柯俊宏， 李厚民， 汪 洋， 吳克洋

(湖北工業(yè)大學(xué)土木建筑與環(huán)境學(xué)院， 湖北 武漢 430068)

目前， 按照混凝土的研究尺度的不同， 學(xué)者們把混凝土研究劃分為微觀、 細(xì)觀和宏觀三個(gè)層次來(lái)進(jìn)行研究。 在細(xì)觀層次上混凝土材料被認(rèn)為是由粗細(xì)骨料、 界面層、 水泥砂漿、 孔隙以及微裂縫等組成的多相復(fù)合材料， 而且多相復(fù)合材料的特性對(duì)混凝土的非線性宏觀力學(xué)性能有較大的影響。 目前， 針對(duì)混凝土細(xì)觀問(wèn)題的實(shí)驗(yàn)研究對(duì)實(shí)驗(yàn)條件要求較高， 如CT掃描儀等設(shè)備不易獲得[1]， 而理論模型的研究相對(duì)成熟[2]， 如劉家煜[3]基于格構(gòu)模型對(duì)混凝土受拉斷裂過(guò)程進(jìn)行模擬， 朱萬(wàn)成[4]采用隨機(jī)力學(xué)特性模型模擬混凝土在單軸壓縮作用下的斷裂過(guò)程,程一磊[5]等采用隨機(jī)骨料模型模擬三點(diǎn)彎曲試驗(yàn)， 然而現(xiàn)在的隨機(jī)骨料模型均只考慮骨料位置、 大小和形狀的隨機(jī)性， 忽略了骨料本身的均勻性問(wèn)題。 因此， 在隨機(jī)骨料投放程序當(dāng)中增加骨料均勻性判別手段對(duì)其細(xì)觀力學(xué)分析有著重要的意義。

1 二維隨機(jī)骨料的生成與投放

1.1 骨料級(jí)配理論

混凝土內(nèi)骨料的含量可由Fuller顆粒級(jí)配理想曲線公式得出， Walraven運(yùn)用概率統(tǒng)計(jì)的方法， 將三維的Fuller級(jí)配公式轉(zhuǎn)換為二維公式， 以此來(lái)求得各級(jí)配骨料所占的面積， 即：

PC(D0.053(D0/Dmax)4-0.012(D0/Dmax)6-
0.0045(D0/Dmax)8+0.0025(D0/Dmax)10]

(1)

其中:PC為截面上任一點(diǎn)具有直徑D

由各個(gè)級(jí)配的面積占比可計(jì)算得出各個(gè)級(jí)配對(duì)應(yīng)的骨料個(gè)數(shù)[6]為

Ni=int(A·P0/Ai)

(2)

其中:Ni為某粒徑區(qū)間內(nèi)的骨料個(gè)數(shù)，A為試件截面的總面積，P0為粒徑范圍區(qū)間為[Di,Di+1]的骨料出現(xiàn)的概率，Ai為某粒徑區(qū)間內(nèi)骨料截面的有效面積。

由于研究方法的不同， 隨機(jī)骨料模型的骨料投放量的判別方法分為了骨料面積判別和骨料顆粒數(shù)判別兩種， 如呂釗[6]以骨料面積占比為依據(jù)控制骨料投放的量， 而王彩峰[7]則通過(guò)公式(2)計(jì)算得出各個(gè)級(jí)配骨料個(gè)數(shù)來(lái)進(jìn)行骨料的投放。 本文分別編制了兩種不同判別方法的投放與生成程序， 以下詳細(xì)說(shuō)明各個(gè)骨料生成與投放程序的算法。

1.2 二維圓形隨機(jī)骨料的生成算法

由蒙特卡洛法定義圓心坐標(biāo)(x,y)及圓形半徑r為隨機(jī)變量來(lái)表征圓形骨料的隨機(jī)性， 具體投放步驟如下：

1)設(shè)置骨料投放的區(qū)域， 將試件截面的寬和高分別設(shè)置為Width,Height， 由式(1)、 (2)可按研究需要計(jì)算出各個(gè)級(jí)配的所占面積或骨料顆粒個(gè)數(shù)。 考慮到各個(gè)級(jí)配的界面層厚度不同， 且骨料影響范圍系數(shù)的值存在不確定性， 本文對(duì)各個(gè)級(jí)配的界面層厚度分別進(jìn)行設(shè)置。

