方肇洪賈林瑞張方方崔萍

(山東建筑大學 熱能工程學院，山東 濟南250101)

0 引言

地埋管地源熱泵供熱空調(diào)系統(tǒng)是以大地為冷、熱源，使作為中間介質(zhì)的熱載體在埋設在巖土中的封閉環(huán)路中循環(huán)流動，與大地進行熱量交換，并進而通過熱泵實現(xiàn)對建筑物的供熱和供冷。 地源熱泵技術對建筑節(jié)能、CO2減排和防治大氣污染都起到了重要作用。 地源熱泵供熱空調(diào)系統(tǒng)由地埋管換熱器、熱泵主機以及建筑物內(nèi)的末端系統(tǒng)組成。 地埋管換熱器是地埋管地源熱泵空調(diào)系統(tǒng)區(qū)別于其他供熱空調(diào)系統(tǒng)的最大特點，其中的傳熱是管內(nèi)流體與周圍巖土之間的換熱，可以看作是一種蓄熱式換熱器[1]。 中深層地埋管技術是近年來在國內(nèi)外地源熱泵領域出現(xiàn)的一種新技術，埋管深度達到數(shù)千米[2]。 在地源熱泵和蓄熱技術的應用中，常常由若干地埋管組成地埋管群。 中深層地埋管換熱器的布置方式必須因地制宜，可以是多種多樣的，空間尺度為數(shù)千米，涉及多個地層，因此其幾何條件很復雜。地埋管換熱器中的傳熱過程又是一個復雜的、非穩(wěn)態(tài)的傳熱過程，所涉及的時間尺度很長(至少為數(shù)月至數(shù)年)，特別是由多個地埋管換熱器組成的地埋管群中的傳熱問題都必須按三維問題來考慮。 因此，中深層地埋管換熱器傳熱的研究是地源熱泵空調(diào)系統(tǒng)的技術難點，同時也是該項技術研究的核心和應用的基礎。

地埋管換熱器的傳熱分析方法大體上可以分為兩大類，即解析解方法和數(shù)值解方法，其各有長處和局限性[3-4]。 解析解方法的基本出發(fā)點是研究無限大或半無限大介質(zhì)中單個鉆孔埋管的傳熱規(guī)律，此時地埋管換熱器簡化為線熱源或圓柱面熱源，并得到其在恒定熱流作用下溫度響應的解析解。 20 世紀80 年代，ESKILSON[5]提出了一種疊加原理的新思路，基于描述無限大介質(zhì)中單個鉆孔在恒定熱流加熱條件下的溫度響應，再利用疊加原理得到多個鉆孔組成的地埋管換熱器在變化負荷作用下的實際溫度響應。 這種方法的物理概念清晰、計算簡捷，考慮到了地埋管換熱器的復雜幾何配置和負荷隨時間的變化，已經(jīng)廣泛應用于實際的工程設計計算和能耗分析[6-8]。 這種解析解方法的一個不足是需要假設地下巖土為均勻介質(zhì)并有均勻的初始溫度。 中深層地埋管換熱器深入地下數(shù)千米，地溫梯度成為影響傳熱過程的主要因素，因此繼續(xù)假定地下巖土整體為均勻介質(zhì)并忽略地溫梯度明顯是不適合的。 此外，在地埋管換熱器傳熱的解析解分析方法中，需要把地埋管換熱器的傳熱分成兩個區(qū)域分別進行處理，在傳統(tǒng)的解析解方法中需要在兩個區(qū)域的界面，也就是鉆孔壁上，通過簡化假定將兩者聯(lián)系起來。通常的做法是對于鉆孔內(nèi)的問題假設鉆孔壁面溫度均勻，對于鉆孔外的問題假設鉆孔壁上熱流均勻。這樣的簡化假定明顯是不合理的，但是由于地埋管換熱器傳熱計算復雜而耗時，為了能夠采用簡明的解析解公式，不得不采用這種不準確的界面連接條件。 LUO 等[9-10]研究了初始溫度不均勻條件下單孔地埋管換熱器的傳熱，為了摒棄連接界面上的簡化假定同時保留在鉆孔外區(qū)域采用解析解公式的求解路線，對鉆孔內(nèi)的“熱源”做了空間(深度方向)和時間上的離散化處理。 然而，此研究僅涉及單孔的地埋管換熱器，而且對于深孔和長時間的問題，這一方法的計算工作量巨大，失去了傳統(tǒng)解析解方法計算簡捷的優(yōu)勢。 此外，由于采用解析解，不可避免還要有整體均勻介質(zhì)的假定，對中深層地埋管而言誤差較大。

