張冰玉，潘 晴，田妮莉，Everett Xiaolin Wang

（廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，廣州 510006）

0 概述

在陣列信號(hào)處理過程中，空間譜表示信號(hào)在空間各個(gè)方向的能量分布［1］，常用的空間譜估計(jì)算法有旋轉(zhuǎn)不變子空間（Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）算法［2］、多重信號(hào)分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法［3］和相關(guān)改進(jìn)算法［4-5］，這些算法都是以事先已知信源的個(gè)數(shù)為前提條件。目前，信源個(gè)數(shù)估計(jì)多使用基于信息論準(zhǔn)則的方法，包括最小信息準(zhǔn)則（Akaike Information Criterion，AIC）［6］、最小描述長度（Minimum Description Length，MDL）準(zhǔn)則［7］及相關(guān)改進(jìn)算法［8-9］，但這些算法僅適用于白噪聲環(huán)境下的信源個(gè)數(shù)估計(jì)。

適用于色噪聲環(huán)境的蓋爾圓估計(jì)（Gerschgorin Disk Estimation，GDE）準(zhǔn)則［10］雖然能夠彌補(bǔ)信息論準(zhǔn)則在色噪聲環(huán)境下信源個(gè)數(shù)估計(jì)失效的不足，但其在低信噪比和小快拍數(shù)條件下的性能會(huì)急劇下降甚至失效。針對(duì)該問題，文獻(xiàn)［11］提出一種新的酉變換方法，并結(jié)合GDE 準(zhǔn)則進(jìn)行信源個(gè)數(shù)估計(jì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法在快拍數(shù)為90 時(shí)的信源個(gè)數(shù)檢測準(zhǔn)確率達(dá)到90%，但是要求信噪比在10 dB 以上。文獻(xiàn)［12］將GDE 準(zhǔn)則和AIC 準(zhǔn)則結(jié)合，克服了特征值的無序性導(dǎo)致估計(jì)錯(cuò)誤的缺陷，使得檢測準(zhǔn)確率在信噪比為?5 dB 時(shí)達(dá)到93%，但該方法要求較大的快拍數(shù)。文獻(xiàn)［13］對(duì)蓋爾圓半徑進(jìn)行壓縮，并結(jié)合蓋爾圓心值提出一種基于自適應(yīng)調(diào)整因子的GDE準(zhǔn)則。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法在信噪比為?4 dB、快拍數(shù)大于2 000 的條件下檢測準(zhǔn)確率為80%，而在信噪比為15 dB、快拍數(shù)為50 時(shí)檢測準(zhǔn)確率達(dá)到90%。由此可知，該方法無法同時(shí)保證低信噪比和小快拍數(shù)條件下的檢測性能。文獻(xiàn)［14］利用接收信號(hào)協(xié)方差矩陣的對(duì)角線平均值來構(gòu)建新的協(xié)方差矩陣，并結(jié)合GDE 準(zhǔn)則估計(jì)信號(hào)源數(shù)。該算法在非平穩(wěn)的色噪聲環(huán)境中，信噪比為?8 dB、快拍數(shù)為100 時(shí)的檢測準(zhǔn)確率就已經(jīng)達(dá)到80%以上，雖然能同時(shí)保證低信噪比和小快拍數(shù)情況下的高檢測準(zhǔn)確率，但僅限于在10 個(gè)陣元估計(jì)2 個(gè)信源的條件下。文獻(xiàn)［15］基于Khatri-Rao 積先對(duì)接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣做延遲處理后再對(duì)矩陣進(jìn)行矢量化來構(gòu)造新的矩陣，并結(jié)合蓋爾圓準(zhǔn)則估計(jì)信源數(shù)。該方法雖然能在M個(gè)陣元下至多估計(jì)出(2M-1)個(gè)信號(hào)源，但僅限于在白噪聲條件下，具有一定的局限性。