2)隨機(jī)生成圓形骨料的圓心坐標(biāo)并判斷該圓形骨料是否在投放區(qū)域內(nèi)。 將每一個(gè)骨料的坐標(biāo)參數(shù)進(jìn)行判斷， 各個(gè)骨料參數(shù)需滿足坐標(biāo)與半徑之差大于零， 與半徑之和小于寬度和高度。 如不滿足判定條件則重新隨機(jī)生成對(duì)應(yīng)參數(shù)， 如滿足則繼續(xù)運(yùn)行。

3)判斷各個(gè)圓形骨料之間是否有重疊部分。 可利用循環(huán)遍歷的功能將每個(gè)新生成骨料和之前生成的所有骨料作對(duì)比， 如兩圓相離則繼續(xù)運(yùn)行， 如兩圓相交或相切則返回步驟2)中重新隨機(jī)生成對(duì)應(yīng)參數(shù)。

4)判斷生成的骨料是否已滿足生成要求。 如采用顆粒數(shù)判斷， 則由公式(2)計(jì)算得出各個(gè)級(jí)配的骨料數(shù)目， 在判定生成的骨料總數(shù)及各個(gè)骨料級(jí)配數(shù)目是否滿足要求， 如采用面積判斷， 則判斷生成骨料總面積占比是否滿足要求， 如滿足則繼續(xù)均勻性判斷， 如不滿足則返回步驟(2)重新生成對(duì)應(yīng)參數(shù)。

5)輸出各項(xiàng)參數(shù)繪制圖形。

1.3 二維橢圓形隨機(jī)骨料生成算法

為表征橢圓骨料形狀和位置的隨機(jī)性， 將其形心坐標(biāo)(x,y)， 長(zhǎng)軸長(zhǎng)度(a)， 短長(zhǎng)軸之比(c)以及旋轉(zhuǎn)角度(cita)定義為隨機(jī)參數(shù)， 具體投放過(guò)程如下：

1)設(shè)置橢圓形骨料的投放區(qū)域。 設(shè)置截面寬高長(zhǎng)度， 考慮到橢圓形骨料形狀不宜過(guò)于扁平， 為避免畸形骨料的產(chǎn)生， 橢圓短長(zhǎng)軸之比的隨機(jī)區(qū)間設(shè)置為(0.5， 0.8)， 由于橢圓的對(duì)稱性， 其旋轉(zhuǎn)角度區(qū)間可設(shè)置為(0， 180)。

2)按照步驟1)中的隨機(jī)區(qū)間生成形心坐標(biāo)(x,y)， 長(zhǎng)軸長(zhǎng)度(a)， 短長(zhǎng)軸之比(c)以及旋轉(zhuǎn)角度(cita)五個(gè)隨機(jī)參數(shù)。

3)判斷生成的橢圓是否在投放區(qū)域內(nèi)。 平面內(nèi)橢圓可以簡(jiǎn)化為一般方程， 即：

((x-m)cosθ+(y-n)sinθ)2/a2+
((m-x)sinθ+(y-n)cosθ)2/b2=1

由此可以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷橢圓方程和邊界線段方程聯(lián)立是否有實(shí)數(shù)解， 如無(wú)實(shí)數(shù)解則生成的橢圓均在投放區(qū)域內(nèi)， 反之則返回步驟2)重新生成橢圓方程。 方程求解可運(yùn)用Python中的solve模塊， 但是考慮到solve模塊運(yùn)行速度不佳， 為避免運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)， 可在求解前進(jìn)行篩選， 采用與圓形骨料類似的方式， 判斷以a×c為半徑的圓形骨料是否在投放區(qū)域內(nèi)， 如在投放區(qū)域內(nèi)， 再通過(guò)solve去求解， 由此可以過(guò)濾掉部分不滿足的骨料， 提高計(jì)算效率。

