張冰玉，潘 晴，田妮莉，Everett Xiaolin Wang

（廣東工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，廣州 510006）

0 概述

在陣列信號處理過程中，空間譜表示信號在空間各個方向的能量分布［1］，常用的空間譜估計算法有旋轉(zhuǎn)不變子空間（Estimating Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques，ESPRIT）算法［2］、多重信號分類（Multiple Signal Classification，MUSIC）算法［3］和相關(guān)改進算法［4-5］，這些算法都是以事先已知信源的個數(shù)為前提條件。目前，信源個數(shù)估計多使用基于信息論準則的方法，包括最小信息準則（Akaike Information Criterion，AIC）［6］、最小描述長度（Minimum Description Length，MDL）準則［7］及相關(guān)改進算法［8-9］，但這些算法僅適用于白噪聲環(huán)境下的信源個數(shù)估計。

適用于色噪聲環(huán)境的蓋爾圓估計（Gerschgorin Disk Estimation，GDE）準則［10］雖然能夠彌補信息論準則在色噪聲環(huán)境下信源個數(shù)估計失效的不足，但其在低信噪比和小快拍數(shù)條件下的性能會急劇下降甚至失效。針對該問題，文獻［11］提出一種新的酉變換方法，并結(jié)合GDE 準則進行信源個數(shù)估計。實驗結(jié)果表明，該方法在快拍數(shù)為90 時的信源個數(shù)檢測準確率達到90%，但是要求信噪比在10 dB 以上。文獻［12］將GDE 準則和AIC 準則結(jié)合，克服了特征值的無序性導(dǎo)致估計錯誤的缺陷，使得檢測準確率在信噪比為?5 dB 時達到93%，但該方法要求較大的快拍數(shù)。文獻［13］對蓋爾圓半徑進行壓縮，并結(jié)合蓋爾圓心值提出一種基于自適應(yīng)調(diào)整因子的GDE準則。實驗結(jié)果表明，該方法在信噪比為?4 dB、快拍數(shù)大于2 000 的條件下檢測準確率為80%，而在信噪比為15 dB、快拍數(shù)為50 時檢測準確率達到90%。由此可知，該方法無法同時保證低信噪比和小快拍數(shù)條件下的檢測性能。文獻［14］利用接收信號協(xié)方差矩陣的對角線平均值來構(gòu)建新的協(xié)方差矩陣，并結(jié)合GDE 準則估計信號源數(shù)。該算法在非平穩(wěn)的色噪聲環(huán)境中，信噪比為?8 dB、快拍數(shù)為100 時的檢測準確率就已經(jīng)達到80%以上，雖然能同時保證低信噪比和小快拍數(shù)情況下的高檢測準確率，但僅限于在10 個陣元估計2 個信源的條件下。文獻［15］基于Khatri-Rao 積先對接收信號的協(xié)方差矩陣做延遲處理后再對矩陣進行矢量化來構(gòu)造新的矩陣，并結(jié)合蓋爾圓準則估計信源數(shù)。該方法雖然能在M個陣元下至多估計出(2M-1)個信號源，但僅限于在白噪聲條件下，具有一定的局限性。

上述GDE 準則及改進方法對于含M個陣元的陣列，在構(gòu)造蓋爾圓盤過程中都只用到了前（M-1）個陣元接收的信息，導(dǎo)致這些方法能估計的最大信源個數(shù)為M-2。文獻［16］提出了加權(quán)蓋爾圓估計（Weighted Gerschgorin Disk Estimation，WGDE）準則，由于該準則中的特征加權(quán)矩陣對增廣蓋爾圓矩陣中的蓋爾圓半徑做特征加權(quán)變換，因此進一步增大了信號蓋爾圓和噪聲蓋爾圓之間半徑的差異，使快拍數(shù)為64 時的信源估計準確率達到90%，但是信噪比要求為13 dB。同時，WGDE 準則在構(gòu)造增廣蓋爾圓矩陣及其增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣過程中都保留了M個陣元的信息，這使得估計(M-1)個信號源數(shù)成為可能。文獻［17］將信源數(shù)估計問題轉(zhuǎn)為模式識別問題，依據(jù)陣元在接收含有不同信源個數(shù)的入射信號時會產(chǎn)生不同相位差異這一特點，結(jié)合希爾伯特-黃變換（Hilbert-Huang Transformation，HHT）和SVM 進行信源個數(shù)估計，從而利用M個陣元估計（M-1）個信號源數(shù)，但該文并未對快拍數(shù)小于100時的信源數(shù)估計性能進行驗證。