上述GDE 準(zhǔn)則及改進(jìn)方法對(duì)于含M個(gè)陣元的陣列，在構(gòu)造蓋爾圓盤過程中都只用到了前（M-1）個(gè)陣元接收的信息，導(dǎo)致這些方法能估計(jì)的最大信源個(gè)數(shù)為M-2。文獻(xiàn)［16］提出了加權(quán)蓋爾圓估計(jì)（Weighted Gerschgorin Disk Estimation，WGDE）準(zhǔn)則，由于該準(zhǔn)則中的特征加權(quán)矩陣對(duì)增廣蓋爾圓矩陣中的蓋爾圓半徑做特征加權(quán)變換，因此進(jìn)一步增大了信號(hào)蓋爾圓和噪聲蓋爾圓之間半徑的差異，使快拍數(shù)為64 時(shí)的信源估計(jì)準(zhǔn)確率達(dá)到90%，但是信噪比要求為13 dB。同時(shí)，WGDE 準(zhǔn)則在構(gòu)造增廣蓋爾圓矩陣及其增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣過程中都保留了M個(gè)陣元的信息，這使得估計(jì)(M-1)個(gè)信號(hào)源數(shù)成為可能。文獻(xiàn)［17］將信源數(shù)估計(jì)問題轉(zhuǎn)為模式識(shí)別問題，依據(jù)陣元在接收含有不同信源個(gè)數(shù)的入射信號(hào)時(shí)會(huì)產(chǎn)生不同相位差異這一特點(diǎn)，結(jié)合希爾伯特-黃變換（Hilbert-Huang Transformation，HHT）和SVM 進(jìn)行信源個(gè)數(shù)估計(jì)，從而利用M個(gè)陣元估計(jì)（M-1）個(gè)信號(hào)源數(shù)，但該文并未對(duì)快拍數(shù)小于100時(shí)的信源數(shù)估計(jì)性能進(jìn)行驗(yàn)證。

本文結(jié)合文獻(xiàn)［17］方法，針對(duì)WGDE 準(zhǔn)則對(duì)增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣信息利用不足的缺陷，提出一種在增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣中獲取多重特征并融合的信源個(gè)數(shù)估計(jì)方法。同時(shí)獲取可用于描述信源個(gè)數(shù)的蓋爾圓心值、蓋爾圓半徑和加權(quán)蓋爾圓半徑等多重特征進(jìn)行融合，構(gòu)建能夠描述信源個(gè)數(shù)的高維特征向量，標(biāo)定后代入支持向量機(jī)（Support Vector Machine，SVM）中訓(xùn)練可用于信源個(gè)數(shù)估計(jì)的分類器，并利用包含M個(gè)天線的均勻圓陣（Uniform Circular Array，UCA）（下文簡稱M-UCA）進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

1 M-UCA 的接收信號(hào)模型

假設(shè)k個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)入射到M-UCA 上，其中k=1，2，…，K且K＜M，則M-UCA 接收信號(hào)表示為：

其中，X(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xM(t)]T為t時(shí)刻的接收信號(hào)矢量，S(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sk(t)]T為t時(shí)刻信號(hào)的源矢量，N(t)=[n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T為t時(shí)刻加性噪聲矢量，A=[α(Θ1)，α(Θ2)，…，α(ΘK)]為M-UCA的陣列流型矢量，Θk=(φk，?k)為第k個(gè)信號(hào)源的入射角，φk和?k分別為第k個(gè)信號(hào)源的方位角和俯仰角，且為第k個(gè)信號(hào)源的導(dǎo)向矢量，其中為逆時(shí)針第m個(gè)陣元與x軸的夾角，，m=1，2，…，M，為載波波長。

2 增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣與加權(quán)蓋爾圓準(zhǔn)則

在滿足奈奎斯特采樣定理［18］的條件下，對(duì)X(t)做快拍數(shù)為L的均勻采樣，獲得X(t)的觀測信號(hào)數(shù)據(jù)集X(l)，l=1，2，…，L且X(l)=[x1(1)，x2(2)，…，xM(l)]T，則觀測信號(hào)數(shù)據(jù)集的協(xié)方差矩陣為：

其中，(?)H表示共軛轉(zhuǎn)置。對(duì)Rxx做特征分解得到：

其中，λm為Rxx的第m個(gè)特征值，λ1＞λ2＞，…，＞λk-1＞λk＞＞，…，＞λM，當(dāng)m≤k時(shí)，λm為信號(hào)特征值，反之為噪聲特征值，um為λm所對(duì)應(yīng)的特征向量。定義如式（4）所示的矩陣：

其中，r為Rxx的最后一列向量。定義酉變換矩陣T如式（5）所示：

其中，u=[u1，u2，…，uM]T。經(jīng)過如式（6）所示的酉變換計(jì)算得到增廣蓋爾圓矩陣RG：

其中，Σ為所有λm組成的對(duì)角陣。定義特征加權(quán)矩陣W如式（7）所示：

對(duì)RG做特征加權(quán)變換，得到增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣RF，如式（8）所示：