4)判斷各個(gè)橢圓之間是否有重疊部分。 對(duì)于兩個(gè)橢圓的位置關(guān)系的判定方法有多種， 如橢圓內(nèi)接多邊形法， 橢圓外接多邊形法等， 這些方法是通過(guò)對(duì)比多邊形頂點(diǎn)和橢圓焦點(diǎn)的距離和來(lái)判斷兩橢圓位置關(guān)系， 然而精確度并不高。 目前最準(zhǔn)確最常用的判斷方法是由劉洋[8]提出的廣義特征多項(xiàng)式法， 通過(guò)比較廣義特征多項(xiàng)式的根的符號(hào)判斷橢圓的位置關(guān)系。 但是求取特征多項(xiàng)式的過(guò)程中涉及到多次矩陣運(yùn)算， 且運(yùn)算時(shí)間較長(zhǎng)， 運(yùn)算精度不易控制。 因此本文并未采用該方法判斷兩個(gè)橢圓的位置關(guān)系。 考慮到橢圓可由圓沿某一個(gè)方向按照某一個(gè)比例壓縮得到， 本文采用橢圓外接圓的方法， 以橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為半徑， 形心為圓心做圓， 通過(guò)上述圓形骨料的位置關(guān)系判別方法判斷， 雖然投放最大效率有所降低， 但運(yùn)算時(shí)間也相應(yīng)減少， 且基本符合投放需求。 將新生成橢圓參數(shù)與之前所有已生成的橢圓參數(shù)做判斷， 若該橢圓參數(shù)滿足判定條件則向下運(yùn)行否則返回步驟2)重新隨機(jī)生成五個(gè)隨機(jī)參數(shù)。

5)判斷投放量是否滿足要求， 判斷方法同圓形投放相同， 如滿足則進(jìn)行均勻性判斷， 如不滿足則返回步驟2)重新生成各項(xiàng)參數(shù)。

6)輸出橢圓形各項(xiàng)參數(shù)繪制圖形。

2 骨料均勻性判別方法

目前隨機(jī)骨料的投放程序缺乏對(duì)骨料均勻性的判定， 本文將投放區(qū)域劃分為上中下三個(gè)區(qū)域， 分別計(jì)算各個(gè)區(qū)域內(nèi)投放骨料的面積占總投放骨料面積的比值， 若比值范圍均為30%～36%， 即認(rèn)為骨料投放較為均勻。 并基于Python語(yǔ)言編制對(duì)應(yīng)的二維圓形， 橢圓形的隨機(jī)骨料模型投放程序及其面積計(jì)算程序， 使程序產(chǎn)生的骨料既表征其位置和形狀大小的隨機(jī)性也保持了混凝土中骨料的均勻性。

2.1 圓形骨料均勻性判別方法

如選擇截面為150 mm×150 mm的混凝土試件， 將其劃分為等距的上中下三個(gè)投放區(qū)域， 每個(gè)區(qū)域截面為150 mm×50 mm。 向其中投放三級(jí)配骨料， 骨料投放區(qū)間分別為(40,80)mm；(20,40)mm；(5,20)mm。 分別計(jì)算三個(gè)投放區(qū)域內(nèi)已投放完成的骨料的面積與投放骨料總面積之比， 若三個(gè)區(qū)域的比值均在30%～36%之間則判定為均勻性較好。 考慮到骨料不僅單獨(dú)存在于某一個(gè)區(qū)域還有跨越多個(gè)區(qū)域的情況， 需分類討論， 具體步驟如下：

1)按照骨料形心的縱坐標(biāo)將骨料圓心位置劃分為處于上、 中、 下區(qū)域三類。

2)將各類骨料按照跨越區(qū)域情況再進(jìn)行分類討論， 如骨料圓心處于上區(qū)域， 則可分為骨料全部處于上區(qū)域或者骨料跨越上中兩區(qū)域， 同理， 骨料圓心處于下區(qū)域可分為全部處于下區(qū)域或跨越中下兩區(qū)域， 考慮到時(shí)骨料粒徑最大為80 mm而每個(gè)區(qū)域高度為50 mm， 所以只有圓心處于中區(qū)域的骨料才可能同時(shí)跨越上、 中、 下三個(gè)區(qū)域， 因此將圓心處于中區(qū)域的骨料分為全部處于中區(qū)域、 跨越上中區(qū)域、 跨越中下區(qū)域以及跨越上、 中、 下區(qū)域四種情況。