本文結(jié)合文獻［17］方法，針對WGDE 準則對增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣信息利用不足的缺陷，提出一種在增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣中獲取多重特征并融合的信源個數(shù)估計方法。同時獲取可用于描述信源個數(shù)的蓋爾圓心值、蓋爾圓半徑和加權(quán)蓋爾圓半徑等多重特征進行融合，構(gòu)建能夠描述信源個數(shù)的高維特征向量，標定后代入支持向量機（Support Vector Machine，SVM）中訓(xùn)練可用于信源個數(shù)估計的分類器，并利用包含M個天線的均勻圓陣（Uniform Circular Array，UCA）（下文簡稱M-UCA）進行仿真實驗。

1 M-UCA 的接收信號模型

假設(shè)k個遠場窄帶信號入射到M-UCA 上，其中k=1，2，…，K且K＜M，則M-UCA 接收信號表示為：

其中，X(t)=[x1(t)，x2(t)，…，xM(t)]T為t時刻的接收信號矢量，S(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sk(t)]T為t時刻信號的源矢量，N(t)=[n1(t)，n2(t)，…，nM(t)]T為t時刻加性噪聲矢量，A=[α(Θ1)，α(Θ2)，…，α(ΘK)]為M-UCA的陣列流型矢量，Θk=(φk，?k)為第k個信號源的入射角，φk和?k分別為第k個信號源的方位角和俯仰角，且為第k個信號源的導(dǎo)向矢量，其中為逆時針第m個陣元與x軸的夾角，，m=1，2，…，M，為載波波長。

2 增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣與加權(quán)蓋爾圓準則

在滿足奈奎斯特采樣定理［18］的條件下，對X(t)做快拍數(shù)為L的均勻采樣，獲得X(t)的觀測信號數(shù)據(jù)集X(l)，l=1，2，…，L且X(l)=[x1(1)，x2(2)，…，xM(l)]T，則觀測信號數(shù)據(jù)集的協(xié)方差矩陣為：

其中，(?)H表示共軛轉(zhuǎn)置。對Rxx做特征分解得到：

其中，λm為Rxx的第m個特征值，λ1＞λ2＞，…，＞λk-1＞λk＞＞，…，＞λM，當m≤k時，λm為信號特征值，反之為噪聲特征值，um為λm所對應(yīng)的特征向量。定義如式（4）所示的矩陣：

其中，r為Rxx的最后一列向量。定義酉變換矩陣T如式（5）所示：

其中，u=[u1，u2，…，uM]T。經(jīng)過如式（6）所示的酉變換計算得到增廣蓋爾圓矩陣RG：

其中，Σ為所有λm組成的對角陣。定義特征加權(quán)矩陣W如式（7）所示：

對RG做特征加權(quán)變換，得到增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣RF，如式（8）所示：

令rm=λm pm，得到判別準則為：

則利用WGDE準則得到的最終信源估計個數(shù)為：

3 增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣多重特征融合及建模

在增廣加權(quán)蓋爾圓矩陣RF中包含了pm、λm、rm3 種用于信源個數(shù)估計的特征，分別表示蓋爾圓心、蓋爾圓半徑和加權(quán)蓋爾圓半徑，其中，AIC 準則利用λm對信源個數(shù)進行估計［6］，GDE 準則利用pm對信源個數(shù)進行估計［10］，而WGDE 準則利用rm對信源個數(shù)進行估計［16］，顯然WGDE 準則對RW中的特征應(yīng)用并不充分。因此，本文將上述都能用于信源個數(shù)估計的3 種特征進行融合，構(gòu)建3M維的特征列向量θ，如式（11）所示：

分別對式（11）中的各特征做歸一化處理，如式（12）～式（14）所示：

在式（16）中，g為高斯徑向基函數(shù)的核參數(shù)，φ：?3M→?S，且有：

本文模式分類的SVM 設(shè)計通過尋找以下優(yōu)化問題的解來實現(xiàn)：

其中，ωm，bm∈?S，c為懲罰因子，εn，m為松弛變量。由于式（18）中的最優(yōu)解為，因此本文利用Libsvm 工具包在尋優(yōu)的過程中同時求解最優(yōu)的參數(shù)對(c*，g*)，從而提高對訓(xùn)練數(shù)據(jù)集的識別率。

4 仿真實驗及分析

4.1 數(shù)學(xué)模型訓(xùn)練

實驗采用4-UCA 作為接收信號陣列，陣元間距為載波波長的1/2，3 個遠場窄帶信號源的入射角隨機設(shè)置，分別為(0°，25°)、(29°，69°)和(60°，106°)，信噪比為-7 dB，采樣快拍數(shù)L=120，在色噪聲條件下［19］，隨機選取信源數(shù)分別為1、2、3 時的各1 000 個樣本生成特征向量并標定，放入Libsvm 中訓(xùn)練，令lbg∈[-10，10]、lbc∈[-10，20]，搜索步長為1，采用10 倍交叉驗證法［20］尋找(c*，g*)，尋優(yōu)過程的二維等高線圖和三維等高線圖分別如圖1（a）和圖1（b）所示，其中，lbc*=18，lbg*=-4，此時的估計準確率約為92.2%，從而獲得能夠進行信源個數(shù)估計的4-UCA 數(shù)學(xué)模型。