地埋管換熱器傳熱分析的第二類方法是以離散化數(shù)值計算為基礎的傳熱模型，用有限元或有限差分法求解地下和流體中的溫度響應并進行傳熱分析。 隨著計算機技術的進步，數(shù)值計算方法以其適應性強的特點成為傳熱分析的基本手段，也已成為地埋管換熱器理論研究的重要工具。 這種方法可以考慮比較接近現(xiàn)實的情況，如地下介質(zhì)的不均勻性和地溫梯度，在處理鉆孔內(nèi)外兩個區(qū)域傳熱的耦合時，也可以不必采用簡化假定而遵循比較真實的邊界連接條件。 但是，地埋管換熱器傳熱問題涉及空間范圍的跨度大，從管壁厚度的毫米量級到深度的千米量級；同時問題涉及的時間范圍的跨度也很大，負荷隨時間的變化以及流動的特征時間都可以是分鐘的量級，而系統(tǒng)運行的時間跨度長達十年以上。因此，對這一類傳熱問題的數(shù)值模擬，需要把區(qū)域劃分為巨量的單元，耗費大量的計算時間。 單孔地埋管換熱器的傳熱可以用柱坐標中的二維問題來描述，但求解由兩個以上的鉆孔組成的地埋管群的傳熱時，都將涉及三維非穩(wěn)態(tài)傳熱問題，計算工作量往往大得無法忍受，進行基本的傳熱分析或直接求解工程問題都有很大的困難。 因此，現(xiàn)有的有關地埋管換熱器(特別是中深層地埋管換熱器)傳熱的數(shù)值分析研究主要涉及單孔地埋管換熱器[11-13]。

文章是在盡可能真實的初始條件、邊界條件(包括鉆孔內(nèi)外的連接條件)下，利用疊加原理把多孔地埋管換熱器的三維傳熱問題分解成多個單孔的二維問題的疊加，實現(xiàn)降維的數(shù)值計算，從而使計算效率得到質(zhì)的提升。 在研究單孔中深層地埋管換熱器的傳熱時，開發(fā)了基于有限差分法的數(shù)值計算模型[14]。 在處理每一個時間步長上的二維瞬態(tài)導熱問題時，由于采用了追趕法求解線性代數(shù)方程組，計算效率得到極大提高；同時在徑向上進行了變步長的離散化處理，大大減少了節(jié)點的數(shù)量。 在計算機上，模擬單孔中深層地埋管換熱器15 年的傳熱過程用時＜30 s，這就為采用疊加原理方法模擬多孔地埋管換熱器的傳熱分析提供了基礎模型。

1 地埋管傳熱問題的描述

中深層地埋管換熱器的鉆孔通常深入地下1 500～2 500 m，結構多采用套管式，如圖1 所示。 換熱器的外管采用鋼管，內(nèi)管應采用低導熱系數(shù)的材料制成，現(xiàn)在通常采用耐熱高密度聚乙烯管。 管內(nèi)循環(huán)介質(zhì)常采用水，循環(huán)水的流動方向有內(nèi)進外出和外進內(nèi)出兩種。 從地下取熱時，宜采用外進內(nèi)出的方式；向地下蓄熱時，宜采用內(nèi)進外出的方式[13]。