3)按照不同情況進(jìn)行求解。 當(dāng)骨料僅處于某一個(gè)區(qū)域時(shí)， 根據(jù)圓形面積公式求出該骨料面積即可， 當(dāng)骨料跨越兩個(gè)區(qū)域時(shí)， 如圖1所示， 骨料在中區(qū)域的面積為扇形OAB減去三角形OAB的面積， 角AOB可由OA和OD的長(zhǎng)度由反三角函數(shù)求得， 由此易得扇形OAB面積， 進(jìn)而求出骨料在中區(qū)域的面積， 骨料于上區(qū)域的面積為該骨料面積減去在中區(qū)域的面積。 當(dāng)骨料跨越三個(gè)區(qū)域時(shí)， 同理通過(guò)扇形OAB減去三角形OAB的面積求出該骨料在上區(qū)域的面積， 通過(guò)扇形OCD減去三角形OCD的面積求出該骨料在下區(qū)域的面積， 用該骨料總面積減去上、 下區(qū)域的面積即求得中區(qū)域的骨料面積。

圖 1 圓形骨料分布情況示意圖

4)遍歷所有生成的骨料， 按照上述方法分別計(jì)算得出上、 中、 下三個(gè)區(qū)域內(nèi)的骨料面積， 與骨料投放的面積做商， 求得各個(gè)區(qū)域內(nèi)的面積占比。 若面積占比在30%～36%之間， 則判定其投放較為均勻。 均勻性判斷的流程如圖2所示。

圖 2 均勻性判定流程圖

2.2 橢圓形骨料均勻性判別方法

同圓形骨料相同， 選擇截面為150 mm×150 mm的試件為例， 三級(jí)配骨料， 具體求解方法如下：

1)按照骨料形心的縱坐標(biāo)將骨料圓心位置劃分為處于上、 中、 下區(qū)域三類。

2)根據(jù)骨料跨越區(qū)域情況分類討論， 與圓形骨料不同：橢圓形骨料不能僅憑形心和半徑的關(guān)系來(lái)判斷是否有跨越區(qū)域的情況， 本文選擇將橢圓轉(zhuǎn)化為一般方程， 通過(guò)與y=100和y=50兩個(gè)分界線求解， 若存在實(shí)數(shù)解即存在跨越區(qū)域情況， 若不存在實(shí)數(shù)解說(shuō)明該骨料僅存在于形心所在區(qū)域。

3)根據(jù)不同情況分別計(jì)算骨料在各個(gè)區(qū)域的面積。 當(dāng)骨料跨越兩個(gè)區(qū)域時(shí)(圖3)， 考慮到目前針對(duì)于部分橢圓面積的求解上沒(méi)有一個(gè)特定的公式， 本文采用微積分思想， 用橢圓一般方程和y=100求解， 得出的兩個(gè)實(shí)數(shù)解即為A、 B的橫坐標(biāo)， 將A、 B之間劃分為20段， 將部分橢圓面積轉(zhuǎn)化為20個(gè)直角梯形面積之和。 由此可以求出橢圓在上區(qū)域的面積， 通過(guò)橢圓面積減去在上區(qū)域的面積即可求得其在中區(qū)域的面積。 當(dāng)骨料跨越三個(gè)區(qū)域時(shí)(圖3)， 同理采用上述方法求得骨料在上、 下區(qū)域內(nèi)的面積， 再通過(guò)骨料面積減去上、 下區(qū)域的面積求得骨料在中區(qū)域的面積。