令rm=λm pm，得到判別準(zhǔn)則為：

則利用WGDE準(zhǔn)則得到的最終信源估計(jì)個(gè)數(shù)為：

3 增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣多重特征融合及建模

在增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣RF中包含了pm、λm、rm3 種用于信源個(gè)數(shù)估計(jì)的特征，分別表示蓋爾圓心、蓋爾圓半徑和加權(quán)蓋爾圓半徑，其中，AIC 準(zhǔn)則利用λm對(duì)信源個(gè)數(shù)進(jìn)行估計(jì)［6］，GDE 準(zhǔn)則利用pm對(duì)信源個(gè)數(shù)進(jìn)行估計(jì)［10］，而WGDE 準(zhǔn)則利用rm對(duì)信源個(gè)數(shù)進(jìn)行估計(jì)［16］，顯然WGDE 準(zhǔn)則對(duì)RW中的特征應(yīng)用并不充分。因此，本文將上述都能用于信源個(gè)數(shù)估計(jì)的3 種特征進(jìn)行融合，構(gòu)建3M維的特征列向量θ，如式（11）所示：

分別對(duì)式（11）中的各特征做歸一化處理，如式（12）～式（14）所示：

在式（16）中，g為高斯徑向基函數(shù)的核參數(shù)，φ：?3M→?S，且有：

本文模式分類的SVM 設(shè)計(jì)通過尋找以下優(yōu)化問題的解來實(shí)現(xiàn)：

其中，ωm，bm∈?S，c為懲罰因子，εn，m為松弛變量。由于式（18）中的最優(yōu)解為，因此本文利用Libsvm 工具包在尋優(yōu)的過程中同時(shí)求解最優(yōu)的參數(shù)對(duì)(c*，g*)，從而提高對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的識(shí)別率。

4 仿真實(shí)驗(yàn)及分析

4.1 數(shù)學(xué)模型訓(xùn)練

實(shí)驗(yàn)采用4-UCA 作為接收信號(hào)陣列，陣元間距為載波波長的1/2，3 個(gè)遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)源的入射角隨機(jī)設(shè)置，分別為(0°，25°)、(29°，69°)和(60°，106°)，信噪比為-7 dB，采樣快拍數(shù)L=120，在色噪聲條件下［19］，隨機(jī)選取信源數(shù)分別為1、2、3 時(shí)的各1 000 個(gè)樣本生成特征向量并標(biāo)定，放入Libsvm 中訓(xùn)練，令lbg∈[-10，10]、lbc∈[-10，20]，搜索步長為1，采用10 倍交叉驗(yàn)證法［20］尋找(c*，g*)，尋優(yōu)過程的二維等高線圖和三維等高線圖分別如圖1（a）和圖1（b）所示，其中，lbc*=18，lbg*=-4，此時(shí)的估計(jì)準(zhǔn)確率約為92.2%，從而獲得能夠進(jìn)行信源個(gè)數(shù)估計(jì)的4-UCA 數(shù)學(xué)模型。

圖1 基于4-UCA 的SVM 模型在不同網(wǎng)格點(diǎn)上尋優(yōu)參數(shù)對(duì)時(shí)的準(zhǔn)確率等高線圖Fig.1 Contour map of the accuracy rate when SVM model searches optimal parameter pairs based on 4-UCA at different grid points

4.2 仿真實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)1不同快拍數(shù)下信源個(gè)數(shù)估計(jì)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

選取4-UCA 接收的包含1 個(gè)、2 個(gè)和3 個(gè)信號(hào)源的測試樣本各200 個(gè)，且測試樣本與訓(xùn)練樣本的入射角不同，信噪比為0 dB，快拍數(shù)L從40 增加到200，步長為20，將本文方法與文獻(xiàn)［10］提出的GDE 方法、文獻(xiàn)［12］提出的改進(jìn)GDE 算法（此處記為GDE_AIC 方法）、文獻(xiàn)［16］提出的WGDE 方法以及文獻(xiàn)［17］方法（此處記為HHT_SVM 方法）做對(duì)比實(shí)驗(yàn)，針對(duì)不同拍數(shù)下采集的測試樣本，每個(gè)方法重復(fù)Monte Carlo 實(shí)驗(yàn)［21］200 次。分別對(duì)含1 個(gè)、2 個(gè)和3 個(gè)信號(hào)源的陣列信號(hào)做測試，得到5 種方法在不同快拍數(shù)下的檢測準(zhǔn)確率。