圖1 套管式地埋管換熱器示意圖

2 地埋管換熱器傳熱數(shù)學模型

地埋管換熱器的傳熱過程分成鉆孔內(nèi)、外兩部分考慮，其各有不同的傳熱規(guī)律和特點，因此應分別建立數(shù)學模型。 兩個區(qū)域的連接條件是界面上兩者的溫度和法向熱流相等。 文章采用的重要方法是利用疊加原理把多孔地埋管換熱器的傳熱問題分解為若干個單孔地埋管換熱器傳熱的疊加，同時利用疊加原理處理帶有溫度梯度的初始溫度分布。

2.1 鉆孔內(nèi)的傳熱模型

地埋管換熱器鉆孔內(nèi)傳熱的基本特點是封閉管道(U 形管或套管)內(nèi)流體在流動方向的對流傳熱與流體通過管壁和鉆孔內(nèi)材料與鉆孔壁間徑向傳熱的平衡。 通常需要給定換熱器傳熱問題的定解條件，最常見的是給定流體的進口溫度或換熱量隨時間的變化。在已知鉆孔壁的溫度分布以后，鉆孔內(nèi)的傳熱實際上就可以獨立計算。 對U 形管或套管式的地埋管換熱器的傳熱模擬已經(jīng)開發(fā)了很多模型[15-17]，從最簡單的利用熱阻概念估算的方法到對管道內(nèi)的流動和對流換熱進行詳細模擬的計算流體動力學(Computational Fluid Dynamics，CFD)軟件，這些精細程度和準確度不同的各種模型應該都可以成為多孔地埋管換熱器傳熱模型的一個組成部分。不過，對于地埋管換熱器所涉及的超長直管道內(nèi)的流動和傳熱，一維模型的精度已經(jīng)可以滿足實際需要，因此對于管內(nèi)的流動和對流換熱不建議采用復雜而費時的三維CFD 模擬。

在傳統(tǒng)的地埋管換熱器解析解模型中，鉆孔內(nèi)的傳熱通常采用所謂的“準三維”模型，也就是在考慮鉆孔內(nèi)橫截面上的二維(或一維)導熱的基礎上，考慮流體溫度在深度方向的變化以及軸向的對流換熱。 由于鉆孔換熱器結構特別細長的特點，為保持模型的簡明，可忽略鉆孔內(nèi)固體部分的軸向?qū)?；同時，鉆孔內(nèi)材料(包括回填材料、管材和管道中的水)的熱容量也可忽略不計。 后一個簡化假定實際上把鉆孔內(nèi)的傳熱當作穩(wěn)態(tài)問題處理，主要是為了使解析求解成為可能。 但這個假定明顯是對實際情況的偏離，特別是在系統(tǒng)啟動和負荷波動時會引起較大的偏差。 文章所提出的方法總體上將采用數(shù)值計算方法求解，在鉆孔內(nèi)模型的方程中加入流體溫度隨時間的變化，同時采用簡化假定，忽略內(nèi)管壁與內(nèi)管流體以及外管壁、回填材料與外管流體各部分的溫度差異。 這樣的假定在不增加變量的數(shù)量的條件下，提高了模型的保真度，同時對計算工作量幾乎沒有影響。 因此，在這一傳熱模型中，鉆孔內(nèi)的傳熱采用考慮流體溫度隨時間變化和材料熱容量的修正的準三維模型。 文章給出套管式地埋管換熱器鉆孔內(nèi)傳熱的數(shù)學模型，就是兼顧了模型的精度和計算效率的模型，根據(jù)已知的上一時刻鉆孔壁的溫度分布，確定內(nèi)外管中流體在該時刻的溫度分布。 套管式地埋管換熱器可以有外進內(nèi)出和內(nèi)進外出兩種流動形式，并且不同的流動形式將導致不同的溫度分布和傳熱量。

根據(jù)能量的平衡，可以寫出流動形式為內(nèi)進外出時的能量方程，由式(1)表示為

式中C1、C2分別為單位長度的外管和內(nèi)管管段的熱容量，J/(m·K)；z為深度方向坐標，m；τ為時間，s；Tf1和Tf2分別為外管和內(nèi)管中的流體溫度，℃；c為流體的比熱，J/(kg·K)；M為管內(nèi)流體的質(zhì)量流量，kg/s；H為鉆孔深度，m；R1和R12分別是外管流體與鉆孔壁之間、內(nèi)外管流體之間的熱阻，m·K/W；且R1和R12由式(2)表示為

