變異、選擇3 個算子操作后，初始群體將更新為具有更高親和度的抗體。經(jīng)過不斷地進化后，找到最優(yōu)個體abest，則稀疏系數(shù)表示為：

其中，Φabest表示最優(yōu)抗體abest代表的原子字典。

2.2 實現(xiàn)流程

基于免疫克隆的稀疏分解算法實現(xiàn)流程圖如圖1 所示，其實現(xiàn)步驟如下：

Step 1 初始化：確定進化代數(shù)為t=1，產(chǎn)生初始抗體種群A1=(a1,a2,…,aM)。

Step 2 親和度計算：利用式（10）計算種群At的抗體親和度。

Step 3 克隆操作：利用式（11）計算每個抗體的克隆個數(shù)，根據(jù)式（12）獲取克隆種群。

Step 4 克隆變異操作：產(chǎn)生隨機數(shù)r，并與變異概率Pm進行比較，以獲取變異種群。

Step 5 克隆選擇操作：比較種群中所有抗體的親和度，用變異種群的最優(yōu)個體與父代抗體對比，采用式（13）獲得種群At+1。

Step 6 判斷停止條件：判斷是否達到最大進化代數(shù)T，若達到則停止迭代，否則令t=t+1，重復(fù)執(zhí)行Step2～Step6。

Step 7 選擇最優(yōu)抗體：計算種群AT的親和度，選擇具有最高親和度的抗體為最優(yōu)抗體abest。

Step 8 稀疏系數(shù)計算：采用式（14）計算稀疏系數(shù)。

圖1 稀疏分解算法流程圖

重構(gòu)信號表示為：

3 實驗結(jié)果與分析

選擇4 組圖像對基于免疫克隆的稀疏分解算法進行驗證，分析諧波小波字典的稀疏表示能力。第一、第二組圖像是由美國的航空可見光/紅外光成像光譜儀(Airborne Visible Infrared Imaging Spectrometer,AVIRIS) 采集得到的高光譜圖像Cuprite1 和Cuprite2，兩組數(shù)據(jù)集的波段數(shù)為224，圖像大小均為614×512。去掉含噪波段和水汽吸收波段，可用波段數(shù)為188，第40 個波段圖像如圖2(a)和圖2(b)所示。第三、第四組圖像是一般的二維圖像Lena 和Camaraman，圖像大小均為256×256，如圖2(c)和圖2(d)所示。

圖2 實驗圖像

因每個圖像的空間像素較多，若對整幅圖像進行稀疏表示，則冗余字典的冗余度太高，無法完成有效的稀疏表示，故對波段圖像進行分塊處理，分塊大小為8，將每個塊圖像通過列優(yōu)先的方式轉(zhuǎn)換為一維向量，然后進行稀疏分解，分解后再恢復(fù)為圖像塊形式，完成每個圖像的稀疏表示。對高光譜圖像進行空間裁切，將圖像裁切為256×256，波段數(shù)仍為188。

選擇Gabor 字典[16]與構(gòu)造的HWP 字典進行比較，以分析HWP 字典對高光譜圖像的稀疏表示能力，利用ICA 稀疏分解算法對4 組高光譜圖像進行稀疏分解。以重構(gòu)圖像是原始圖像和噪聲圖像的疊加為基礎(chǔ)，定義原始圖像的最大灰度值與噪聲圖像的標準均方差的比值為峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio,PSNR)[17]，并以dB 作為峰值信噪比的單位。每個波段圖像的峰值信噪比定義為：

利用ICA 搜索得到的32 個原子構(gòu)成重構(gòu)圖像，在進化過程中，種群個數(shù)設(shè)置為M=10，克隆常數(shù)為C=15，變異概率為Pm=0.2，最大進化代數(shù)為T=20。利用重構(gòu)圖像和原始圖像之間的峰值信噪比對字典的稀疏表示能力進行評價，4 組圖像的重構(gòu)峰值信噪比見表1。無論是高光譜圖像還是一般圖像，在搜索的原子數(shù)相同的條件下，HWP 字典均能得到優(yōu)于Gabor 字典的結(jié)果，兩者的平均峰值信噪比之差最高能達到4.90 dB。特別是，對于高光譜圖像來說，HWP字典能夠得到較高的重構(gòu)峰值信噪比，說明構(gòu)造的諧波小波包字典更能表示高光譜圖像的復(fù)雜信號。

Cuprite1 場景、Lena 場景的重構(gòu)圖像對比如圖3和圖4 所示。從視覺效果上看，與原始圖像相比，利用Gabor 字典得到的重構(gòu)圖像的細節(jié)更為完整。利用Gabor 字典得到的重構(gòu)圖像的塊效應(yīng)比較明顯，而諧波小波字典得到的重構(gòu)圖像則弱化了塊效應(yīng)的影響，重構(gòu)圖像更加光滑。

表1 利用兩種字典得到的峰值信噪比

圖3 場景Cuprite1的重構(gòu)圖像對比

圖4 場景Lena的重構(gòu)圖像對比

4 結(jié)論

文中對基于免疫克隆的圖像稀疏分解算法進行了研究，首先構(gòu)造了用于表示復(fù)雜圖像的諧波小波包字典，然后研究了基于免疫克隆思想的稀疏分解算法，包括初始種群的產(chǎn)生、親和度函數(shù)設(shè)計以及克隆算子、免疫算子和選擇算子的設(shè)計等，并給出了算法的實現(xiàn)過程。采用基于免疫克隆的稀疏分解算法對高光譜圖像和一般二維圖像進行仿真實驗，實驗結(jié)果表明，與Gabor 字典相比，HWP 字典對高光譜圖像的稀疏表示能力更強，獲得的重構(gòu)圖像峰值信噪比更高。如何降低塊效應(yīng)對重構(gòu)圖像的影響是進一步研究的方向。