實(shí)驗(yàn)2不同信噪比下信源個(gè)數(shù)估計(jì)的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)中的條件除了L=100，SNR 范圍為?20 dB～20 dB，步長為5 dB外，其他條件與實(shí)驗(yàn)1相同，得到5種方法對(duì)不同信噪比陣列信號(hào)的檢測準(zhǔn)確率。

4.3 結(jié)果分析

實(shí)驗(yàn)1 的檢測準(zhǔn)確率對(duì)比如圖2 所示，可以看出：當(dāng)信號(hào)源個(gè)數(shù)為1 和2 時(shí)，在快拍數(shù)L≤200 條件下，GDE 方法、MGDE 方法、WGDE 方法失效，GDE_AIC 有一定的檢測準(zhǔn)確率但最高只有72%，而本文方法則表現(xiàn)出優(yōu)異的檢測性能，當(dāng)L＞90 時(shí)，對(duì)信號(hào)源個(gè)數(shù)的檢測準(zhǔn)確率就已經(jīng)超過了90%；當(dāng)信號(hào)源為3 時(shí)，GDE 方法、MGDE 方法、WGDE 方法、GDE_AIC 方法完全失效，本文方法在快拍數(shù)L=60時(shí)檢測準(zhǔn)確率就達(dá)到了80%；HHT_SVM 方法只是在L≥100 時(shí)才表現(xiàn)出檢測性能優(yōu)于本文方法。

圖2 5 種方法在不同快拍數(shù)下的檢測準(zhǔn)確率對(duì)比Fig.2 Comparison of the detection accuracy of five methods under different snapshot numbers

實(shí)驗(yàn)2 的檢測準(zhǔn)確率對(duì)比如圖3 所示，可以看出：當(dāng)信號(hào)源個(gè)數(shù)為1 和2 時(shí)，GDE 方法和WGDE 方法在信噪比大于等于7 dB 時(shí)才能獲得80%以上的檢測準(zhǔn)確率，GDE_AIC 方法在信噪比大于等于5 dB 時(shí)的檢測準(zhǔn)確率達(dá)到90%以上，而本文方法在信噪比為-20 dB 時(shí)檢測準(zhǔn)確率就已經(jīng)達(dá)到80%，且檢測準(zhǔn)確率隨著信噪比的提高而穩(wěn)步提高；當(dāng)信源個(gè)數(shù)為3 時(shí)，GDE 方法、WGDE 方法、GDE_AIC 方法失效，本文方法則始終保持較高的檢測準(zhǔn)確率；HHT_SVM 方法的檢測性能優(yōu)越一直保持在80%以上，在信噪比大于等于10 dB 時(shí)其檢測性能略優(yōu)于本文方法。

圖3 5 種方法在不同信噪比下的檢測準(zhǔn)確率對(duì)比Fig.3 Comparison of the detection accuracy of five methods under different signal-to-noise ratios

5 結(jié)束語

GDE 準(zhǔn)則及現(xiàn)有改進(jìn)方法大多只能估計(jì)比陣列天線陣元個(gè)數(shù)少2 個(gè)的信源個(gè)數(shù)。為彌補(bǔ)這一缺陷，本文提出一種基于多重特征融合的信源個(gè)數(shù)估計(jì)方法，從WGDE 準(zhǔn)則得到的增廣加權(quán)蓋爾圓盤矩陣中同時(shí)獲取蓋爾圓心、蓋爾圓半徑和加權(quán)蓋爾圓半徑等多重特征進(jìn)行融合，構(gòu)建可描述信源個(gè)數(shù)的特征向量，并利用SVM 訓(xùn)練分類器數(shù)學(xué)模型用于信源個(gè)數(shù)估計(jì)?；?-UCA 的仿真結(jié)果表明，本文方法不僅能夠準(zhǔn)確估計(jì)僅比陣元數(shù)少1 的信源個(gè)數(shù)，而且在低信噪比和小快拍數(shù)條件下也具有良好的估計(jì)性能。本文未考慮信號(hào)源數(shù)目大于或等于陣元數(shù)目的情況，后續(xù)將從這一角度出發(fā)對(duì)信源估計(jì)方法做進(jìn)一步探索。