式中k1、k2分別為外、內(nèi)管的導熱系數(shù)，W/(m·K)；rb為鉆孔半徑，m；r1o、r1i分別為外管外徑和內(nèi)徑，m；r2o、r2i分別為內(nèi)管外徑和內(nèi)徑，m。

該微分方程組的定解條件是內(nèi)、外管在鉆孔底部貫通，溫度相同，由式(3)表示為

進口的條件可以給定溫度，由式(4)表示為

或給定傳熱量(這里規(guī)定從地下取熱為正)，由式(5)表示為

式中Q為取熱量，W。

當流動形式改為外進內(nèi)出時，方程式(1)中右邊最后一項，即對流項要改變符號，定解條件式(4)和(5)也作相應的改變。

對于這個微分方程組，可以對坐標和時間作離散化處理后直接數(shù)值求解。 對于鉆孔內(nèi)的傳熱過程，采用更復雜或更簡單的不同的數(shù)學模型進行模擬并不會影響以下所述的用疊加原理方法求解多孔地埋管換熱器鉆孔外傳熱的有效性。

2.2 鉆孔外的傳熱模型

鉆孔外的傳熱為空心圓柱形域內(nèi)(如圖1 所示)的導熱問題，對鉆孔外區(qū)域的傳熱采用以下基本假設:

(1) 鉆孔外區(qū)域巖土中的傳熱機理僅考慮導熱，而不考慮流體滲流等引起的其他傳熱；

(2) 鉆孔外區(qū)域由水平分層的若干地層組成，各層均為均勻介質(zhì)，其熱物理性質(zhì)(導熱系數(shù)ki、熱擴散率ai)不隨溫度變化；

(3) 在所研究的區(qū)域內(nèi)有均勻的大地熱流qg，W/m2；

(4) 在水平方向的外邊界遠離地埋管換熱器的鉆孔位置，為絕熱邊界；

(5) 在初始時刻域內(nèi)各處未受擾動，保持穩(wěn)態(tài)溫度分布。

研究多孔地埋管換熱器的傳熱必須先分析單孔的情況。 在以下的數(shù)學描述中沒有涉及巖土分層的問題，以保持表達式的簡潔。 實際上，雖然這種分層將對解析求解造成極大的困難，但對于數(shù)值求解幾乎沒有影響。

單孔地埋管換熱器的傳熱問題可采用柱坐標描述，其數(shù)學描述包括導熱微分方程與邊界條件。 導熱微分方程由式(6)表示為

式中T為溫度，℃；r為徑向坐標，m；rboundary為徑向邊界的半徑，m；zboundary為深度方向邊界的坐標，m。

地表通常采用第一類邊界條件，即假設地表溫度為定值t0，由式(7)表示為

區(qū)域的底部邊界設置在遠離鉆孔底部的深處，采用第二類邊界條件，由式(8)表示為

區(qū)域的徑向邊界設在離鉆孔足夠遠處，其為絕熱邊界，由式(9)表示為

在鉆孔壁上，是鉆孔內(nèi)、外兩個區(qū)域的連接條件，分別由式(10)和(11)表示為

鉆孔底部以下的巖土部分，簡化為徑向邊界條件，由式(12)表示為

初始條件:巖土中的初始溫度分布通常采用未受干擾時溫度分布，滿足穩(wěn)態(tài)導熱方程。 當假設巖土為均勻介質(zhì)時，則初始溫度分布由式(13)表示為

當假設巖土層由多個水平地層組成時，則初始溫度分布由式(14)表示為

式中L為不同地層；zL為第L層地層的下邊界的坐標。

3 疊加降維算法

對于以上數(shù)學模型所描述的單孔地埋管換熱器的傳熱問題，利用線性疊加原理，鉆孔外巖土區(qū)域的溫度響應的解可以表示成兩部分溫度響應的疊加，由式(15)表示為