圖1 基于4-UCA 的SVM 模型在不同網(wǎng)格點上尋優(yōu)參數(shù)對時的準確率等高線圖Fig.1 Contour map of the accuracy rate when SVM model searches optimal parameter pairs based on 4-UCA at different grid points

4.2 仿真實驗

實驗1不同快拍數(shù)下信源個數(shù)估計的對比實驗

選取4-UCA 接收的包含1 個、2 個和3 個信號源的測試樣本各200 個，且測試樣本與訓(xùn)練樣本的入射角不同，信噪比為0 dB，快拍數(shù)L從40 增加到200，步長為20，將本文方法與文獻［10］提出的GDE 方法、文獻［12］提出的改進GDE 算法（此處記為GDE_AIC 方法）、文獻［16］提出的WGDE 方法以及文獻［17］方法（此處記為HHT_SVM 方法）做對比實驗，針對不同拍數(shù)下采集的測試樣本，每個方法重復(fù)Monte Carlo 實驗［21］200 次。分別對含1 個、2 個和3 個信號源的陣列信號做測試，得到5 種方法在不同快拍數(shù)下的檢測準確率。

實驗2不同信噪比下信源個數(shù)估計的對比實驗

實驗中的條件除了L=100，SNR 范圍為?20 dB～20 dB，步長為5 dB外，其他條件與實驗1相同，得到5種方法對不同信噪比陣列信號的檢測準確率。

4.3 結(jié)果分析

實驗1 的檢測準確率對比如圖2 所示，可以看出：當信號源個數(shù)為1 和2 時，在快拍數(shù)L≤200 條件下，GDE 方法、MGDE 方法、WGDE 方法失效，GDE_AIC 有一定的檢測準確率但最高只有72%，而本文方法則表現(xiàn)出優(yōu)異的檢測性能，當L＞90 時，對信號源個數(shù)的檢測準確率就已經(jīng)超過了90%；當信號源為3 時，GDE 方法、MGDE 方法、WGDE 方法、GDE_AIC 方法完全失效，本文方法在快拍數(shù)L=60時檢測準確率就達到了80%；HHT_SVM 方法只是在L≥100 時才表現(xiàn)出檢測性能優(yōu)于本文方法。

圖2 5 種方法在不同快拍數(shù)下的檢測準確率對比Fig.2 Comparison of the detection accuracy of five methods under different snapshot numbers

實驗2 的檢測準確率對比如圖3 所示，可以看出：當信號源個數(shù)為1 和2 時，GDE 方法和WGDE 方法在信噪比大于等于7 dB 時才能獲得80%以上的檢測準確率，GDE_AIC 方法在信噪比大于等于5 dB 時的檢測準確率達到90%以上，而本文方法在信噪比為-20 dB 時檢測準確率就已經(jīng)達到80%，且檢測準確率隨著信噪比的提高而穩(wěn)步提高；當信源個數(shù)為3 時，GDE 方法、WGDE 方法、GDE_AIC 方法失效，本文方法則始終保持較高的檢測準確率；HHT_SVM 方法的檢測性能優(yōu)越一直保持在80%以上，在信噪比大于等于10 dB 時其檢測性能略優(yōu)于本文方法。

圖3 5 種方法在不同信噪比下的檢測準確率對比Fig.3 Comparison of the detection accuracy of five methods under different signal-to-noise ratios

5 結(jié)束語

GDE 準則及現(xiàn)有改進方法大多只能估計比陣列天線陣元個數(shù)少2 個的信源個數(shù)。為彌補這一缺陷，本文提出一種基于多重特征融合的信源個數(shù)估計方法，從WGDE 準則得到的增廣加權(quán)蓋爾圓盤矩陣中同時獲取蓋爾圓心、蓋爾圓半徑和加權(quán)蓋爾圓半徑等多重特征進行融合，構(gòu)建可描述信源個數(shù)的特征向量，并利用SVM 訓(xùn)練分類器數(shù)學(xué)模型用于信源個數(shù)估計。基于4-UCA 的仿真結(jié)果表明，本文方法不僅能夠準確估計僅比陣元數(shù)少1 的信源個數(shù)，而且在低信噪比和小快拍數(shù)條件下也具有良好的估計性能。本文未考慮信號源數(shù)目大于或等于陣元數(shù)目的情況，后續(xù)將從這一角度出發(fā)對信源估計方法做進一步探索。