圖 3 橢圓形骨料分布示意圖

4)遍歷所有的橢圓形骨料， 計(jì)算三個(gè)區(qū)域的骨料面積， 判定其是否投放均勻。

3 骨料投放及均勻性判別實(shí)例

3.1 兩種判斷方法生成骨料實(shí)例

以在截面尺寸為150 mm×150 mm的混凝土試件中投放三級(jí)配骨料為例， 骨料級(jí)配區(qū)間分別為(40,80)mm；(20,40)mm；(5,20)mm， 其界面層厚度分別設(shè)置為0.5 mm， 0.4 mm， 0.3 mm， 假設(shè)投放面積百分比為62.8%， 通過(guò)式(1)、 (2)計(jì)算得出各個(gè)骨料級(jí)配的顆粒數(shù)目， 計(jì)算結(jié)果如表1所示， 生成模型如圖4所示；同理， 選擇同樣級(jí)配的骨料采用面積法投放， 計(jì)算結(jié)果如表2所示， 生成模型如圖5所示；對(duì)照表1表2可以看出兩種判別方式的投放程序均能完成骨料投放過(guò)程， 但橢圓形顆粒數(shù)判斷方法投放模型的各個(gè)級(jí)配的骨料面積均比預(yù)定面積較低， 可適當(dāng)調(diào)整各級(jí)配橢圓形骨料的有效面積， 在根據(jù)式(2)算出更為準(zhǔn)確的骨料顆粒數(shù)。

表1 顆粒數(shù)判斷方法計(jì)算結(jié)果

圖 4 顆粒數(shù)判斷方法生成模型

表2 面積占比判斷方法計(jì)算結(jié)果

3.2 加入骨料均勻性判斷前后對(duì)比

仍選擇試件截面為150 mm×150 mm， 三級(jí)配骨料， 骨料級(jí)配區(qū)間分別為(40,80)mm；(20,40)mm；(5,20)mm， 其界面層厚度分別設(shè)置為0.5 mm， 0.4 mm， 0.3 mm， 各級(jí)配投放面積占比按表2所述， 本文隨機(jī)生成20組未經(jīng)過(guò)均勻性篩選的骨料模型數(shù)據(jù)， 分別計(jì)算其三個(gè)區(qū)域內(nèi)的骨料面積占比， 其中達(dá)到均勻性判定要求的圓形骨料僅有4組， 達(dá)到均勻性判定要求的橢圓形骨料僅有6組， 綜合來(lái)看符合均勻性要求的僅占25%，

將各個(gè)區(qū)域骨料面積的離散程度用方差表示， 其均值選擇為33.33%， 部分未篩選骨料各區(qū)域占比面積方差高達(dá)0.069， 圓形骨料平均方差為0.0297， 橢圓形骨料平均方差為0.019， 然而進(jìn)行均勻性篩選后的骨料各個(gè)區(qū)域的面積占比方差幾乎不會(huì)超過(guò)0.01。 由此可見(jiàn)隨機(jī)生成骨料的均勻性不高， 各區(qū)域骨料面積離散程度較高， 因此進(jìn)行篩選是非常有必要的。 本文從20組數(shù)據(jù)中選取其中較為典型的兩組如表3所示， 使用該數(shù)據(jù)生成對(duì)應(yīng)的骨料模型。 其中， 不進(jìn)行均勻性判斷所生成的骨料模型如圖5所示， 通過(guò)均勻性篩選之后的骨料模型如圖6所示。 由表3可以看出未經(jīng)過(guò)均勻性篩選的骨料投放到各個(gè)區(qū)域的面積占比方差較大， 離散性較高， 所以其均勻性較差， 而篩選完成后各個(gè)區(qū)域骨料分布較為合理， 各區(qū)域面積占比方差不大于0.01， 所生成的隨機(jī)骨料既滿足位置和形狀的隨機(jī)性， 也可以滿足骨料分布的均勻性。

圖 5 面積占比判斷方法生成模型

圖 6 均勻性篩選的骨料模型

表3 篩選前后各區(qū)域骨料面積占比

4 結(jié)論

1)根據(jù)不同的研究需求， 將隨機(jī)骨料投放量的限定條件分為骨料顆粒數(shù)判斷和骨料面積占比兩種， 并編制不同形狀、 不同級(jí)配的隨機(jī)骨料投放程序。 以三級(jí)配混凝土為例， 顆粒數(shù)判斷和面積判斷方法完成的骨料投放均可滿足投放需求。

2)在原來(lái)隨機(jī)骨料生成的基礎(chǔ)上， 通過(guò)區(qū)域面積占比對(duì)其骨料均勻性進(jìn)行判定， 并編制對(duì)應(yīng)的程序， 使投放的骨料既滿足其位置和形狀的隨機(jī)性也滿足其分布的均勻性。