式中θ可以看作是巖土中任一點的溫度相對于其自己的初始溫度的過余溫度。

把以上表達式代入式(6)～(14)的定解問題，可以看到θ(r，z，τ) 將滿足以下定解問題，由式(16)表示為

即θ(r，z，τ) 將滿足導熱微分方程、零初始條件和上、下兩個邊界以及徑向遠端邊界的齊次邊界條件，同時也滿足鉆孔壁上的連接邊界條件；這個二維導熱問題可以結合鉆孔內(nèi)的數(shù)學模型，如式(1)所示，進行快速的數(shù)值求解[13]。

對于多孔地埋管換熱器的傳熱問題，多孔在平面上的任意布置如圖2 所示。 對于n個鉆孔組成的地埋管換熱器群，此時地下巖土中的溫度響應必須用三維函數(shù)表示。

圖2 多孔地埋管換熱器的平面配置圖

可以證明，多孔溫度響應的疊加表達式(17)充分滿足除式(11)以外的式(6)～(14)。 此時對于第i個鉆孔壁的邊界條件仍是在鉆孔壁上熱流連續(xù)，即在鉆孔壁上通過導熱進入巖土的熱量等于鉆孔內(nèi)流體傳給鉆孔壁的熱量，對于地埋管群中的第i個鉆孔，式(11)應表示為

將式(17)代入以上邊界條件得式(19)為

鉆孔外巖土中的任一點(x，y，z)在任一時刻τ的溫度響應可以由式(17)表示為

式中Гi是鉆孔壁在橫截面上投影的圓周邊界。的物理意義是在單位長度上第j個鉆孔中的換熱(熱源)所產(chǎn)生的熱流進入第i個鉆孔的凈熱量；第一項是第i個鉆孔本身的內(nèi)部傳熱產(chǎn)生的徑向熱流。 從物理概念上可以容易理解，從數(shù)學上也可以證明，在各鉆孔間的距離遠大于各鉆孔半徑的條件下， 即滿足rij ＝1，2，…，n；i≠j) 時，式(19)中的第二項(求和項)中的各項都遠小于第一項，可以忽略不計。 此時每一個單孔溫度響應θi(ri，z，τ) 都滿足其鉆孔壁上如式(11)的邊界條件。 對于幾乎所有的多孔地埋管換熱器的工程問題，鉆孔之間的間距遠大于鉆孔半徑的條件都是充分滿足的，因此該多孔地埋管換熱器的傳熱問題可以滿足疊加原理的條件，也就是地埋管群傳熱問題的解可以用各單孔溫度響應的解，即定解問題式(16)的解，疊加得到。 根據(jù)這個思路，多孔地埋管換熱器數(shù)值計算流程如圖3 所示。

圖3 多孔地埋管換熱器降維數(shù)值計算流程圖

對于鉆孔內(nèi)的計算，主要關注鉆孔壁的溫度。 第j個鉆孔的鉆孔壁上的溫度分布由式(20)表示為

式中rij為第i個鉆孔與第j個鉆孔中心之間的距離，

這樣，多孔地埋管換熱器的三維傳熱問題就可以通過求解若干個單孔地埋管換熱器的二維傳熱問題得到解決。 得到的計算結果可以是任意時刻巖土中的溫度分布，也可以給出工程上更關注的任意時刻任一地埋管換熱器的出口溫度。

4 算例

根據(jù)文章提供的降維計算方法開發(fā)計算程序，采用有限差分法求解。 算例考慮的系統(tǒng)是由兩個鉆孔組成的套管式中深層地埋管換熱器，兩個鉆孔的幾何參數(shù)、物理條件完全相同，埋設在由3 層水平地層組成的巖土中。 系統(tǒng)的主要參數(shù)如下:鉆孔直徑d＝0.28 m、深度H＝2 000 m、鉆孔間距D＝10 m、大地熱流qg＝0.075 W/m2、單孔循環(huán)水流量M＝12 kg/s、單孔取熱速率恒定Q＝200 kW。 在取熱負荷不變的條件下模擬了系統(tǒng)運行8 000 h 的傳熱工況。

采用文章提出的降維算法，可以把三維問題分解為若干柱坐標中的二維問題求解。 柱坐標中的二維導熱問題在徑向采用變步長，縱向由于溫度梯度很小，可以采用較大的步長。 整個問題(包括鉆孔內(nèi))采用的節(jié)點數(shù)為10 752 個，完全可以保證計算這樣的大型三維傳熱問題的精度。 經(jīng)測試，在臺式電腦英特爾酷睿(i7-8700CPU＠320GHz 3.19GHz)上完成以上運算用時10.412 s。

對算例進行計算的結果如圖4 所示。 其中，系統(tǒng)初始時刻溫度場溫度分布如圖4(a)所示，系統(tǒng)結束運行時(8 000 h)巖土中的溫度場分布如圖4(b)所示。 隨著地埋管換熱器不斷取熱，鉆孔周邊巖土層的溫度逐漸降低。 靠近埋管區(qū)域的巖土溫度降低得最為劇烈，遠離地埋管換熱器的巖土溫度逐漸趨于初始地溫。 當運行8 000 h 時，雙孔之間的巖土溫度明顯低于外側巖土溫度，說明二者之間存在熱干擾現(xiàn)象，這對埋管換熱器的取熱效率有不利的影響。

圖4 雙鉆孔地埋管換熱器的巖土溫度響應圖

單孔取熱及雙孔取熱兩個不同工況下，流體進出口溫度隨運行時間的變化如圖5 所示。 在恒定取熱工況的條件下，單孔及雙孔的進出口水溫均隨著運行時間的增大而逐漸降低。 持續(xù)取熱的時間小于約半年時，兩者的進出水溫度幾乎完全相同，說明在運行時間足夠短時，雙孔之間的熱影響可以忽略不計。 計算結果表明，在第1 年的運行期間，兩工況的進水和出水溫度基本一致，說明在運行時間足夠短的情況下，可以忽略相鄰鉆孔間的熱干擾。 這充分表明了降維算法的可信度。

隨著運行時間的增加，兩者之間的差別逐漸加大。 在兩孔的間距為10 m 的情況下，持續(xù)運行10 年后，雙孔和單孔換熱器的進出口水溫可以相差約6.1 ℃。 這表明兩個相鄰地埋管換熱器之間的熱干擾已經(jīng)嚴重影響到了地埋管換熱器的效能。

圖5 雙孔及單孔地埋管換熱器進出口水溫隨時間的變化趨勢圖

5 結論

文章基于線性疊加原理提出了多孔地埋管換熱器的降維計算方法及地埋管群的傳熱模型，摒棄了傳統(tǒng)地源熱泵傳熱模型中關于鉆孔內(nèi)外區(qū)域連接條件的均勻溫度和均勻熱流的簡化假定，因而更準確地描繪了中深層地埋管中的傳熱過程。 主要結論如下:

(1) 地下巖層中初始溫度分布的影響可以由單獨的一項疊加到零初始溫度的溫度響應中。 因此，疊加原理可以擴展到考慮地溫梯度的場合。

(2) 單個鉆孔地埋管換熱器鉆孔外的導熱通?？梢院喕癁橹鴺酥械亩S問題；而多個鉆孔地埋管換熱器鉆孔外的導熱必須要按三維問題處理。 在中深層地埋管群的傳熱問題中，線性疊加原理可以適用于鉆孔外區(qū)域的導熱問題。 因此，地埋管群的傳熱計算可以轉化為多個單孔地埋管換熱器傳熱(二維問題)的疊加來求解，從而大大提高計算的效率。

(3) 基于有限差分法的單孔中深層地埋管換熱器的二維數(shù)值計算模型，采用了追趕法求解相應的線性代數(shù)方程組，具有計算高效快捷的特點，特別適合在用疊加原理求解多孔地埋管換熱器的場合使用。

(4) 相鄰的地埋管換熱器在長期運行過程中存在熱干擾現(xiàn)象，其影響的大小與鉆孔間距、運行時間以及取熱速率有關。 關于中深層地埋管群的參數(shù)分析以及設計和優(yōu)化運行將在后續(xù)的研究中給出。